计算圆中的线段
圆中的计算，是进几年中考试题热点。而圆中的线段的计算就是其中的一类。下面就这类问题归纳如下，供学习时参考。
1、求圆的半径
例1、如图1，在⊙O 中，弦的长为cm ，圆心O 到AB 距离为4cm ，则⊙O 的半径长 为（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm
解析：当知道圆的一条弦长和圆心到该弦的距离时，
常是作出这条距离，然后根据垂径定理、勾股定理，就可以求
出圆的半径了。
如图2，连接OA ，过点O 作OC ⊥AB 垂足为C ，根据垂径定理，
得： AC=BC=32
1=AB cm ，因为，圆心O 到AB 距离为4cm ， 所以，OC=4 cm ，在Rt 直角三角形AOC 中，根据勾股定理，得：222OA OC AC =+，所
以，OA==+22345，即圆的半径为5cm ，因此，选C 。
例2、如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交BC 于D ．
若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径．
解析：根据垂径定理可以知道线段EB 的长，设出圆的半径，然后用半
径表示出OE ，这样就可以在Rt 直角三角形OEB 中，根据勾股定理，就
可以求出圆的半径了。
因为，OD ⊥BC ， 所以，BE ＝CE =12
BC =4． 设⊙O 的半径为R ，则OE =OD -DE=R -2．
在Rt △OEB 中，由勾股定理得
OE 2＋BE 2=OB 2，即(R-2)2＋42=R 2．
解得R ＝5，∴⊙O 的半径为5。
例3、如图4，ABC △内接于⊙O ，30C ∠=
，2AB =，则⊙O 的半径为（ ）
A B ．2 C ． D ．4
解析：当知道圆的一条弦长和该弦所对的
圆周角时，常是经过这条弦的一个端点，
作出圆的一条直径，然后利用圆周角定理，
把所有的已知条件都迁移到刚才所作的直
径所对圆周角的直角三角形中，就可以求
出圆的半径了。
如图5，过点B 作圆的直径BD ，交圆于点
D ，连接AD ，，根据圆周角定理，得：
∠C=∠D=30°，∠DAB=90°
所以，在Rt 直角三角形ADB 中，因为，∠D=30°，AB=2，所以，DB=4，所以，圆的半径为2cm ，因此，选B 。
2、求圆的直径
例4、如图，已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC =5，DC =3，AB =24，则⊙O 的直径等于 。
解析：这是一道值得探讨的好题。好在结论的获得有着
不同的途径，也就是说，它是一道一题多解的命题。下
面我们就介绍一种解法如下：
解：过点A 作圆的直径AE ，交圆O 于点E ，连接BE ，
如图4，所示，在Rt 直角三角形ADC 中，根据勾股定理，
得：2
22DA DC AC =-，所以，AD==-22354， 又因为，AE 是圆的直径，所以∠ABE=90°，
所以，∠ABE=∠ADC ，又因为，∠C=∠E ，
所以，△ABE ∽△ADC ，所以，AB ：AD=AE ：AC ，所以，AE==?AD AC AB 4
524?=52， 所以圆O 的直径为52。
例5、小明要用圆心角为120°，半径是27cm 的扇形纸片(如图)围成一个圆锥形纸帽，做成
后这个纸帽的底面直径为____________cm ．(不计接缝部分，材料不剩余)
解析：这是一道圆锥侧面展开问题。解决问题的关键：圆锥底面圆的周长等于侧面展开后扇形的弧长。这样，就建立起等式。
设圆锥底面圆的直径为xcm ，扇形的弧长为L ，
所以，圆锥底面圆的周长为：πxcm ，
扇形的弧长为：L=ππ18180
27120=??cm ，根据题意得： πx=18π，解得：x=18，所以，纸帽的底面直径为18cm 。
3、 求圆中弦长
例6、如图6，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线．若大圆半径为10cm ，小圆半径为6cm ，则弦AB 的长为 ．
解析：因为大圆的弦AB 是小圆的切线，不妨设切点为D ，
如图7，连接 OD ，根据切线的性质，
得：OD ⊥AB ，根据垂径定理，得：AD=DB=AB 2
1， 连接OA ，则OA=10，OD =6，
在Rt 直角三角形AOD 中，根据勾股定理，得：
222DA DO AO =-，所以，AD==-226108，
所以，弦AB=2AD=16（cm ）。
例7、如图8，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD=6，则BC ＝ 。 解析：因为BD 为 ⊙O 的直径，根据圆周角定理，得：
∠C=∠D ，∠DAB=90°。
又因为，∠BAC=120°，AB=AC ，
所以，∠C=∠CBA=∠D=30°，∠DBA=60°，所以，∠DBC=30°
在Rt 直角三角形ABD 中，得：cos30°=BD
AD ， 又AD=6， 所以，BD==23
643，
如图8，连接DC ，则∠BCD=90°，在Rt 直角三角形BCD 中，∠DBC=30°，BD=43， 得：cos30°=BD BC ，BC=43×2
3=6。 4、求切线的长
例8、如图9，AB AC ，是⊙O 的两条切线，切点分别为B C ，，连结OB OC ，，在⊙O 外作BAD BAO ∠=∠，AD 交OB 的延长线于点D ．如果⊙O 的半径为3，
1sin 2
OAC ∠=
，试求切线AC 的长； 解：AC ∵切⊙O 于点C ，OC AC ⊥∴， 在Rt ACO △中，11sin 22
OC OAC OA ∠==∵，∴， 3OC =∵，6AO =∴。
由勾股定理，得AC
5、求圆心的坐标
例9、如图10，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，
，(80)B ，，与y 轴相切于点C ，则圆心M 的坐标是 ．
解析：
如图11，连接MC ，因为，点C 是切点，
所以，MC ⊥y 轴，也就是说MC 的长度就是圆心M 的横坐标，
过圆心M 作MD ⊥AB ，垂足为D ，也就是说MD 的长度就是圆心M 的纵
坐标，
因为，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴相切于点C ，
