1 引言
结构动力学，作为一门课程也可称作机械振动，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。此后另一个重要的发展时期，是与约翰·伯努利，欧拉，达朗贝和拉格朗日等人的名字分不开的。1788年，即牛顿的《自然哲学的数学原理》问世一百年后，拉格朗日在总结了这一时期的成果之后，发表了《分析力学》，为分析动力学奠定了基础，其主要内容就是今天的拉格朗日力学。经典力学分析方法随后的发展主要归功于泊桑，哈密尔顿，雅克比，高斯等人。他们提出新的观念，而这些观念却和哈密尔顿联系在一起，因为质点力学中的基本问题，在这里是用哈密尔顿正则方程来表达的，力学的这一个分支如今称为哈密尔顿力学。也可以这样认为，牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。
经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，迄今已有150余年的历史。但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间内，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的范畴内用静力学的方法来解决工程实际问题。
随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。
重所周知，1946年在美国诞生了世界上第一台电子计算机。在半个多世纪的时间里，计算机得到了超出人们想象的飞速发展。计算机改变了人们的生活，完善了现代工业体系，也给工程领域带来了深刻的变革。而结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革，其主要原因也正是由于电子计算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。由于电子计算机的超快速度的计算能力，使得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。目前，由于广泛地应用了快速傅立叶变换（FFT），促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。总之，计算机革命带来了结构动力学求解方法的本质改变。
作为一门课程，结构动力学的基本体系和内容主要包括以下几个部分：单自由度系统结构动力学（Single Degree of Freedom Systems）简称为SDOF；多自由度系统结构动力学（Multi Degree of Freedom Systems）简称为MDOF；连续系统结构动力学（Distributed Parameter Systems）。此外，如果系统上所施加的动力荷载是确定性的，该系统就称为确定性结构动力系统；而如果系统上所施加的动力荷载是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。
在结构工程专业的硕士研究生阶段，已经学习了结构动力学这门课程。在博士研究生阶段，所要求掌握的高等结构动力学的内容是在硕士阶段学习知识基础上的深入和提高，重点应在于能够熟练运用结构动力学的基本理论和方法建立大型复杂动力结构体系的数学模型并正确求解。本课程报告将按照结构动力学的基本理论体系作概要性的介绍。
2 经典动力学理论
2．1 基本概念和基本原理
2. 1. 1 基本概念
下面列举几个在结构动力学中将反复出现的重要概念。对这些概念的正确理解是深刻掌握结构动力学基本理论的必要前提。
1．自由度：自由度是给定力学系统的重要特征，自由度数等于总的坐标数目减去独立的约束方程数目。
2．广义坐标：任何一组能够明确表示系统位形(Configuration)的参数。
3．真实位移：系统实际所发生的位移，应当满足运动学方程，约束方程和初始条件。
4．可能位移：系统中满足约束方程的无穷小位移，不需满足运动学方程和初始条件。
5．虚位移：任意两个可能位移之差。
