人教版中考数学模拟卷及答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣2020的相反数是（）2．如图，是由一个圆柱和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（）

A．B．C．D．

3．将一块含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若∠1＝85°，则∠2的度数是（）

A．70°B．65°C．55°D．60°

4．在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而减小，则它的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

5．下列计算正确的是（）

A．4a2÷2a2＝2a2B．（﹣a3）2＝﹣a6

C．（﹣3a）+（﹣a）＝﹣4D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2

6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（）

A．3B．10C．12D．15

7．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，2），连结AB，将线段AB绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为（）

A．4B．C．6D．

8．在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形，等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上．这个等腰三角形剪法有（）

A．1B．2C．3D．4

9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠A，tan∠CBF＝，则BC的长为（）

A．B．C．D．

10．已知点A（m，y1）、B（m+2，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≥y1＞y2，则m的取值范围是（）

A．m＜﹣3B．m＞﹣3C．m＜﹣2D．m＞﹣2

二、填空题（木大题共4个小题，每小题3分，共12分）

11．（3分）分解因式：a2﹣2a+1＝．

12．（3分）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为．

13．（3分）如图，在平面直角坐标系中菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点A、B横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为10，则k的值为．

14．（3分）如图，已知∠BAC＝45°，线段DE的两个端点在角的两边AB，AC上运动，且DE＝2．以线段DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，则AF的最大值为．

三、解答题（本大题共11小题，计78分.解答应写出过程）

15．（5分）计算：+4cos260°﹣|﹣1|

16．（5分）解分式方程：+3＝．

17．（5分）尺规作图：已知⊙O，求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．

18．（5分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．求证：DE＝DF．

19．（7分）某学校为了解学生的课外阅读情况，王老师随机抽查部分学生，并对其暑假期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图，已知抽查的学生在暑假期间阅读量（阅读本数为正整数）为2本的人数占抽查总人数的20%，根据所给出信息，解答下列问题：

（1）求被抽查学生人数并直接写出被抽查学生课外阅读量的中位数；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）若规定：假期阅读4本及4本以上课外书者为“优秀阅读者”，据此估计该校2500名学生中，在这次暑假期间“优秀阅读者”约有多少人？

20．（7分）某学校有一栋教学楼AB，小明（身高忽略不计）在教学楼一侧的斜坡底端C处测得教学楼顶端A的仰角为60°，他沿着斜坡向上行走到达斜坡顶端E处，又测得教学楼顶端A的仰角为45°．已知斜坡的坡角（∠ECD）为30°，坡面长度CE＝6m，求楼房AB的高度．（≈1.4，≈1.7结果保留整数）

21．（7分）《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》于2019年12月起施行．某社区要投放A ，B 两种垃圾桶，负责人小李调查发现：

购买数量 种类 购买数量少于100个

购买数量不少于100个

A 原价销售 以原价的7.5折销售 B

原价销售

以原价的8折销售

若购买A 种垃圾桶80个，B 种垃圾桶120个，则共需付款6880元；若购买A 种垃圾桶100个，B 种垃圾桶100个，则共需付款6150元． （1）求A ，B 两种垃圾桶的单价各为多少元？

（2）若需要购买A ，B 两种垃圾桶共200个，且B 种垃圾桶不多于A 种垃圾桶数量的，如何购买使花费最少，最少费用为多少元？请说明理由．

22．（7分）小红和小丁玩纸牌优戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上．

（1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为偶数的概率是 ；

（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树秋图或列表法求出的小红获胜的概率．

23．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ，连接CE ，CB ．

（1）求证：CE＝CB；

（2）若AC＝，CE＝2，求CD的长．

24．（10分）设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB＝90°．

（1）求抛物线的解析式

（2）已知过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E，且点D（1，﹣3）在抛物线上问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）问题探究：

（1）如图1，∠AOB＝45°，在∠AOB内部有一点P，分别作点P关于边OA、OB的对称点P1，P2顺次连接O，P1，P2，则△OP1P2的形状是三角形．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝2+，求：△ABC的面积．

问题解决：

（3）如图3，在四边形ABCD内有一点P，点P到顶点B的距离为10，∠ABC＝60°，点M、N分别是AB、BC边上的动点，顺次连接P、M、N，使△PMN在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在这种情况？若存在，请求出△PMN的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．A

