《走向清华北大》高考总复习 精品34基本不等式及其应用
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．“a >0且b >0”是“a ＋b
2
≥ab ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A
2．设a 、b ∈R ＋，且a ＋b ＝4，则有( ) A.
1
ab ≥12 B.1a ＋1b
≥1 C.ab ≥2
D.
1a 2
＋b 2≥1
4
解析：由a ，b ∈R *
，且a ＋b ＝4得2ab ≤4?ab ≤2，1ab ≥14，又由1a 2＋b 2≤
1? ????a ＋b 22＝14
，即
1a 2
＋b 2≤1
4
.由此可知，A ，C ，D 都不正确，则只有B 正确，故选B. 答案：B
3．设0 1－x 的最小值为( ) A ．(a －b )2 B ．(a ＋b )2 C ．a 2b 2 D ．a 2 解析：∵(1－x ＋x )(a 2x ＋b 21－x )＝(1－x )a 2 x ＋xb 21－x ＋a 2＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 .∴选 B. 答案：B 4．已知x 2 ＋y 2 ＝a ，m 2 ＋n 2 ＝b ，且a ≠b ，则mx ＋ny 的最大值是( ) A.ab B. a ＋b 2 C. a 2＋ b 2 2 D.12 a 2＋ b 2 分析：由条件x 2 ＋y 2 ＝a ，m 2 ＋n 2 ＝b 易联想到三角换元． 解析：令x ＝a cos α，y ＝a sin α，α∈[0,2π)， m ＝b cos β，n ＝b sin β，β∈[0,2π)， 则mx ＋ny ＝ab cos αcos β＋ab sin αsin β ＝ab (cos αcos β＋sin αsin β)＝ab cos(α－β)． ∵cos(α－β)≤1，∴mx ＋ny 的最大值为ab . 答案：A 评析：此题若使用均值不等式，即mx ＋ny ≤m 2＋x 22 ＋ n 2＋y 22＝ a ＋b 2 ，会错选B ，因为上述 不等式“＝”不能取得． 5．设a >b >c >0，则2a 2 ＋1ab ＋ 1a (a －b ) －10ac ＋25c 2 的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．2 5 D ．5 解析：原式＝a 2 ＋ 1 ab ＋ 1a (a －b )＋a 2－10ac ＋25c 2＝a 2＋1b (a －b )＋(a －5c )2≥a 2 ＋4a 2＋ 0≥4，当且仅当b ＝a －b 、a ＝5c 且a 2 ＝4a 2，即a ＝2b ＝5c ＝2时“＝”都成立，故原式的 最小值为4，选B. 答案：B 6．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.9 2 D.112 解析：依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，x ＋2y ≥4，当且仅当x ＋1＝2y ＋1，即x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值是4，选B. 答案：B 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．在“4 ＋9 ＝1”中的“__”处分别填上一个自然数，使它们的和最小，并求出其和 的最小值．________ 分析：.本题条件、结论皆开放，可设所要填写的两数分别为x ，y ，再利用均值定理去探索． 解析：设这两个自然数分别为x ，y ， 则有x ＋y ＝(x ＋y )? ?? ??4x ＋9y ＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋2 4y x ·9x y ＝25， 当且仅当4y x ＝9x y ，且4x ＋9 y ＝1，即x ＝10，y ＝15时等号成立，故分别填10和15，其和 的最小值为25. 答案：10 15 25 评析：本题解答的关键是将已知中的“1”代换．应用均值定理求函数的最值时，必须注意“一正二定三相等”． 8．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时 取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈? ????0，12)的最小值为________， 取最小值时x 的值为________． 解析：f (x )＝22 2x ＋32 1－2x ≥(2＋3) 2 2x ＋(1－2x ) ＝25. 当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝1 5 时上式取最小值，即[f (x )min ]＝25. 答案：25 1 5 9．(精选考题·重庆)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 解析：依题意得y ＝t ＋1 t －4≥2 t ·1t －4＝－2，此时t ＝1，即函数y ＝t 2 －4t ＋1 t (t >0) 的最小值是－2. 答案：－2 10．(精选考题·浙江)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 解析：由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2 －22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18. 答案：18 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．设a 、b 、c 为正数，求证bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c 分析：通过观察可得： bc a ·ca b ＝c 2，bc a ·ab c ＝b 2，ca b ·ab c ＝a 2 从而利用基本不等式即可． 证明：∵a 、b 、c 均是正数 ∴bc a ，ca b ， ab c 均是正数 ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bc a ≥2b 三式相加得：2? ?? ??bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c ) ∴bc a ＋ca b ＋ ab c ≥a ＋b ＋c 评析：先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质，(注意限制条件)通过相加(乘) 合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法． 12．设函数f (x )＝x ＋ a x ＋1 ，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值； (2)当0 a x ＋1 中， 得f (x )＝x ＋ 2x ＋1＝x ＋1＋2 x ＋1 －1. 由于x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1>0， 2 x ＋1 >0.所以f (x )≥22－1. 当且仅当x ＋1＝ 2 x ＋1 ，即x ＝2－1时，f (x )取得最小值，最小值为22－1. (2)因为f (x )＝x ＋ a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1 －1，(此时再利用(1)的方法，等号取不到) 设x 1>x 2≥0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋ a x 1＋1－x 2－a x 2＋1＝(x 1－x 2)·??? ? ?? 1－a (x 1＋1)(x 2＋1).