6．约束力：由约束物体作用在质点上的力。
7．主动力：除去约束力之外的其它的力。
8．虚功：主动力及约束力在虚位移上所作的功。
9．约束：假定系统相对位置在可能方向上运动的限制。
10．理想约束（无功约束）：是这样一种双面约束，对于与约束相一致的任意虚位移，相应约束力的总虚功为零。
2. 1. 2 虚功原理
由约翰·伯努利在1717年首先作为力学的普遍原理提出，其重要应用是在力学系统的静平衡研究方面。文字表述如下：对于受有理想约束而初始处于静止的定常系统，其静平衡的充要条件是诸主动力在符合约束的任意虚位移中所作的总虚功为零。
公式表述为： ∑==?=N i i i W 10δδ (2.1)
由于对于连续系统保守力所作功等于系统势能的改变量，故将真实力所作功分为保守力所作的功和非保守力所作的功是便于建立系统的平衡方程的，既有下列两式，这是虚功原理的另外一种表述形式，式中V δ是系统势能的改变。
非保守力保守力真实力＋＝W W δδδW (2.2)
V δδ-＝保守力W (2.3)
2. 1. 3 达朗贝原理
达朗贝原理实质上是牛顿第二定律的另一种表述形式，即：作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之和（矢量和）等于零。
公式表述为： 0=-+i i i r m
(2.4) 利用这一原理，可以把一个动力学问题转化为一个静力学问题来求解，即所谓的动静法。在结构动力学中更为普遍应用的是达朗贝原理的拉格朗日形式。
公式表述为： ∑∑===?-=?-N
i N i i i i i i i r R r r m F 110)( δδ (2.5)
2. 1. 4 拉格朗日方程
牛顿力学是矢量力学，着重于系统各部分相关的力和运动，在建立动力学方程时需要考虑系统各部分之间的相互作用力且需考虑各约束力。而拉格朗日力学是分析力学，是把系统作为一个整体来考虑，并利用动能，位能等标量函数来描述一个动力学系统。对这些函数进行某些运算，往往就能求得一组完整的运动方程而毋需明显地解出作用于系统各部分的约束力。由于假定动力系统所受到的约束通常都是理想约束，则利用拉格朗日方程在建立动力学方程时就不需要考虑约束力，比直接利用牛顿第二定律建立动力学方程要简洁得多。
若系统是完整的，并且系统的位形由一组独立的广义坐标诸q 来描述，则完整系统拉格朗日方程的标准形式为：
),,2,1(0n i q L q L dt d i i ==??-???? ???? (2.6)
其中，L 叫做拉格朗日函数，表述为系统动能和位能的差。
()()()t q V t q q T t q
q L ,,,,,-= (2.7)
即(2.6)式也可表示为： ()n i Q q V q T q T dt d i i i i ,2,1==??+??-???? ???? (2.8)
在导出上述公式时，所强加的限制是坐标i q 为独立的，因此对于非线性系统及线性系统都是正确的。而对于广义坐标数目大于自由度数的完整系统或非完整系统，引入拉格朗日乘子之后也可得到其相应的方程：
()M i Q g f g V g T g
T dt d i C j i j j i i i ,2,11==??-??+??-???? ????∑=λ (2.9)
其中，i g 表示不独立的坐标，n M >。
2. 1. 5 哈密尔顿原理 哈密尔顿原理是经典动力学中一个十分重要的变分原理，首次发表于1834年。其表达为：在位形空间中完整动力学系统于固定的时间区间0t 到1t 内所经过的实际路径能使积分?=10t t Ldt I 对
于路径变更来说取驻值，而在路径的端点上这些变更都为零。 从数学分析中可以得知，当()t q
q L ,, 和()t q 具有所要求的平滑度时，而且诸q δ是独立时，则作为0=I δ的充要条件是：),,2,1(0n i q L q L dt d i i ==??-???? ????
上式实际上就是(2.6)拉格朗日方程。因此哈密尔顿原理和拉格朗日方程对于所假定的系统是等价的，两者可以相互导出，从这个意义上来说，拉格朗日方程是哈密尔顿原理用微分方程来表达的一种形式。哈密尔顿原理把力学的基本方程归结为一个物理概念明确的简单形式0=I δ，表现了自然定律的一种最完美的形式。