所以，OA=2，OB=8，AB=6，
根据切割线定理，得：OB OA OC ?=2
，
所以，OC=4，
又AB=6，MD ⊥AB ，根据垂径定理，得：AD=DB=3，
所以，OD=OA+AD=3+2=5，所以，MC= OD=5，MD=OC=4，
所以，圆心M的坐标为（5，4）。
希望以上归纳的圆的有关线段的计算，对你的学习能有所帮助。
圆中的证明与计算及圆与三角形、四边形 知识点圆中的重要知识点 【知识梳理】 1、圆中的重要概念 2、圆中的重要定理 3、易与圆结合的其他知识 【例题精讲一】垂径定理 例1.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°。（1）求证：弧CF＝弧BC；（2）若CD＝6，分别求BE、GF的长。
（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝2 4，ON＝1，求⊙O的半径。 3、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。 （1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。
【课堂练习】 1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F，连接BF。 （1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF＝DF，BE＝5，CH＝3，求⊙O半径。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF。 （1）求证：∠BAD＝∠F；（2）若EF＝25，AC＝4，求⊙O的半径。
【例题精讲二】圆周角定理 例2.1、如图，CD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且∠ADC＝∠DAB＋∠ACD，AB交CD于E。 （1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝10，求AC的长。 2、在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。 （1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，AC＝10，BD＝8，求CE的长。
专题一线段的有关计算 1、若点B在直线AC上，AB=12，BC=7，则A，C两点的距离是． 2、已知点B在直线AC上，线段AB=8cm，AC=18cm，P、Q分别是线段AB、AC的中点，则线段PQ=． 3、如图，已知点C为AB上一点，AC=12cm，CB=AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长． 4、已知线段AB上顺次有三个点C、D、E，把线段AB分成2：3：4：5四部分，且AB=56cm．（1）求线段AE的长；（2）若M、N分别是DE、EB的中点，求线段MN的长度． 5、如图，线段AB=8cm，C是线段AB上一点，AC=3.2cm，M是AB的中点，N是AC的中点． （1）求线段CM的长；（2）求线段MN的长．
6、如图，己知线段AB上，顺次有三个点C、D、E，把线段AB分成2：3：4：5四部分，CE=56，求BD的长． 7、如图，A、B、C、D是直线l上顺次四点，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=6cm，BC=1cm，求AD的长． 8、如图，动手操作如图，平面内有A、B、C、D 四点，按下列语句画图： （1）画射线AB，直线BC，线段AC；（2）延长CA；（3）连接AD与BC相交于点E．
专题二角度的有关计算 1、25°20′24″=°，34.37°=°′″． 2、下午1点24分，时针与分针所组成的度． 3、计算：①33°52′+21°54′=；②36°27′×3=，175°26′÷3=． 4、如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数． 5、如图，点O是直线AB上一点．∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数． 6、如图，点A，O，E在同一条直线上，∠AOB=40°，∠COD=28°，OD平分∠COE．（1）求∠COE的度数．（2）求∠BOD的度数．
教学目标 知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题 过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为:
一、线段计算题：（word 可编辑） 1、如图，点D 为线段CB 的中点，AD=8cm ，AB=10cm ，求CB 的长度． 解：∵ DB=AB ﹣AD ， ∴DB=10-8=2cm ∵点D 为线段CB 的中点 BC=2BD=4cm ． 2、如图，已知C 点为线段AB 的中点，D 点为BC 的中点，AB ＝10cm ，求AD 的长度。 解：∵C 点为线段AB 的中点， AB ＝10cm ∴152 AC CB AB cm === ∵D 点为BC 的中点， ∴1 2.52 CD BC cm = = ∴5 2.57.5AD AC CD cm =+=+= 答：AD 的长度为7.5cm 。 3、已知C ，D 两点将线段AB 分为三部分，且AC ：CD ：DB=2：3：4，若AB 的中点为M ，BD 的中点为N ，且MN=5cm ，求AB 的长． 解：设AC=2x ，CD=3x ，DB=4x ， ∴AB=AC+CD+DB=9x ， ∵AB 的中点为M ， ∴MB= AB=4.5x ， ∵N 是DB 的中点， ∴NB= DB=2x ， ∴MB ﹣NB=MN ， ∴4.5x ﹣2x=5， ∴2.5x=5， ∴x=2， ∴AB=9x=18cm 4、如图，M 是线段AC 中点，B 在线段AC 上，且AB=2cm 、BC=2AB ，求BM
