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人教版中考数学模拟卷及答案

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一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.中国人最早使用负数,可追溯到两千多年前的秦汉时期,﹣2020的相反数是()2.如图,是由一个圆柱和一个圆锥体组成的立体图形,其俯视图是()

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A.B.C.D.

3.将一块含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放,若∠1=85°,则∠2的度数是()

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A.70°B.65°C.55°D.60°

4.在一次函数y=(2m﹣1)x+1中,y的值随着x值的增大而减小,则它的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.下列计算正确的是()

A.4a2÷2a2=2a2B.(﹣a3)2=﹣a6

C.(﹣3a)+(﹣a)=﹣4D.(a﹣b)(﹣a﹣b)=b2﹣a2

6.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,AD为∠BAC的角平分线,则三角形ADC的面积为()

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A.3B.10C.12D.15

7.如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),点B(0,2),连结AB,将线段AB绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC,连接OC,则线段OC的长度为()

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A.4B.C.6D.

8.在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形,等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合,其余的两个顶点都在矩形的边上.这个等腰三角形剪法有()

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A.1B.2C.3D.4

9.如图,在△ABC中,AB=AC=10,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠A,tan∠CBF=,则BC的长为()

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A.B.C.D.

10.已知点A(m,y1)、B(m+2,y2)、C(x0,y0)在二次函数y=ax2+4ax+c(a≠0)的图象上,且C为抛物线的顶点.若y0≥y1>y2,则m的取值范围是()

A.m<﹣3B.m>﹣3C.m<﹣2D.m>﹣2

二、填空题(木大题共4个小题,每小题3分,共12分)

11.(3分)分解因式:a2﹣2a+1=.

12.(3分)正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为.

13.(3分)如图,在平面直角坐标系中菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点A、B横坐标分别为1,4,对角线BD∥x轴.若菱形ABCD的面积为10,则k的值为.

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14.(3分)如图,已知∠BAC=45°,线段DE的两个端点在角的两边AB,AC上运动,且DE=2.以线段DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,则AF的最大值为.

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三、解答题(本大题共11小题,计78分.解答应写出过程)

15.(5分)计算:+4cos260°﹣|﹣1|

16.(5分)解分式方程:+3=.

17.(5分)尺规作图:已知⊙O,求作:⊙O的内接正方形ABCD.(要求:不写作法,保留作图痕迹).

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18.(5分)如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,E,F为直线AD上的点,连接BE,CF,且BE∥CF.求证:DE=DF.

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19.(7分)某学校为了解学生的课外阅读情况,王老师随机抽查部分学生,并对其暑假期间的课外阅读量进行统计分析,绘制成如图所示但不完整的统计图,已知抽查的学生在暑假期间阅读量(阅读本数为正整数)为2本的人数占抽查总人数的20%,根据所给出信息,解答下列问题:

(1)求被抽查学生人数并直接写出被抽查学生课外阅读量的中位数;

(2)将条形统计图补充完整;

(3)若规定:假期阅读4本及4本以上课外书者为“优秀阅读者”,据此估计该校2500名学生中,在这次暑假期间“优秀阅读者”约有多少人?

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20.(7分)某学校有一栋教学楼AB,小明(身高忽略不计)在教学楼一侧的斜坡底端C处测得教学楼顶端A的仰角为60°,他沿着斜坡向上行走到达斜坡顶端E处,又测得教学楼顶端A的仰角为45°.已知斜坡的坡角(∠ECD)为30°,坡面长度CE=6m,求楼房AB的高度.(≈1.4,≈1.7结果保留整数)

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21.(7分)《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》于2019年12月起施行.某社区要投放A ,B 两种垃圾桶,负责人小李调查发现:

购买数量 种类 购买数量少于100个

购买数量不少于100个

A 原价销售 以原价的7.5折销售 B

原价销售

以原价的8折销售

若购买A 种垃圾桶80个,B 种垃圾桶120个,则共需付款6880元;若购买A 种垃圾桶100个,B 种垃圾桶100个,则共需付款6150元. (1)求A ,B 两种垃圾桶的单价各为多少元?