2．2 单自由度系统(SDOF)
2. 2. 1 SDOF 系统的数学模型
单自由度系统的数学模型可以由牛顿第二定律来建立，当然也可以由虚位移原理和拉格朗日方程来建立，SDOF 系统的动力学基本方程为：
()t p ku u c u
m r r r =++ (2.10) 方程(2.10)是简单的质—弹—阻尼系统的基本方程，该方程是一个二阶常系数线性非齐次常微分方程，可以很方便地求出其解析解。如果考虑系统受到一定输入的支座激励，则具有支座激励的SDOF 系统动力学基本方程为：
()z
m t p kw w c w m -=++ (2.11) 2. 2. 2 SDOF 系统的自由振动
SDOF 系统动力学基本方程(2.10)中，质量m 在一般情况下为常量，用m 除(2.10)可以得到一个二阶线性常系数非齐次常微分方程：
()t p k u u u n n
n ???? ??=++222ωωξω (2.12)
式中， m k n =2ω； cr
c c =ξ 上式中， km k m c n
n cr 222===ωω n ω称为无阻尼固有圆频率，
单位为弧度/秒；ξ是一个无量纲的参量，称为粘滞阻尼因数；cr c 称为临界阻尼系数。
方程(2.12)的解即系统的总响应是由两个不同性质部分的线性组合。一部分是强迫振动，直接与()t p 有关；另一部分是固有运动即自由振动。二者叠加即为方程的解。因此，SDOF 系统自由振动的基本方程即(2.12)的齐次部分：
022=++u u u n n ωξω (2.13)
对方程(2.13)求其解可得到无阻尼固有圆频率n ω。根据线性粘滞阻尼因数ξ的大小，可以将粘滞阻尼系统分为三种情况：弱阻尼()10<<ξ，临界阻尼()1=ξ和过阻尼()1>ξ。在弱阻尼的情况下，运动是幅值逐渐衰减的摆动；过阻尼的情况是不发生摆动，并且幅值慢慢地衰减；对于临界阻尼系统，则不发生摆动，并且幅值的衰减比弱阻尼和过阻尼的情况都快。
对于一般的工程结构均属于弱阻尼情况。由于一个实际系统的阻尼通常是由节点的松度，材料的内阻尼等构成的，因此需要采用试验方法确定某些SDOF 系统的动力特性，如无阻尼固有圆频率和阻尼因数。通常采用静态变位测试确定固有圆频率，采用对数衰减法或半幅值法确定阻尼因数。
2. 2. 3 SDOF 系统简谐激励响应
动力响应指在外加动力荷载的激励下，SDOF 系统的受迫运动。也即在求解SDOF 系统自由振动的无阻尼固有圆频率n ω的基础上，对方程(2.12)进行求解。
最简单同时也最重要的外加激励是简谐激励，即外加动力荷载是按照时间的正弦或余弦函数变化的。在简谐激励中，强迫运动又称为稳态响应。对于给定激励幅值为0p 和激励频率为常数Ω的无阻尼SDOF 系统，即t p t p Ω=cos )(0的简谐激励，可以解得系统得总响应为：
t A t A t r U u n n ωωsin cos cos 12120
++Ω??
? ??-= (2.14) 式中，n r ωΩ
= 称为频比，表示简谐激励的激励频率Ω与无阻尼固有圆频率n ω之比。当r 的
值等于1时，无阻尼固有圆频率与外界激励相等，这叫做发生了共振。很明显，当外界激励频率接近共振时，系统响应就变得非常之大。因此，从结构设计的基本原则出发，就是要避免结构发生共振。
对于简单的质—弹—阻尼系统，即可用粘滞阻尼因数ξ来表示系统阻尼时，可以解得系统得总响应为： ()()[]()()t A t A e t r r U u d d t n ωωαξξωsin cos cos 2121212220++-Ω+-=- (2.15)
2. 2. 4 SDOF 系统一般动力响应
对于SDOF 系统的一般动力激励响应，通常有三种方法可以得到响应的解析表达式：杜哈梅(Duhamel)积分法（时域解），拉普拉斯(Laplance)变换法（拉域解），傅立叶(Fourier)变换法（频域解）。