长度． 解：∵AB=2cm，BC=2AB，∴BC=4cm， ∴AC=AB+BC=2+4=6cm， ∵M是线段AC中点， ∴AM= AC=3cm， ∴BM=AM﹣AB=3﹣2=1cm． 故BM长度是1cm． 5、如图，已知AB：BC：CD=2：3：4，E、F分别为AB、CD中点，且EF=15．求线段AD的长． 解：设AB=2x，BC=3x，CD=4x，∵E、F分别是AB和CD的中点， ∴BE= AB=x，CF= CD=2x， ∵EF=15cm， ∴BE+BC+CF=15cm， ∴x+3x+2x=15， 解得：x= ， ∴AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x= cm 6、已知AB=10cm，点C在直线AB上，如果BC=4cm，点D是线段AC的中点，求线段BD的长度． 解：∵AB=10cm，BC=4cm，点C在直线AB上，∴点C在线段AB上或在线段AB的延长线上． ①当点C在线段AB上时，如图①， 则有AC=AB﹣BC=10﹣4=6． ∵点D是线段AC的中点， ∴DC= AC=3， ∴DB=DC+BC=3+4=7； ②当点C在线段AB的延长线上时，如图②，
线段与角的计算 一、选择题 1.如图，下列不正确的几何语句是（ ） A.直线AB 与直线BA 是同一条直线 B.射线OA 与射线OB 是同一条射线 C.射线OA 与射线AB 是同一条射线 第1题图 D.线段AB 与线段BA 是同一条线段 2 . 已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算 6 1 （α+β）的结果依次是28°、48°、60°、88°，其中只有一人计算正确，他是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 已知A 、B 两点之间的距离是10 cm ，C 是线段AB 上的任意一点，则AC 中点与BC 中点 间的距离是（ ） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.不能计算 4、下列各直线的表示法中，正确的是（ ）. A 、直线A B 、直线AB C 、直线ab D 、直线Ab 5、一个钝角与一个锐角的差是（ ）. A 、锐角 B 、钝角 C 、直角 D 、不能确定 6、下列说确的是（ ）. A 、角的边越长，角越大 B 、在∠AB C 一边的延长线上取一点 D C 、∠B=∠ABC+∠DBC D 、以上都不对 7、下列说法中正确的是（ ）. A 、角是由两条射线组成的图形 B 、一条射线就是一个周角 C 、两条直线相交，只有一个交点 D 、如果线段AB=BC ，那么B 叫做线段AB 的中点 8、同一平面互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）. A 、可能是0个，1个，2个 B 、可能是0个，2个，3个 C 、可能是0个，1个，2个或3个 D 、可能是1个可3个
9、下列说法中，正确的有（）. ①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短； ④若AB=BC，则点B是线段AC的中点． A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 10、钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为（）. A、90° B、82.5° C、67.5° D、60° 11、按下列线段长度，可以确定点A、B、C不在同一条直线上的是（）. A、AB=8cm，BC=19cm，AC=27cm B、AB=10cm，BC=9cm，AC=18cm C、AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm D、AB=30cm，BC=12cm，AC=18cm 12．汽车车灯发出的光线可以看成是( ) A．线段 B．射线 C．直线 D．弧线 13．下列图形中表示直线AB的是( ) A B C D 14．下列说确的是( ) A．平角是一条直线 B．角的边越长，角越大 C．大于直角的角叫做钝角 D．把线段AB向两端无限延伸可得到直线AB 15．木匠在木料上画线，先确定两个点的位置，就能把线画得很准确，其依据是( ) A．两点确定一条直线 B．两点确定一条线段 C．过一点有一条直线 D．过一点有无数条直线 16．如图，若∠AOC＝∠BOD，则∠AOD与∠BOC的关系是( ) A．∠AOD>∠BOC B．∠AOD<∠BOC C．∠AOD＝∠BOC D．无法确定
课题： 课型：新授课 教学目标： 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力； 2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题，训练学生的数学应用能力； 3．使学生了解计算公式的同时，体验公式的变式，使学生在合作与竞争中形成良好的数学品质． 教学重点： 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形的面积计算公式；会利用公式解决问题． 教学难点： 探索弧长及扇形的面积计算公式；用公式解决问题． 教学准备： 多媒体课件、几何画板软件． 教法学法： 多媒体教学、演示教学和自主探究法 教学过程： 一、创设情境，引入新课． 师：今天大家是怎么来上学的？ 生：自行车/电动车/步行/坐十路车． 师：看来咱们班多数同学一天的学习生活都是从车轮开始的． 生发出会心的笑声． 师：大家看这辆自行车，它的车轮的半径是30cm，车轮转动一周，车子将会前进多少？
