第七章 NURBS 曲线的计算与应用
7.1 有理de Casteljau 算法
对于给定的有理n 次B ézier 曲线：
10,)
()
()(0
0≤≤=
∑∑==t t B t B t n
i n i i n
i n i i i p P ωω （7.1.1）
由于它是带权控制顶点4],[?∈=i i i i ωωω p p 定义的非有理n 次B ézier 曲线在超平面1=ω上的透视投影，因此对于)(t P 的计算可直接采用非有理B ézier 曲线的de Casteljau 算法计算由ωi p 定义的高一维空间的非有理n 次B ézier 曲线，最后取其在超平面1=ω的投影即可。这也可以看作分别同时对)(t P 的分子和分母执行非有理的de Casteljau 算法，最后相除即可。下面我们举例说明这一计算过程。
例 给定控制顶点)1,0(),1,1(),0,1(210 p p p ===及权因子2
120,1===ωωω ，定义一条平
面有理二次B ézier 曲线)(2t P ：
2
22
21022)1(2)1()1(2)1()(t
t t t t t t t t +-+-+-+-=p p p P 求曲线上参数为1=t 的点)(1
2P 。求解步骤如下：
1. 确定带权控制顶点2,1,0],,[ p p ==i i i i i ωωω：
]1,1,0[],,,[
],1,0,1[2222
22
2
10 p
p p ===ω
ω
ω
2. 以参数21=t 对带权控制顶点执行de Casteljau 算法：
ωωω
2
024
22142
214
2
114
2
2142
414
2412
01014
2
21424
2
21100
00],,[],,[],,[p B
B B p B
B p B =+
+=+++
==++
==
3. 取0B 在1=ω上的中心投影，即用最后一个表示权因子的坐标除以其余各坐标分量，得到该有理二次B ézier 曲线上所求的点)(212P ：
计算机辅助几何设计 114
),(),()(2222
2
221222
1212 P ==++++
由此例可以看出，对于有理n 次B ézier 曲线上点的计算，其方法与非有理B ézier 曲线的方法完全一样，所不同的是计算量有所增加，增加了2)1(+n 乘法、2
)
1(+n n 加法和一次除法。已有的基于de Casteljau 算法的程序几乎不加改动就可使用。
然而，如果某些权因子较大，那么de Casteljau 算法产生的中间控制顶点r i i ][p ω就不在原控制顶点}{i p 的凸包之内，这将导致计算精度的损失。因而必须寻求另外的计算有理B ézier 曲线的算法，即有理de Casteljau 算法。
有理de Casteljau 算法的基本思想是将非有理de Casteljau 算法产生的每一中间带权控制顶点n r r n i r i i i r i ,,1,0,,,1,0,],[ p B =-==ωω投影到超平面1=ω上，即：
??
???==+-===-+-+--n r n i t t n i r r i r i r i r i r i r i i r i ,,1,,,1,0,)1(,,1,0,0,111111 p p p p ωωωω （7.1.2） ??
???==+-===-+-n r n i t t n
i r r i r i i r i
,,1,,,1,0,)1(,,1,0,0,1
11 ωωωω （7.1.3） 那么，n
t 0)(p P =。
中间控制顶点r i p 可显式表示如下：
∑∑=+=++=
r
j r
j
j i r
j r j j i j i r i t B t B 0
)
()
(ωωp p （7.1.4）
有理de Casteljau 算法显然花费较大，但却更准确和稳定。因为对于非负的权因子，中间点r i p 位于}{i p 的凸包之内，因此保证了数值稳定性。
有理de Casteljau 算法的提出类似于非有理de Casteljau 算法。非有理de Casteljau 算法源于抛物线的三切线定理，利用了仿射参数变换共线三点的定比不变。而有理de Casteljau 算法则源于抛物线的四切线定理，利用了射影变换共线四点的交比不变。下面我们对其进一步作以讨论。
设r i Q 是顺序两个中间带权控制顶点r i B 和r i 1+B 连线的中点：
1,,1,0,1,,1,0,2
1
--=-=+=+r n i n r r i r i r i
B B Q
那么，有：
B B Q B t
t
Cr r i r i r i r i -=
++1),,,(11 该四点在超平面1=ω上的四个投影点之交比保持不变，即：
115 第七章 NURBS 曲线的计算与应用
p p q p t
t
Cr r i r i r i r i -=
++1),,,(11 带权辅助顶点r i Q 的投影r i q 如下：
1,,1,0,1,,1,0,1
1
1--=-=++=+++r n i n r r i r i r i r i r i r i r i
p p q ωωωω
即
p q p r i
r i r i r i
r i
ratio ωω1
1
),,(++=
当0=r 时，有1
1
10+++++=
=i i i i i i i i ωωωωp p q q 。由此可见，辅助顶点0i q 直接与原始控制顶点i p 及权
因子i ω相关。在原始控制顶点固定的条件下，给定权因子i ω就能求出0i q 。反之，给定辅助顶点0i q 也能求出权因子i ω。因此，1,,1,0,-=n i i q ，可以用作形状参数。i q 沿控制多边形的边
1+i i p p 移动将影响曲线的形状。当i q 移动靠近i p 时，曲线将被拉向该顶点；反之则推离该顶点。
对设计者来说，通过这种间接的方法改变权因子比直接改变权因子更为方便直观。
7.2 有理B ézier 曲线的分割与升阶
7.2.1 有理B ézier 曲线的分割
如同非有理的de Casteljau 算法可以用来分割曲线一样，有理de Casteljau 算法亦可用来进行曲线分割。
对于给定的有理n 次B ézier 曲线：
10,)
()
()(0
0≤≤=
∑∑==t t B t B t n
i n i
i n
i n i i i p P ωω
曲线上的点)(0t P 将)(t P 分成两段],0[0t 和]1,[0 t ，其每一段仍然是有理n 次B ézier 曲线，定义它们的控制顶点和权因子就是用有理de Casteljau 算法计算点)(0t P 时所得到的一系列中间控制顶点和中间权因子。
具体说，若用)(s left P 、)(s right P 分别表示)(0t P 两侧的有理n 次B ézier 曲线，且其控制顶点和权因子分别记为right i right i left i left i s s ωω p p ),(,),(，则
?????====--i
n i
right i i n i right i i left i i left i s s ωωωω p p p p ,)(,)(0
0 （7.2.1）
计算机辅助几何设计 116
即：
],0[],1,0[),()
()
()(000
t t s t s B s B s n
i n i
left i n
i n i left i left i left P p P ∈∈==
∑∑==ωω （7.2.2）
]1,[],1,0[),()
()
()(00
P p P t t s t s B s B s n
i n i right i n
i n i righft i right i right ∈∈==
∑∑==ωω （7.2.3）
7.2.2 有理B ézier 曲线的升阶
一条有理n 次B ézier 曲线形式上可表示为一条有理1+n 次B ézier 曲线，即：
)()
()
()
()()()1(10
1)1(1
01)1()1(0
t t B t B t B t B t n i n i i n i n i i i n
i n i i n
i n i
i i P p p P ==
=
∑∑∑∑+=++=+==ωωωω
其中：
1,,1,0,111)1()1(1)1(111)1(+=???
?
??
?+-+++=-++-++=----n i n i n n i i n i i n i i i i i i i i i i i p p p ωωωωωωω （7.2.4） 这实质上等价于先对带权控制顶点],[i i i i ωωω p p =定义的非有理n 次B ézier 曲线应用非有理n 次B ézier 曲线的升阶算法，然后再将生成的新的带权控制顶点投影到超平面1=ω上，即得
到升阶后新的控制顶点。
证明
)
()
()
())()(())
()((
)()1()()()1()()()()()()
()
()(0
010
11111111
011
111
1
10
111
1
1110
111
1
11111
111111
1111110
1)1(1
01)1()1()1(t t B t B t B t B t B
t B
t B t B t B t B t B t B t B t B t n
i n i
i n
i n i i i n i n i n i
n n i n i i n i n i
n i n n i n i i i n
i n i i n i
n i n i i n i n
i n i
i i n i
n i n i
i i n i n i n i i n i
n i n i n i n i i i n i
n i i n i i n i i n i n i i i P p p p p p p p P ==
++
=
-+-+=
++=
=
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==+=++-++++++=++-+++++=+++=+-+=+++=+--++=++-+-++=++-+--+=++=+ωωωωωωωωωωωωωω
更一般地，一条有理n 次B ézier 曲线可以形式上表示成一条有理k n +次B ézier 曲线：
117 第七章 NURBS 曲线的计算与应用
)()
()
()(10
1)(1
01)()()(t t B t B t n i n i k i n i n i k i k i k P p P ==
∑∑+=++=+ωω
其中：
k n i n k k i k i
k i k i k i i k i k i k i k i k i k i
k i k i k i k i k i +=+=?????-+=-+-+=------------,,1,0,1,)1()1()1()
1()1(1)1()1()
1(1
)
1()1()1(1)1(1)( p p p αωαωαωωαωαωαωα （7.2.5） 7.3 有理B ézier 曲线的几何作图
非有理B ézier 曲线可以方便地应用几何作图法求曲线上的点，其理论原理就是de Casteljau 算法，分割是它的副产品，升阶算法也可以用几何作图给出。上面我们介绍的有理B ézier 曲线的计算都可以通过对带权控制顶点执行相应的非有理B ézier 曲线的算法，然后取其投影得到。由于带权控制顶点要比给定控制顶点高一维，因而对带权控制顶点的几何作图不可能进行，而只能凭想象与计算进行。那么我们能否直接对控制顶点进行几何作图呢？我们先以有理二次B ézier 曲线为例作以讨论。
给定控制顶点210,,p p p 及权因子210,,ωωω ，所定义的有理二次B ézier 曲线如下：
10,22)(212
2101≤≤++++=
t g g g g t p p p P
其中
1
2
2101)1(,)1(ωωωωt t g t t g -=-=
若令
2
2211
111011
1,1g g g g ++=++=p p p p p p
则有
2
11
1
21012)1()1()(g g g g t +++++=p p P
1g 的几何意义是点10p 以比例 1:1g 将边10p p 分成两部分；2g 的几何意义是点1
1p 以比例
1:2g 将边21p p 分成两部分。那么将1110,p p 的连线以比例:12+g 11+g 分成两部分的点2
0p 就是有
理二次B ézier 曲线上参数为t 的点)(t P 。这就是有理二次B ézier 曲线的几何作图法。
有理二次B ézier 曲线还有另外一种几何作图法：先按上述方法求出点10p 与1
1p ，
然后以比例:2g 1g 分割弦线20p p ，求得分割点m ，那么连线1m p 与110p p 之交点即为参数为t 的点)(t P 。其
根据是所有控制顶点及首末权因子不变，仅改变内权因子1ω时，所得的一族有理二次B ézier 曲
计算机辅助几何设计 118
线上等参数t 值的点都位于过控制顶点1p 的直线上。
下面，我们进一步讨论有理n 次B ézier 曲线的几何作图问题。由有理de Casteljau 算法，可知：
1,,1,0,)1()1(1111
111
-=????
