第七辑 平面向量专题
一，基本概念
1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。
2，向量的表示：几何表示为有向线段（如图）；字母表示为a 或者AB 。 3，向量的大小：即是向量的长度（或称模）
4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为，零向量方向是任意的。
5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用、
1=
1=
6，平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。若平行于，则表示为∥。
7，相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。若a 与b 相等，记为a =b
8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。若a 与b 是相反向量，则表示为=-；向量-=
二，几何运算
1，向量加法：
（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：
（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示，
（3）两个向量和仍是一个向量；
（4）向量加法满足交换律、结合律：a b b a +=+，)()(c b a
c b a ++=++ （5）加法几种情况（加法不等式）：
= << = 2，减法：
（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图=- （2）两向量差依旧是一个向量；
（3）减法本质是加法的逆运算：CB CA AB CB AC AB =+?=- 3，加法、减法联系：
（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，AC AD AB =+，=- （2=，则四边形ABCD 为矩形
B
A
a
C
B A
?
a
b
a b
a
b
b
a +
4，实数与向量的积：
（1）实数λ与向量a 的积依然是个向量，记作a λ，它的长度与方向判断如下：
当0>λ时，a λ与a 方向相同；当0<λ时，a λ与a 方向相反；当0=λ时，0=a λ；当0=a 时，0=a λ
；=λ（2）实数与向量相乘满足：)()(λμμλ= μλμλ+=+)( λλλ+=+)( 5，向量共线：
（1）向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得λ= （2）如图，平面内C B A ,,三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数q n m ,,， 使得=++n m q ，且0=++q n m ，反之也成立。 （3）AC AB λ=，则OC OA OB λλ+-=)1(（证明略） 6，向量的数量积
（1
）数量积公式：=
?=?θθcos cos （2）向量夹角θ：同起点两向量所夹的角，范围是[]
0180,0∈θ
（3）零向量与任一向量的数量积为0，即00=?a （4
）数量积与夹角关系：b a ≤?≤
00=θ 00900<<θ 090=θ 0018090<<θ 0180=θ
=?
0>?> 0=?
>?>0
=?
（5
=
θcos 称为b 在a
=
θcos a 在b 的方向上的投影
（6）重要结论：直角三角形ABC 中，2
=? （7）向量数量积的运算律：
2a =
e =（向量e 为与a 方向相同的单位向量） ?=?
)()()(λλλ?=?=? =?+)(?+?
2222)(+?+=+ 2222)(+?-=- 2
2)()(-=-?+
b
a
b a b
a
b
a b
a
三，坐标运算
1，平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数μλ,，使得21e e a μλ+=，我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（证明略）
2，坐标定义：如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,j 作为基底。任作一个向量，
由向量的基本定理可知，有且只有一对实数，使得：y x +=，我们把),(y x 叫做
向量的（直角）坐标，记作),(y x =，其中x 、y 分别为向量的横纵坐标。这个式子
叫做向量的坐标表示。
3，如图，已知点),(11y x A =，),(22y x B =，由向量的坐标定义可知，
),(11y x =，),(22y x =，),(1212y y x x --=-=由此可知，一个向量
的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标，即，),(1212y y x x --=
4，向量的加减乘坐标运算：已知),(11y x =，),(22y x =
（1）加、减、乘：),(2121y y x x ++=+ ),(2121y y x x --=- 2121y y x x +=? （2）实数与向量乘积的坐标运算：),(11y x a λλλ= （3
2
2222121,y x y x +=+=
（4）b a ,夹角余弦值22
22
21
2
1
2121cos y
x y x y y x x +?++=
θ
5，向量间关系的坐标形式，已知),(11y x =，),(22y x = （1）)(,//≠的充要条件是，01221=-y x y x
（2）若,⊥则有0=?，即02121=+y y x x
6，柯西不等式的向量形式
设向量),(),,(d c n b a m ==，则有bd ac n m +=?，
2222d c b a ++=
，因为n m ?，所以有柯西不等
式的向量形式：2222d c b a bd ac ++≤+，化简得：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+
y
x
B
A
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