生：60πcm ． 师：这实际上就是利用圆的周长公式计算的，那圆的面积公式是什么？圆的圆心角是多少度？ 生：若圆的半径是r ，则面积是2S r π=，圆的圆心角是360°． 师：看得出来同学们对一整个圆已经是相当的了解了，我们今天要来把圆剖析一下，来研究一下“弧长及扇形的面积”（板书课题）． 设计意图：激发学生的求知欲望，肯定学生的合理答案． 二、师生互动，探究新知 活动1 探索弧长公式 师：我们知道车轮转动一周是360°，那如果车轮转动180°，车子将会前进多少厘米？ 生：30πcm ．因为车轮转动180°，是转动了半圈，所以车子前进的距离是圆周长的一半． 师：那如果车轮转动了90°，车子将会前进多少厘米？ 生：15πcm ．因为车轮转动90°，是转动了四分之一圈，所以车子前进的距离是圆周长的一半． 师：那如果车轮转动1°呢？转动n °呢？ 小组研讨交流、计算． 师参与、辅助、组织学生阐述解决问题的方法． 生：因为圆的周长所对的圆心角是360°，所以车轮转动1°，车子将前进圆周长的 1 360 ；车轮转动n °，车子前进的距离是车轮转动1°时的n 倍，也就是圆周长的360n ．所以，当车轮转动1°时，车子前进 11 2306360180 r πππ?=?=cm; 当车轮转动n °时，车子前进2303601806 n n n r πππ?=?=cm. 师：同学们能不能通过以上探究总结一下在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式是什么？ 学生思考． 生： 180 n l r π= ． 师：是的，这里同学们要特别注意，公式中的n 表示的是1°的圆心角的倍数，所以不写单位；如图所示?AB 的弧长记作： ?180 l n AB r π=．请同学们记住这个公式． 学生识记公式． 设计意图：关于弧长的计算，我从一个生活中的实际问题出发，设计了5个小问题，从具体到抽象，让小组的同学讨论分
7. 如图，在⊙O 中，弦AD//BC ,DA=DC, ∠AOC=1600，则∠BCO 等于( ) A. 200 B . 300 C400 D. 500 第3题 1. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=1600, 则∠BAD 的度数是 ，∠BCD 的度数是 . 2. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB 上，则∠DPC = . 3. 如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB, E 是AD 上一点，若∠BCD=350，求∠AED 的度数． （第11题） 7. 如图，弦AB, CD 相交于点E , 弧 AD =600, 弧 BC =400，则∠AED= . （第12题） 8. 如图，P 为圆外一点，PA 交圆于点A,B ，PC 交圆于点C, D, 弧 BD =750, 弧 AC =150，则∠P= _____ 9．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________． 10．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____． 11．如图11，AB 为圆O 的直径，弧BC=弧BD, BC BD =，∠A=25°，则∠BOD=______． 12．如图12所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC?的三边所得的弦长相等，?则∠BOC=（ ） A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° 13、 如图，在⊙O 中，已知AB=BC 3:4,= 求∠AOC 的度数． （第13题） （第14题） （第15题） 14. 如图，在△ABC 中，∠BAC = 900，以AB 为直径画圆，交BC 于点D ．如果CD=BD,则 AD 等于（ ） A.300 B. 450 C. 600 D. 900 B A C Ｃ第16题
线段和角精选练习题 资料由小程序：家教资料库整理 一．选择题（共22小题） 1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（） A．圆柱B．圆锥C．圆台D．四棱柱 2．如图，线段AD上有两点B、C，则图中共有线段（） A．三条B．四条C．五条D．六条 3．下列语句：①不带“﹣”号的数都是正数；②如果a是正数，那么﹣a一定是负数；③射线AB和射线BA是同一条射线；④直线MN和直线NM是同一条直线，其中说法正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩 下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是 （） A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短D．经过一点有无数条直线 5．若数轴上点A、B分别表示数2、﹣2，则A、B两点之间的距离可表示为（） A．2+（﹣2）B．2﹣（﹣2） C．（﹣2）+2 D．（﹣2）﹣2 6．如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CB=CD，AB=10.5cm，那么BC的长为（） A．A2.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 7．已知线段AB=8cm，在直线AB上画BC，使BC=2cm，则线段AC的长度是（） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．4cm或16cm 8．如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB长为（） A．1cm B．1.5cm C．2cm D．4cm 9．已知点A、B、P在一条直线上，则下列等式中，能判断点P是线段AB的中点的个数有（）①AP=BP；②BP=AB；③AB=2AP；④AP+PB=AB．
有关线段，角的计算问题专门练习 1. 如图，4AB cm =，3BC cm =，如果O 是线段AC 的中点，求线段OA 、OB 的长度. 2. 如图，已知C 、D 是线段AB 上的两点，36AB cm =，且D 为AB 的中点，14CD cm =，求线段BC 和AD 的长 3. 如图所示，已知线段80AB cm =，M 为AB 的中点，P 在MB 上，N 为PB 的中点，且14NB cm =，求PA 的长. 4. 如图所示，点C 在线段A B 上，线段6AC cm =，4BC cm =，点M 和N 分别是AC 和BC 的中点，求线段MN 的长度. 5. 已知P 为线段AB 上的一点，且2 5 AP AB =，M 是AB 的中点，若2PM cm =，求AB 的长. 6. 如图，C 、D 是线段AB 上的两点，已知14BC AB =，1 3 AD AB =，12AB cm =，求CD 、BD 的长.