杜哈梅积分法是以叠加原理为依据的，根据单位脉冲激励的叠加来求解，故仅对线性系统有效。由于任何一个周期函数都可以用傅立叶级数来表示，任何一个非周期函数可以用傅立叶积分来表示，所以通过傅立叶变换，就可以用有限项的叠加来近似给出任意激励函数的简谐叠加，因简谐激励响应由上所述可求得解析解，故通过傅立叶变换可以求解得到任意动力荷载作用下的激励响应。对任意输入的响应，理论上可以采用杜哈梅积分法求解，但积分计算的工作量可能会非常大。在实际工程设计中，外界激励往往是以已知自动记录曲线的形式给出的，例如以时间为函数的地面加速度曲线，而并不是给出其解析表达式，在这种情形下，就只能采用数值计算的方法来求解了。
2．3 多自由度系统(MDOF)
2. 3. 1 MDOF 系统的数学模型
实际上的动力学系统都是连续系统，为了能够在一个连续系统中生成一个N 个自由度的MDOF 模型，可以假定该连续系统的位移能够近似表示为：
()()()∑==N
i i i t u x t x u 1
,ψ (2.16)
其中()x i ψ为假定的N 个振型函数，即相当于把这一连续系统看作包含N 个独立广义坐标()t u i 的MDOF 系统。然后以(2.16)代入动能，位能和非保守力虚功的表达式，应用拉格朗日方程推导得到MDOF 系统的动力学基本方程为：
P Ku u C u
M =++ (2.17) 这里应注意所选用的振型函数()x i ψ必须为一组线性独立的函数，每个()x i ψ所具有的导数必须等于位能中所出现的阶数，并且必须满足所有的位移边界条件。
2. 3. 2 MDOF 系统的自由振动
求解MDOF 系统自由振动的动力特性，首先仍然是要求解出系统的无阻尼固有圆频率。这是一个N 阶代数特征值问题，需要求解特征方程()0det 2=-m k ω。其结果为N 次2
ω的多项式公式，根为特征值，即固有频率的平方2r ω。这些频率可以从低到高排列：
2222210N r ωωωω≤≤≤≤≤ (2.18) 相应于每一个特征值2
r ω将有一个特征向量，即固有模态r ?： N r r
N r ,,2,121 =??????????????=???? (2.19) 模态仅是确定内部的一个定数乘子，可用任何方便的方式度量。
2. 3. 3 MDOF 系统的动力响应 对线性MDOF 系统，且为非耦连阻尼效应时，可采用振型叠加法求解其动力响应。振型叠加法包括振型位移法和振型加速度法，核心思想是：首先解得自由振动下的频率r ω和模态r ?，然后将模态r ?集成为模态矩阵Φ，利用模态矩阵Φ进行坐标变换，将物理坐标变换为主坐标，从而实现动力学方程的解耦。在求得系统的固有频率和模态后，将其正规化，根据模态来集成模态矩阵Φ， []n φφφ,,,21 =Φ (2.20)
在振型叠加的过程中的关键步骤是要导出坐标变换：
()()()∑==Φ=N
r r r t t t u 1ηφη (2.21)
坐标()t r η称为主坐标。将方程(2.21)代入(2.17)，同时将方程结果乘以T
Φ，得到主坐标的运动方程，即： ()t P K C M =++ηηη
(2.22) 其中： 模态质量矩阵 ΦΦ=m M T
模态阻尼矩阵 ΦΦ=C C T
模态刚度矩阵 ΦΦ=K K T (2.23) 模态力向量 ()t p t P T Φ=)( 方程(2.22)为利用主坐标变换之后的解耦的动力学方程，则下面就可以应用SDOF 系统的动力响应求解方法来对其求解了。
3 动力学问题数值求解方法
求解MDOF系统的自由振动和动力响应往往需要使用数值计算的方法进行求解，下面简单介绍工程结构常用的自由振动的数值求解方法和动力响应的非线性分析方法。
3．1 工程结构自由振动数值求解方法
3. 1. 1 概述
MDOF系统自由振动方程在数学上来讲就是特征值方程。特征值方程的解不仅给出了系统的特征值，即结构的自振频率和振型（模态），而且通过振型叠加法还能使结构在动力荷载作用下的运动方程解耦。因此，特征值问题的求解技术对于解决结构振动问题是至关重要的。
对于实际的工程结构，自由度数目可能从几个直到几十万个，对这些结构自由振动动力特性的求解就必须依赖于电子计算机，通过一定的方法编制上机程序来求解。从总体上来讲，求解特征值的方法大致可分为三种类型，多项式求根法，向量迭代法，矩阵变换法。此三种类型求解方法的大致分类如下：
