2020年中考数学选择填空压轴题汇编：函数综合结论
1.（2020?福建）设A，B，C，D是反比例函数y=k
x图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是①④．（写出所有正确结论的序号）
【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．
由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．
∵反比例函数的图象在一，三象限，
∴直线AC与直线BD不可能垂直，
∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，
故选项①④正确，
故答案为①④
2.（2020?广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以?b
2a
=1，可得b＝﹣2a，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0，故③正确；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；
∴结论正确的是②③④3个，
故选：B．
3.（2020?玉林）已知：函数y1＝|x|与函数y2=
1
|x|的部分图象如图所示，有以下结论：
①当x＜0时，y1，y2都随x的增大而增大；
②当x＜﹣1时，y1＞y2；
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；
④函数y＝y1+y2的最小值是2．
则所有正确结论的序号是②③④．
【解答】解：补全函数图象如图：
①当x＜0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；故①错误；
②当x＜﹣1时，y1＞y2；
故②正确；
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；
故③正确；
④由图象可知，函数y＝y1+y2的最小值是2，
故④正确．
综上所述，正确的结论是②③④．
故答案为②③④．
4.（2020?遵义）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和
点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（）
①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=?b
2a
=?2，
∴4a ﹣b ＝0，所以①正确；
∵与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间， ∴x ＝﹣1时y ＞0，且b ＝4a ， 即a ﹣b +c ＝a ﹣4a +c ＝﹣3a +c ＞0， ∴c ＞3a ，所以②错误；
∵抛物线与x 轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3）， ∴抛物线与直线y ＝2有两个交点，
∴关于x 的方程ax 2+bx +c ＝2有两个不相等实数根，所以③正确； ∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴4ac?b 24a
=3，
∴b 2+12a ＝4ac ， ∵4a ﹣b ＝0， ∴b ＝4a ， ∴b 2+3b ＝4ac ， ∵a ＜0， ∴b ＝4a ＜0，
∴b 2+2b ＞4ac ，所以④正确； 故选：C ．
5.（2020?大兴安岭）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结
合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以
④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
6.（2020?牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点
B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（）
①abc＞0；
②4a+b＞0；
③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；
④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则
4b+3c＞0．
A．5B．4C．3D．2
【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，?b
2a＞0，∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x＝2右侧，即?b
2a＞2，
∴2+b
2a
=4a+b
2a＜0，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；
∵M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，0＜x1＜x2，
可得：抛物线y＝ax2+bx+c在0＜x＜?b
2a上，y随x的增大而增大，
在x ＞?
b
2a
上，y 随x 的增大而减小， ∴y 1＞y 2不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x ＝3，则?b
2a =3，即b ＝﹣6a ， 则a （m ﹣3）（m +3）﹣b （3﹣m ）＝a （m ﹣3）2≤0，
∴a （m ﹣3）（m +3）≤b （3﹣m ），故④正确；∵AB ≥3，则点A 的横坐标大于0或小于等于1， 当x ＝1时，代入，y ＝a +b +c ≥0， 当x ＝4时，16a +4b +c ＝0，
∴a =4b+c
?16， 则
4b+c ?16
+b +c ≥0，整理得：4b +5c ≥0，则4b +3c ≥﹣2c ，又c ＜0，
﹣2c ＞0，
∴4b +3c ＞0，故⑤正确， 故正确的有4个． 故选：B ．
7.（2020?恩施州）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于A （﹣2，0）、B （1，0）两点．则以下结论：①ac ＞0；②二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象的对称轴为x ＝﹣1；③2a +c ＝0；④a ﹣b +c ＞0．其中正确的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：对于①：二次函数开口向下，故a＜0，与y轴的交点在y的正半轴，故c＞0，故ac＜0，因此①错误；
对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0），由对称性可知，其对称轴为：x=?2+1
2
=?12，
因此②错误；
对于③：设二次函数y＝ax2+bx+c的交点式为y＝a（x+2）（x﹣1）＝ax2+ax﹣2a，比较一般式与交点式的系数可知：b＝a，c＝﹣2a，故2a+c＝0，因此③正确；
对于④：当x＝﹣1时对应的y＝a﹣b+c，观察图象可知x＝﹣1时对应的函数图象的y值在x轴上方，故a﹣b+c＞0，因此④正确．
∴只有③④是正确的．
故选：C．
8.（2020?荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，
给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为①④．
【解答】解：①抛物线的对称轴在y 轴右侧，则ab ＜0，而c ＞0，故abc ＜0，正确，符合题意；
②△ABC 的面积=12
AB ?y C =1
2
×AB ×2＝2，解得：AB ＝2，则点A （0，0），即c ＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x ＝1，若x 1+x 2＞2，则1
2
（x 1+x 2）＞1，则点N 离函数对称轴远，故y 1＞y 2，故②错
误，不符合题意；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y ′＝ax 2+bx +c +1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax 2+bx +c +1＝0的两根为﹣l ，3，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
9.（2020?随州）如图所示，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论： ①2a +b ＝0； ②2c ＜3b ；
③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；
