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2018中考数学压轴专题
一、动点与面积问题
例1 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A (－1, 0)，B (4, 0)两点，与y 轴交于点C (0, 2)．点M (m , n )是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M 作x 轴的平行线交y 轴于点Q ，交抛物线于另一点E ，直线BM 交y 轴于点F ．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）当S △MFQ ∶S △MEB ＝1∶3时，求点M 的坐标．
例2如图，已知抛物线212
y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．
（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；
（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC 的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．
例3如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B(4
3
2, )，M是OA的中点．（1）求此二次函数的解析式；
（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；
（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D，若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
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例4如图，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x
=
(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和m y x =-(x ＜0)于M 、N 两点． （1）求m 的值及直线l 的解析式；
（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；
（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．
例5 如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．
（1）求线段AD 的长；
（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，
①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；
②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．
（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．
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图1 备用图
跟踪练习
1.在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C （点C 在原点的右侧），并分别与直线y ＝x 和双曲线y ＝1x
相交于点A 、B ，且AC ＋BC ＝4，则△OAB 的面积为（ ） A ．33或3 3 B 2＋12 1
C ．3 3
D 2－1
2.如图，在菱形CD AB 中，60∠A =，D 8A =，F 是AB 的中点．过点F 作F D E ⊥A ，垂足为E ．将F ?AE 沿点A 到点B 的方向平移，得到F '''?A E ．设P 、'P 分别是F E 、F ''E 的中点，当点'A 与点B 重合时，四边形CD 'PP 的面积为
A ．283．3323 D ．38
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3. （2017青海西宁第10题）如图，在正方形ABCD 中，3AB cm =，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自D 点出发沿折线DC CB -以每秒2cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设AMN ?的面积为()
2y cm ，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）
A ．
B ． C. D ．
4.已知直线m x y +=2与抛物线2
y ax ax b =++有一个公共点(1,0)M ，且a b <． （Ⅰ）求抛物线顶点Q 的坐标（用含a 的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N ． （ⅰ）若2
11-≤≤-a ，求线段MN 长度的取值范围； （ⅱ）求QMN ?面积的最小值．
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5.已知：Rt △EFP 和矩形ABCD 如图①摆放（点P 与点B 重合），点F ，B （P ），C 在同一条直线上，AB ＝EF ＝6cm ，BC ＝FP ＝8cm ，∠EFP ＝90°。如图②，△EFP 从图①的位置出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；EP 与AB 交于点G ．同时，点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为1cm/s 。过Q 作QM ⊥BD ，垂足为H ，交AD 于M ，连接AF ，PQ ，当点Q 停止运动时，△EFP 也停止运动．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，PQ ∥BD ？
（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y （cm 2
），求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使8:9:=ABCD AFPQM S S 矩形五边形？若存在，求
出 t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使点M 在PG 的垂直平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
6.如图，已知二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象经过)2,0(),0,4(),0,1(C B A -三点. （1）求该二次函数的解析式；
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（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足CAO DBA ∠=∠(O 是坐标原点)，求点D 的坐标；
（3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交y BC ,轴与点,,F E 若CEF PEB ??,的面积分别为,,21S S 求21S S -的最大值.
7.如图，二次函数2
y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．
（1）求b 、c 的值；
（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标；
（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ?P N 与?APM 的面积相等，且线段Q N 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．
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8.如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为
)0,14(),35
,9(),33,3(),0,0(C B A O ，动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线BC -AB -OA 运动，在
BC AB OA ，，上运动的速度分别为2
533，，（单位长度/秒）.当Q P ，中的一点到达C 点时，两点同时停止运动.
（1）求AB 所在直线的函数表达式；
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（2）如图2，当点Q 在AB 上运动时，求CPQ ?的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值；
（3）在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值.
9.在平面直角坐标系xoy 中，规定：抛物线()2
y a x h k =-+的伴随直线为()y a x h k =-+.例如：抛物线()2213y x =+-的伴随直线为()213y x =+-，即2 1.y x =- （1）在上面规定下，抛物线()2
14y x =+-的顶点为 .伴随直线为 ；抛物线()2
14y x =+-与其伴随直线的交点坐标为 和 ； （2）如图，顶点在第一象限的抛物线()2
14y m x m =--与其伴随直线相交于点,A B (点A 在点B 的右侧)与x 轴交于点,.C D
①若90,CAB ?
∠= 求m 的值； ②如果点(),P x y 是直线BC 上方抛物线的一个动点，PBC ?的面积记为S ，当S 取得最大值274
时，求m 的值.
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10. （2017内蒙古呼和浩特第25题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与
y 轴交于点C ，其顶点记为M ，自变量1x =-和5x =对应的函数值相等．若点M 在直线l ：1216y x =-+上，点(3,4)-在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设2
y ax bx c =++对称轴右侧x 轴上方的图象上任一点为P ，在x 轴上有一点7(,0)2
A -，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出相应的P 点横坐标x 的取值范围；
（3）直线l 与抛物线另一点记为B ，Q 为线段BM 上一动点（点Q 不与M 重合）．设Q 点坐标为(,)t n ，过Q 作QH ⊥x 轴于点H ，将以点Q ，H ，O ，C 为顶点的四边形的面积S 表示为t 的函数，标出自变量t 的取值范围，并求出S 可能取得的最大值．
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赠人玫瑰，手留余香。
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