?+-=+-=+++n i t t t t i i i
i i i i i i i p p p ω
ωωωωωω （7.3.1） 可见，第一级中间控制顶点1i p 分控制多边形的边1+i i p p 成两段的长度比为：
1,,1,0,)1(1
-=-=
+n i t t h i
i i ωω
相应地，式（7.3.1）可改写为：
1,,1,0,)1(,1111
11-=+-=++=
+++n i t t h h i i i i
i i i i p p p ωωω （7.3.2）
重复上述过程，一般地有：
n r r n i t t h h t t h r i r i r i
i
r i r i r i r i r i r i r i ,,1,,,1,0,)1(1)1(1
111
1111
1
11 =-=????
?
??????+-=++=-=
-+--+----+- p p p ωωωωω （7.3.3） 至第n 级几何作图得到一个点n 0p ，即为所求曲线上的点)(t P 。特别，当所有的t t
i h -=1时，就得
到了非有理B ézier 曲线的几何作图法。
7.4 有理B ézier 曲线的导矢
前面介绍的所有的有理B ézier 曲线的算法实质上都是非有理B ézier 曲线相应算法的推广。然而，导矢的计算却不能推广，其原因是带权控制顶点定义的非有理B ézier 曲线的导矢在超平面1=ω上的投影不等于曲线投影的导矢，因此，求导只能对有理分式进行。与非有理相比，有理B ézier 曲线的导矢计算要复杂得多。
令∑∑====n
i n i
i n
i n
i
i i t B t t B t 0
0)()(,)()(ωωωω
p p ，则)()
()(t t t ωωp P =，即)()()(t t t P p ωω=。对其两边关
于t 求r 阶导数，则有：
∑=-???
? ??=r j j r j r r t t j r dt t d 0)()
()()()(P p ωω 从而有
??
???????? ??-=∑=-r j j r j r r r t t j r dt t d t t 1)
()()
()()()()(1)(P p P ωωω （7.4.1）
119 第七章 NURBS 曲线的计算与应用
这就是有理n 次B ézier 曲线)(t P 的导数递推公式。
对于首末两端点而言，其一阶导矢和曲率分别如下：
11001)1(,)0(--?='?='n n
n n n p P p P ωωωω
（7.4.2）
3
11
221
2301021201)0(,1)0(-----?????-=?????-=
n n n n n n n n k n n k p p p p p p ωωωωωω （7.4.3） 7.5 有理de Boor-Cox 算法
对于给定的k 次NURBS 曲线：
],[,)
()
()(10
1
k L k k L i k i i k L i k i i i u u u u N u N u +-+=-+=∈=
∑∑ d d ωω
其中k 次B 样条基函数)}({u N k i 由节点矢量}{210k L u u u U +≤≤≤= 所确定。为了计算NURBS 曲线上参数为u 的点)(u d ，同样可应用非有理B 样条曲线的de Boor-Cox 算法计算由带权控制顶点],[i i i i ωω d D =定义的高一维空间的非有理B 样条曲线上的点，然后取其在超平面1=ω上的投影即可，这样做所带来的弊端与有理B ézier 曲线情况下一样。因此，我们这里给出有理de Boor-Cox 算法。
令1,,],,[],[1-+=?∈++k L k i u u u u u k L k i i ，那么，有理de Boor-Cox 算法如下：
??
???-=+-=+--===------r k l i l k i j i k i j l l j l j l j
l j l j l j l j j l j ,,1;,,,)1(,,,0,]
[]
1[]1[]1[1]1[1]
[ d d d d ωωαωα （7.5.1） ?????-=+-=+--===---r
k l i l k i j i
k i j l l j l j l j l j j l j
,,1;,,,)1(,,,0,]
1[]1[1]
[ ωαωαωω
（7.5.2） 其中，)()(1j l k j j l j u u u u --=-++α。r 是节点u 的重数，
若u 不是节点，则0=r 。那么][)(r k i u -=d d 。 7.6 NURBS 曲线的节点插入与顶点插入
7.6.1 节点插入
NURBS 曲线的节点插入算法类似于非有理B 样条，它实质上是有理de Boor-Cox 算法求
NURBS 曲线上一点时的第一级递推。
若将参数1,,],,[],[1-+=?∈++k L k i u u u u u k L k i i 作为新的节点插入到节点矢量之中后，那么NURBS 曲线)(u d 可表示成如下的形式
计算机辅助几何设计 120
∑∑-+=+==10
]1[0]1[]1[)
()
()(k L j k j
j
k
L j k j j j u N u N u ωωd d
其中， )}({u N k i 是节点矢量}{2110k L i i u u u u u u U ++≤≤≤≤≤≤= 定义的k 次规范B 样条基函数，控制顶点]1[j d 和权因子]1[j ω满足以下条件：
k L j j j
j j j j j j
+=+-=
-- d d d
,,1,0,)1(]
1[1
111]1[ ωωαωα （7.6.1）
k L j j j j j j +=+-=-
,,1,0,)1(1
11]1[ ωαωαω （7.6.2） ???
