一元二次方程应用题分类汇总
一、传播问题:
1、 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感
染后就会有81台电脑被感染,求,,每轮感染中平均一台电脑
能感染几台?若病毒得不到有效控制,三轮感染后,被感染的
电脑会不会超过700台?
2、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
3、甲型H1N1流感病毒的传染性极强,某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗,经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感,每天平均一个人传染了几人?如果按照这个传染速度,再经过5天的传染后,这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感?
二、增长率问题:平均增长(降低)率公式
注意:(1)1与x的位置不要调换
(2)解这类问题列出的方程一般用直接开平方法
1. 某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月
增长率是x,列方程为_________________
2. 某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为
8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则
可列方程为_____________
3、雪融超市今年的营业额为280万元,计划后年的营业额为403.2万元,求平均每年增长的百分率?
4、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格,某种药品经过两次降价后,由每盒121元降到每盒100元,则这种药品平均每次
降价的百分率为多少?
5、我国土地沙漠化日益严重,西部某市2003年有沙化土地100平方公里, 到2005年已增至144平方公里。请问:2003至2005年沙化土地的平均增长率为多少?
三、面积问题:
1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体纸盒,使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少?
2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长
18m),另三边用木栏围成,木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗?②鸡场的面积能达到180m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由。(3)若墙长为m,另三边用竹篱笆围成,题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?
3、如图,在宽20m,长30m的矩形地面上建筑两条同样长和同样宽且互相垂直的道路,余下部分作为耕地,耕地面积为551m2,则道路的宽应为多少?
4、要在长32m,宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路,
六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多宽?
5、在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,求金色纸边的宽为多少?
四、利润问题:总利润=单件利润*销量
1、爱家超市将进货单价为40元的商品,按50元销售时,能卖出500个,已知该商品每涨1元钱就少卖10个。为了赚8000元的利润,应涨多少元钱?
2、爱家超市将进货单价为40元的商品,按50元销售时,能卖出500个,已知该商品每涨1元钱就少卖10个。为了赚8000元的利润,售价应定为多少元?
3、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,经量减少库存,商场决定适当的降低售价,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元,则每件衬衫应降价多少元?
4、某商户以2元/千克的价格,购进一批小西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克,为了促销,该商户决定降价出售,经调查发现,这种小西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克,另外每天的房租等固定成本共24元,该商户要想每天盈利200元,应该将每千克的小西瓜的售价降低多少元?
五、球赛问题:(握手、签合同、打电话、送礼)
单循环:_____________ 双循环:______________
1、 要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式(每两个队只赛一
场)。计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
2、 参加一次聚会的没两个人都握了一次手,所有人共握手36次,
有多少人参加聚会?
六、数字问题:
1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。
2.两个相邻偶数的积为168,则这两个偶数是多少?
3.一个两位数,十位数字与个位数字之和为5,把这个数的十位数字与个位数字对调后,所得的新两位数与原两位数乘积为736,求原两位数。
4.有一个两位数,它的十位上的数字比个位上的数字小2,十位上的数字与个位上的数字之和的 3倍刚好等于这个两位数。求这个两位数。
5、有一个两位数,它的个位上的数字与十位上的数字之和是6,如果把它的个位数字与十位数字调换位置,所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008,求调换位置后得到的两位数。
6.有一个两位数,它十位上的数字与个位上的数字的和是8。如把十位上的数字和个位上的数字调换后,所得的两位数乘以原来的两位数,就得到1855。求原来的两位数。
动态几何:已知:如图3-9-3所示,在△中,.点从点开始沿边向点以
1cm/s的速度移动,点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.(1)如果分别从同时出发,那么几秒后,△的面积等于4cm2?(2)如果分别从同时出发,那么几秒后,的长度等于5cm?(3)在(1)中,△的面积能否等于7cm2?说明理由.