(2)若需要购买A ,B 两种垃圾桶共200个,且B 种垃圾桶不多于A 种垃圾桶数量的,如何购买使花费最少,最少费用为多少元?请说明理由.

22.(7分)小红和小丁玩纸牌优戏,如图是同一副扑克中的4张牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌面上.

(1)小红从4张牌中抽取一张,这张牌的数字为偶数的概率是 ;

(2)小红先从中抽出一张,小丁从剩余的3张牌中也抽出一张,比较两人抽取的牌面上的数字,数字大者获胜,请用树秋图或列表法求出的小红获胜的概率.

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23.(8分)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 与过点C 的切线互相垂直,垂足为点D ,AD 交⊙O 于点E ,连接CE ,CB .

(1)求证:CE=CB;

(2)若AC=,CE=2,求CD的长.

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24.(10分)设抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A(﹣1,0)、B(m,0),与y轴交于点C.且∠ACB=90°.

(1)求抛物线的解析式

(2)已知过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E,且点D(1,﹣3)在抛物线上问:在x轴上是否存在点P,使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似?若存在,请求出所有符合要求的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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25.(12分)问题探究:

(1)如图1,∠AOB=45°,在∠AOB内部有一点P,分别作点P关于边OA、OB的对称点P1,P2顺次连接O,P1,P2,则△OP1P2的形状是三角形.

(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,AD⊥BC于D,AD=2+,求:△ABC的面积.

问题解决:

(3)如图3,在四边形ABCD内有一点P,点P到顶点B的距离为10,∠ABC=60°,点M、N分别是AB、BC边上的动点,顺次连接P、M、N,使△PMN在周长最小的情况下,面积最大,问:是否存在这种情况?若存在,请求出△PMN的面积的最大值;若不存在,请说明理由.

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参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.A

【解析】:﹣2020的相反数是2020,

故选:A.

2.A

【解析】:从上边看是一个有圆心的同心圆,

故选:A.

3.C

【解析】:如图所示,∵AB∥CD,

∴∠1=∠BAC=85°,

又∵∠BAC是△ABE的外角,

∴∠2=∠BAC﹣∠E=85°﹣30°=55°,

故选:C.

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4.C

【解析】:∵在一次函数y=(2m﹣1)x+1中,y的值随着x值的增大而减小,

∴2m﹣1<0.

∵2m﹣1<0,1>0,

∴一次函数y=(2m﹣1)x+1的图象经过第一、二、四象限,∴一次函数y=(2m﹣1)x+1的图象不经过第三象限.

故选:C.

5.D

【解析】:4a2÷2a2=2,故选项A错误;

(﹣a3)2=a6,故选项B错误;

(﹣3a)+(﹣a)=﹣4a,故选项C错误;

(a﹣b)(﹣a﹣b)=b2﹣a2,故选项D正确;

故选:D.

6.D

【解析】:作DH⊥AC于H,如图,

在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,

∴AC==10,

∵AD为∠BAC的角平分线,

∴DB=DH,

∵×AB×CD=DH×AC,

∴6(8﹣DH)=10DH,解得DH=3,

∴S△ADC=×10×3=15.

故选:D.

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7.D

【解析】:如图,作CH⊥x轴于H.

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∵A(3,0),B(0,2),

∴OA=3,OB=2,

∵∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°,

∴∠BAO+∠HAC=90°,∠HAC+∠ACH=90°,∴∠BAO=∠ACH,

∵AB=AC,

∴△ABO≌△CAH(AAS),

∴AH=OB=2,CH=OA=3,

∴OH=OA+AH=3+2=5,

∴C(5,3),

∴OC===,

故选:D.

8.C

【解析】:有两种情况:

①当∠A为顶角时,如图1,此时AE=AF=5cm.

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②当∠A为底角时,有两种情况:如图2,图3,

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此时AE=EF=5cm.