????++=+-=--=---==+++k L i j i k i j u u u u u u u u k
i j j k j j j k j j j ,,1,0,,1,,,1,0,11
11
1
1
α （7.6.3） 这仅涉及到k i k i k i u u u ++-+- ,,,21 这k 2个节点，i k i k i d d d ,,,1 +--这1+k 个控制顶点，以及1+k 个
权因子i k i k i ωωω ,,,1 +--，即用生成的中间顶点]1[]1[2]1[1,,,i k i k i d d d +-+-和权因子]
1[]1[2]1[1,,,i
k i k i ωωω +-+-取代老顶点111,,,-+-+-i k i k i d d d 与老权因子111,,,-+-+-i k i k i ωωω ，而保持其余顶点与权因子不变。该算法可图解如下：
图7.2 节点插入
7.6.2 顶点插入
若在控制多边形的边1+i i d d 上指定一点d
?，将其作为NURBS 曲线)(u d 的一个控制顶点点，我们反求需要插入的节点u 。
我们知道控制顶点i d 仅影响到1+k 段曲线],[,],,[],,[1211++++++k i k i i i i i u u u u u u ，1+i d 只影响曲
121 第七章 NURBS 曲线的计算与应用
线段],[,],,[2121++++++k i k i i i u u u u ，那么两个顶点i d 和1+i d 共同影响的曲线段为,],,[21 ++i i u u
],[1+++k i k i u u 。由于点d ?位于边1
+i i d d 上，所以，要插入的节点u 必属于上述k 个节点区间之一，即],[1++∈k i i u u u 。
设
1
11)1()1(?++++-+-=i i i i i i s s s s ωωωωd d d ，1
)1(++-=i i s s ωωω 那么参数)(1i k i i u u s u u -+=++即为要插入的节点。
7.7 NURBS 曲线的形状修改
7.7.1 重新定位控制顶点
移动控制顶点以修改NURBS 曲线的形状，这是一种最简单的形状修改方法。然而，简单地移动顶点对曲线进行形状修改往往是试探性的和交互进行的。因而通常采用的方法是使曲线在其上指定点沿指定方向移动某个距离，反算出要被移动的控制顶点的新位置。
给定一条k 次NURBS 曲线，由控制顶点i d ，权因子1,,1,0,-+=k L i i ω，及节点矢量}{210k L u u u U +≤≤≤= 定义。用有理基函数表示为：
],[,)()(10
k L k k L i k i i i u u u u R u +-+=∈=
∑ d d ω
其中，∑-+==10
)()
()(k L i k i i k i
i k i
u N u N u R ωω。
若指定该曲线上参数为u 的点)(u d ，一个方向矢量v 和一距离s ，计算控制顶点j d 的新位
置*j d ，以使曲线上的点)(u d 沿v 移动距离s 到新位置)(*u d 。)(*
u d 可表示如下：
)()()()(1
,0*u R u R u k j j k L j
i i k i i i v d d d αω++=
∑-+≠=
由此可得
)()()(*u R s u u k j v d d α==-
于是，有
计算机辅助几何设计 122
)(u R s
k j
v =
α （7.7.1）
从而立即得到新的控制顶点v d d α+=j j *。
这里存在一个应该移动哪个顶点j d 的问题，如果选择不当将事与愿违，达不到修形的目的。当我们指定曲线上一点P 后，该点的参数u 可能已经知道。若未知，可通过反算得到。u 所在的节点区间],[1+I I u u 也就确定，因此曲线上该点至多与I k I k I d d d ,,,1 +--这1+k 个控制顶点有关。若移动其他顶点，对点P 所在的那段曲线将不会产生影响。所以，所选顶点j d 应是这1+k 个顶点之一，并且应考虑这1+k 顶点中对曲线上点P 影响最大的顶点或某个合适的顶点，以免移动顶点j d 引起曲线其他部分不希望的过影响。最大影响顶点对应于P 点参数u 处的一组有理基函数中取最大值的那个基函数，即标号j 满足条件：
}({)(max u R u R k
i I
i k I k j ≤≤-= （7.7.2）
7.7.2 重新确定权因子
权因子对NURBS 曲线的影响，是当保持控制顶点与其他权因子不变，某个权因子的减小
或增大将使曲线远离或拉近相应顶点。
假设给定一条k 次NURBS 曲线上参数为u 的点P ，要使曲线在该点拉向或推离控制顶点j
d 一个距离s ，以得到一个新位置*P 。这可通过重新确定相应权因子j ω的新值*j ω来达到，下面我们求*j ω之值。
设曲线上点P 的参数],[1+∈I I u u u ，那么P 所在曲线段与1+k 个控制顶点I
k I k I d d d ,,,1 +--和1+k 个权因子I k I k I ωωω ,,,1 +--相关。j ω便是这1+k 个权因子中的一个。
根据权因子的几何意义，新的权因子*j ω是四点),,(),,(**∞====j j j j u u ωωω d d d P
)1,(),0,(====j j u u ωω d n d m 的交比：
s
s
Cr j j j j j j
+-===Pm P d nm n d m P P d nm n d m P n d :
:),,,(***
*ω j ω是四点)1,(),0,(),,(),1,0,(====∞==≠=j j j j j u u u u ωωωω d n d m d d d P 的交比：
Pm
P
d nm n d m P n d j j j j Cr :),,,(=
=ω 联立两式，则有：
123 第七章 NURBS 曲线的计算与应用
]))((1[*s u R s
j
k j j j -+
=P d ωω （7.7.3）
这里s 取有向距离，若*P 在j d 与P 之间，即曲线被拉向顶点j d ，则s 为正，反之为负。
重新确定权因子的修改方法可按以下步骤实现：
（1） 拾取曲线)(u d 上一点P ，并确定该点的参数值],[1+∈I I u u u ； （2） 拾取控制多边形I k I k I d d d ,,,1 +--的一个顶点j d ； （3） 在直线j Pd 上拾取一点*P ；
（4） 根据公式（7.7.3）计算出新的权因子*j ω,重新生成修改后的曲线.
在步骤（2）中拾取的点不必一定是控制多边形的顶点，也可以是某一条边上的点。在这种
情况下，必须利用前面的顶点插入技术插入一个新的节点，以使拾取的点成为一个新的控制顶点。 7.7.3
同时改变两个权因子
在较多情况下，想要曲线在点P 同时拉向或推离顺序相邻的两个顶点j d 和1+j d ，以得到新
位置*P 。这时就需要同时改变两个老权因子1,+j j ωω 成为*
1*,+j j ωω 。
设)0,(1===+j j u ωω d m ，P 在三角形1+?j j d m d 内，则有：
111)1(+++++--=j j j j j j d d m P αααα
其中，)(),(1
1u R u R k j j k
j
j ++==αα 。*
P 也应在三角形
1+?j j d m d 内，所以：
1*1
**1
**
)1(+++++--=j j j j j j
d d m P ααα
α
),,(),,,(*1
*1*1
*1
**++++==j j
k j j j j
k j
j
u R u R ωωα
ωωα
若令11*
1*,+++==j j i j j j ωβωωβω ，则
*
1
*
1
*111**1*11:1,1:1+++++++----=----=j j j j j j j j j j j j j j ααααααβααααααβ （7.7.4） 其实，*
1*1,,,++j j j j αααα 这些常数不必通过计算有理基函数来求得，可通过图7.3 中所示的几何
关系给出。由于它们分别是点P ，*P 在三角形1+?j j d m d 中的两个重心坐标，于是有：
计算机辅助几何设计 124
1
*11
1*1
11
1,,,++++++++=
=
=
=
j j j j j j j j j j j j j j j j d d g d d d hd d d a d d d bd αααα （7.7.5）
这里，h g b a ,,,都是控制多边形的边1+j j d d 上的点，1**//////////+j j md h p pb md g p pa 。为了使j
α不为零，必须有),(k I I u u u +∈ ；为使1+j α非零，必须有),(11+++∈k I I u u u 。要使两者均不为零，参数),(1k I I u u u ++∈ ，否则向两个控制顶点的同时推拉将变成向其中一个控制顶点的推拉。 7.7.4
对界定曲线部分的修改
所谓对界定曲线部分的修改，是指对指定的那部分曲线进行修改，而不改变其他部分曲线。
因此，首先要使界定的NURBS 曲线部分局部化。这有两种方法：其一是在该部分的定义区间两端设置重节点，这可由插入节点实现。然而，插入节点后新的控制顶点随后被移动，可能会导致曲线参数以及几何不连续。这样的曲线一旦用于曲面构造，将引起曲面的不光滑。另一种方法是对所拾取的曲线部分所在定义区间通过插入单个节点对该界定部分曲线进行细分。首先判别区间端点参数值是否为现有节点，若不是，则把它们插入节点矢量。然后逐次找出区间内的最长节点区间，取中点参数值，插入节点矢量中。重复这一过程，直到定义区间内包括两端节点在内的节点数目等于2+k 个为止。记住，控制顶点j d 与权因子j ω仅影响定义在),(1++k j j u u 上的那部分曲线，把区间两端节点计在内，该区间共含有2+k 个节点。
一旦细化节点矢量确定下来，可由节点插入算法计算出新控制顶点以代替老控制顶点。其中就有某一新顶点及相关的权因子将仅仅影响所界定的那部分曲线。现在，就可用前述方法对该曲线部分进行形状修改。
这种形状修改方法的缺点是：节点矢量细化后，相应部分控制多边形更靠近曲线。由于变差缩减性，曲线在所选取两端点邻近将不会有太大的改变。当然，新控制多边形靠曲线太近也是一个缺陷，因为此时，控制多边形与曲线之间的有效空间更小，限制了拉操作的范围。采用同时推拉，可在一定程度上消除这一缺陷。
