2018-2019学年广东省东莞市四校联考高一（下）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（）
A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
2．空间中两点A（1，0，1），B（2，1，﹣1），则|AB|的值为（）A．B．2 C．D．2
3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
4．已知，且α为第四象限角，则sinα为（）A．B．C．D．
5．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）
A．内切B．相交C．外切D．相离
6．已知向量=（﹣1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
7．若函数是偶函数，则φ=（）A．B．C．D．
8．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
9．已知，，，则tan（α﹣β）的值为（）A．B．C．D．
10．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）
A．B．C．D．
11．已知直线且l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=（）
A．4 B．6 C．2 D．2
12．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）
A．B．C．D．
二．填空题（每小题5分）
13．已知平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=．14．已知sinα=，≤α≤π，则tanα=．
15．圆x2+y2﹣4x=0在点P（4，1）处的切线方程为．
16．有下列说法：
①y=sinx+cosx在区间（﹣，）内单调递增；
②存在实数α，使sinαcosα=；
③y=sin（+2x）是奇函数；
④x=是函数y=cos（2x+）的一条对称轴方程．
其中正确说法的序号是．
三．解答题.
17．已知角α的终边与单位圆在第二象限交于点P（m，）
（1）求m的值
（2）求cos（α+）
18．已知||=2，||=，（2﹣3）?（2+）=19
（1）求与的夹角θ
（2）若⊥（+λ），求λ的值．
19．圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．
20．已知向量=（sinθ，1），=（cosθ，2），满足，其中θ∈（0，）（1）求sinθ和cosθ）的值；
（2）若cos（θ+φ）=﹣（0＜φ＜），求cos（φ+）的值．
21．设函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中ω＞0，A＞0，﹣＜φ＜0，x∈R且函数f（x）的最小值为﹣，相邻两条对称轴之间的距离为，满足f（）=（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设0＜x≤，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
22．已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（﹣1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点．设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OASB的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．
2018-2019学年广东省东莞市四校联考高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（）
A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
【考点】J2：圆的一般方程．
【分析】将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标．
【解答】解：将圆x2+y2﹣4x+6y=0化成标准方程，
得（x﹣2）2+（y+3）2=13
∴圆表示以C（2，﹣3）为圆心，半径r=的圆
故选：D．
2．空间中两点A（1，0，1），B（2，1，﹣1），则|AB|的值为（）A．B．2 C．D．2
【考点】JI：空间两点间的距离公式．
【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：空间中两点A（1，0，1），B（2，1，﹣1），则|AB|=
=．
故选：C．
3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
【考点】G7：弧长公式．
【分析】设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．
【解答】解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，
解得α=1或α=4．
故选：C．
4．已知，且α为第四象限角，则sinα为（）A．B．C．D．
【考点】GN：诱导公式的作用；GH：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】根据余弦的诱导公式得cosα=，再利用同角三角函数的基本关系，并结合α为第四象限角即可算出sinα的值．
【解答】解：∵，∴﹣cosα=﹣，cosα=，
∵α为第四象限角，
∴sinα==﹣
故选：A
5．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）
A．内切B．相交C．外切D．相离
【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．
【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．
圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，
两圆的圆心距d==，
R+r=5，R﹣r=1，
R+r＞d＞R﹣r，
所以两圆相交，
故选B．
6．已知向量=（﹣1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】由题意求出（+），利用∥（+），求出m即可．
