2019-2020学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试
题
一、单选题
1.已知过抛物线2
y ax =(0a >)的焦点且垂直于x 轴的弦长度为2,则实数a 的值为
( ) A .4 B .2
C .1
D .3
【答案】B
【解析】先求出抛物线的焦点坐标,再求出弦长即得解. 解:由题得抛物线的焦点坐标为(,0)4
a ,
当x=4a 时,所以22
44
a a y a =?=,所以|y|=2a
所以弦长为2=22
a
a ?=. 故选:B
本题主要考查抛物线的简单几何性质,考查弦长的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2.下列选择支中,可以作为曲线2
21y ax x =--与x 轴有两个交点的充分不必要条件是( ) A .()1,-+∞ B .()()1,00,-+∞U C .()1,0- D .()2,-+∞
【答案】C
【解析】先根据曲线2
21y ax x =--与x 轴有两个交点得到1a >-且0a ≠,再根据充分不必要条件的定义得解.
解:当a=0时,12
x =-,曲线2
21y ax x =--与x 轴有一个交点;
当a ≠0时,
因为曲线2
21y ax x =--与x 轴有两个交点, 所以=4+40,1a a ?>∴>-.所以1a >-且0a ≠. 由于选择支是充分不必要条件,
所以选择支对应的集合是()()1,00,-?+∞的真子集,
只有选项C满足题意.
故选:C
本题主要考查充分不必要条件的判定,考查二次函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3.气象资料表明,某地区每年七月份刮台风的概率为3
5
,在刮台风的条件下,下大雨
的概率为
9
10
,则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( )
A.2
3
B.
27
50
C.
9
10
D.
3
10
【答案】B
【解析】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则
该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB,由题得
9
(|)
10
P B A=,化简即得解.
解:设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB,
由题得
39 (),(|)
510
P A P B A
==,
所以
9()() (|)=
3
10()
5
P AB P AB
P B A
P A
==
,
所以
9327 ()
10550
P AB=?=.
故选:B
本题主要考查条件概率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题. 4.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中的女生人数为变量X,男生的人数为变量Y,则()()
22
P X P Y
=+=等于( )
A.
22
1020
3
30
C C
C
B.
22
1020
3
30
C C
C
+
C.
2112
10201020
3
30
C C C C
C
+
D.
()()
2112
10201020
3
30
C C C C
C
+?+
【答案】C
【解析】求出(X2),P(Y2)
P==,即得解.
解:由题得2112 1020
1020
33
3030
(2),(2)
C C C C
P X P Y
C C
====,
所以(X2)P(Y2)
P=+==
2112
10201020
3
30
C C C C
C
+
.
故选:C.
本题主要考查超几何分布概率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5.某设备的使用年限x(单位:年)与所支出的维修费用y(单位:万元)如下表所示.已知y与x具有线性相关关系,且线性回归方程为?1
y ax
=+,则实数a的值为( )
A.6 B.4 C.2 D.1
【答案】D
【解析】先求出样本中心点,代入回归直线方程即得解.
解:由题得
2345624667
4,5
55
x y
++++++++
====,
所以样本中心点为(4,5),
所以5=4a+1,所以a=1.
故选:D.
本题主要考查回归直线方程的样本中心点,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.在直角坐标系x o y中,双曲线C:
22
1
169
x y
-=的右支上有一点P,该点的横坐标为5,1
F、
2
F是C的左?右焦点,则
12
PF F
△的周长为( )
A.
45
2
B.18 C.
81
4
D.
35
2
【答案】A
【解析】先求出
2
9
||
4
PF=,再利用双曲线的几何性质求出
12
PF F
V的周长.
解:由题得1695
c=+=,
因为P点的横坐标为5,所以212
PF F F
⊥,所以
2
9
||
4
PF=,
所以
1
941
||+24=
44
PF=?,
所以12
PF F
V的周长为
94145
++10=
442
.
故选:A.
本题主要考查双曲线的定义和几何性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7.由0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A .288 B .360 C .480 D .600
【答案】A
【解析】根据题意,首先分析末位数字,易得末位数字可以为1、3、5,可得其取法数目,其首位数字不能为0,可得其取法数目,再选3个数字,排在中间,有3
4A 种排法,由分步计数原理,计算可得答案
解:根据题意,末位数字可以为1、3、5,有13A 种取法,首位数字不能为0,有1
4A 种取法,再选
3个数字,排在中间,有3
4A 种排法,则五位奇数共有113
3
44288A A A =, 故选:A .