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%) (1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得 90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗? 解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1. 所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5. 答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
一元二次方程的应用——利润问题教学设计 教学目标: 知识与技能目标 (1)以一元二次方程解决的实际问题为载体,使学生初步掌握数学建模的基本方法. (2)通过对一元二次方程应用问题的学习和研究,让学生体验数学建模的过程,从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来 解决的实际问题,并正确地用语言表述问题及其解决过程. 过程与方法目标 通过自主探索、合作交流,使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动, 发展学生数学思维,培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯,激发学生学习 热情。 情感态度与价值观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连,数学活动充满着探索与创造,让他们在学 习活动中获得成功的体验,建立自信心,从而使学生更加热爱数学、热爱生活. 教学重点: 列一元二次方程解利润问题应用题. 教学难点: 发现利润问题中的等量关系,将实际问题抽象成数学问题. 教法: 创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新. 学法: 自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新. 教学过程: 一、创设情境、导入新课 古时候,一个农夫拿者一根竹竿进城,可是竖着拿,竹竿比城门高3尺,横着拿,竹竿比城门宽6尺,进不去,结果沿着城门的两个对角斜着拿,刚好进去,聪明的同学,你知道竹竿有多长吗? 设竹竿为x尺.则: (1)城门高________尺; (2)城门宽________尺; (3)城门的高a、宽b、两个对角之间的长度c满足什么关系? 二、探索新知 例1. 某种服装,平均每天可销售20件,每件盈利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如果每天盈利1600元,应降价多少元? 等量关系: 分析:若设每件衣服降价x元,每件盈利(44-x)元,每天售出(20+5x)件。 解:设每件衣服降价x元,根据题意得。 (44-x)(20+5x)=1600 整理得x2-40x+144=0 解得:x1=36 x2=4 答:每件衣服应降价36元或4元。
一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典 型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?
解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,
练习2:利润问题(一元二次方程应用) 1、某商场购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元售出,那么每月可售出500个.根据销售经验,售价每提高1元.销售量相应减少10个. (1)假设销售单价提高x 元,那么销售每个篮球所获得的利润是________元;这种篮球每月的销售量是_________个.(用含x 的代数式表示)(4分) (2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润?如果是,请说明理由;如果不是,请求出最大 利润,此时篮球的售价应定为多少元?(8分) 答案:(1)10x +,50010x -; (2)设月销售利润为y 元, 由题意()()1050010y x x =+-, 整理,得()2 10209000y x =--+. 当20x =时,y 的最大值为9000, 205070+=. 答:8000元不是最大利润,最大利润为9000元,此时篮球的售价为70元. 2.某食品零售店为仪器厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家,以统计销售情况发现,当这种面包的单价定为7角时,每天卖出160个.在此基础上,这种面包的单价每提高1角时,该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.设这种面包的单价为x (角),零售店每天销售这种面包所获得的利润为y (角). ⑴用含x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数; ⑵求y 与x 之间的函数关系式; ⑶当面包单价定为多少时,该零售店每天销售这种面包获得的利润最大?最大利润为多少? (1)每个面包的利润为(x-5)角,卖出的面包个数为160-20(x-7)=300-20x (2)y=(x-5)(300-20x )??其中5≤x≤15 (3)y=-20x 2+400x-1500, 当x = 400 ?2×(?20) =10时,y 最大,此时最大利润y=500(角). 3、某商场以每件42元的价钱购进一种服装,根据试销得知:这种服装每天的销售量(件),与每 件的销售价 (元/件)可看成是一次函数关系: 1.写出商场卖这种服装每天的销售利润 与每件的销售价 之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差); 2.通过对所得函数关系式进行配方,指出:商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适;最大销售利润为多少? 分析:商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。
一元二次方程应用题 1、某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行、列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价关系式 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元. 4.现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒? 解:设边长x 则(19-2x)(15-2x)=77 4x^2-68x+208=0 x^2-17x+52=0
增长率问题:1、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 5、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价:1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。当每吨售价为260元时,月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元。(3)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大。”你认为对吗?请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游,推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游,共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游? 图 1