故选:C.

9.B

【解析】:连接AE,

∵AB为直径,

∴AE⊥BC,

∵AB=AC,

∴∠EAB=∠CAB,EB=CE=CB,

∵∠CBF=∠CAB,tan∠CBF=,

∴∠CBF=∠EAB,tan∠EAB==,

在RT△AEB中,AB=10,

设BE=x,则AE=3x,

故x2+(3x)2=102,

解得:x=EB=,

故CB=2.

故选:B.

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10.B

【解析】:抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2,∵C为抛物线的顶点,

∴x0=﹣2,

∵y0≥y1>y2,

∴抛物线开口向下,

∵m<m+2,y0≥y1>y2,

∴当点A(m,y1)和B(m+2,y2)在直线x=﹣2的右侧,则m≥﹣2;

当点A(m,y1)和B(m+2,y2)在直线x=﹣2的两侧,则﹣2﹣m<m+2﹣(﹣2),解得m>﹣3;

综上所述,m的范围为m>﹣3.

故选:B.

二、填空题(木大题共4个小题,每小题3分,共12分)

11.(a﹣1)2.

【解析】:a2﹣2a+1=a2﹣2×1×a+12=(a﹣1)2.

故答案为:(a﹣1)2.

12.2:.

【解析】:设正六边形的半径是r,

则外接圆的半径r,

内切圆的半径是正六边形的边心距,因而是r,

因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2:.

故答案为:2:.

13.

【解析】:如图,连接AC交BD于E,

∵四边形ABCD为菱形,

∴AC⊥BD,AE=CE,DE=BE,

∵BD∥x轴,

设A(1,k),B(4,),

∴BE=3,AE=k﹣=k,

∵菱形ABCD的面积为10,

∴4S△ABE=10,

即4××3×k=10,解得k=.

故答案为.

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14.+1+.

【解析】:如图,当AF⊥DE时,AF的值最大,设AF交DE于H,在AH上取一点M,使得AM=DM,连接DM.

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∵FD=FE=DE=2,AF⊥DE,

∴DH=HE,AD=AE,∠DAH=∠DAE=22.5°,

∵AM=DM,

∴∠MAD=∠MDA=22.5°,

∴∠DMH=∠MDH=45°,

∴DH=HM=1,

∴DM=AM=,

∵FH==,

∴AF=AM+MH+FH=+1+.

∴AF的最大值为+1+,

故答案为:+1+.

三、解答题(本大题共11小题,计78分.解答应写出过程)

15.【解析】:原式=2+4×()2﹣(﹣1)

=2+4×﹣+1

=2+1﹣+1

=+2.

16.【解析】:去分母得:2+3x﹣6=x﹣1,

解得:x=1.5,

经检验x=1.5是分式方程的解.

17.【解析】:如图

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正方形ABCD即为所求作的图形.

18.【解答】证明:∵AD是△ABC的中线,

∴BD=CD.

∵BE∥CF,

∴∠FCD=∠EBD,∠DFC=∠DEB.

在△CDE和△BDF中

∴△CDF≌△BDE(AAS),

∴DE=DF.

19.(7分)【解析】:(1)10÷20%=50,∴被调查的人数为50,被抽查学生课外阅读量的中位数3;

(2)50﹣4﹣10﹣15﹣6=15,

补充如图;

(4)2500×1050(人),

答:估计该校2500名学生中,在这次暑假期间“优秀阅读者”约有1050人.20.(7分)【解析】:过E作EF⊥AB于F,

则四边形BDEF是矩形,

∴EF=DB,BF=DE,

在Rt△CDE中,∵∠EDC=90°,CE=6m,∠DCE=30°,

∴DE=3m,CD=3m,

设BC=xm,

∵∠AEF=45°,

∴EF=AF=BD=(3+x)m,

∴AB=AF+BF=(3+3+x)m,

在Rt△ABC中,tan60°===,

解得:x=6+3,

∴AB≈19m.

答:楼房AB的高度大约为19米.