7. 在一条直线上顺次取A 、B 、C 三点，已知5AB cm =，点O 是线段AC 的中点，且 1.5OB cm =，求线段BC 的长.（两种情况） 8. 已知A 、B 、C 三点共线，且10AB cm =，4BC cm =，M 是A C 的中点，求AM 的长. 9．如图所示，B 、C 两点把线段AD 分成2:3:4三部分，M 是AD 中点，CD =8，求MC 的长． 10.如图所示，回答问题：’ (1)在线段AB 上取一点C 时，共有几条线段？ (2)在线段AB 上取两点C 、D 时，共有几条线段？ (3)在线段AB 上取两点C 、D 、E 时，共有几条线段？ (4)你能否说出，在线段AB 上取n 个点时（不与A 、B 重合），直线A 上共有多少条 线段？你发现它们有什么规律，你能试着总结出来吗？和同学们交流一下．
七年级数学线段计算、角度计算专题练习 一日一练 周一 1、若点B 在直线AC 上，AB=12，BC=7，则A ，C 两点的距离是。答案：5或19 提示：关键点是点B 在直线AC 上，分两种情况: ①点B 在线段AC 上，AC=AB-BC=12-7=5 ②点B 在线段AC 的延长线上，则AC=AB+BC=12+7=19 2、已知点B 在直线AC 上，线段AB=8cm ，AC=18cm ，P 、Q 分别是线段AB 、 AC 的中点，则线段PQ= 。 答案：13cm 或5cm 当点B 在线段CA 的延长线上时 AP=AB=4cm,AQ=AC=9cm 121 2 PQ=AQ+AP=9+4=13cm ∴当点B 在线段AC 上时 AC=18cm,AB=8cm AP=AB=4cm, AQ=AC=9cm 121 2 PQ=AQ-AP=9-4=5cm ∴周三
1、如图，已知点C 为AB 上一点，AC=12cm ，CB=AC ，D 、E 分别为AC 、AB 1 2的中点，求DE 的长． 解：AC=12cm,CB=∵12 AC CB=6cm ∴AB=AC+BC=12+6=18cm ∴E 是AB 的中点 ∵AE=BE=9cm ∴D 是AC 的中点 ∵DC=AD=6cm ∴所以DE=AE-AD=3cm 2、已知线段AB 上顺次有三个点C 、D 、E ，把线段AB 分成2：3：4：5四部分，且AB=56cm ．（1）求线段AE 的长；（2）若M 、N 分别是DE 、EB 的中点，求线段MN 的长度． 解（1）设AC=2x,则CD 、DE 、EB 分别为3x 、4x 、5x ， 由题意得，2x+3x+4x+5x=56, 解得，x=4, AC 、CD 、DE 、EB 分别为8cm 、12cm 、16cm 、20cm ， 则AE= AC+CD+DE=36cm; （2）M 是DE 的中点 ∵ME==8cm, ∴1 2DE N 是EB 的中点∵
线段与角的计算及解题方法 求线段长度的几种常用方法： 1．利用几何的直观性,寻找所求量与已知量的关系 例1．如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AＢ为5:11,若CD=１0cｍ,求AB。 图1 分析:观察图形可知,ＤC=ＡC-AD,根据已知的比例关系，AＣ、AD均可用所求量AＢ表示,这样通过已知量ＤC，即可求出AB。 解:因为点Ｃ分线段AB为５:７,点D分线段ＡB为5：11 所以 又因为ＣD＝1０cm，所以AＢ=9６ｃm 2．利用线段中点性质,进行线段长度变换 例2.如图2，已知线段AB=80ｃm,Ｍ为AB的中点,Ｐ在MB上，Ｎ为PB的中点，且NB=14cm，求PA的长。 图２ 分析:从图形可以看出,线段AＰ等于线段AM与MＰ的和,也等于线段ＡB与PB的差,所以,欲求线段PA的长,只要能求出线段AM与ＭＰ的长或者求出线段PB的长即可。 解:因为N是PB的中点，NB=14 所以ＰＢ＝2NB＝2×14＝２８ 又因为ＡP=ＡＢ－PB,AB＝８0 所以ＡP=80-２8=５2(cm） 说明:在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。 ３. 根据图形及已知条件,利用解方程的方法求解
例3. 如图3，一条直线上顺次有A、Ｂ、C、D四点,且C为AＤ的中点，,求ＢC是AB的多少倍？ 图３ 分析：题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程,又Ｃ为AD的中点,即，观察图形可知,,可得到BC、AB、AＤ又一个方程，从而可用ＡD分别表示AＢ、ＢC。 解：因为C为ＡD的中点，所以 因为,即 又 由<1>、<2＞可得： 即BC=3ＡB 例４. 如图４,C、Ｄ、E将线段AB分成2：3：4:５四部分，M、Ｐ、Q、N分别是AC、CD、DＥ、EB的中点，且MN=21,求PQ的长。 图4 分析：根据比例关系及中点性质，若设AＣ=2x,则AＢ上每一条短线段都可以用x的代数式表示。观察图形，已知量ＭN=MC＋CＤ+DE＋EN，可转化成x的方程，先求出ｘ,再求出PQ。 解：若设AC=2x，则 于是有 那么 即 解得:
弧长以及扇形面积的计算 副标题 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共3小题，共分） 1.如图，在中，，，以BC的中 点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长 为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：连接OE、OD， 设半径为r， 分别与AB，AC相切于D，E两点， ，， 是BC的中点， 是中位线， ， ， 同理可知：， ， ， 由勾股定理可知， ， 故选：B． 连接OE、OD，由切线的性质可知，，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，本题属于中等题型． 2.一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：一个扇形的弧长是，面积是， ，即， 解得：， ， 解得：， 故选B 利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数． 此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键． 3.的圆心角对的弧长是，则此弧所在圆的半径是 A. 3 B. 4 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】解：根据弧长的公式 得到： 解得． 故选C． 根据弧长的计算公式，将n及l的值代入即可得出半径r的值． 此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般． 二、填空题（本大题共1小题，共分） 4.如图，已知等边的边长为6，以AB为直径的与 边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧的长为______． 5. 6. 7. 8. 【答案】 【解析】解：连接OD、OE，如图所示： 是等边三角形，