当然，这里介绍的形状修改只是基于距离的，那么如何通过曲线与控制多边形之间所围面积的改变，或者封闭曲线所围面积的改变来修改曲线的形状呢？有关这一问题，尚没有解决方法的报道。
7.8 有理插值
7.8.1 整体有理插值
插值是非常重要的离散数据拟合技术之一尤其以三次插值曲线最为常用。在有理参数曲线情况下，插值问题的一般提法是：给定三维数据点n i i ,,1,0, P =，参数值n u u u ,,,10 及数据点处的权因子n i i ,,1,0, =ν，构造一条2C 三次NURBS 曲线顺序通过这些数据点，且使曲线在这些点处具有给定的权因子。这里的问题就是要从给定的数据点、参数值和权因子反求出该NURBS 曲线的节点矢量U 、控制顶点2,,1,0,+=n i i d 及权因子2,,1,0,+=n i i ω。
由于有理曲线是高一维空间的非有理曲线在超平面1=ω上的投影，因此有理插值可以看成
125 第七章 NURBS 曲线的计算与应用
是插值带权数据点n i i i i i ,,1,0],,[ P P ==ννω的问题，解出插值带权数据点的的非有理B 样条曲线的控制顶点2,,1,0],,[+==n i i i i e D ωω，然后取其在超平面1=ω上的投影，即可求得要求的控制顶点i i i ωe d =和权因子2,,1,0,+=n i i ω。
下面，我们具体讨论有理插值问题的求解。设所求的2C 三次NURBS 曲线如下：
∑∑=+==
32
3)()
()(i i
i n i i i i u N u N u ωωd P
① 确定节点矢量60}{+==n i i u U 以定义三次B 样条基函数2
03)}({+=n i i u N 。
这可直接通过插值点的参数值延拓得到：
}{6543243210+++++===<<<<====n n n n n u u u u u u u u u u U
其中，n i u u i i ,,1,0,3 ==+。
值得注意的是，我们这里给定了插值处的参数值i u 。如果不知道插值点处的参数值i u ，这也是工程中经常出现的情况，那么我们则需通过数值方法将插值数据参数化。此时有两种方法：一是不考虑权因子，像非有理插值那样确定数据点的参数化（均匀参数化、累加弦长参数化、向心参数化等），这种做法难以生成光顺的有理插值曲线；二是对带权数据点ωi P 进行参数化，同样参照非有理插值数据点的参数化方法进行，不过是在高一维空间进行罢了，这样确定的参数化对于由带权数据点生成的齐次曲线是光顺的，因而其投影即所求有理插值曲线之光顺性也将是好的。但曲线上点沿曲线弧长的分布情况未必合适，尤其是当相邻两数据点的权因子相差悬殊时更显突出。这样，曲线参数化的两个方面就出现了矛盾的情况。在非有理插值中，我们没感到存在这一问题。那么，应当怎样对待有理插值中出现的这一问题呢？从实际应用看，矛盾的主要方面是要生成光顺的曲线形状，而曲线上点分布状况是其次要方面，应服从于前者。
② 求解带权数据点插值问题。 对于)(u P 的齐次曲线
T n i i i u u u u N u )](),()([)()(2
3ωωωω
P D P ==∑+=
根据插值条件，有：
ωωω
ω
j n i j i i n i j i
i j u N u N u P D D P ===∑∑+=++=2
332
3)()()(
即：
n j u N u N u N j j j j j j j j j j ,,1,0,)()()(3322331133
P D D D ==+++++++++ω
ωωω ③ 边界条件
如果n P P ≠0，那么求得的有理曲线)(u P 就是开曲线。由于只有1+n 个插值条件，但却有3+n 个未知量，所以要想求解就必须给定两个边界条件。边界条件有两种选择，但切矢边界条
计算机辅助几何设计 126
件最为常用。
假设给定曲线首末端点的切矢T z y x ],,[0000 P =和T n n n n
z y x ],,[ P =，由于插值是在四维空间进行，因而就要求找出在四维空间首末端点的切矢信息：
T z y x ],,,[00000ωω P =，T n n n n n
z y x ],,,[ωω P = 因为T u u u u )](),()([)(ωωω P P =，所以
T u u u u u u )](),()()()([)(ωωωω P P P
+= 由此，我们需要确定首末端点处权因子)(u ω的一阶导数n ωω
,0。 在确定节点矢量的基础上，我们可以构造权因子n i i ,,1,0, =ν关于参数u 的一维三次插值样条函数)(u ω，由此求出n ωω
,0，于是 T n n
n n n n T ],[],[000000ωωωωωωωω P P P P P P +=+=， 由于节点矢量U 中两端节点重数为3，所以三次样条曲线的首末端点就是首末数据点，即：
n n n n νωνω==== P d P d ,,,0000
在首末端点处分别有切矢ωωωωn
n P D P D ==,00，而 )(3),(312
0130ωωωωωω-+-?=-?=n n n n D D P D D P 所以，附加方程为：
ωω
ωωωωn n n n P D D P D D 3
,3210301+-?=-?=
- 这样有3+n 个未知量，3+n 个方程，便构成一个完整的方程组，写成矩阵形式如下：
????
???
??
???????????=???????????????
?????????????????????????--+??+++++++ω
ωωωωω
ωωωωn n n n n n n n n n n u N u N u N u N u N u N u N u N u N P P P P P D D D D D 3100
321210332331334334324313323313302311)()()()
()()()()()(11 ④ 求ωi D 在超平面1=ω上的投影，则有
i i i ωe d =，2,,1,0+=n i
经过以上四步，便求得了要求的有理插值曲线。
在有理插值的这种求解中，存在一个极为严重的问题，那就是所求有理插值曲线很可能有奇点。因为带权数据点的最后一个分量是数据点处的权因子，它的正性不能保证所求带权控制顶点的最后一个分量亦是正的。换言之，对如上的线性方程组，当非齐次项均为正值，其解的
127 第七章 NURBS 曲线的计算与应用
非负性得不到保证。有关这一问题至今还没有完美的解决方案。 7.8.2 局部有理插值
整体有理插值的不足是所求插值曲线往往不能满足形状处理的要求，而且其修改是整体的。因此，为了增加有理插值曲线的柔性，可采用分段1G 连续的局部方案，这就是所谓的局部有理插值。
问题的提法是：给定三维空间的插值数据点n i i ,,1,0, =p 构造一分段1G 连续的有理三次样条曲线，使其顺序通过这些给定的数据点。 构造的基本步骤如下：
① 确定各数据点处的切矢。对顺序的五个数据点2112,,,,++--i i i i i p p p p p ，i p 处的切矢i t 确定如下：
,)1(1i i i p p t ?+?-=-μμ2,,3,2-=n i
其中，B
A A
+=
μ，12--???=i i A p p ，1+???=i i B p p 数据点n n p p p p ,,,110-处切矢的确定可分别按以下情况处理：在周期闭曲线情况下，n p p =0，可令2,,1,2, --==+i i n i p p ，仍采用上述方法确定。
在非周期情况下，采用Bessel 条件确定，即：
1012p p p ?-?=?-，0122p p p ?-?=?-- 212--?-?=?n n n p p p ，112-+?-?=?n n n p p p
② 在数据点i i p p ,1-之间确定一有理三次Bézier 曲线，其控制顶点确定如下：
133--=i i p b ，i i p b =3，11123----+=i i i i t p b α，i i i i t p b β-=-13
这里i i βα,1-是可调形状参数。权因子可按以下方式确定：
1333==-i i ωω，23-i ω和13-i ω通过给定曲线段一点或指定两端点处的曲率值来确定。
③ 将分段有理三次Bézier 曲线合并成NURBS 表示。 7.8.3 曲率插值
有理三次曲线段可以用来求解曲率插值问题：给定控制顶点3210,,,b b b b 及两端点处的曲率值10,k k ，求权因子3210,,,ωωωω使其相应的有理三次Bézier 曲线在30,b b 处分别具有给定的曲率10,k k 。不失一般性，我们设130==ωω，由曲率公式可知：
计算机辅助几何设计 128
[
]
1
1201203,det 4b b b b ωω--=
k ，[
]
2
2312113,det 4b b b b ωω--=
k
记[
]
12010,det b b b b --=c ，[
]
23121,det b b b b --=
c
那么：
3
11120
2
01.34??
????=
k c k c ω，3
121
21002
.34???
???=k c k c ω 注意，对于平面曲线，10,c c 是代数值（有正负），那么10,k k 应是相对曲率。
1.2道路线形的基本介绍 道路运输在整个国民经济生活中起着重要作用。道路的新建和改建，测量工作必须先行，所以公路施工测量所承担的任务也是非常大的，为了更好的进行道路施工工作，下面就道路线形进行一下简单的介绍。 一般所说的路线，是指道路中线的空间位置。中线在水平面上的投影称作路线的平面；沿中线竖直剖切再行展开则是路线的纵断面；中线上任一点法向切面是道路在该点的横断面。 无论是铁路、公路还是地铁隧道和轻轨，由于受到地形、地物、地质及其他因素的限制，经常要改变线路前进的方向。当线路方向改变时，在转向处需用曲线将两直线连接起来。因此，线路工程总是由直线和曲线所组成。曲线按其线形可分为：圆曲线、缓和曲线、复曲线和竖曲线等。 公路中线应满足的几何条件是：线形连续平滑；线形曲率连续（中线上任一点不出现两个曲率值）；线形曲率变化率连续（中线上任一点不出现两个曲率变化值）。考虑上述几何条件，顾及计算与敷设方便，现代公路平面线形要素由直线、圆曲线和缓和曲线构成，称之为平面线形三要素。其中缓和曲线的曲率半径是从∞逐渐变到圆曲线半径R 的变量。在与直线连接处半径为∞，与圆曲线连接处半径为R ，曲线上任一点的曲率半径与该点至起点的曲线长成反比。 目前公路线形设计已开始使用非对称线形（成为非对称平曲线）设计，特别是在互通立交匝道和山区高速高速公路线形设计中，这种线形设计使用得较多。非对称线形分为完全非对称线形和非对称非完整线形两种，所谓“完全非对称曲线”的含义就是第一缓和曲线和第二缓和曲线起点处（ZH 或HZ ）的半径为∞，圆半径为R ，第一缓和曲线长1s l ，第二缓和曲线长为2s l ，12s s l l ≠。所谓“非完整”的含义是第一缓和曲线和第二缓和曲线的半径不是∞，而是1 R 、2 R 。而坐标法成为高速公路放样的主要方法，坐标法放样 线路中线的这个操作过程中，最重要的一部就是计算线路放样点的坐标。 2 路线中桩坐标计算原理 在实际工程中，线路的设计由专门的设计方完成，在线路完成设计得到审批后设计方便把所设计线路的线路要素（或者称为曲线要素）提供给施工方。所提供的曲线要素一般包括：线路中各曲线段的起点坐标、起点里程、起点半径、终点坐标、终点里程、终点半径、交点坐标、曲线参数、转角（包括用一定的符号表示左右转）、两条切线长（起点与终点各所对应的两条切线）、曲线长。当然不同的工程项目所提供的曲线要素也不一样，以上所述的要素是大多数设计方会提供的，有的设计方在提供上述要素的前提下，还提供曲线段的外距、中点坐标、弦长或者走向方位角等要素，供施工方在计算
