?：向量微分算子、哈密尔顿算子、Nabla算子、劈形算子，倒三角算子是一个微分算子。
Strictly speaking, ?del is not a specific operator, but rather a convenient mathematical notation for those three operators, that makes many equations easier to write and remember. The del symbol can be interpreted as a vector of partial derivative operators, and its three possible meanings—gradient, divergence, and curl—can be formally viewed as the product of scalars, dot product, and cross product, respectively, of the del "operator" with the field.
Δ、?2 or ?·?：拉普拉斯算子（Laplace operator），定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。
,
grad F=▽F，梯度（gradient），标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度
指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。▽f=
div F=▽·F,散度(divergence),是算子▽点乘向量函数,矢量场的散度是一个标量函数，与求
梯度正好相反,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，描述了通量源的密度，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源；当div =0，表示该点为无源场。即闭合曲面
的面积分为0是无源场，否则是有源场。
rot F 或curl F=? × F,旋度(curl，rotation)，是算子▽叉乘向量函数,矢量场的旋度依然是
矢量场，意义是向量场沿法向量的平均旋转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量场沿该曲面边界曲线的正向的环量，也就是封闭曲线的线积分。旋量为0的向量场叫无旋场，只有这种场才有势函数，也就是保守场。即闭合环路的线积分为0是无旋场，否则就是有旋场。
基本关系：
一个标量场f的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零：
一个矢量场F的旋度场是无源场，也就是说它的散度处处为零：
F的旋度场的旋度场是：
亥姆霍兹分解、亥姆霍兹定理或矢量分析基本定理：对于任意足够平滑、快速衰减的三维矢量场可解为一个保守矢量场和一个螺线矢量场的和。简单的说就是任何矢量都可以分解为简
单的无旋场和无源场之和，即其标量位和矢量位两部分。
Helmholtz's theorem, also known as the fundamental theorem of vector calculus, states that any sufficiently smooth, rapidly decaying vector field in three dimensions can be resolved into the sum of an irrotational (curl-free) vector field and a solenoidal (divergence-free) vector field; this is known as the Helmholtz decomposition.
哈密尔顿图的充分必要条件 摘要 图论在现实生活中有着较为广泛的应用, 到目前为止,哈密尔顿图的非平凡充分必要条件尚不清楚,事实上,这是图论中还没解决的主要问题之一,但哈密尔顿图在实际问题中,应用又非常广泛,因此哈密尔顿图一直受到图论界以及运筹学学科研究人员的大力关注. 关键词:哈密尔顿图;必要条件;充分条件;
1 引言 (3) 2 哈密尔顿图的背景 (3) 3 哈密尔顿图的概念 (4) 4 哈密顿图的定义 (5) 4．1定义 (5) 4．2定义 (5) 4．3哈密顿路是遍历图的所有点。 (6) 4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论 (7) 5 结论 (8) 参考文献 (8) 指导老师 (9)