【解答】解：向量=（﹣1，1），=（3，m），∴+=（2，1+m），
∵∥（+），
∴1×2=﹣1（1+m），
∴m=﹣3．
故选：C．
7．若函数是偶函数，则φ=（）A．B．C．D．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H3：正弦函数的奇偶性．
【分析】直接利用函数是偶函数求出?的表达式，然后求出?的值．
【解答】解：因为函数是偶函数，
所以，k∈z，所以k=0时，?=∈[0，2π]．
故选C．
8．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），
故将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣）的图象，
故选：B．
9．已知，，，则tan（α﹣β）的值为（）A．B．C．D．
【考点】GR：两角和与差的正切函数．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，利用诱导公式求得tanβ，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．
【解答】解：∵已知，，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣．
∵=﹣tanβ，∴tanβ=﹣，则tan（α﹣β）==﹣，故选：A．
10．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）
A．B．C．D．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先根据图象求出函数的最小正周期，从而可得w的值，再根据正弦函数的平移变化确定函数的解析式为，最后根据诱导公式可确定答案．
【解答】解：从图象看出，T=，
所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，
即=，
故选D．
11．已知直线且l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=（）
A．4 B．6 C．2 D．2
【考点】J8：直线与圆相交的性质．
【分析】根据题意，由点到直线的距离求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用直角三角形中的三角函数求出|CD|即可．
【解答】解：根据题意，|AB|=2，则圆心到直线的距离d==3，
则有=3，解可得m=﹣，
直线l的方程为：（﹣）x+y﹣2=0，则其倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
则|CD|==4，
故选：A．
12．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）
A．B．C．D．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，
函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．
若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，
不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=﹣，不合题意，
x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．
另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x﹣2φ），设2x1=2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，
x1﹣x2=﹣φ+（k﹣m）π，
由|x1﹣x2|min=，可得﹣φ=，解得φ=，
故选：D．
二．填空题（每小题5分）
13．已知平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（﹣1，2）．【考点】9J：平面向量的坐标运算．
【分析】平面向量=（1，1），=（1，﹣1），利用平面向量的坐标运算法则，能求出向量﹣．
【解答】解：∵平面向量=（1，1），=（1，﹣1），
∴向量﹣=（）﹣（）
=（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
14．已知sinα=，≤α≤π，则tanα=．
【考点】GI：三角函数的化简求值；GG：同角三角函数间的基本关系．
【分析】求出余弦函数值，然后求解正切函数值即可．
【解答】解：sinα=，≤α≤π，可得cosα=﹣=﹣，
tanα==．
故答案为：﹣．
15．圆x2+y2﹣4x=0在点P（4，1）处的切线方程为3x+4y﹣16=0或x=4．【考点】J7：圆的切线方程．
【分析】由题意可得：圆的圆心与半径分别为：（2，0）；2，再结合题意设直线，进而由点到直线的距离等于半径即可得到答案．
【解答】解：由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：（2，0）；2．
由图象可得切线的斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为：kx﹣y﹣4k+1=0，由点到直线的距离公式可得：，
解得：k=﹣，
所以切线方程为：3x+4y﹣16=0，
当切线的斜率不存在时，切线为：x=4，满足题意．
故答案为：3x+4y﹣16=0或x=4．
16．有下列说法：
①y=sinx+cosx在区间（﹣，）内单调递增；
②存在实数α，使sinαcosα=；
③y=sin（+2x）是奇函数；
④x=是函数y=cos（2x+）的一条对称轴方程．
其中正确说法的序号是①④．
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】由条件利用两角和差的三角公式，三角函数的单调性、奇偶性、值域以及图象的对称性，得出结论．
【解答】解：对于y=sinx+cosx=sin（x+），在区间（﹣，）上，x+
∈（﹣，），函数单调递增，故①正确．
∵sinαcosα=sin2α≤，故不存在实数α，使sinαcosα=，故②错误．
∵y=sin（+2x）=sin（+2x）=cos2x，是偶函数，故③错误．
④由于当x=时，y=cosπ=﹣1，为函数的最小值，故x=是函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程，故④正确，
故答案为：①④．
三．解答题.