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21.(7分)【解析】:(1)设A种垃圾桶的单价为x元,B种垃圾桶的单价为y元,根据题意得

解得,

答:A种垃圾桶的单价为50元,B种垃圾桶的单价为30元;

(2)设购买A种垃圾桶为a个,则购买B种垃圾桶为(200﹣a)个,根据题意得,

解得a≥150;

设购买A,B两种垃圾桶的总费用为W元,则

W=0.75×50a+30(200﹣a)=7.5a+6000,

∵k=7.5>0,

∴W随x的增大而增大,

∴当a=150时,花费最少,最少费用为:7.5×150+6000=7125(元).

答:购买A种垃圾桶150个,B种垃圾桶50个花费最少,最少费用为7125元.22.(7分)【解析】:(1)4张牌中有3张是偶数这张牌的数字为偶数的概率是.故答案为.

(2)解:画树状图为:

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共有12种等可能的结果数,其中小红获胜的结果数为6,所以小红获胜的概率==.

23.(8分)【解答】(1)证明:连接OC、OE,

∵CD是⊙O的切线,

∴OC⊥CD,

∵AD⊥CD,

∴OC∥AD,

∴∠DAC=∠OCA,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∴∠DAC=∠OAC,

由圆周角定理得,∠BOC=2∠OAC,∠EOC=2∠DAC,∴∠BOC=∠EOC,

∴CE=CB;

(2)解:由(1)可知,BC=CE=2,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

∴AB===3,

∵∠DAC=∠BAC,∠ADC=∠ACB=90°,

∴△DAC∽△CAB,

∴=,即=,

解得,DC=.

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24.(10分)【解析】:(1)令x=0,得y=﹣2,

∴C(0,﹣2),

∵∠ACB=90°,CO⊥AB,

∴△AOC∽△COB,

∴OA?OB=OC2

∴OB===4,

∴m=4,

∴B(4,0),

将A(﹣1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx﹣2得,解得,

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;

(2)解得,,,

∴E(6,7),

过E作EH⊥x轴于H,则H(6,0),

∴AH=EH=7,

∴∠EAH=45°,

过D作DF⊥x轴于F,则F(1,0),

∴BF=DF=3

∴∠DBF=45°,

∴∠EAH=∠DBF=45°,

∴∠DBH=135°,90°<∠EBA<135°

则点P只能在点B的左侧,有以下两种情况:

①若△DBP1∽△BAE,则=,

∴BP1===

∴OP1=4﹣=,

∴P1(,0);

②若△DBP2∽△BAE,则=,

∴BP2===

∴OP2=﹣4=,

∴P2(﹣,0).

综合①、②,得点P的坐标为:P1(,0)或P2(﹣,0).

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25.(12分)【解析】:(1)如图1中,△OP1P2是等腰直角三角形.

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理由:∵点P关于边OA、OB的对称点分别为P1,P2,

∴OP=OP1=OP2,∠AOP=∠AOP1,∠BOP=∠BOP2,

∵∠AOB=45°,

∴∠P1OP2=2(∠AOP+∠BOP)=90°,

∴△OP1P2是等腰直角三角形.

故答案为等腰直角.

(2)如图2中,在AD上取一点E,使得AE=EC,连接EC.

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∵AB=AC,AD⊥BC,

∴∠EAC=∠BAC=15°,

∵EA=EC,

∴∠EAC=∠ECA=15°,

∴∠DEC=∠EAC+∠ECA=30°,设CD=BD=x,则EC=EA=2x,DE=x,∵AD=2+,

∴2x+x=2+,

∴x=1,

∴BC=2CD=2,

∴S△ABC=?BC?AD=×2×(2+)=2+.

(3)如图3中,不存在.

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理由:∵点P关于AB,BC的对称点分别为M,N,

∴PB=BM=BN=10,∠PBA=∠ABM,∠PBC=∠CBN,

∵∠ABC=60°,

∴∠MBN=2(∠ABP+∠PBC)=120°,

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