1 引言 图论是一门既古老又年轻的学科,随着科学技术的蓬勃发展,它的应用已经渗透到自然科学以及社会科学的各个领域之中,利用它我们可以解决很多实际生活中的问题,给你一个图,你怎么知道它是否是哈密尔顿图呢?当然如果图的顶点不多,你可以用最古老的”尝试和错误”的方法试试找哈密尔顿回路就可以解决和判断.但是,数学家们并不满足这样的碰得焦头烂额后才找到的真理方法.是否存在一组必要和充分的条件,使得我们能够简单轻易地判断一个图是否是哈密尔顿图?有许多智者通过各种方式去尝试过了,遗憾的是至今尚未找到一个判别哈密尔顿回路和通路的充分必要条件.虽然有些充分非必要或必要非充分条件,但大部分还是采用尝试的办法,不过这些条件也是非常有用的. 2 哈密尔顿图的背景 美国图论数学家奥在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。闭合的哈密顿路径称作哈密顿圈，含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径. 1857年，哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示(如图1)。
定义4.3.1 经过图G 的每个顶点恰一次的路称为G 的Hamilton 路，简称为H 路。经过图G 的每个顶点恰一次的圈称为G 的Hamilton 圈，简称为H 圈。具有Hamilton 圈的图称为Hamilton 图，简称为H 图。 Hamilton 图的研究起源于一种十二面体上的游戏。1857 年，爱尔兰著名数学家William Rowan Hamilton 爵士（他也是第一个给出复数的代数描述的人）制作了一种玩具，它是一个木制的正十二面体，在正十二面体的每个顶点上有一个木栓，并标有世界著名城市的名字。游戏者用一条细线从一个顶点出发，设法沿着十二面体的棱找出一条路，通过每个城市恰好一次，最后回到出发点。这个游戏当时称为Icosian 游戏，也称为周游世界游戏。 将正十二面体从一个面剖开并铺展到平面上得到的图形如下图所示，称为十二面体图。 周游世界游戏用图论术语来说就是判断十二面体图是否Hamilton 图，并设法找出其Hamilton 圈。其中一条Hamilton 圈如图中粗边所示。 十二面体图是H 图 判断一个图是否Hamilton 图与判断一个图是否Euler 图似乎很相似，然而二者却有本质 的不同。目前为止尚没有找到判别一个图是否是Hamilton 图的有效充要条件。这是图论和计算机科学中未解决的重要难题之一。 本节给出一些经典的充分条件和必要条件。 一、必要条件 定理4.3.1 设G 是二部图，若G 是H 图，则G 必有偶数个顶点。 证明：设G = (X, Y ) ，由于G 的边全在X 和Y 之间，因此如果G 有Hamilton 圈C，则G 的所有顶点全在C 上，且必定是X 的点和Y 的点交替在C 上出现，因此G 必有偶数个顶点。证毕。 这个定理给出了一个二部图不是Hamilton 图的简单判断条件：如果一个二部图有奇数 个顶点，则它必定不是Hamilton 图。例如，下列Herschel 图是二部图，但有奇数个顶点，故不是H 图。 Herschel 图不是H 图 定理4.3.2 若G 是H 图，则对V(G)的每个非空真子集S，均有： 连通分支数W(G－S) ≤| S |。 证明：设C 是G 的H 圈，则对V(G)的每个非空真子集S，均有 W(C－S) ≤| S |. 由于C－S 是G－S 的生成子图，故W(G－S)≤W(C－S)≤| S |. 证毕。 利用定理4.3.2 可判断下面(1)中的图不是H 图。事实上，令S={u, v, w}，则 W(G－S) = 4 > | S |。 但无法用该定理给出的必要条件来判断(2)中的Petersen 图不是H 图。
第三章欧拉图与哈密顿图 （七桥问题与一笔画，欧拉图与哈密顿图） 教学安排的说明 章节题目：§3.1环路；§3.2 欧拉图；§3.3 哈密顿图 学时分配：共2课时 本章教学目的与要求：认识七桥问题的实质，理解一笔画问题的解决方法，会正确理解关于欧拉图和哈密顿图的判断定理，并进行识别． 其它：由于欧拉图与一笔画问题密切相关，因此本章首先从一笔画问题讲起，章节内容与教材有所不同。