④当△BCD 是直角三角形时，a =?√2
2． 其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x=?b
2a
=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确，
当x＝1时，0＝a﹣b+c，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴2c＝3b，故②错误；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）∴点C（0，﹣3a），
当BC＝AB时，4=2，
∴a=?√7 3，
当AC＝BC时，4=√1+9a2，
∴a=?√15 3，
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点D（1，4a），
∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，
若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，
∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，
∴a=?√2 2，
若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，
∴a＝﹣1，
∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或?√2
2，故④错误．
故选：B．
10.（2020?武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列
四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有
两个．
其中正确的结论是①③（填写序号）．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；
该抛物线的对称轴为直线x=2+(?4)
2
=?1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛
物线上，则y1＞y2，故②错误；
当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；
对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；
故答案为：①③．
11.（2020?襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴?b
2a
=1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；
故选：B．
12.（2020?湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：
①abc＞0，
②b﹣2a＜0，
③a﹣b+c＞0，
④a+b＞n（an+b），（n≠1），
⑤2c＜3b．
正确的是（）
A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤
【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；
②由于a＜0，所以﹣2a＞0．
又b＞0，
所以b﹣2a＞0，
故此选项错误；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故此选项错误；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝n时，y＝an2+bn+c，
所以a+b+c＞an2+bn+c，
故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确；
⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x=?b2a=1，即a=?b2，代入得
9（?b
2）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
故④⑤正确．故选：D．
13.（2020?南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y
＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是①②④．
【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，
∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；
③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，
故答案为①②④．
14.（2020?烟台）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为?1a．
其中正确结论的序号是②③④．
【解答】解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，∴ab＜0，故①错误；
②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∴a+b﹣1＝0，故②正确；
③∵a+b﹣1＝0，
∴a﹣1＝﹣b，
∵b＜0，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，故③正确；
④∵抛物线与与y轴的交点为（0，﹣1），
∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，
∵抛物线与x轴的交点为（1，0），
∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为?1
a，故④正确；
故答案为②③④．
15.（2020?枣庄）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x=?b
2a
=1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，
于是有：ac＜0，因此①正确；
由x=?b
2a
=1，得2a+b＝0，因此③不正确，
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，
由对称轴x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c ＝0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：C．
16.（2020?凉州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③3b﹣2c＜0；
④am2+bm≥a+b（m为实数）．
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∵c＜0
∴abc＞0
故①正确；
②∵对称轴x=?b2a=1，
∴2a+b＝0；
故②正确；
③∵2a+b＝0，
∴a=?1
2b，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴?1
2b﹣b+c＞0
∴3b﹣2c＜0
故③正确；
④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；
当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，
所以am2+bm≥a+b（m为实数）．
故④正确．
本题正确的结论有：①②③④，4个；
故选：D．
17.（2020?南充）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与
x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则?4
3＜a≤﹣1或1≤a＜
4
3；
③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜?54或a≥1．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x=?4a
2a
=2，
∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，
∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；故①正确；
当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，