【解析】：﹣2020的相反数是2020，

故选：A．

2．A

【解析】：从上边看是一个有圆心的同心圆，

故选：A．

3．C

【解析】：如图所示，∵AB∥CD，

∴∠1＝∠BAC＝85°，

又∵∠BAC是△ABE的外角，

∴∠2＝∠BAC﹣∠E＝85°﹣30°＝55°，

故选：C．

4．C

【解析】：∵在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而减小，

∴2m﹣1＜0．

∵2m﹣1＜0，1＞0，

∴一次函数y＝（2m﹣1）x+1的图象经过第一、二、四象限，∴一次函数y＝（2m﹣1）x+1的图象不经过第三象限．

故选：C．

5．D

【解析】：4a2÷2a2＝2，故选项A错误；

（﹣a3）2＝a6，故选项B错误；

（﹣3a）+（﹣a）＝﹣4a，故选项C错误；

（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故选项D正确；

故选：D．

6．D

【解析】：作DH⊥AC于H，如图，

在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，

∴AC＝＝10，

∵AD为∠BAC的角平分线，

∴DB＝DH，

∵×AB×CD＝DH×AC，

∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，

∴S△ADC＝×10×3＝15．

故选：D．

7．D

【解析】：如图，作CH⊥x轴于H．

∵A（3，0），B（0，2），

∴OA＝3，OB＝2，

∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，

∴∠BAO+∠HAC＝90°，∠HAC+∠ACH＝90°，∴∠BAO＝∠ACH，

∵AB＝AC，

∴△ABO≌△CAH（AAS），

∴AH＝OB＝2，CH＝OA＝3，

∴OH＝OA+AH＝3+2＝5，

∴C（5，3），

∴OC＝＝＝，

故选：D．

8．C

【解析】：有两种情况：

①当∠A为顶角时，如图1，此时AE＝AF＝5cm．

②当∠A为底角时，有两种情况：如图2，图3，

此时AE＝EF＝5cm．

故选：C．

9．B

【解析】：连接AE，

∵AB为直径，

∴AE⊥BC，

∵AB＝AC，

∴∠EAB＝∠CAB，EB＝CE＝CB，

∵∠CBF＝∠CAB，tan∠CBF＝，

∴∠CBF＝∠EAB，tan∠EAB＝＝，

在RT△AEB中，AB＝10，

设BE＝x，则AE＝3x，

故x2+（3x）2＝102，

解得：x＝EB＝，

故CB＝2．

故选：B．

10.B

【解析】：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵C为抛物线的顶点，

∴x0＝﹣2，

∵y0≥y1＞y2，

∴抛物线开口向下，

∵m＜m+2，y0≥y1＞y2，

∴当点A（m，y1）和B（m+2，y2）在直线x＝﹣2的右侧，则m≥﹣2；

当点A（m，y1）和B（m+2，y2）在直线x＝﹣2的两侧，则﹣2﹣m＜m+2﹣（﹣2），解得m＞﹣3；

综上所述，m的范围为m＞﹣3．

故选：B．

二、填空题（木大题共4个小题，每小题3分，共12分）

11．（a﹣1）2．

【解析】：a2﹣2a+1＝a2﹣2×1×a+12＝（a﹣1）2．

故答案为：（a﹣1）2．

12．2：．

【解析】：设正六边形的半径是r，

则外接圆的半径r，

内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r，

因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．

故答案为：2：．

13．

【解析】：如图，连接AC交BD于E，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，AE＝CE，DE＝BE，