课堂教学方案 课程名称：§3.1环路；§3.2欧拉图；§3.3哈密顿图 授课时数：2学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法 教学目的与要求：认识七桥问题的实质，理解一笔画问题的解决方法，会正确理解关于欧拉图和哈密顿图的判断定理，并进行识别． 教学重点、难点： （1）理解环路的概念； （2）掌握欧拉图存在的充分必要条件； （3）理解哈密顿图的一些充分和必要条件； 教学内容： 看图1，有点像“回”字，能不能从某一点出发，不重复地一笔把它画出来？这就是中国民间古老的一笔画游戏，而这个图形实际上也是来源于生活。中国古代量米用的“斗”?上下都是四方的，底小口大，从上往下看就是这样的图形。 这类“一笔画”问题中最著名的当属“哥尼斯堡七桥问题”了。 一、问题的提出图1 哥尼斯堡七桥问题。18世纪，哥尼斯堡为东普鲁士的首府，有一条横贯全市的普雷格尔河，河中的两个岛与两岸用七座桥联结起来，见图2（1），当时那里的居民热衷于一个难题：游人怎样不重复地走遍七桥，最后回到出发点。1735年，一群执着好奇的大学生写信请教当时正在圣彼得堡科学院担任教授的著名数学家欧拉。欧拉通过数学抽象成功地解决了这一问题。欧拉发现欧几里得几何并不适用于这个问题，因为桥不涉及“大小”，也不能用“量化计算”来解决。相反地，这问题属于提出的“位置几何”。欧拉想到，岛与河岸陆地仅是桥梁的连接地点和通往地点，桥仅是从一地通往另一地的路径，一次能否不重复走遍七桥与河岸陆地大小是没有
《哈密尔顿图》教学设计 所属学科、专业: 理学--数学类 所属课程：《离散数学》 授课题目：哈密尔顿图 适用对象：计算机科学与技术专业、数学与应用数学专业本科生 选用教材：《离散数学》(第四版)，耿素云等编著，北京大学出版社，2008. ------------------------------------------------------------------------------ 一、教学背景 本节课是《哈密尔顿图》的第一课时，主要学习哈密尔顿图的定义和判定条件.在此之前，学生已经学习了图论的基本概念，有了初步的图论建模的思想方法，并且在前一节课刚学过与哈密尔顿图类似的欧拉图，因此学生对本节课的学习有相当的兴趣和积极性． 二、教学目标 知识目标：使学生理解哈密尔顿图的定义，掌握常见的判断哈密尔顿图的充分条件和必要条件； 能力目标：通过把实际问题转化为哈密尔顿图求解，提高用图论方法建模的能力．三、重难点分析 教学重点：哈密尔顿图的定义和判定条件； 教学难点：如何判断哈密尔顿图． 四、教学方法 探究式、启发式教学；任务驱动法 五、教学设计方案 本节课的教学设计遵循理论联系实际、循序渐进的教学原则，由实际问题出发，创设情境，激发学生兴趣；针对学生普遍认为学习难度比较大的内容，如哈密尔顿图的判定条件，本课程主要采取诱导、启发的方式，采取PPT和板书相结合的方式进行教学；在新知识给出的同时，及时通过实例进行巩固，例子的设置由浅入深，使学生循序渐进地掌握课程内容．具体教学过程安排为： （一）由哈密尔顿图的起源引入： 哈密尔顿图起源于一种数学游戏，它是由爱尔兰数学家哈密尔顿于1859年提出的“周游世界问题”，即用一个正十二面体的20个顶点代表世界上20个著名城市，要求沿着正十二面体的棱，从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，然后回到出发点．与哥尼斯堡七桥问题形成鲜明对照的是，没过多久,哈密尔顿先生就收到来自世界各地的表明已成功周游世界的答案． 教师提出问题，并适当介绍相关数学史，激发起学生兴趣，许多同学马上就开始跃跃欲
13.2 哈密顿图
13.2.1哈密顿图的定义 与欧拉回路类似的是哈密顿回路问题。它是1859年哈密顿首先提出的一个关于12面体的数学游戏：能否在下图中找到一个回路，使它含有图中所有结点一次且仅一次？若把每个结点看成一座城市，连接两个结点的边看成交通线，那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次，再回到原来的出发地呢？为此，这个问题也被称为周游世界问题。
定义13.3 给定图G，若存在一条路经过图中的每一个结点恰好一次，这条路称作哈密顿（Hamilton）路。若存在一条回路，经过图中的每一个结点恰好一次，这个回路称作哈密顿回路。具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。具有哈密顿路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。 (a)(b)(c) （a）中存在哈密顿路，不存在哈密顿回路，所以（a）是半哈密顿图， （b）中存在哈密顿回路，（b）是哈密顿图，（c）不是哈密顿图。
13.2.2哈密顿图的判定 定理13.3 （哈密顿回路的必要条件）若图G=
例13.2 某地有5个风景点。若每个景点均有两条道路与其他景点相通，问是否可经过每个景点恰好一次而游完这5处？ 解 将景点作为结点，道路作为边，则得到一个有5个结点的无向图。由题意，对每个结点vi，有。则对任意两点均有可知此图一定有一条哈密顿路，本题有解。