17．已知角α的终边与单位圆在第二象限交于点P（m，）
（1）求m的值
（2）求cos（α+）
【考点】GP：两角和与差的余弦函数；G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】（1）由题意可得：m2+（）2=1，结合点P在第二象限，可求m的值．（2）由三角函数定义可求cosα，sinα的值，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为10分）
解：（1）∵由题意可得：m2+（）2=1，…
m=±，…
∵点P在第二象限，
∴．…
（2）由三角函数定义可知，cosα=﹣，sinα=，…
可得：…
=﹣﹣…
=﹣．…
18．已知||=2，||=，（2﹣3）?（2+）=19
（1）求与的夹角θ
（2）若⊥（+λ），求λ的值．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】（1）运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得，再由向量夹角公式，计算即可得到所求值；
（2）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到所求值．
【解答】解：（1）由
可得．
又∵，
∴，
即，
∴．
∵0≤θ≤π，
∴．
（2）由可得，，
即，
即4﹣3λ=0，
解得．
19．圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．
【考点】J1：圆的标准方程．
【分析】由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，
∵圆C截x轴所得弦的长为2，
∴t2+3=4t2，
∴t=±1，
∵圆C与y轴的正半轴相切，
∴t=﹣1不符合题意，舍去，
故t=1，2t=2，
∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．
20．已知向量=（sinθ，1），=（cosθ，2），满足，其中θ∈（0，）（1）求sinθ和cosθ）的值；
（2）若cos（θ+φ）=﹣（0＜φ＜），求cos（φ+）的值．
【考点】96：平行向量与共线向量；GI：三角函数的化简求值．
【分析】（1）由∥，得2sinθ﹣cosθ=0，由此利用同角三角函数关系式能求出结果．
（2）推导出sin（θ+φ）=，求出sinφ=sin（θ+φ﹣θ），由此利用cos（φ+）=﹣sin?，能求出结果．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）∵∥，∴2sinθ﹣cosθ=0．①…
又sin2θ+cos2θ=1．②…
则由①②及，可解得．…
（2）由cos（θ+φ）=﹣（0＜φ＜），得sin（θ+φ）=，…
sinφ=sin（θ+φ﹣θ）
=sin（θ+φ）cosθ﹣cos（θ+φ）sinθ
=
=，…
∴cos（φ+）=﹣sin?=…
21．设函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中ω＞0，A＞0，﹣＜φ＜0，x∈R且函
数f（x）的最小值为﹣，相邻两条对称轴之间的距离为，满足f（）=（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设0＜x≤，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
【考点】HW：三角函数的最值；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（1）根据f（x）的最小值为﹣，可得A，相邻两条对称轴之间的距离为，可得，可得ω，再由f（）=，求出φ，可得f（x）的解析式；
（2）x∈[，]，求出f（x）的最大值小于+m恒成立即可得实数m的取值范围；
（3）根据0＜x≤，求出f（x）的取值范围，方程f（x）=m有两个不同的实数根，即图象与y=m有两个交点．可得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+φ），
函数f（x）的最小值为﹣，即sin（ωx+φ）=﹣1
∴A=．
相邻两条对称轴之间的距离为，
可得，
即T=，
∴ω=2．
又∵f（）=，即sin（2×+φ）=
可得：cosφ=，
∵﹣＜φ＜0，
∴φ=
故得函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x），
（2）当x∈[，]上时，
可得：≤2x
当2x=时，f（x）取得最大值为：×=．不等式f（x）﹣m＜恒成立，
即恒成立．
∴实数m的取值范围是（，+∞）．
（3）由，
得．
设t=4x﹣，有，其图象如下：由上图可知，时，
曲线与y=m两个不同的交点，
即，方程f（x）=m有两个不同的实数根．
22．已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（﹣1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点．设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OASB的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J9：直线与圆的位置关系．
【分析】（1）利用配方法求出圆心坐标和半径，根据点的对称性求出对称圆心的坐标即可．
（2）根据向量关系以及对角线关系确定四边形为矩形，利用向量垂直的关系，转化为直线和圆相交的问题关系，利用消元法转化为根与系数之间的关系进行求解即可．
【解答】解：（1）C1：x2+y2+6x=0的标准方程为（x+3）2+y2=9，
则圆心为C1（﹣3，0）半径为3，
设C（x，y），
则，即，解得，
即C（1，﹣2），则关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9．
（2）过点（﹣1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点．设，则四边形OASB是平行四边形，
∵四边形OASB的对角线相等，
∴四边形OASB是矩形，
即OA⊥OB，
∵直线过点（﹣1，0），是圆C外的一点，
∴直线可设为斜率式y=k（x+1），
∵OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0，
即x1x2+k2（x1+1）（x2+1）=0，
即（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2=0，
将y=k（x+1），
代入（x﹣1）2+（y+2）2=9．
得（x﹣1）2+（kx+k+2）2=9．
即（1+k2）x2+2（k2+2k﹣1）x+（k2+4k﹣4）=0 则x1x2=，x1+x2=﹣，
代入（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2=0，
得入（k2+4k﹣4）﹣2k2??+k2=0，
即是（k2+2k﹣2）﹣k2??=0，
化简后2k﹣1=1 k=1所以直线的方程是y=x+1．