1．多项式求根法：如行列式搜索法，Sturm序列法。
2．向量迭代法：如直接迭代法，逆迭代法(Vianello法和Stodola法)，谱漂移法等。
3．矩阵变换法：如Jacobi法，Lanczos法，Givens法，Householder法，QR法等。
由于在解题中有多种方法可供选择，那么在实际求解之前就必须对以上诸种方法进行选择。总的来说，最直接影响选择特征解的因素是：
1．自由度数目N的大小。
2．矩阵带宽，系统质量矩阵M和刚度矩阵K。
3．所需要解算的特征值和特征向量的数目。
因此，在这里就有必要对一些常用求解方法作大概介绍，以便根据实际需要选择使用。
3. 1. 2 Stodola法
用Stodola法求解结构的振型和自振频率是通过向量迭代进行运算的。首先通过假定初始振型，经过迭代调整一直到获得满意的结果，然后再确定结构的自振频率。如果振型形状事先可以估计，那么，迭代过程收敛较快，事先估计振型形状的正确与否仅影响迭代收敛的快慢而不影响最终的结果。
Stodola法是一种向量的逆迭代法，适用于具有几个到十几个自由度的小型动力系统。是计算结构的最低振型及相应频率的有效方法之一，但其求解的精度随着振型阶次的提高而逐渐降低，一般来讲，迭代所得的后一阶振型的精度要比前一阶振型的精度大致降低一位有效数字。可以通过特征值平移法来改善求解精度上的不足。
3. 1. 3 Holzer法
Holzer法也是一种向量的逆迭代法，适用于具有几个到十几个自由度的小型动力系统。与Stodola法不断调整所假定的振型形状不同，Holzer法反其道而行之，其基本求解思路是：先假定初始振动频率，经过迭代调整直到满足边界条件为止，这时可以得到真正的频率，而振型也就在满足边界条件的过程中确定了。
3. 1. 4 Rayleigh法
用来求解结构系统最小特征值及其相应特征矢量的近似解的最一般的方法就是Rayleigh法。通过广义刚度矩阵和广义质量矩阵的商得到的值又称作Rayleigh商，Rayleigh商的最为重要的性质即它在第一振型附近有一个极小值，可以相当精确的近似等于结构的第一阶特征值，即系统的
基频。Rayleigh商的值与结构系统的质量矩阵和刚度矩阵有关，并且和动力激励荷载有关。需要注意的是Rayleigh商将永远大于系统的基频，因此Rayleigh商可以作为系统基频的上限。
3. 1. 5 Rayleigh-Ritz法
虽然应用Rayleigh法可以较为精确地求解得到系统的第一振型，但在结构动力分析中，为了得到较为精确的结果，常常需要一个以上的振型。Ritz把Rayleigh法加以推广，是计算前几个振型的最为方便的方法之一。其基本假设是用一组假设的形状矢量和一组幅值来表示位移矢量，其实质是缩减自由度方法的一种。通过坐标的变换公式，把具有N个自由度的体系转化为用2s个广义坐标和相应的假定Ritz基表示的2s个自由度体系，这样就使得求解变得相对容易些。
用Rayleigh-Ritz法求得的近似频率，对最低几个振型一般精度较高，而对较高阶的振型精度就相对差得多。其解的精度与基矢量的选取有关。
3. 1. 6 子空间迭代法
前述几种求解结构体系自由振动频率和振型的解法大多适用于自由度数目较小的小型动力体系。而对于实际的结构，其自由度的数目往往会达到几千个，甚至有时会达到几十万个。针对如此超大型的结构体系，不可能也没有必要求解其所有的振型和频率，而往往仅需要知道其最低的若干阶振型。因此，为适应这种求解需要，产生了基于多种计算技术基础之上的子空间迭代法。