本题考查排列、组合的应用,解题时注意题干条件对数的限制,其次还要注意首位数字不能为0,属于基础题.
8.已知a ,b 是平面α外的两条不同直线,它们在平面α内的射影分别是直线a ',b '(a '与b '不重合),则下列命题正确的个数是( ) (1)若//a b ,则//a b ''; (2)若a b ⊥r r
,则a b '⊥'; (3)若a b '⊥',则//a b ; (4)若a b '⊥',则a ⊥b . A .0个 B .1个
C .2个
D .3个
【答案】B
【解析】(1)直接判断得解;(2)举出一个反例//a b ''即可判断错误;(3)举出一个反例,,a b 相交即可判断错误;(4)举出反例,a,b 不垂直即可判断错误. 解:(1)若//a b ,则//a b '',是正确的;
(2)若a b ⊥r r
,则a b '⊥'是错误的,因为a b 、''有可能平行或者相交;
'⊥',则a//b是错误的,因为a,b有可能相交、异面;
(3)若a b
'⊥',则a⊥b是错误的,因为a,b可能不垂直.
(4)若a b
故选:B
本题主要考查空间直线位置关系的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、多选题
9.如城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从如城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是( ) A .这5个家庭均有小汽车的概率为
243
1024
B .这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764
C .这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车
D .这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128
【答案】ACD
【解析】利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率研究每一个选项判断得解. 解:由题得小汽车的普及率为
34
, A. 这5个家庭均有小汽车的概率为5
3()4
=243
1024
,所以该命题是真命题; B. 这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为332
531135()()44512
C =,所以该命题
是假命题;
C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车,是真命题;
D. 这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为
4455313()()()444C +=81
128
,所以该命题是真命题.
故选:ACD.
本题主要考查独立重复试验的概率和互斥事件的概率,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10.若随机变量()0,1N ξ:,()()x P x φξ=≤,其中0x >,下列等式成立有( ) A .()()1x x φφ-=- B .()()22x x φφ= C .()()21P x x ξφ<=- D .()
()2P x x ξφ>=-
【答案】AC
【解析】根据随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ,得到正态曲线关于0ξ=对称,再结合正态分布的密度曲线定义()(x P x φξ=…,0)x >,由此可解决问题.
解:
Q 随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ,
∴正态曲线关于0ξ=对称,
()(x P x φξ=Q …,0)x >,根据曲线的对称性可得:
A.()()1()x x x φφξφ-=≥=-,所以该命题正确;
B.(2)(2),2()2()x x x x φφξφφξ=≤=≤,所以()()22x x φφ=错误;
C.(||)=()12()12[1()]2()1P x P x x x x x ξξφφφ<-≤≤=--=--=-,所以该命题正确;
D.(||)(P x P x ξξ>=>或)=1()()1()1()22()x x x x x x ξφφφφφ<--+-=-+-=-,所以该命题错误. 故选:AC .
本题主要考查正态分布的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.在正三棱锥A BCD -中,侧棱长为3,底面边长为2,E ,F 分别为棱AB ,CD 的中点,则下列命题正确的是( ) A .EF 与AD 所成角的正切值为
3
2
B .EF 与AD 所成角的正切值为
23 C .AB 与面ACD 所成角的余弦值为2
12
D .AB 与面ACD 所成角的余弦值为
79
【答案】BC
【解析】如图所示,先找出EF 与AD 所成角再求解,再找出AB 与面ACD 所成角求解.
解:
(1)设AC 中点为G ,BC 的中点为H ,连接EG 、FG 、AH 、DH , 因为AE BE =,AG GC =,CF DF =, 所以//EG BC ,//FG AD ,
所以EFG D就是直线EF 与AD 所成的角或补角, 在三角形EFG 中,1EG =,32
FG =
,
由于三棱锥A BCD -是正三棱锥,BC DH ⊥,BC AH ⊥,
又因为,AH HD ?平面ADH ,AH DH H ?=,所以BC ⊥平面ADH ,
AD ?Q 平面ADH ,所以BC AD ⊥,所以EG FG ⊥,
所以
12
tan 332
EG EFG FG ∠=
==
,所以A 错误B 正确.
(2)过点B 作BO 垂直AF ,垂足为O .