第二章 曲线正矢计算公式的理论局限 由图中可知：AD ＝f ，即曲线正矢；BD ＝L/2，即弦长的一半。 正矢计算公式为：f ＝（L/2）2/（2R －f ）＝L2/4（2R －f ）。 在（2R －f ）中，由于f 与2R 相比甚小，可忽略不计， 则公式可近似写成为：f ＝L 2/8R 弦长L 现场一般取为20m ,当L ＝20m 时，有f ＝50000/R 而精确的的正矢数值应当为：f ＝R （1－cos(α/2)） 假定有一曲线，半径R ＝500米，用近似公式求得的正矢为： f ＝50000/R ＝50000/500＝100mm 精确的正矢值为： f ＝R （1－cos(α/2)）＝500×（1－cos(10/500)）=99.99666mm 二者相差不到0.1mm ，所以利用简便公式不影响计算结果，该公式完全可以在日常生产中使用。 但以简便公式为基础推导出的公式是否也适用便值得商榷了，以一个近似的 A ｆ 2 Ｌ B C D R α 图一 O
公式推导出的公式可能会使误差扩大，以致于影响到计算结果的正确，下面就我们常用的两个推导公式进行试算，以观察其结果的差异。 第一个推导公式是计算道岔导曲线支距的公式 以50kg/m 型9号道岔为例： 自导曲线起点至终点全长15.793米，K ＝2115mm ，尖轨长6.25米，导曲线半径R ＝180717.5mm 。 如图二示，由尖轨跟端（导曲线起点）处作两条辅助线，一线与基本轨平行，一线为尖轨的延长线。显然，各点支距都被截为三段，ｙ０、A 、Ｂ。用化简法将各点的ｙ０、A 、Ｂ计算相加，即是其各点的支距。 计算公式为：Y ｉ＝ｙ0+ A ｉ+ B ｉ A ｉ＝ｕ×2000÷ｌ尖×ｉ B ｉ＝（2×支距点横距）2/(8R)=(2×2000×ｉ)2/(8R)=20002/(2R 外)×ｉ2 导曲线起点ｙ０＝ｕ 导曲线终点ｙ终＝S －Ksin α≈S －K/ N S ———轨距 N ———道岔号数 K 2m 2m Y 终 Y 0 Y 0 A 1 A 2 B 1 B 2 Y 0 B ｉ A ｉ R R 起点 1 2 L 尖 ｉ 终点 α S 图二：导曲线支距计算示意图
第一讲：曲线正矢计算 一、曲线的分类： 目前我段主要曲线类型有： 1、由两端缓和曲线和圆曲线组成的曲线，如正线曲线。容许行车速度高。 2、由圆曲线构成的曲线。如道岔导曲线、附带曲线。 二、圆曲线正矢的计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C=L2/8R L=20M时，F C=50000/R F ZY=F YZ= F C/2 2、曲线头尾不在起终点桩上 ZY前点：Fμ=（FC/2）*（δ/10）2 ZY后点：Fη=FC-{（FC/2）*（τ/10）2} FC：圆曲线正矢δ：ZY点到后点的距离τ：ZY点到前点的距离 三、缓和曲线上整点正矢的计算（起始点正好是测点） （1）缓和曲线头尾的计算： F0=F1/6（缓和曲线起点）F终= F C-F0（缓和曲线终点）（2）缓和曲线中间点正矢的计算： F1=F S= F C/N （N=L0/B：缓和曲线分段数） F2=2 F1 F3=3F1 F I=IF1（I为中间任意点） 四、半点（5米桩）正矢的计算： a)ZH点后半点正矢的计算： F后=25/48*F1 因为ZH点正矢f0=f1/6,很小一般为1~2MM，其前半点很小（小于1MM）因此不作计算。 b)HY（YH）点前半点计划正矢的计算 F前=1/2{[L03+（L0-15）3]/6R L0+[5L0+25]/2R}-（L0-5）3/6R L0 c)HY（YH）点后半点计划正矢的计算 F后=1/2{[ （L0-5）3 -L03]/6R L0+[5L0+175]/2R} d)中间点（5米桩）正矢的计算
F中=（F前+F后）/2 五、测点不在曲线始终点时缓和曲线计划正矢的计算 a)缓和曲线始点(ZH点)处相邻测点的计划正矢 Fμ=αυF S(直缓点外点) αυ=1/6(δ/B)3 Fη=αηF S(直缓点内点) αη=1/6[(1+δ/B)3-(δ/B)3] (2) 缓圆点处相邻测点的计划正矢 Fφ=F C-αυF S (缓圆点外点，缓和曲线之外) Fθ= F C-αηF S (缓圆点内点，缓和曲线之内) (αυ、αη查纵距率表《曲线设备与曲线整正》附表二) (3)缓和曲线中间点各点计划正矢的计算 F I=(F C/L0)L I（I为中间任意点） 说明：B：半弦长δ：缓和曲线内点到ZH、HY（YH）距离 L0：缓和曲线长F C：圆曲线正矢 第二讲：曲线拨道 一、绳正法基本原理 1、基本假定： （1）假定拨道前后两端切线方向不变，或起始点位置不变，即曲线终点拨量为零。 （2）假定曲线上某点拨动时，其相邻点不随之发生移动，拨后钢轨总长不变。 2、由以上假定得出以下基本原理： （1）用等长的弦测量圆曲线正矢，正矢必相等； （2）拨动曲线时，某点的正矢增（减）X，其前后两点的正矢各减少（增加）X/2。 （3）只要铺设时曲线圆顺，养护维修中无论拨成任何不规则曲线，其正矢总和不变，即拨道前后量得的正矢总和相等。
高速公路的线路(缓和曲线)计算公式 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH 点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角： α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程：
说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 x Z ，y Z 为点HZ的坐标 ? 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l
②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角：α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n 的取值如下： 当只知道HZ 点的坐标时，则：
l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反 x Z ，y Z 为点HZ的坐标 ? 三、曲线要素计算公式
公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）——第一缓和曲线长度 l 1 ——第二缓和曲线长度 l 2 l ——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径
R ——曲线起点处的半径 1 ——曲线终点处的半径 R 2 P ——曲线起点处的曲率 1 P ——曲线终点处的曲率 2 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 (上坡为“＋”，下坡为“－”)已知：①第一坡度：i 1 (上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i 2 ③变坡点桩号：S Z ④变坡点高程：H Z ⑤竖曲线的切线长度：T ⑥待求点桩号：S
缓和曲线计算公式 缓和曲线计算公式: 缓和曲线参数: 0=A L R ? 缓和曲线长度R A L ÷=20 缓和曲线半径÷=2A R 0L 所谓完整缓和曲线就是某段缓和曲线的一端与直线连接点的曲率半径必须是无穷大(可用10的45次方代替,有时也可用“0”表示，具体情况具体分析)，而缓和曲线两端无论在什么情况下与圆曲线相接时，其两端的曲率半径必须与对应连接圆曲线的半径相等。现在我们来谈谈非完整缓和曲线，从上面的话知道，如果某段缓和曲线的一端与直线连接点曲率半径不是无穷大，而是一个实数，那么这段缓和曲线就是非完整缓和曲线。 设计图中遇到这种情况，一般会告诉这段缓和曲线的长度(我们把这段缓和曲线的长度记作L2，缺少的一段缓和曲线长度记作L1，L1+L2=完整缓和曲线长度L),如果没告诉这段缓和曲线的长度，也可以通过两端的桩号计算出来、设计参数A 及缓和曲线另一端的曲率半径R2(应该是与一个圆曲线相接,也就是说R2等于这个圆曲线的半径)。我们在输入匝道程序时必须要知道R1(起点曲率半径)，怎么办呢？那就通过计算把R1计算出来不就行了，下面就是计算过程： 由公式：R=A2÷L 推出R1= A2÷L1 => A2=R1*L1 ……………………………………………………① R2= A2÷(L1+L2) => A2=R2*(L1+L2) ……………………………………………………② R2= A2÷(L1+L2) => R2= A2÷L => L=A2÷R2 …………………………………………③ 由公式①②推出 R1*L1=R2*(L1+L2) => R1=R2*(L1+L2)÷L1 …………………………………………④ L=L1+L2 => L1=L-L2 ……………………………………………⑤ 由公式③④⑤推出 R1=R2*L÷(L-L2) => R1= A2÷(A2÷R2-L2) …………………………………………⑥ 公式⑥就是我们要找的曲率半径公式，计算得到结果计算完毕。现在我们在编制非完整缓和曲线程序时就清楚的知道起点和终点的曲率半径了。还要说明一点就是，计算出来的曲率半径既是起点也是终点，既是终点也是起点，关键是看线路前进方向了，只要大家细心，分清起点终点输入程序，计算出来的准没错。