一元二次方程应用(销售与利润问题) 1、某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增加赢利,尽快减少库存,商 场决定采取适当降价措施?经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.求: (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多,请你帮助设计方案. 2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施, 商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? 3、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了 促销,该经营户决定降价销售?经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外, 每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元? 4、某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 5、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30 元.物价部门规定其销售单价不得高于每 千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg ;单价每千克降低一元,日 均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算)?如果日均获利1950 元,求销售单价
一元二次方程应用题精选 一、数字问题 1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 2、一个两位数,十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数. 二、销售利润问题 3、某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增 加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.求: (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多,请你帮助设计方案. 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家 电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? 5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
三、平均变化率问题增长率 (1)原产量+增产量=实际产量. (2)单位时间增产量=原产量×增长率. (3)实际产量=原产量×(1+增长率). 6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少? 7. 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几? 四、形积问题 8、有一块长方形的铝皮,长24cm、宽18cm,在四角都截去相同的小正方形,折起来做成一个没盖的盒子,使底面积是原来面积的一半,求盒子的高. 9、如图,在一块长为32m,宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2,求小路宽的宽度.
一元二次方程应用题典型题型归纳 (一)传播与握手问题 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一 个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有 个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有 个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组 共互赠了182件,这个小组共有多少名同学? 6.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,这个小组共有 多少人? 7.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? (二)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率?
5.恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. (三)商品销售问题 售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品,进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系:P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件? 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产 品全部售出,已知生产ⅹ只熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R、P与x的关系式分别为R=500+30X,P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元? (2)若可获得的最大利润为1950元,问日产量应为多少? 3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500 千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元。 为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现,如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
利润问题:一元二次方程含答案
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练习2:利润问题(一元二次方程应用) 1、某商场购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元售出,那么每月可售出500个.根据销售经验,售价每提高1元.销售量相应减少10个. (1)假设销售单价提高x 元,那么销售每个篮球所获得的利润是________元;这种篮球每月的销售量是_________个.(用含x 的代数式表示)(4分) (2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润?如果是,请说明理由;如果不是,请求出最大 利润,此时篮球的售价应定为多少元?(8分) 答案:(1)10x +,50010x -; (2)设月销售利润为y 元, 由题意()()1050010y x x =+-, 整理,得()2 10209000y x =--+. 当20x =时,y 的最大值为9000, 205070+=. 答:8000元不是最大利润,最大利润为9000元,此时篮球的售价为70元. 2.某食品零售店为仪器厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家,以统计销售情况发现,当这种面包的单价定为7角时,每天卖出160个.在此基础上,这种面包的单价每提高1角时,该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.设这种面包的单价为x (角),零售店每天销售这种面包所获得的利润为y (角). ⑴用含x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数; ⑵求y 与x 之间的函数关系式; ⑶当面包单价定为多少时,该零售店每天销售这种面包获得的利润最大?最大利润为多少? (1)每个面包的利润为(x-5)角,卖出的面包个数为160-20(x-7)=300-20x (2)y=(x-5)(300-20x ) 其中5≤x≤15 (3)y=-20x 2+400x-1500, 当x = 400 ?2×(?20) =10时,y 最大,此时最大利润y=500(角). 3、某商场以每件42元的价钱购进一种服装,根据试销得知:这种服装每天的销售量(件),与每 件的销售价 (元/件)可看成是一次函数关系: 1.写出商场卖这种服装每天的销售利润 与每件的销售价 之间的函数关系式(每天的销售 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差); 2.通过对所得函数关系式进行配方,指出:商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适;最大销售利润为多少? 分析:商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。