因为CD BF ⊥,CD AF ⊥,,,BF AF F BF AF =?I 平面ABF , 所以CD ⊥平面ABF ,BO ?Q 平面ABF ,所以CD BO ⊥,
因为BO AF ⊥,,,AF CD F AF CD =?I 平面ACD ,所以BO ⊥平面ACD , 所以BAO ∠就是AB 与平面ACD 所成角.
由题得3,22,3BF AF AB ===,所以7
cos 2122322122
BAO ∠===??.
所以C 正确D 错误. 故答案为:BC.
本题主要考查空间异面直线所成的角的求法,考查直线和平面所成的角的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12.如图,矩形ABCD 中,8AB =,6BC =,E ,F ,G ,H 分别是矩形四条边的中点,
R ,S ,T 是线段OF 的四等分点,R ',S ',T '是线段CF 的四等分点,分别以HF ,EG
为x ,y 轴建立直角坐标系,设E R 与GR '?ER 与GT '分别交于1L ,2L ,ES 与GS '?ES 与GT '交于1M ,2M ,ET 与GT '交于点N ,则下列关于点1L ,2L ,1M ,2M ,N 与
两个椭圆:1Γ:221169x y +=,2Γ:22
31329
x y +=的位置关系叙述正确的是( )
A .三点1L ,1M ,N 在1Γ,点2M 在2Γ上
B .1L ,1M 不在1Γ上,2L ,N 在1Γ上
C .点2M 在2Γ上,点1L ,2L ,1M 均不在2Γ上
D .1L ,1M 在1Γ上,2L ,2M 均不在2Γ上 【答案】AC
【解析】求出1L 的坐标,证明1L 在1Γ上;求出2M 的坐标,证明点2M 在2Γ上.即得解.
解:由题得E (0,-3),R (1,0),所以直线ER 的方程为1,333
y
x y x +
=∴=--.
由题得G (0,3),9(4,)4R ',所以9
334416
GR k '
-==-, 所以直线GR '的方程为3
316
y x =-+, 联立13396135,(,)16515133
y x L y x ?
=-+?∴??=-?,1L 的坐标满足椭圆1Γ:22
1169x y +=,
所以1L 在1Γ上.
由题得ES 的方程为
1,32623
x y x y +=∴-+=--. 由题得3(0,3),(4,)4G T ',所以3
394,416
GT k '
-==- 所以直线GT '的方程为9
316
y x =-+, 联立直线ES 和GT '方程得23215(,)1111M ,23215(,)1111M 满足2Γ:22
31329
x y +=,
所以点2M 在2Γ上.所以选项BD 错误.
由于本题属于多项选择题,所以至少两个答案正确. 故选:AC
本题主要考查直线的交点的求法,考查点和椭圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、填空题
13.采用随机数表法从编号为01,02,03,……,30的30个个体中选取7个个体,指定从下面随机数表的第一行第5列开始,由左向右选取两个数字作为应取个体的号码,则选取的第6个个体号码是______.
03 47 43 86 36 16 47 80 45 69 11 14 16 95 36 61 46 98 63 71 62 33 26 36 77
97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 52 24 52 79 89 73 【答案】20
【解析】利用随机数表写出依次选取的号码即得解.
解:指定从下面随机数表的第一行第5列开始,由左向右选取两个数字作为应取个体的号码,则选取的号码依次是:16,11,14,26,24,20,27.所以第6个号码是20.
故答案为:20.
本题主要考查随机数表,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题. 14.一个球的直径为2,则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为______.
【答案】【解析】设底面正方形的边长为2x ,棱柱高为2y ,则棱柱侧面积16S xy =.根据
2.化简得22
21x y +=,进而结合基本不等式可得S 的最值.
解:设底面正方形的边长为2x ,棱柱高为2y ,则棱柱侧面积16S xy =.
Q 正四棱柱为半径为R 的球的内接正四棱柱,
∴2=.
即2
2
21x y +=,
由基本不等式得:222x y +…
, 即22
xy ?,
16S xy ∴=?
即内接正四棱柱的侧面积的最大值是,
故答案为:
本题考查的知识点是球的内接多面体和基本不等式,由基本不等式得到2
xy ?是解答
的关键.
15.已知双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的右焦点为F ,由F 向其渐近线引垂线,垂
足为P ,若线段PF 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为________.
【解析】由题意设(),0F c ,相应的渐近线方程为b y x a =
,根据题意得PF a
k b
=-,设,b P x x a ?? ???,代入PF a k b =-得2a x c =,则2,a ab P c c ?? ???
,则线段PF 的中点为21,22a ab c c c ????+ ? ? ?????