绳正法曲线拨道计算 一、基本原则 1. 为了保证曲线两端的直线在拨道后方向不变，既使曲线的转角不变，在整个曲线上的实量正矢之和应该与计划正矢总和相等。既： ① 实量正矢和=计划正矢和。 ② 实量正矢-计划正矢=正矢差，正矢差的总和应该等于0，由此得到的拨道最后的一点正矢差累计也应该等于0。 2. 保证曲线两端的直线位置不变，即：使曲线或拨道控制点的头尾半拨量和拨量通过修正等于0。使正矢实量总和与计划正矢总和相等是调整以及安排计划正矢的唯一依据；使曲线的首尾拨道量等于0是计算拨道量时的基本要求。 二、整正曲线时的两个基本要求 1. 拨量要小 在整正计算的过程中，要考虑现场以及劳力的实际情况尽量减少拨道量和拨道点数量，一般情况下两者成反比，既调整点数越少拨量越大，调整点数越多拨量越小。在桥梁护轨、路堤、路堑、缺碴地段、信号墩台处所应事先调查好可以的拨道量和点号作为调整和计算的依据。在困难条件下一般不得大于40毫米，电气化铁路不得大于30毫米，超过该标准的应根据《安规》要求设置防护和慢行计划。 2. 拨后的曲线要圆顺 拨后的正矢应该符合《维规》中对缓和曲线正矢差、圆曲线连续差和最大最小差的要求，即拨后缓和曲线正矢要尽量的递增递减一致，圆曲线正矢尽量均匀一致。 三、曲线整正计算 ⑴曲线中央点位置(QZ )： ? ? ?? ? ? ? ? ?= +==∑∑∑∑=-i n i i i i f f i f f f QZ 1 1)(现场正矢合计现场正矢到累计合计,i 为测点号，n 为总测点数
⑵圆曲线平均正矢（p f ）： 已知曲线半径，R f p 50000= （20米弦）或R f p 12500 =（10米弦） 不知曲线半径，n f f i p ∑= = 测量正矢的测点数 现场正矢合计 式中，n 为相对应的正矢测点数。 ⑶圆曲线分段数M ： p i f f M ∑= =圆曲线平均正矢 现场正矢合计 ⑷圆曲线长度(y L ):m M L y 10?= ⑸圆曲线头尾位置(ZY ,YZ )： 2M QZ ZY - = 2M QZ YZ += ⑹缓和曲线的分段数(m ): 10 10h L m == 缓和曲线长度 如不知缓和曲线的长度，可根据公式max 9Hv L h =先求缓和曲线长度。 式中 h L -------缓和曲线长度 H -------曲线超高值 m ax v ------线路容许速度 ⑺缓和曲线始终点位置(ZH ,HY ,YH ,HZ ) 2m ZY ZH - =，2m ZY HY += 2m YZ YH -=，2m YZ HZ += 说明：在圆曲线上设缓和曲线，是将缓和曲线长度的一半放在圆曲线上，另一半放在直线上。所以，圆曲线的直圆点和圆直点分别是两个缓和曲线的中央点。 ⑻无缓和曲线时，整桩上圆曲线始终点正矢：
第一讲：曲线正矢计算 一、曲线的分类: 目前我段主要曲线类型有: １、由两端缓和曲线和圆曲线组成的曲线，如正线曲线.容许行车速度高。 2、由圆曲线构成的曲线。如道岔导曲线、附带曲线. 二、圆曲线正矢的计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C=L2/8R Ｌ＝２０M时,F C=５００00/R ＦZY＝FＹZ= F C/2 ２、曲线头尾不在起终点桩上 ZY前点：Ｆμ＝（FC/２) ＊（δ/10）２ ZY后点：Ｆη＝ＦC—{（ＦＣ／2）＊（τ/10）2｝ FC:圆曲线正矢δ:ＺY点到后点的距离τ：ZＹ点到前点的距离 三、缓和曲线上整点正矢的计算（起始点正好是测点) （1）缓和曲线头尾的计算： Ｆ0＝F1/6（缓和曲线起点) F终＝ FＣ—Ｆ0（缓和曲线终点）（2）缓和曲线中间点正矢的计算: F1=F S＝FＣ/N （N=L0／B：缓和曲线分段数) Ｆ2＝2 F1 F3＝3F１ＦＩ=ＩF1（I为中间任意点) 四、半点(5米桩）正矢的计算： a)ZH点后半点正矢的计算: Ｆ后=25/４8＊F1 因为ＺH点正矢ｆ0=ｆ１/6，很小一般为1～2MＭ，其前半点很小(小于1MM）因此不作计算。 b)ＨY（YH）点前半点计划正矢的计算 F前=1／2｛［L03+（L0－1５）3］/6R Ｌ0＋［５L0+2５］/2R｝－（Ｌ０-5）3/６R Ｌ0 c)HＹ(YH)点后半点计划正矢的计算 F后=1／2｛［ (Ｌ0-5）３ -L03］/6R L0＋［5L0+1７５］/2R｝
d)中间点(5米桩）正矢的计算 F中＝(Ｆ前+Ｆ后）／2 五、测点不在曲线始终点时缓和曲线计划正矢的计算 a)缓和曲线始点(ZH点)处相邻测点的计划正矢 Fμ＝αυF S (直缓点外点）αυ=1/6（δ/B）３ Ｆη=αηF S （直缓点内点）αη＝１/６［（1＋δ/B）３—（δ/B）3］（2）缓圆点处相邻测点的计划正矢 Fφ=F C—αυF S (缓圆点外点，缓和曲线之外) Fθ＝ F C-αηF S (缓圆点内点，缓和曲线之内） （αυ、αη查纵距率表《曲线设备与曲线整正》附表二） (３）缓和曲线中间点各点计划正矢的计算 ＦI＝（ＦC／L0）L I（I为中间任意点) 说明:Ｂ:半弦长δ:缓和曲线内点到ZH、ＨY(YH）距离 L0:缓和曲线长ＦC：圆曲线正矢 第二讲：曲线拨道 一、绳正法基本原理 １、基本假定： （1）假定拨道前后两端切线方向不变,或起始点位置不变，即曲线终点拨量为零。 (２)假定曲线上某点拨动时,其相邻点不随之发生移动，拨后钢轨总长不变。 ２、由以上假定得出以下基本原理： （1）用等长的弦测量圆曲线正矢，正矢必相等; （２)拨动曲线时，某点的正矢增（减)Ｘ，其前后两点的正矢各减少（增加）X/2。 （3)只要铺设时曲线圆顺,养护维修中无论拨成任何不规则曲线，其正矢总
缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道（计算公式） 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ
计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 三、曲线要素计算公式
公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度 l2——第二缓和曲线长度 l0——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R1——曲线起点处的半径 R2——曲线终点处的半径 P1——曲线起点处的曲率 P2——曲线终点处的曲率 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”) ③变坡点桩号：SZ
一、曲线的分类： 目前我段主要曲线类型有： 1、由两端缓和曲线和圆曲线组成的曲线，如正线曲线。容许行车速度高。 2、由圆曲线构成的曲线。如道岔导曲线、附带曲线。 二、圆曲线正矢的计算 1、曲线头尾正好位于起终点桩上 F C =L 2/8R L=20M 时， F C =50000/R F ZY =F YZ = F C /2 2、曲线头尾不在起终点桩上 ZY 前点： F μ=（FC/2） * （δ /10 ）2 ZY 后点： F η=FC-{（FC/2） * （τ /10 ）2} FC ：圆曲线正矢 δ： ZY 点到后点的距离 τ： ZY 点到前点的距离三、 缓和曲线上整点正矢的计算（起始点正好是测点） （1）缓和曲线头尾的计算： F =F /6 （缓和曲线起点） F 终 =F-F （缓和曲线终点） 01 C （2）缓和曲线中间点正矢的计算： F=F= F /N （N=L/B ：缓和曲线分段数） 1SC F 2=2 F 1 F 3=3F 1F I =IF 1（I 为中间任意点） 四、 半点（ 5 米桩）正矢的计算： a) ZH 点后半点正矢的计算： F 后=25/48*F 1 因为 ZH 点正矢 f 0=f 1/6, 很小一般为 1~2MM ，其前半点很小（小于 1MM ）因 此不作计算。 b) HY （YH ）点前半点计划正矢的计算 F =1/2{[L 3 +（L -15 3 +25]/2R}- 3 /6R L 前 0 ） ]/6R L +[5L （L-5） 0 0 c) HY （YH ）点后半点计划正矢的计算 F 后=1/2{[ （L 0-5 ）3 -L 03]/6R L 0+[5L 0+175]/2R} d) 中间点（ 5 米桩）正矢的计算 F 中=（F 前+F 后）/2 五、 测点不在曲线始终点时缓和曲线计划正矢的计算 a) 缓和曲线始点 (ZH 点) 处相邻测点的计划正矢
曲线正矢计算 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
曲线半径、弦长、正矢之间的关系： 当 时， （mm ） 当 时， （mm ） 式中 —圆曲线正矢（mm ） —圆曲线半径（m ） 现场正线曲线取弦长为20 m 计算正矢值。 现场站线曲线取弦长为10 m 计算正矢值。 （一）圆曲线上各测点计划正矢 圆曲线计划正矢 （mm ） 圆曲线始终点的计划正矢 （mm ） （二）缓和曲线正矢是从直线往圆曲线方向逐渐由小变大的，由直缓点向缓圆点方向变化的大小，叫缓和曲线的正矢递增率。 1.缓和曲线始终点计划正矢 2.缓和曲线中间各测点计划正矢 R L f 82 = m L 20=R f 50000 =m L 10=R f 12500=f R R f c 50000 =2 c ）（f f =终始()()() N f f c N 一端缓和曲线分段数圆曲线计划正矢缓和曲线的正矢递增率=()6 N f ）（f 缓和曲线正矢递增率 缓和曲线始点正矢始= () 始终 缓和曲线始点正矢缓和曲线终点正矢f f ）（f c -=
式中 —缓和曲线中间各测点的计划正矢（ ）； —测点距缓和曲线始点的段数 —缓和曲线的正矢递增率 【例题】 已知曲线半径R=300m ，缓和曲线长为70 m （如图3所示）求缓和曲线上各测点计划正矢值。 【解】 mm mm mm mm ZH 0123 45 678 HY QZ YH HZ 缓和曲线中间各测点的计划正矢为 图2缓和曲线 mm N i i f N f =i f 1,21-=N i ，i N N f 167300 50000 50000≈== R f c ()()247 167 ≈== N f f c N 一端缓和曲线分段数圆曲线计划正矢()4 6 246===N f ）（f ZH 始正矢直缓点()163 4167=-=-=始终 正矢缓圆点f f ）（f HY c 24 24111=?==N f N f