子空间迭代法可以求解结构体系的前面最低的p阶频率和振型，是用来解决大型结构振动问题的发展较早的富有成效的方法之一。其基本点在于假设r个起始向量同时进行迭代以求得矩阵的前s(s 3. 1. 7 Ritz向量直接迭代法 Ritz向量直接迭代法的基本点是：根据荷载空间分布模式按一定规律生成一组Ritz向量，在将系统运动方程转换到这组Ritz向量空间以后，对于已缩减了的标准特征值问题只要求解一次，再经过坐标系的变换，就可得到原系统运动方程的部分特征值。由于此方法不需要象子空间迭代法一样进行多次迭代，所以称之为直接迭代。 实际计算表明，Ritz向量直接迭代法比子空间迭代法有更高的计算效率，计算工作量经常只有后者的几分之一，甚至十几分之一。并且在计算动力响应时，常常有较高的收敛速度。如果用相同数目的部分振型进行叠加，Ritz向量直接迭代法可以有比子空间迭代法更高的精度。 3. 1. 8 Lanczos方法 Lanczos方法同Ritz向量直接迭代法本质上是一致的，两者采用基本相同的步骤生成一组相互正交的Lanczos向量（Ritz法是Ritz向量）。其主要区别在于初始向量的选取和迭代过程中向量之间相互正交技术的选择，从而会影响到整个求解过程的效率和精度。由于Lanczos方法高效的计算效率和求解精度，该方法近些年来受到越来越多的重视。著名的大型有限元分析软件ANSYS7.0对于大型结构系统特征值的求解，就是把Lanczos方法作为推荐首选方法的。 总之，随着复杂结构系统特征值分析求解的深入研究，Ritz向量直接迭代法，Lanczos法以及其它一些有效算法正处在不断发展之中。 3．2 非线性结构动力响应 3. 2. 1 概述 振型叠加法仅适用于求解线性结构的动力响应，并且还要求结构体系应具有非耦连的阻尼效应。对于工程实际中存在的结构动力响应，比如在强烈地震作用下的建筑物的弹塑性动力时程分析，结构体系就不再允许被看作是线性的。在类似情形，结构的刚度和阻尼不再随时间线性变化， 其结果就使得在动力方程中的刚度矩阵和阻尼矩阵中的元素是时间的非线性函数。 因此，为解决类似非线性结构的动力响应问题，就出现了响应的求解方法，其中最一般也最为有效的方法就是逐步积分法，或者叫做直接数值积分法。所谓“直接”，就是指在进行数值计算之前，并没有将原方程经过某种数学上的变换，变成另一种形式再来计算，而是直接对系统的动力学方程求解。下面将简单介绍这种方法。 3. 2. 2 逐步积分法核心求解思想 逐步积分法可用来求解线性和非线性结构体系，并且适用于任意阻尼情况。该方法的核心思想包含以下两点： 1．设想运动方程并不是在任意的时间t 都能得到满足，而仅仅在时间间隔为Δt 的若干个离散的时间点上得到满足。 2．在时间间隔Δt 内，对于位移，速度，加速度的变化应作出某些假设。 不同的逐步积分法的差异就在于第二点的假设有所不同，当然，计算结果的精度，稳定性和计算的费用也直接和这些假设有关。 在结构系统的动力分析中，原则上可以认为是考虑了与加速度有关的惯性力和与速度有关的阻尼力的作用后，在时刻t 的静力平衡。因此，可以这样认为，逐步积分法对在整个时间历程中动力特性表现为非线性的结构进行了微小时间间隔Δt 内的线性化。本来，在整个时间历程中，结构体系的刚度矩阵和阻尼矩阵中的元素是时间的非线性函数。但如果选取的时间间隔Δt 相对于结构的最小自振周期来说足够小，那么在每个微小的时间间隔内，就可以以各个时间间隔的起始点处的切线刚度和切线阻尼来表示结构的刚度和阻尼，用增量平衡方程来代替非线性结构系统的动力学平衡方程来求解，从而可以求得其动力响应。 根据在时间间隔Δt 内，对于位移，速度，加速度的变化作出假设的不同，主要有以下几种逐步积分的求解方法：中心差分法，平均加速度法，线性加速度法和Wilson-θ法。其中Wilson-θ法是用来求解非线性结构动力响应的最为有效的方法。 对于逐步积分法来说，求解的精度，算法的稳定性与计算所需费用是相互制约的。一般情况下，计算所需费用（即计算所需运算量）与求解所需时间步长（间隔）Δt 的步数成比例。因此，在逐步积分的求解过程中，选取一个合适的时间步长是非常重要的。大多情况下，可以将时间步长选定为最短周期的十分之一。 3. 2. 3 线性加速度法 下面简介求解单自由度体系非线性动力响应的线性加速度法。该方法的思路是，把整个振动过程分成很多个时间间隔Δt ，一般称作步长，即一步一步按照相同的程序算出x ，从而得到x 的 整个时程值。现在假定已选定了时间步长Δt ，并假设在某一步开始时的位移i x ，速度i x 和加速度i x 都已算出。