,代入双曲线方程得22
11144a c a c a c ????+-= ? ?????,即
22
1111
144e e e ????+-?= ? ?????
,∴2
2e =,∴e =16.已知()
()
10
2
92190121911x x x
x a a x a x a x -+++???+=+++???+,则18a =______;
6a =______.
【答案】9- 84
【解析】求出186
,x x 的系数即得解. 解:设()10
1x -的通项为1010110(1)
r
r
r r T C x --+=-,
令r=0,则010
101110;T C x
x ==令r=1,则1
101991010
(1)=10T C x x -=--, 所以18a =()11+1109??-=-;
令r=4,则4
6
6
510210;T C x x ==令r=5,则5
105
55610(1)=252T C x x -=--, 令r=6,则6
4
4
710210;T C x x ==令r=7,则7
107
33810(1)
=120T C x x -=--, 令r=8,则8
2
2
91045;T C x x ==令r=9,则9
109
1010(1)=10T C x x -=--,
令r=10,则100
11101;T C x ==
所以621012521210112014511011184a =?-?+?-?+?-?+?=. 故答案为:(1). 9-;(2). 84.
本题主要考查二项式定理的应用,考查二项式展开式的系数问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、解答题
17.为了了解居民消费情况,某地区调查了10000户小家庭的日常生活平均月消费金额,根据所得数据绘制了样本频率分布直方图,如图所示,每户小家庭的平均月消费金额均不超过9千元,其中第六组?第七组?第八组尚未绘制完成,但是已知这三组的频率依次成等差数列,且第六组户数比第七组多500户,
(1)求第六组?第七组?第八组的户数,并补画图中所缺三组的直方图;
(2)若定义月消费在3千元以下的小家庭为4类家庭,定义月消费在3千元至6千无的小家庭为B 类家庭,定义月消费6千元以上的小家庭为C 类家庭,现从这10000户家庭中按分层抽样的方法抽取80户家庭召开座谈会,间A ,B ,C 各层抽取的户数分别是多少?
【答案】(1)第六?七?八组的户数分别是:1500户?1000户?500户,直方图见解析;(2)从A ,B ,C 三类家庭分别抽取的户数分别是18户?48户?14户.
【解析】(1)设第六?七?八组的户数分别是x ,y ,z ,再通过已知求出它们即得解,再求出第六?七?八组的小矩形高度,补充完整频率分布直方图;(2)求出A 类家庭的频率之和、B 类家庭的频率之和、C 类家庭的频率之和,即得解. 解:(1)设第六?七?八组的户数分别是x ,y ,z ,
它们的频率之和为:()10.02520.050.150.200.250.30-?++++=, 所以这三组的户数之和为:100000.33000?=.
由于这三组的频率依次成等差数列,所以x ,y ,z 也成等差数列,2y x z =+, 又3000x y z ++=,500x y -=,解得:1500x =,100y =,500z =. 所以第六?七?八组的小矩形高度分别为:
15000.1510000=,1000
0.1010000
=,
500
0.0510000
=.
补直方图(需注明第七组的小矩形高度为0.10,第六?八两组分别用虚线对应0.15和0.05.)
(2)A 类家庭的频率之和为:0.0250.050.150.225++=; B 类家庭的频率之和为:0.200.250.150.60++=; C 类家庭的频率之和为:0.100.050.0250.175++=.
故A ,B ,C 类家庭分别抽取的户数分别为:800.22518?=,800.648?=,
800.17514?=.
答:(1)第六?七?八组的户数分别是:1500户?1000户?500户; (2)从A ,B ,C 三类家庭分别抽取的户数分别是18户?48户?14户.
本题主要考查频率分布直方图的应用,考查分层抽样,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18.在直三棱柱ABC A B C '''-中,1AC BC ==,90ACB ∠=?,12CC =,M ,N 分别是1AB ?1BC 上的点,且::1:2BM MA BN NC ==.
(1)求证://MN 平面11ACC A ;
(2)求平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
2121
【解析】(1)以C 为原点,CA ,CB ,1CC 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法证明//MN 平面11ACC A ;(2)利用向量法求平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值.
解:(1) 以C 为原点,CA ,CB ,1CC 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,
如图,则()0,0,0C ,()1,0,0A ,()0,1,0B ,()10,0,2C ,()11
,0,2A ,()10,1,2B , 设()111,,M x y z ,因为123AM AB =u u u u r u u
u r ,所以()()1112
1,,1,1,23
x y z -=-,
故111124,,,333x y z =
==得:124,,333M ??