一、缓和曲线 缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形,是道路平面线形要素之一。 1．缓和曲线的作用 1）便于驾驶员操纵方向盘 2）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化 3）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车 4）与圆曲线配合得当，增加线形美观 2．缓和曲线的性质 为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的0°均匀地增加到圆曲线上。 S=A2/ρ（A：与汽车有关的参数） ρ=C/s C=A2 由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程。 3．回旋线基本方程 即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。 令：ρ=R，l h=s 则 l h=A2/R
4．缓和曲线最小长度 缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定：1）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率。a1=0,a2=v2/ρ,a s=Δa/t≤0.6 2）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度(t=3s) 3）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度 超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡。 发布日期：2012-01-31 作者：李秋生浏览次数：149 4）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度 缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在3°——29°之间，视觉效果好。 《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求。 5．直角坐标及要素计算
曲线正矢计算 曲线半径、弦长、正矢之间的关系: 2L f, 8R 50000 f, 当时， (mm) L,20m R 12500 当时， (mm) f,L,10m R f式中—圆曲线正矢(mm) —圆曲线半径(m) R 现场正线曲线取弦长为20 m计算正矢值。现场站线曲线取弦长为10 m计算正矢值。 (一)圆曲线上各测点计划正矢 50000f圆曲线计划正矢 (mm) ,cR fcf,圆曲线始终点的计划正矢 (mm) 始，终，2 (二)缓和曲线正矢是从直线往圆曲线方向逐渐由小变 大的，由直缓点向缓圆点方向变化的大小，叫缓和曲线的正 矢递增率。 圆曲线计划正矢f，，c缓和曲线的正矢递增率f, ，，N，，一端缓和曲线分段数N1.缓和曲线始终点计划正矢 ，，缓和曲线正矢递增率fN，f，,缓和曲线始点正矢始6 ，，缓和曲线终点正矢，f，,f,缓和曲线始点正矢fc 终始
2.缓和曲线中间各测点计划正矢 f,Nf iiN fi,1，2？,N,1式中—缓和曲线中间各测点的计划正矢i ( ); fN —测点距缓和曲线始点的段数 Ni —缓和曲线的正矢递增率 【例题】已知曲线半径R=300m，缓和曲线长为70 m(如 图3所示)求缓和曲线上各测点计划正矢值。 【解】 5000050000mm f,,,167cR300 圆曲线计划正矢f167，，cmm f,,,24N，，一端缓和曲线分段数N7 f24Nmm ，，直缓点ZH正矢，f，,,,4始87654663QZHYYH210ZHHZ mm ，，缓圆点HY正矢，f，,f,f,167,4,163c终始 缓和曲线中间各测点的计划正矢为 图2缓和曲线 f,Nf,1，24,24mm 11N mm f,Nf,2，24,4822N mm f,Nf,3，24,7233N mm f,Nf,4，24,9644N mm f,Nf,5，24,12055N
缓和曲线要素及计算公式 缓和曲线：在直线与圆曲线之间加入一段半径由无穷大逐渐变化到圆曲线半径的曲线，这种曲线称为缓和曲线。 缓和曲线的主要曲线元素 缓和曲线主要有ZH 、HY 、QZ 、YH 、HZ 5个主点。 由此可得： q P R q T T h ++=+=2 tan )(α R P R E h -+=2 sec )(α s h L R L 2180)2(0+-=πβα 180 )2(0R L y πβα-= 式中：h T －缓和曲线切线长 h E －缓和曲线外矢距 h L －缓和曲线中曲线总长 y L －缓和曲线中圆曲线长度
缓和曲线与圆曲线区别： 1. 因为缓和曲线起始端分别和直线与圆曲线顺滑的相接，因此必须将原来的圆曲线向内移动一段距离才能够接顺，故曲线发生了内移（即设置缓和曲线后有内移值P 产生） 2. 缓和曲线的一部分在直线段，另一部分插入了圆曲线，因此有切线增长值q; 3. 由于有缓和曲线的存在，因此有缓和曲线角0β。 缓和曲线角 0β的计算： R L S 2/0=β(弧度)= R L S π90 (度) 内移值P 的计算： ()m R L P S 242 = 切线增长值q 的计算： )(240223 m R L L q S S -= P －缓和曲线内移值 q －缓和曲线切线增长值 0β－缓和曲线首或尾所采用的缓和曲线段分别的总缓和曲线角。 S L －缓和曲线两端各自的缓和曲线长。 R －缓和曲线中的主圆曲线半径 α－偏转角
缓和曲线主点桩号： ZH 桩号=JD 桩号-h T HY 桩号=ZH 桩号+S L QZ 桩号=HY 桩号+2y L YH 桩号=QZ 桩号+ 2 y L HZ 桩号=ZH 桩号+h L 另外、QZ 桩号、YH 桩号、HZ 桩号还可以用以下方式推导： QZ 桩号=ZH 桩号+ 2 h L YH 桩号=HZ 桩号-S L HZ 桩号=YH 桩号+S L 切线支距法计算坐标： 缓和曲线段内坐标计算如式： 2 2540S P p L R L L -=X s P RL L Y 63 = 进入净圆曲线段内坐标计算如式： ?? ??????- ?? ???+=R L L R q X s p π1802 sin ? ??????????- ?? ? ?? -???+=R L L R P Y s p π1802cos 1
一、缓和曲线常数 1、 内移距P ： 3420268824R l R l P n -= 2、 切垂距m ： 2 302402R l l m -= 3、缓和曲线基本角： R l R l πβ000902== 3、 缓和曲线偏角： R l R l πδ000306== 5、缓和曲线反偏角： R l R l b π000603== 缓和曲线常数既有线元素，又有角元 素，且均 为圆曲线半径R 和缓和曲线 长0l 的函数。线元素要计算到mm ，角元素要计算到秒。 二、缓和曲线综合要素 切线长：()m P R T +?? ? ??+=2tan α 曲线长：()0022l R L +-=βα 外视距：R P R E -?? ? ??+=2cos 0α 切曲差：L T q -=2 曲线综合要素均为线元素，且均为转向角 α、圆曲线半径R 和缓和曲线长0 l 的函数。曲线综合要素计算到cm 。 三、缓和曲线任意点偏角计算
2020202902306Rl l Rl l Rl l Rl l t t t t t t πβπδ==== 0202603Rl l Rl l b t t t π== 实际应用中，缓和曲线长0l 均选用10m 的倍数。 四、偏角法测设缓和曲线遇障碍 ()()T B B T l l l l Rl 2610 +-=βδ ()()()()T F T F T F T F F l l l l Rl l l l l Rl 23026100 +-=+-= πδ —B l 为靠近ZH(HZ)点的缓和曲线长； —T l 为置镜点的缓和曲线长； —F l 为远离ZH(HZ)点的缓和曲线长。 五、直角坐标法 1、缓和曲线参数方程： 520 2401a a a l l R l x -= 30 373033661l R l l Rl y a a a -= 2、圆曲线 m R x b b +=αsin ()P R y b b +-=αcos 1 式中，b α为圆心O 到切线的垂线方向和到B 的半径方向所形成的圆心角，按 下式计算:
11.2.1 带缓和曲线的圆曲线的测设 为了保障车辆行驶安全，在直线与圆曲线之间加入一段半径由∞逐渐变化到R的曲线，这种曲线称为缓和曲线。 目前常用的缓和曲线多为螺旋线，它有一个特性，曲率半径ρ与曲线长度l成反比。数学表达为： ρ∝1/l 或ρ·l = k ( k为常数) 若缓和曲线长度为l0，与它相连的圆曲线半径为R，则有： ρ·l = R·l0 = k 目前我国公路采用k = 0.035V3（V为车速，单位为km/h），铁路采用k = 0.09808V3，则公路缓和曲线的长度为l0 = 0.035V3/R , 铁路缓和曲线的长度为：l0 = 0.09808V3/R 。 11.2.2 带缓和曲线的圆曲线的主点及主元素的计算 带缓和曲线的圆曲线的主点有直缓点ZH、缓圆点HY、曲中点QZ、圆缓点YH、缓直点HZ 。
带缓和曲线的圆曲线的主元素及计算公式： 切线长 T h = q＋(R＋p)·tan(α/2) 曲线长 L h = 2l0＋R·(α－2β0)·π/180° 外矢距 E h = (R＋p)·sec(α/2)－R 切线加长 q = l0/2－l03/(240R2) 圆曲线相对切线内移量 p = l02/(24R) 切曲差 D h = 2T h －L h 式中：α为线路转向角；β0为缓和曲线角；其中q、p、β0缓和曲线参数。 11.2.3 缓和曲线参数推导 dβ = dl/ρ = l/k·dl 两边分别积分，得： β= l2/(2k) = l/(2ρ)