一元二次方程的应用——利润问题【教学设计】 八五二农场中学刘颖 教学目标: 1.知识与技能目标 (1)以一元二次方程解决的实际问题为载体,使学生初步掌握数学建模的基本方法. (2)通过对一元二次方程应用问题的学习和研究,让学生体验数学建模的过程,从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来 解决的实际问题,并正确地用语言表述问题及其解决过程. 2.过程与方法目标 通过自主探索、合作交流,使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动, 发展学生数学思维,培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯,激发学生学习 热情。 3.情感态度与价值观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连,数学活动充满着探索与创造,让他们在学 习活动中获得成功的体验,建立自信心,从而使学生更加热爱数学、热爱生活. 教学重点: 列一元二次方程解利润问题应用题. 教学难点: 发现利润问题中的等量关系,将实际问题提炼成数学问题. 关键:建立一元二次方程的数学模型 教法: 创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新. 学法: 自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新. 教学过程: 一、复习回顾,引入新知 1、提问1、以前我们学习了列几次方程解应用题? ①列一元一次方程解应用题; ②列二元一次方程组解应用题; ③列分式方程解应用题 提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样 ①审(审题); ②找(找出题中的量,分清有哪些已知量、未知量,哪些是要求的未知量和所 涉及的基本数量关系); ③设(设元,包括设直接未知数和间接未知数); ④表(用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量); ⑤列(列方程); ⑥解(解方程); ⑦检验(注意根的准确性及是否符合实际意义). 2.某糖厂2002年食糖产量为at,如果在以后两年平均增长的百分率为x,?那么预计2004年的产量将是________.
1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
教学背景: 在《实际问题与一元二次方程》这一单元教学中,师生共同存在一个困惑,这困惑源于九年级数学《教师教学用书》102页测试题第13题: 百货商店服装柜在销售中发现,某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元。为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就多售出2件。要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么童装应降价多少元? 解:设平均每件童装应降价X元,由题意得: (40—X)(20+2X)=1200 解之得 X1=10, X2=20 X1=10,X2=20均达到了扩大销售量,增加盈利,减少库存的目的,所以都满足题意。 答:要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价10元或20元。 对于我的解题思路,善于动脑筋的学生提出不同的质疑:(1)降价20元,薄利多销,更能减少库存,应选最优的方案。所以只选取X=20。(2)降价10元,每天销售40件,同样能盈利1200元。库存部分还可继续盈利,这样在减少库存的基础上能进一步增加盈利,所以只取X=10。学生的不同见解,说明学生善于动脑思考,我及时给予了鼓励;要敢于向教材挑战、敢于向老师质疑。而对于这道题最合理的解法,我们师生共同关注、共同探讨。 课后,我与同行交流、查阅资料,并利用星期天到图书室、书店翻阅教辅资料。经过一星期的查阅搜集,我筛选了一组同类型题,课前印发给同学们,在课堂上进行专题学习,师生带着困惑共同去探究。 案例描述: 第1题选自九年级数学《教师教学用书》102页测试题第13题(见上)。
第2题:选自九年级数学《学苑新报》第4期第15题。“某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,市场决定采取适当的降价措施。经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?” 第3题:选自九年级数学《新课标点拨》270页第27题。“某商场销售一批儿童玩具,若每天卖20件每件可盈利40元,为了扩大销售,尽快减少存库,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,若每件玩具每降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,那么每件玩具应降价多少元?”第4题:选自阶段性教学质量评估检测第4页第七题。“西瓜经营户以2元/千克的价格出售。每天可售出200千克,为了促销,该经营户决定降价出售,经调查发现,这种小型西瓜降价0.1元/千克,每天可多售出40千克,另外,每天的房租和固定成本共24元,该经营户要想每天盈利240元,应将小型西瓜每千克售价降低多少元?” 课堂上学生积极参与探究、分析对比得出:第(1)、(4)两题的两个答案都满足题意。第(2)、(3)两题为尽快减少库存,只选取降价多的那个答案(这与资料中的答案相吻合)。学生进一步总结、归纳得出:若题中强调尽量减少库存或尽快减少库存,应只选取降价多的那个答案。若题中没有特殊要求,那么两个答案都满足题意。 可是在后来的学习中、善于发现问题的学生又有了困惑,发现以下两题的解答与探究的结论不一样。 1、九年级数学《新课标创新讲解》一书45页第 8题:合肥百货大楼服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利 40元,为了迎接“十一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,提高销售量,增加盈利,减少库存,经市场调查发现:如果每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出8件,要想每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元? 题中所给答案: 解:设应降价x元,根据题意得:
实际问题与一元二次方程(3) 教学目标: 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键; 3、通过一题多解使学生体会列方程的实 质,培养灵活处理问题的能力. 教学重点:列方程解应用题. 教学难点:会用含未知数的代数式表示题目里的中间量(简称关 系式);会根据所设的不同意义的未知数,列出相应的方程。 教学过程: 一、复习引入 1、上一节,我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”,现在,我们要学习解决“面积、体积问题。 2.直角三角形的面积公式是什么??一般三角形的面积公式呢? 3.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么? 4.梯形的面积公式是什么? 5.菱形的面积公式是什么? 6.平行四边形的面积公式是什么? 7.圆的面积公式是什么? 二、探究: 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何 设计四周边衬的宽度? 解法一: 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两 边之比也为9:7 设正中央的矩形两边分别为9xcm ,7xcm 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为: 2331=x ),(2332舍去不合题意-=x 21274379??=?x x 8.143275422339272927≈-=?-=-x
左右边衬的宽度为: 解法二: 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7 设上下边衬的宽为9xcm ,左右边衬宽为7xcm 依题意得 解方程得 (以下同学们自己完成) 三、例题讲解: 用20cm 长的铁丝能否折成面积为30cm 2的矩形,若能够,求它的长 与宽;若不能,请说明理由. 解:设这个矩形的长为x cm,则宽为 cm, 即 x 2-10x+30=0 这里a=1,b=-10,c=30 ∴此方程无解. ∴用20cm 长的铁丝不能折成面积为30cm 2的矩形. 四、学生练习: 1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米? 2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m, 四周外围环绕着宽度相等 4.14 3214222337212721≈-=?-=-x 212743)1421)(1827(??=--x x 4336±=x )220(x -30)220(=-x x 0 203014242)10(<-=??-=-∴-ac b
一元二次方程应用题经典题型汇总 (一)传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后,由每盒200 元下调至128 元,则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主 干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45 场比赛,共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共 互赠了182 件,这个小组共有多少名同学? 6. 一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72 张,这个小组共有多 少人? 7. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过700 台?
(二)平均增长率问题 变化前数量×(1x)n=变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤,2003 年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90 元降到了40 元,求平均每 次降价率是。 3. 某种商品,原价50 元,受金融危机影响, 1 月份降价10%,从2 月份开始涨价, 3 月份的售价为64.8 元,求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求 每次降价的百分率? 5. 为了绿化校园,某中学在2007 年植树400 棵,计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵,求该校植树平均每年增长的百分数。
一元二次方程应用题(含答案) 学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0,
二次函数利润问题专题训练(二) 1、市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30?元/千克销售,那么每天 可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y(千克)?与销售单价x(元)(x≥30)存在如下图所示的一次函数关系式. (1)试求出y与x的函数关系式; (2)设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少? (3)根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,?现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(直接写出答案). ? 2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家 “家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台. (1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围) (2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少? 3、某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元? 4、恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售. (1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式. (2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)
列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤是: “审、设、列、解、答”. (1)“审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系.这 一步是解决问题的基础; (2)“设”是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设 什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易; (3)“列”是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系, 再根据这个相等关系列出含有未知数的等式,即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键; (4)“解”就是求出所列方程的解; (5)“答”就是书写答案,应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意, 如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100%等等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验. (一)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期 后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 。 4.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 5.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率?