???
. 同理求得220,,33N ??
???
,所以12,0,33MN ??=-- ???u u u u r .
因为()0,1,0CB =uu r
是平面11ACC A 的一个法向量, 且120010033CB MN ?????=-?+?+-?= ? ?????
u u u r u u u u r ,
所以CB MN ⊥u u u r u u u u r
,又MN ?平面11ACC A ,所以//MN 平面11ACC A .
(2)1112,,333B M ??=-- ???
u u u u r ,12,0,33MN ??
=-- ???u u u u r ,
设平面1MNB 的--个法向量为(),,n x y z =r
,
则1112033312033B M n x y z MN n x z ??=--=?????=--=??
u u u u v v u u u u v v 即20,20,x y z x z --=??+=?
令1z =,则2x =-,4y =-,所以()2,4,1n =--r
. 又平面111A B C 的一个法向量为()10,0,2OC =u u u u r
,
设θ表示平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角,
则
11cos 21n OC n OC θ===??r u u u u r r u u u u r . 本题主要考查空间位置关系的证明,考查空间角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
19.已知椭圆E :22
221x y a b
+=(
0a b >>)过点()2,1A ,且它的右焦点为
)
.
(1)求椭圆E 的方程;
(2)过A 且倾斜角互补的两直线分别交椭圆E 于点B ?C (不同于点A ),且1
2
AC AB =,求直线AB 的方程.
【答案】(1)22
182
x y +=;(2)3240x y --=或640x y -+=
【解析】(1)由条件知22226,
41
1a b a b
?-=?
?+=??,解方程即得解;(2)设直线AB :()12y k x -=-,利用弦长公式求出|AB|,|AC|,根据|AB|=2|AC|得解.
解:(1)由条件知22226,41
1a b a b
?-=?
?+=??. 解得:2282a b ?=?=?
,所以椭圆E 的方程为:22
182x y +=.
(2)设直线AB :()12y k x -=-,将直线AB 的方程代入椭圆方程:2
2
480x y +-=得:
()2
242180x k x ??+-+-=??
,即()()()2
224280x x k x k ??-++-+=??, 解得:2x =或22882
41
B k k x
k --=+.
故
2212241
k AB k +=
-=-=+.
同理:()
()2
2
2
22121414141
41
k k AC k k
k k -+-=+-=++-+.
因为2AB AC =,所以2
22
2
21214124141
41
k k k k k k +-+=?+?
++.
化简得:21221k k +=-,解得:32k =或16
, 所以直线AB 的方程为:()3122y x -=
-或()1
126
y x -=- 即3240x y --=或640x y -+=.
本题主要考查椭圆方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
20.农机公司出售收割机,一台收割机的使用寿命为五年,在农机公司购买收割机时可以一次性额外订购买若干次维修服务,费用为每次100元,每次维修时公司维修人员均上门服务,实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次;若实际维修次数少于购买的维修次数,则未提供服务的订购费用退还50%;如果维修次数超过了购买的次数,农机公司不再提供服务,收割机的维修只能到私人维修店,每次维修费用为400元,无须支付餐饮费;--位农机手在购买收割机时,需决策一次性购买多少次维修服务. 为此,他拟范收集?整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表:
(1)如果农机手在购买收割机时购买了6次维修,在使用期内实际维修的次数为5次,这位农机手的花费总费用是多少?如果实际维修的次数是8次,农机手的花费总费用又是多少?
(2)农机手购买了一台收制机,试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中,根据使用期内维修时花费的总费用期望值,帮助农机手进行决策. 【答案】(1)800元,1700元;(2)选订购7次维修较划算
【解析】(1)根据已知条件直接求出购买6次维修,而实际维修次数为5次时的维修总费用,购买6次维修,而实际维修次数为8次时的维修总费用;(2)先求出购买维修次数为6次和7次的总费用期望值,再帮助农机手进行决策. 解:(1)购买6次维修,而实际维修次数为5次时的维修总费用为:
610050550800?-+?=(元);
购买6次维修,而实际维修次数为8次时的维修总费用为:
610050624001700?+?+?=(元).