当ρ = R时，则β =β0 β0 = l0/(2R) 若选用点为ZH原点，切线方向为X轴，垂直切线的方向为Y轴，建立坐标系，则： dx = dl·cosβ = cos[l2/(2k)]·dl dy = dl·sinβ = sin[l2/(2k)]·dl 考虑β很小，sinβ和cosβ即sin(l2/(2k))和cos(l2/(2k))可以用级数展开，等式两边分别积分，并把k = R·l0代入，得以曲线 长度l为参数的缓和曲线方程式： X = l－l5/(40R2l02)＋…… Y = l3/(6Rl0)＋…… 通常应用上式时，只取前一、二项，即： X = l－l5/(40R2l02) Y = l3/(6Rl0) 另外，由图可知， q = X HY－R·sinβ0 p = Y HY－R(1－cosβ0) 以β0= l0/(2R)代入，并对sin[l0/(2R)]、cos[l0/(2R)]进行级数展开，取前一、二项整理可得：q = l0/2－l03/(240R2) p = l02/(24R) 若仍用上述坐标系，对于圆曲线上任意一点i，则i点的坐标X i、Y i可以表示为： Xi = R·sinψi＋q Yi = R·(1－cosψi)＋p 11.2.4 带缓和曲线的圆曲线的主点桩号计算及检核
缓和曲线计算方法(ZH～HY)中线 首先计算直线段坐标方位角（即ZH～JD坐标方位角），及ZH点坐标。备用偏角公式：{30*L/（π*RLS）缓和曲线} 计算待求点偏角=（（L/10）2 *（57296/（RLS ））/60。其中L=待求点至ZH距离、R=圆曲线半径、LS =缓和曲线长。 待求点方位角=直线方位角±待求点偏角。（曲线左转-偏角，曲线右转+偏角） 待求点至ZH点弦长=L—L5 /（90*R2 *LS 2），其中L=待求点至ZH距离（里程）、R=圆曲线半径。 待求点坐标： X=ZH点X坐标+COS（待求点方位角）*弦长 Y= ZH点Y坐标+SIN（待求点方位角）*弦长 缓和曲线计算左右边线坐标(ZH～HY) 左侧方位角=（待求点方位角±2倍偏角=直线方位角±3倍偏角）—边线与中线夹角。 右侧方位角=（待求点方位角±2倍偏角=直线方位角±3倍偏角）+边线与中线夹角。 左侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（左侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（左侧方位角）*边线至中线距离 右侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（右侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（右侧方位角）*边线至中线距离 圆曲线计算方法（HY～YH）中线 注：（ZY-YZ）同理，方位角=用直线方位角-待求点偏角 首先计算直线段坐标方位角（即ZH～JD坐标方位角），及HY点坐标。 求出缓圆点（HY）偏角=（LS*90）/（π* R）。 求待求点偏角=（L*90）/（π* R）。 其中： L=待求点至HY距离（里程）、R=圆曲线半径、LS =缓和曲线长。 待求点至HY点弦长=2* R*SIN（待求点偏角）。 待求点方位角=直线方位角±HY点偏角±待求点偏角，（曲线左转-偏角，曲线右转+偏角）。 待求点坐标： X=HY点X坐标+COS（待求点方位角）*弦长 Y=HY点Y坐标+SIN（待求点方位角）*弦长 圆曲线计算左右边线坐标 左侧方位角=（待求点方位角±偏角—边线与中线夹角）。 右侧方位角=（待求点方位角±偏角）+边线与中线夹角)。 左侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（左侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（左侧方位角）*边线至中线距离 右侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（右侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（右侧方位角）*边线至中线距离 缓和曲线计算方法（YH～HZ）中线 首先计算直线段坐标方位角（即ZH-JD坐标方位角），及YH点坐标。备用偏角公式：{30*L/
当前的位置】：工程测量→第十一章→ 第四节圆曲线加缓和曲线及其主点测设 第四节圆曲线加缓和曲线及其主点测设 §11—4 圆 曲线加缓 和曲线及 其主点测 设 一、缓和曲 线的概念 二、缓和曲线方程 三、缓和曲线常数 四、圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设 一、缓和曲线的概念 1、为什麽要加入缓和曲线？ (1)在曲线上高速运行的列车会产生离心力,为克服离心力的影响，铁路在曲线部分采用外轨超高的办法,即把外轨抬高一定数值.使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作用,从而保证列车安全运行。 图11-10(a).(b）为采用外轨超高前、后的情况。 外轨超高和内轨加宽都是逐渐完成,这就需要在直线与圆曲线之间加设一段过渡曲线——缓和曲线. 缓和曲线: 其曲率半径ρ 从∞逐渐变化到圆曲线的半径R 。 2、缓和曲线必要的前提条件（性质）： 在此曲线上任一点P 的曲率半径ρ与曲线的长度l成反比,如图11-12所示,以公式表示为： ρ ∝1l 或ρ. l = C (11-4) 式中: C 为常数,称曲线半径变更率。 当l= l o时，ρ= R ，按（11-4）式，应有 C = ρ.l= R .l o (11-5) 符合这一前提条件的曲线为缓和曲线，常用的有辐射螺旋线及三次抛物线，我国采用辐射螺旋线。 3、加入缓和曲线后的铁路曲线示意图（见图11-J）
二、缓和曲线方程 1、加入缓和曲线后的切线坐标系 坐标原点：以直缓(ZH)点或缓直(HZ)点为原点； X坐标轴：直缓(ZH)点或缓直(HZ)点到交点(JD)的切线方向； Y坐标轴：过直缓(ZH)点或缓直(HZ)点与切线垂直的方向。 其中：x、y 为P点的坐标；x o、y o为HY点的坐标； ρ 为P 点上曲线的曲率半径；R 为圆曲线的曲率半径 l 为从ZH点到P 点的缓和曲线长；l o为从ZH点到HY点的缓和曲线总长； 2、缓和曲线方程式: 根据缓和曲线必要的前提条件推导出缓和曲线上任一点的坐标为 实际应用时, 舍去高次项, 代入C=R*l o，采用下列公式：
程序使用说明 Fx9750、9860系列 程序包含内容介绍:程序共有24个，分别是： 1、0XZJSCX 2、1QXJSFY 3、2GCJSFY 4、3ZDJSFY 5、4ZDGCJS 6、5SPJSFY 7、5ZDSPFY 8、5ZXSPFY 9、6ZPJSFY 10、7ZBZFS 11、8JLHFJH 12、9DBXMJJS 13、9DXPCJS 14、9SZPCJS 15、GC-PQX 16、GC-SQX 17、PQX-FS 18、PQX-ZS 19、 ZD-FS 20、ZD-PQX 21、ZD-SQX 22、ZD-ZS 23、ZDSP-SJK 24、ZXSP-SJK 其中，程序2-14为主程序，程序15-24为子程序。每个主程序都可以单独运算并得到结果，子程序不能单独运行，它是配合主程序运行所必需的程序。刷坡数据库未采用串列，因为知道了窍门，数据库看起很多，其实很少。 程序1为调度2-8程序； 程序2为交点法主线路(含不对称曲线)中边桩坐标正反计算及极坐标放样程序； 程序3为主线路中边桩高程计算及路基抄平程序； 程序4为线元法匝道中边桩坐标正反计算及极坐标放样程序； 程序5为匝道线路中边桩高程计算及路基抄平程序； 程序6为任意线型开口线及填筑边线计算放样程序； 程序7专为主线路开口线及填筑边线计算放样程序，只需测量任意一点三维数据，即可马上计算出该点相对于中桩法线上的偏移量； 程序8专为匝道线路开口线及填筑边线计算放样程序，只需测量任意一点三维数据，即可马上计算出该点相对于中桩法线上的偏移量； 程序9为桥台锥坡计算放样程序； 程序10为计算两点间的坐标正反算程序； 程序11为距离后方交会计算测站坐标程序；
圆曲线缓和曲线计算公式 2011-09-13 15:19:36| 分类： |字号订阅 第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式) 2010-07-29 13:10:53阅读706评论0 字号：大中小订阅 [教程]第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式)未知2009-12-09 19:04:30 广州交通技术学院第九章道路工程测量(road engineering survey) 内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。 重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法 难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。 § 9.1 交点转点转角及里程桩的测设一、道路工程测量概述 分为：路线勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量(road construction survey) 。 （一）勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 分为：初测(preliminary survey) 和定测(location survey) 1、初测内容：控制测量(control survey) 、测带状地形图(topographical map of a zone) 和纵断面图(profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较方案，为初步设计提供依据。 2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量(center line survey) 、测纵断面图(profile) 、横断面图(cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。 （二）道路施工测量(road construction survey) 按照设计图纸恢复道路中线、测设路基边桩和竖曲线、工程竣工验收测量。 本章主要论述中线测量和纵、横断面测量。 二、中线测量(center line survey)