圆中的计算问题 一、一周知识概述 1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式：． 说明：(1)在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”． (2)问题中若没有标明精确度，则弧长可用π表示． (3)在弧长公式中，已知，n，R中任意两个量，都可以求出第三个量． (4)在用弧长公式求n时，要注意与R的单位要统一，且所求的n值一定要小于或等于360． 2、扇形面积 扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形． 如图所示，在⊙O中，由半径OA，OB和所构成的图形是扇形；由半径OA，OB和所构成的图形也是扇形． 3、扇形的面积公式． 如图所示，阴影部分的面积就是半径为r，圆心角为n°的扇形的面积．显然扇形的面积是它所在的圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积πr2，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式一：①．因为扇形的弧长，扇形面积可以写成．所以又得到扇形面积的计算公式二：S扇形= ②． 说明：(1)公式①中的n与弧长公式中的n一样，应理解为1°的倍数，不带单位，如圆心角为10°，n就是10． (2)扇形面积公式S扇形=与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，可与三角形面积公式类比理解，把弧长看成底，r看成底边上的高． (3)当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用公式①；当已知半径r和弧长求扇形面积时，应选用公式②． (4)根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，，n，r四个量中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 4、圆锥的侧面积和全面积 圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线叫做圆锥的母线． 圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高． 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积： S侧=πr． 圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即 S全=πr(r＋)． 说明：(1)圆锥的侧面展开图是以母线长为半径的扇形． (2)圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长等于圆锥底面的周长． (3)圆锥的表面积等于圆锥的侧面积加上圆锥的底面积． 二、重难点知识 理解和掌握弧长公式、扇形面积公式的推导，弧长公式、扇形面积公式的应用，圆锥侧面积求法．三、典型例题
专题八__线段与角的和差倍分计算__[学生用书A62] 一线段的和差倍分计算 教材P153作业题第4题) 已知线段AB＝a(如图1)，延长BA至点C，使AC＝1 2AB.D为线段BC的中点． (1)求CD的长； (2)若AD＝3 cm，求a的值． 在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5 cm，点O是线段AC 的中点，且OB＝1.5 cm，则BC的长是() A．6 cm B．8 cm C．2 cm或6 cm D．2 cm或8 cm 如图2，某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B， AC＝CD＝DB.现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在() A．在AB之间B．在CD之间C．在AC之间D．在BD之间如图3，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4 cm， 求线段CD的长度． 如图4，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB 的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长．
如图5，线段AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，且MN ＝2 cm ，求AB 的长． 如图6，点C 分线段AB 为5∶7，点D 分线段AB 为5∶11，已知CD ＝2 cm ，求AB 的长． 如图7，已知线段AB 上有两点C ，D ，且AC ＝BD ，M ，N 分别是线段 AC ，AD 的中点．若AB ＝a cm ，AC ＝BD ＝b cm ，且a ，b 满足(a －10)2＋???? ??b 2－4＝0.求线段MN 的长度． 二 角的和差倍分计算 如图10，已知直线AB 上一点O ，∠AOD ＝44°，∠BOC ＝32°，∠EOD ＝90°，OF 平分∠COD ，求∠FOD 与∠EOB 的度数． 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小 30°，求∠α，∠β. 如图11，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且∠AOB ＝100°，OF 平分∠BOC ，∠AOE ＝∠DOE ，∠EOF ＝140°，求∠COD 的度数．
《弧长和扇形的面积公式》教学设计 临高县皇桐中学周小花 教材分析 本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书人教版九年级上册《圆》中的“弧长和扇形的面积”，这节课是学生在前阶段学完了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”的基础上进行的拓展与延伸。本课由特殊到一般探索弧长及扇形面积公式，并运用公式解决一些具体问题，为学生今后的学习及生活更好地运用数学作准备。 学情分析 九年级学生有一定的知识水平和自主学习、解决问题能力，在此基础上通过教师引导、小组合作交流探索弧长公式，类比弧长公式的探索过程尝试探索扇形面积计算公式，运用公式解决实际问题。 教学目标 经历弧长公式和扇形面积公式的推导过程，能运用弧长公式和扇形面积公式进行有关计算. 通过弧长和扇形面积公式的推导过程与运用，发展学生分析问题、解决问题及计算的能力. 通过弧长公式和扇形面积公式的推导，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力． 教学重点和难点 教学重点：弧长、扇形面积公式的导出及应用． 教学难点：用公式解决实际问题 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 在田径200米跑比赛中，运动员的起跑位置相同吗？为什么？ 教师通过多媒体播放田径200米赛跑，运动员起跑时的图片，提出问题 学生观察图片思考老师提出的问题并作出回答 二、讲授新课 1、弧长的计算公式 探求弧长公式 （1）半径为3的圆的周长如何计？ （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？ （3）1°的圆心角所对的弧长是多少？2°呢？3°呢？…n°呢？ 弧长公式的运用 教师用多媒体展示问题 例题：例题1：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
