54D B A C 16.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质定理
学习目标：
1.掌握线段垂直平分线的性质定理的证明和简单应用.（重点）
2.会用尺规作已知线段的垂直平分线及过已知点作已知直线的垂线过程.（难点）
一、知识链接
1.如图，下列哪些图形是轴对称图形？请把轴对称图形的对称轴画出来.
二、新知预习
2.如图，已知线段AB 和它的中垂线l ，O 为垂足.在直线l 上取一点P ，连接PA ，PB.线段PA 和线段PB 有怎样的数量关系？
猜想：_____________________________________________________.
证明如下：已知：如图，线段AB 和它的垂直平分线l ，垂足为O ，点P 为直线l 上任意一点，连接PA ，PB.
求证：______________________.
证明：在△_______和△________中，
∵___________________________________________,
∴△_______≌△________.
∴_______________________.
于是得到线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离______.
三、自学自测
1.如图1，EF 是△ABC 中BC 边上的垂直平分线，若FC=5，则BF=
2.如图2， AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， （1）如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=
（2）如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是
（3）如果△A=28度，那么△EBC 是
图1 图2 图3
B A
C
D
E A B C E F
3.如图3，△ABC中AC>BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）
A．9 B．8 C．7 D．6
一、要点探究
探究点1：线段垂直平分线的性质定理
问题1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC 的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
【归纳总结】利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
【针对训练】
1.撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB,AC和DB,DC，始终有AB=AC，DB=DC，则伞杆AD与B,C的连线BC的位置关系为 _________.
2.如图所示，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D,E，若∠DAE=50°，则∠BAC= _____度，若△ADE的周长为19 cm，则BC=__________cm．
探究点2：线段垂直平分线的性质定理的运用
问题1：如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
【归纳总结】对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
【针对训练】
如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）
二、课堂小结
内容
线段的垂直
平分线
线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离________.
解题策略三角形中与线段垂直平分线结合求周长：一般先根据线段垂直平
分线的性质进行线段间的转化，把三角形的周长转化成两条线段
的和甚至是一条线段的长．如：如图，已知DE垂直平分BC，则有
C△ABE＝AB＋BE＋AE＝AB＋(CE＋AE)＝AB＋________.
1.如图，BD是AC的垂直平分线，若AD=1.6cm，BC=
2.3cm，则四边形ABCD的周长是( )
A.3.9cm
B.7.8cm
C.4cm
D.4.6cm
2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
3.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是_______ cm.
当堂检测
4.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，点A、B到河边的距离分别为AC、BD且AC=BD，点A、B到CD的中点的距离均为500m.牧童从A出把牛牵到河边饮水后再回家，请你设计出最短路线.