那么，为了计算Δt 以后的响应，假定在Δt 范围内加速度按直线规律变化，此时，位移对时间的三阶导数为常数： ()常数=??=?-=+t x t x x x i i i 1 (3.1) 将位移响应x 在时间t i 开始时按泰勒级数展开，并注意到(3.1)式，则有： 6232 ττττt x x x x x i i i ??+++= (3.2) 对(3.2)式求导运算，可以得到已位移增量表示的速度增量和加速度增量： () i i x x t x t x 3662-?-??=? (3.3) i i x t x x t x 2 33?--??=? (3.4) 用来求解位移增量的动平衡方程为： ()()i i t P x t k ~~?=? (3.5) 式中， ()()()()i i i t c t m t t k t k ?+?+=36~ 2 ()()()??? ???++??? ??+?+?=?i i i i i i i x t x t c x x t m t P t P 2336~ 解方程(3.5)，得出位移增量后，再将此值代入(3.4)中，即可得到速度增量。于是下一时段开始时的位移及速度可从这些增量值求得。重复以上计算过程，就可以算得各时刻得位移响应。 在使用线性加速度法进行数值分析中，包含了两个重要假定：一是加速度为线性变化；二是阻尼和刚度特性在时间步长内保持为常量。一般而言，时间步长很短时误差会很小，但这两个假定毕竟都不是完全正确的。误差一般是在增量平衡关系中出现，而这些误差将会逐渐积累。为避免这种误差的过多积累，在分析的每一步中，要利用总的动平衡条件，来计算时间步长起点处的加速度。 线性加速度法的精度取决于步长Δt 的大小。在选取步长大小时，应主要考虑：作用荷载的变化速率；非线性阻尼和刚度特性的复杂性；结构的振动周期。线性加速度法是一种有条件稳定的算法，一般如果能满足 10 1≤?T t ，T 为结构的振动周期，则就可获得可靠的结果。 3. 2. 4 Wilson －θ法 由于线性加速度法是有条件稳定的，在数值分析中可能需要试算步长Δt 的大小。因此，如果考虑将其适当修正，就有可能提高求解的精度。Wilson-θ法就是这样一种算法，它的基本假定仍然是加速度按线性变化且其范围延伸到时间步长Δt 之外： 37.1,≥??=θθτt (3.6) 当1=θ时，该方法就化为标准的线性加速度法。 Wilson-θ法的增量平衡方程类似于线性加速度法的相应方程，此处不再列出。可以证明，只有当37.1≥θ时，该方法时无条件稳定的算法。但θ具体应当取为多大的值合适，一般需要进行试算比较。许多较为复杂的结构体系的动力响应分析，标明Wilson-θ法是一种行之有效的方法，在多数情况下，取4.1=θ可以得出较好的结果。 4 结语 本文简要介绍了高等结构动力学中一些基本概念和方法。目前，结构动力学的发展已经从确定性结构动力学向概率性结构动力学发展，并广泛应用在地震工程当中。应当指出的是，随着计算机硬件的飞速发展，计算理论的进一步研究，结构动力学这门学科始终还处在快速发展过程之中，其理论和方法也必将越来越直接地服务于工程实际。 主要参考文献： ［1］R .W .克拉夫, J. P. 彭津著；王光远译．结构动力学［M］．北京: 科学出版社，1981． ［2］Ray W . Clough, Joseph Penzien．Dynamics of Structures［M］．New York: McHill, 1993． ［3］Roy R . Craig, Jr著；常岭，李振邦译．结构动力学［M］．北京: 人民交通出版社，1996． ［4］俞载道．结构动力学基础［M］．上海: 同济大学出版社，1987． ［5］K .J .巴特, E. L.威尔逊著；林公豫，罗恩译．有限元分析中的数值方法［M］．北京: 科学出版社，1985．［6］张汝清．计算结构动力学［M］．重庆: 重庆大学出版社，1987． ［7］陆鑫荣．高等结构动力学［M］．上海: 上海交通大学出版社，1992．
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