7. 如图，在⊙O 中，弦AD200 B . 300 C400 D. 500 第3题 1. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=1600 , 则∠BAD 的度数是 ，∠BCD 的度数是 . 2. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB 上，则∠DPC = . 3. 如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB, E 是AD 上一点，若∠BCD=350 ，求∠AED 的度数． 。 （第11题） 7. 如图，弦AB, CD 相交于点E , 弧AD =600 , 弧BC =400 ，则∠AED= . （第12题） 8. 如图，P 为圆外一点，PA 交圆于点A,B ，PC 交圆于点C, D, 弧BD =750 , 弧AC =150 ，则∠P= _____ 9．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________． 10．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____． 11．如图11，AB 为圆O 的直径，弧BC=弧BD,BC BD =，∠A=25°，则∠BOD=______． 12．如图12所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC?的三边所得的弦长相等，?则∠BOC=（ ） A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° 13、 如图，在⊙O 中，已知AB=BC ，且弧:3:4,AB AmC = 求∠AOC 的度数． 】 （第13题） （第14题） （第15题） 14. 如图，在△ABC 中，∠BAC = 900 ，以AB 为直径画圆，交BC 于点D ．如果CD=BD,则AD 等于（ ） B C A D O B C A O ＣＡ Ｂ Ｏ A | O 第16题
期末复习：线段和角的有关计算 一、课前热身，引入课题 问题1：已知线段AB ＝5cm ，C 为线段AB 上一点，且BC ＝3cm ，则线段AC ＝ cm 。 问题2：已知线段AB ＝5cm ，C 为直线AB 上一点，且BC ＝3cm ，则线段AC ＝ cm 。 问题3：已知∠AOB ＝50°， OC 为∠AOB 内一射线，且∠BOC=30°，则∠AOC ＝ °。 问题4：已知∠AOB ＝50°，∠BOC=30°，则∠AOC ＝ °。 今天我们复习线段和角的有关计算： 二、问题探究，探寻规律 例1 如图，已知线段AB=10cm ，C 为线段AB 上一点，M 、N 分别为AC 、BC 的中点， （1） 若BC ＝4cm ，求MN 的长， （2） 若BC ＝6cm ，求MN 的长， （3） 若BC ＝8cm ，求MN 的长， （4） 若C 为线段AB 上任一点，你能求MN 的长吗？请写出结论，并说明理由。 例2 如图，已知∠AOB ＝90°，OM ，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ， （1） 若∠AOC ＝30°，求∠MON 的度数， （2） 若∠BOC ＝50°，求∠MON 的度数， （3） 由（1）（2）你发现了什么，请写出结论，并说明理由。 例3 如图，已知线段AB=10cm ，C 为线段AB 延长线上一点，M 、N 分别为AC 、BC 的中点， （1） 若BC ＝4cm ，求MN 的长， （2） 若BC ＝6cm ，求MN 的长， （3） 若C 为线段AB 延长线上任一点，你能求MN 的长吗？ 若能，请求出MN 的长，并说明理由。 例4 如图，已知∠AOB ＝90°，OM ，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ， （1） 若∠AOC ＝40°，求∠MON 的度数， （2） 若∠AOC ＝α，求∠MON 的度数， （3） 若∠BOC ＝β，求∠MON 的度数， （4） 由（1）（2）（3）的结果，你发现了什么规律，请写出结论，并说明理由。 三、拓展提高、应用规律 例5 已知∠AOB ＝α，过O 任作一射线OC ，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ， （1） 如图，当OC 在∠AOB 内部时，试探寻∠MON 与α的关系； （2） 当OC 在∠AOB 外部时，其它条件不变，上述关系是否成立？画出相应图形，并说明理由。 B
弧长及扇形面积的计算 习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
《弧长及扇形面积的计算》习题一、基础过关 1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（） A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣ 2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（） A．cm B．cm C．3cm D．cm 3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（） A．6 B．9 C．18 D．36 4．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（） A．B．C．D． 5．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（） A．60°B．120°C．150°D．180° 6．已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（） A．5πB．6πC．8πD．10π 7．已知扇形半径是3cm，弧长为2πcm，则扇形的圆心角为°．（结果保留π）8．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为． 9．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为πcm2． 10．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是．二、综合训练 1．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，OC=2，求阴影部分图形的面积（结果保留π）．