∵BD∥x轴，

设A（1，k），B（4，），

∴BE＝3，AE＝k﹣＝k，

∵菱形ABCD的面积为10，

∴4S△ABE＝10，

即4××3×k＝10，解得k＝．

故答案为．

14．+1+．

【解析】：如图，当AF⊥DE时，AF的值最大，设AF交DE于H，在AH上取一点M，使得AM＝DM，连接DM．

∵FD＝FE＝DE＝2，AF⊥DE，

∴DH＝HE，AD＝AE，∠DAH＝∠DAE＝22.5°，

∵AM＝DM，

∴∠MAD＝∠MDA＝22.5°，

∴∠DMH＝∠MDH＝45°，

∴DH＝HM＝1，

∴DM＝AM＝，

∵FH＝＝，

∴AF＝AM+MH+FH＝+1+．

∴AF的最大值为+1+，

故答案为：+1+．

三、解答题（本大题共11小题，计78分.解答应写出过程）

15．【解析】：原式＝2+4×（）2﹣（﹣1）

＝2+4×﹣+1

＝2+1﹣+1

＝+2．

16．【解析】：去分母得：2+3x﹣6＝x﹣1，

解得：x＝1.5，

经检验x＝1.5是分式方程的解．

17．【解析】：如图

正方形ABCD即为所求作的图形．

18．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD．

∵BE∥CF，

∴∠FCD＝∠EBD，∠DFC＝∠DEB．

在△CDE和△BDF中

，

∴△CDF≌△BDE（AAS），

∴DE＝DF．

19．（7分）【解析】：（1）10÷20%＝50，∴被调查的人数为50，被抽查学生课外阅读量的中位数3；

（2）50﹣4﹣10﹣15﹣6＝15，

补充如图；

（4）2500×1050（人），

答：估计该校2500名学生中，在这次暑假期间“优秀阅读者”约有1050人．20．（7分）【解析】：过E作EF⊥AB于F，

则四边形BDEF是矩形，

∴EF＝DB，BF＝DE，

在Rt△CDE中，∵∠EDC＝90°，CE＝6m，∠DCE＝30°，

∴DE＝3m，CD＝3m，

设BC＝xm，

∵∠AEF＝45°，

∴EF＝AF＝BD＝（3+x）m，

∴AB＝AF+BF＝（3+3+x）m，

在Rt△ABC中，tan60°＝＝＝，

解得：x＝6+3，

∴AB≈19m．

答：楼房AB的高度大约为19米．

21．（7分）【解析】：（1）设A种垃圾桶的单价为x元，B种垃圾桶的单价为y元，根据题意得

，

解得，

答：A种垃圾桶的单价为50元，B种垃圾桶的单价为30元；

（2）设购买A种垃圾桶为a个，则购买B种垃圾桶为（200﹣a）个，根据题意得，

解得a≥150；

设购买A，B两种垃圾桶的总费用为W元，则

W＝0.75×50a+30（200﹣a）＝7.5a+6000，

∵k＝7.5＞0，

∴W随x的增大而增大，

∴当a＝150时，花费最少，最少费用为：7.5×150+6000＝7125（元）．

答：购买A种垃圾桶150个，B种垃圾桶50个花费最少，最少费用为7125元．22．（7分）【解析】：（1）4张牌中有3张是偶数这张牌的数字为偶数的概率是．故答案为．

（2）解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6，所以小红获胜的概率＝＝．

23．（8分）【解答】（1）证明：连接OC、OE，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠DAC＝∠OCA，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠OAC，

由圆周角定理得，∠BOC＝2∠OAC，∠EOC＝2∠DAC，∴∠BOC＝∠EOC，

∴CE＝CB；

（2）解：由（1）可知，BC＝CE＝2，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AB＝＝＝3，

∵∠DAC＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△DAC∽△CAB，

∴＝，即＝，

解得，DC＝．

24．（10分）【解析】：（1）令x＝0，得y＝﹣2，

∴C（0，﹣2），

∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，

∴△AOC∽△COB，

∴OA?OB＝OC2

∴OB＝＝＝4，

∴m＝4，

∴B（4，0），

将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得，解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（2）解得，，，

∴E（6，7），

过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），

∴AH＝EH＝7，

∴∠EAH＝45°，

过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0），

∴BF＝DF＝3

∴∠DBF＝45°，

∴∠EAH＝∠DBF＝45°，

∴∠DBH＝135°，90°＜∠EBA＜135°

则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：

①若△DBP1∽△BAE，则＝，

∴BP1＝＝＝

∴OP1＝4﹣＝，

∴P1（，0）；

②若△DBP2∽△BAE，则＝，

∴BP2＝＝＝

∴OP2＝﹣4＝，

∴P2（﹣，0）．

综合①、②，得点P的坐标为：P1（，0）或P2（﹣，0）．

25．（12分）【解析】：（1）如图1中，△OP1P2是等腰直角三角形．

理由：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为P1，P2，

∴OP＝OP1＝OP2，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，

∵∠AOB＝45°，

∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝90°，

∴△OP1P2是等腰直角三角形．

故答案为等腰直角．

（2）如图2中，在AD上取一点E，使得AE＝EC，连接EC．

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠EAC＝∠BAC＝15°，

∵EA＝EC，

∴∠EAC＝∠ECA＝15°，

∴∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝30°，设CD＝BD＝x，则EC＝EA＝2x，DE＝x，∵AD＝2+，

∴2x+x＝2+，

∴x＝1，

∴BC＝2CD＝2，

∴S△ABC＝?BC?AD＝×2×（2+）＝2+．

（3）如图3中，不存在．

理由：∵点P关于AB，BC的对称点分别为M，N，

∴PB＝BM＝BN＝10，∠PBA＝∠ABM，∠PBC＝∠CBN，

∵∠ABC＝60°，

∴∠MBN＝2（∠ABP+∠PBC）＝120°，