(2)购买6次维修时:
实际维修次数为6次时的维修总费用为:6100650900?+?=(元); 实际维修次数为7次时的维修总费用为:9004001300+=(元); 实际维修次数为9次时的维修总费用为:17004002100+=(元). 综合(1)的计算,订购维修次数6次时的维修总费用概率分布表: 维修次数 5 6 7 8 9 维修总费用1ξ
800 900 1300 1700 2100 P
0.3
0.3
0.2
0.1
0.1
()18000.39000.313000.217000.121000.11150E ξ=?+?+?+?+?=(元);
若订购维修次数为7次时,维修总费用的概率分布表为: 维修次数 5 6 7 8 9 维修总费用1ξ
850 950 1050 1450 1850 P
0.3
0.3
0.2
0.1
0.1
()28500.39500.310500.214500.118500.11080E ξ=?+?+?+?+?=(元).
因为()()12E E ξξ>,所以选订购7次维修较划算.
本题主要考查随机变量的分布列和期望的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21.如图,ABC V 是边长为3的正三角形,D ,E 分别在边AB ,AC 上,且1BD AE ==,沿DE 将ADE V 翻折至A DE 'V 位置,使二面角A DE C '--为60°.
(1)求证:A C '⊥平面A DE 'V ;
(2)求四棱锥A BDEC '-的体积. 【答案】(1)见解析;(2)
78
【解析】(1)先证明DE A C ⊥'和A C A E '⊥',则A C '⊥平面A DE ?'即得证; (2)先求出A H '和S 四边形BDEC ,即得四棱锥A BDEC '-的体积. 解:(1)在ADE ?中,
2AD =,1AE =,60DAE ∠=o ,
所以222222cos 21221cos603DE AD AE AD AE DAE =+-?∠=+-???=o , 所以2224DE AE AD +==,90AED ∠=o ,即DE AE ⊥,DE EC ⊥; 翻折后,DE A E ⊥',DE EC ⊥,又EA EC E '?=,EA ',EC ?平面A EC ', 所以DE ⊥平面A EC ',且60A EC ∠='o , 又A C '?平面A EC ',所以DE A C ⊥'①; 在A EC '?中,1A E '=,2EC =,60A EC ∠='o ,
与证明90AED ∠=o 同理可得:90EA C ∠='o ,所以A C A E '⊥'②;
由于①②及A E DE E '?=,A E ',DE ?平面A ED ',所以A C '⊥平面A DE ¢. (2)由(1)可知:DE ⊥平面A EC ',又DE ?平面BDEC ,所以平面BDEC ⊥平面A EC '. 在平面A EC '内过A '作A H EC '⊥于H ,由于平面A EC '?平面BDEC EC =,
A H '?平面A EC ',所以A H '⊥平面BDEC ,
又3
sin602
A H A E ='=
'o ,2317321sin60324
ABC ADE BDEC S S S ?=-=
-???=o 四边形
所以
B
117
3328
A BDEC DEC
V S A H
'-
=
'
=?=
四边形
.
本题主要考查空间位置关系的证明和空间几何体的体积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22.抛物线M:28
y x
=的焦点为F,过焦点F的直线l(与x轴不垂直)交抛物线M于点
A,B,A关于x轴的对称点为
1
A.
(1)求证:直线1A B过定点,并求出这个定点;
(2)若1A B的垂直平分线交抛物线于C,D,四边形1A CBD外接圆圆心N的横坐标为19,求直线AB和圆N的方程.
【答案】(1)见解析,定点()
2,0
-;(2)直线AB
:20
x-=,圆
N:()()
22
192185
x y
-+±=
【解析】(1)设直线AB:2
my x
=-(0
m≠),求出
1
A B:()
12
11
21
y y
y y x x
x x
+
+=-
-,令0
y=即得定点坐标;
(2
)求出
21
y y
-=±再分类讨论,先求出CD
方程为:
)
2
46
y x m
=--,再根据线段CD是圆N的直径,求出直线AB和圆N的方程.
解:(1)设直线AB:2
my x
=-(0
m≠),代入抛物线方程得:28160
y my
--=,
设()
11
,
A x y,()
22
,
B x y,则()
111
,
A x y
-,
所以128
y y m
+=,
12
16
y y=-,
从而1A B:()
12
11
21
y y
y y x x
x x
+
+=-
-,令
y=得:
()()()
2112
211212
121212
22216
2
222
8
my y my y m
x y x y my y
x
y y y y y y m
+++?-
+
===+=+=-+++
,所以直线1A B过定点()
2,0
-.
(2)由(1)知:()()()
1
2121
2112
=
22
A B
y y y y
k
my my m y y
++
=
+-+-+,