一．选择题（共1小题，满分5分，每小题5分） 1．（5分）用平面截一个正方体，可能截出的边数最多的多边形是（）A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形 二．填空题（共1小题） 2．如图，OB，OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式是∠AOD=． 三．解答题（共5小题） 3．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线． （1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小； （2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O 在∠AOD内旋转时求∠MON的大小； （3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．
4．如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有三个点时，线段总共有3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，… （1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有条； （2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？ 5．如图，已知∠AOM与∠MOB互为余角，且∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON 平分∠BOC． （1）求∠MON的度数； （2）如果已知中∠AOB=80°，其他条件不变，求∠MON的度数； （3）如果已知中∠BOC=60°，其他条件不变，求∠MON的度数； （4）从（1）、（2）、（3）中你能看出有什么规律． 6．如图，AD=DB，E是BC的中点，BE=AC=2cm，求线段DE的长．
圆中计算及综合训练（讲义） ?课前预习 1.半径为r 的圆的周长为，面积为． 2.如图，圆心角为n°的扇形的弧长为，面积为． 3.已知圆上一段弧长为4π cm，它所对的圆心角为120°，则圆的 半径为． 4.默写圆周角定理的相关推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：； ．推论3：圆内接四边形对角互补． 5.我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4 的⊙O 上剪下 一个圆心角度数为n 的扇形，用其围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n 的值为． 6.根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相关 线段长． 主视图左视图 俯视图
1.圆中的计算公式 弧长公式：． 扇形面积公式：①；②．圆锥的侧面积公式：．圆锥的全面积公式：= + ．扇形及其所围圆锥间的等量关系： 2.圆中处理问题，通常的思考方向有： ①找圆心、连半径； ②遇弦，作垂线，配合建等式； ③遇直径找直角，由直角找；（此处直角为圆 周角） ④遇切线，； ⑤由弧找角，由角看弧．
1.如图，⊙O的半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则 劣弧BC 的长是． C B A B 第1 题图第2 题图 2.如图，直径AB 为6 的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点 B 到了点B′，则图中阴影部分的面积是． 3.如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，若伞骨（面 料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC 的长为12 分米，伞骨AB 的长为9 分米，则制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料平方分米． B B A C A C 4.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是腰 长为4、底边为2 的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为． A 4 2 主视图左视图 俯视图 D 第4 题图第5 题图 5.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的半径为4，则 图中阴影部分的面积为．
线段和角的计算 1.已知:如图,点M 、N 分别是线段AB 、BC 的中点，且ＡB =a ㎝，ＢＣ＝b ㎝. 求:线段MN 的长. N M A 解:∵点M 、N 分别是线段A Ｂ、BC 的中点,且A Ｂ=a ㎝，B Ｃ＝ｂ㎝. ∴BM = 21AB ＝21ａ㎝，B Ｎ=21BC ＝2 1 ｂ㎝, ∴MN =B Ｍ+ＢN =21 ( ａ＋b ) ㎝. 即线段MN 的长为2 1 （ a ＋b ) ㎝. 2. 已知:如图，射线OM 、ON 分别是∠AOB 、∠BOC 的角平分线, 且∠AOB ＝α，∠BOC ＝β. 求: ∠ＭON 的度数. 解：∵OM 、ＯN 分别是∠ＡＯＢ、∠BOC 的角平分线, 且∠AOB ＝α，∠ＢOC =β. ∴∠ＢＯM = 21∠A ＯB ＝21α ,∠BON ＝21∠ＢO Ｃ＝2 1 β, ∴∠M ＯＮ＝∠BOM ＋∠BON ＝21 ( α+β)． 即∠MON 的度数为2 1 ( α+β）. 3.已知：如图，点M 、N 分别是线段ＡB 、ＢC 的中点,且A Ｂ＝a ㎝,BC =b ㎝． 求:线段MN 的长. N M A 解:∵点M 、N 分别是线段AB 、BC 的中点，且AB ＝ａ㎝,BC ＝b ㎝. ∴BM = 21AB =21a ㎝，BN ＝21BC =2 1 b ㎝, ∴MN =B Ｍ-B Ｎ=21 （ a -b ） ㎝． 即线段ＭＮ的长为2 1 ( ａ-b ） ㎝. ４. 已知：如图，射线OM 、ＯＮ分别是∠AOB 、∠BOC 的角平分线， 且∠AO Ｂ＝α，∠BO Ｃ =β. 求: ∠MO Ｎ的度数. 解:∵OM 、O Ｎ分别是∠AO Ｂ、∠BOC 的角平分线, 且∠AOB =α，∠ BOC =β． O