江苏省七市2020届高三第二次调研考试
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2020．4
参考公式：
柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 锥体的体积公式：V 锥体＝1
3
Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A ＝{1，4}，B ＝{a －5，7}．若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值是________．
2. 若复数z 满足z
i
＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．
(第4题)
3. 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量(单位：吨)分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则该农作物的年平均产量是________吨．
4. 如图是一个算法流程图，则输出S 的值是________．
5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头，甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是________．
6. 在△ABC 中，已知B ＝2A ，AC ＝3BC ，则A 的值是________．
7. 在等差数列{a n }(n ∈N *)中，若a 1＝a 2＋a 4，a 8＝－3，则a 20的值是________．
(第8题)
8. 如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则V 1＋V 2
V
的值是________．
9. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，
过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q.若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
10. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线y ＝2x 上，过点P 作圆C ：(x －4)2＋y 2＝8的一条切线，切点为T.若PT ＝PO ，则PC 的长是________．
11. 若x ＞1，则2x ＋9x ＋1＋1
x －1的最小值是________．
12. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝e x 在点P(x 0，ex 0)处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B(x 0，0)，△PAB 的面积为3，则x 0的值是________．
13. 如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2))，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，则A 6A 7→·A 7A 8→
的值是________．
14. 设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧|log 2x －a|，0＜x ≤4，f （8－x ），4＜x ＜8.若存在实数m ，使得关于x 的方程f(x)＝m 有4
个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(α＋π4)，sin(α＋π
4))，
其中0＜α＜π
2
.
(1) 求(b －a )·a 的值；
(2) 若c ＝(1，1)，且(b ＋c )∥a ，求α的值．
16.(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点P ，Q 分别为AB 1，CC 1的中点．求证： (1) PQ ∥平面ABC ； (2) PQ ⊥平面ABB 1A 1.
17. (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
C ：(x －3)2＋y 2＝1，椭圆
E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b
＞0)的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切．
(1) 求椭圆E 的方程；
(2) 设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N.当AN ＝12
7AM
时，求直线l 的方程．
某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2∶1的两部分(点D，E分别在边AB，AC上)；再取DE的中点M，建造直道AM(如图)．设AD＝x，DE ＝y1，AM＝y2(单位：百米)．
(1) 分别求y1，y2关于x的函数关系式；
(2) 试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．
若函数f(x)在x0处有极值，且f(x0)＝x0，则称x0为函数f(x)的“F点”．
(1) 设函数f(x)＝kx2－2ln x(k∈R)．
①当k＝1时，求函数f(x)的极值；
②若函数f(x)存在“F点”，求k的值；
(2) 已知函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)存在两个不相等的“F点”x1，x2，且|g(x1)－g(x2)|≥1，求a的取值范围．
在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝1
8.设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1＝－1，a n ＋
b n ＝－1
2
S n －1(n ≥2，n ∈N *)．
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
b n a n 是等差数列；
(3) 是否存在等差数列{c n }，使得对任意n ∈N *，都有S n ≤c n ≤a n ？若存在，求出所有符合题意的等差数列{c n }；若不存在，请说明理由．
