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? ? 武昌区 2020 届高三年级四月调研测试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A = {x | x 2 - 2x - 3 < 0} ， B = {x |log 2x >0} ，则 A B = A ．{x |1 < x < 2}
B ．{x | 0 < x < 2}
C ．{x | 1 < x < 3}
D ．{x | 0 < x < 1}
2． i 为虚数单位，复数 z =
1 - 2i
(1 + i )2
的虚部为 A ． 1
B
． - 1
C ． 1 i
D ． - 1 i
2
2
2
2
3．设等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，且a ≠ 0 ，若a 5=3a 3，则
5
9
S S = A ．
5 B ．
9 C ．
5 D ． 5
9 5 3
27
4．已知函数 f ( x ) 是定义域为R 的奇函数，当 x > 0 时， f ( x ) = 2x + 2x - a ，则 f (-1) = A. 3 B.
- 3
C. - 2
D. - 1
?2x + y - 2 ≥ 0, 5． 已知实数 x ， y 满足 ?
3x - y - 3 ≤ 0, 则 z = x - 3y 的最小值
为
?
x - 2 y + 4 ≥ 0,
A ． - 7
B ． - 6
C ．1
D ．6
6．已知(3x + a )( 1
- 1)5 的展开式中常数项为 14，则实数a 的值为
x
A
． - 1
B ．1
C ． 4
D ． - 4
5
5
3
7．若tan α = 3 tan 2π7，则3cos()
42sin()
7
παπ
α-
=- A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
8．已知a = ln 3 ， b = A ． c < b < a
3 ln 2 ， c = log 3 2 ，则 B ． c < a < b
C ． a < b < c
D ． a < c < b
9 ． 已知直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的表面上， 若 AB = AC = 1 ，
AA 1 = 2 , ∠BAC =
23
π
，则球O 的体积为
A ． 32π 3
B ． 3π
C ．
4π 3
D ．
24π 3
10．如图所示，在由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边
三角形中，设 DF = 3FA ，则
A ．36246363AD A
B A
C =+u u u r u u u r u u u r
B ．36126363AD AB A
C =+u u u r u u u r u u u r
C ． 48246363
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
D ．48126363
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
11．已知双曲线C : 22
221x y a b
-= (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ， P 为双曲
线C 的右支上一点，点 M 和 N 分别是?PF 1F 2 的重心和内心，且 MN 与 x 轴平
行，若
| PF 1 |= 4a ，则双曲线的离心率为
A ． 3
B ．2
C ．
D ．
2 12．已知一个正方形的四个顶点都在函数 f ( x ) = x
3 - 9
x + 1的图像上，则此正方形的面
积
3 2
2为
A．5 或17
B．5 或10 C．5 或17 D．10 或17 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．数列{a n } 的前n 项和为 S n ， a 1= 1 ， a n + a n +1=4 ? 3n -1 ，则 S 2020 =
.
14．有人收集了七月份的日平均气温t （摄氏度）与某冷饮店日销售额 y （百元）的
① a ? = -32.4 ；
②日销售额 y （百元）与日平均气温t （摄氏度）成正相关；
③当日平均气温为 33 摄氏度时，日销售额一定为 7 百元. 其中正确说法的序号是 .
15．已知 F 是抛物线 y =18
x 2 的焦点，P 为抛物线上的动点，且 A 的坐标为(3,-2) ，则
||
||
PF PA 的最小值是
.
16．已知ω > 0 ，函数 f ( x ) = sin(ωx -
4π ) 的图像在区间(2
π
, π) 上有且仅有一条对称轴，则实数ω 的取值范围是
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本题 12 分）
在?ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，且
sin sin sin A B a c
C a b
--=+．
（1）求角 B 的大小；
（2）若b = 6 ，且 AC 边上的中线长为 4，求?ABC 的面积．
18．（本题 12 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥
P - ABCD
中 ， 底 面 ABCD 是 梯 形 ，
AD // BC ，
AB = AD = DC = 12
BC = 2 ， PB ⊥ AC .
（1）证明：平面 PAB ⊥ 平面 ABCD ；
日平均气温t （摄氏度） 31 32 33 34 35 日销售额 y （百元）
5
6
7
8
10