人教版2020-2021学年九年级上册第21章单元检测卷
满分120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程是一元二次方程的是（）
A．x+2y＝1B．5x2﹣6y﹣2＝0C．x+＝1D．x2﹣2＝0
2．将一元二次方程x2+3＝x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．0、3B．0、1C．1、3D．1、﹣1
3．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝1，那么这个方程是（）
A．x2＝1B．x2+1＝0C．（x﹣1）2＝0D．（x+1）2＝0 4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣9＝0，可变形为（）
A．（x﹣2）2＝9B．（x﹣2）2＝13C．（x+2）2＝9D．（x+2）2＝13 5．若关于x的方程kx2﹣x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤16B．k≤
C．k≤16，且k≠0D．k≤，且k≠0
6．已知x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，那么直线y ＝mx经过的象限是（）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
7．若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根是m、n，则下列说法正确的是（）A．m+n＝﹣4，mn＝3B．m+n＝﹣4，mn＝﹣3
C．m+n＝4，mn＝3D．m+n＝4，mn＝﹣3
8．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）
A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110
9．使方程2x2﹣5mx+2m2＝5的一根为整数的整数m的值共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．以下是某风景区旅游信息：
旅游人数收费标准
不超过30人人均收费80元
超过30人增加1人，人均收费降低1元，但人均收费
不低于50元根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元，从中可以推算出该公司参加旅游的人数为（）
A．38B．40C．42D．44
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．若方程（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是．12．已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则a＝．
13．若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的最大整数值是．14．若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式a2﹣3a+7的值是．
15．关于x的方程（x2﹣x）（x2﹣x﹣2）＝3，解得x＝．
16．受疫情影响，我县居民投资房产热情有所降低，据调查，今年1月份我县一房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为64套，若该公司这两个月住房销售量的平均下降率相同，设该公司这两个月住房销售量的平均下降率为x，根据题意所列方程为．
17．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是米．
18．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0．那么我们称这个方程为“凤凰”方程，已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①a＝c，②a＝b，③b＝c，④a＝b＝c，正确的是（填序号）．三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（12分）解下列一元二次方程：
（1）x2+4x﹣8＝0；（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3）；（3）2x2﹣4x＝1（配方法）．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k﹣2）＝0（k是常量），它有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请你从k＝2或k＝﹣2或k＝﹣1三者中，选取一个符合（1）中条件的k的数值代入原方程，求解出这个一元二次方程的根．
21．（6分）小明妈妈在春节期间以160元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以销售20件．为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经试销发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？为了满足降价要求，小明妈妈应打几折出售？
22．（6分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？23．（8分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，计划到2020年底，全省5G基站数量将达到6万座，到2022年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．
（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率；
（2）若2023年保持前两年5G基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G 基站数量能否超过25万座？
24．（8分）如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连结CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连结CE．
（1）求∠DCE的度数．
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
26．（10分）阅读理解，并回答问题：
若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，则有ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．即ax2+bx+c ＝ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2，于是b＝﹣a（x1+x2），c＝ax1x2．由此可得一元二次方程的根与系数关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．这就是我们众所周知的韦达定理．
（1）已知m，n是方程x2﹣x﹣100＝0的两个实数根，不解方程求m2+n2的值；
（2）若x1，x2，x3，是关于x的方程x（x﹣2）2＝t的三个实数根，且x1＜x2＜x3；
①x1x2+x2x3+x3x1的值；②求x3﹣x1的最大值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、x+2y＝1含有2个未知数，不符合题意；
B、5x2﹣6y﹣2＝0为两个未知数，不符合题意；
C、x+＝1为分式方程，不符合题意；
D、x2﹣2＝0只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二
次方程，符合题意；
故选：D．
2．解：∵x2+3＝x，
∴x2﹣x+3＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别为：1，﹣1．
故选：D．
3．解：A．x2＝1的根为x1＝1，x2＝﹣1；
B．x2+1＝0无实数根；
C．（x﹣1）2＝0的根为x1＝x2＝1；
D．x+1）2＝0的根为x1＝x2＝﹣1；
故选：C．
4．解：∵x2﹣4x﹣9＝0，
∴x2﹣4x＝9，
则x2﹣4x+4＝9+4，即（x﹣2）2＝13，
故选：B．
5．解：当k＝0时，﹣x+4＝0，此时x＝4，有实数根；
当k≠0时，∵方程kx2﹣x+4＝0有实数根，
∴△＝（﹣1）2﹣4×k×4≥0，
解得：k≤，
此时k≤且k≠0；
综上，k≤．
故选：B．
6．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0有一个根是0，∴4m2﹣4＝0，
解得：m＝±1，
根据题意，得m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣1．
∴直线y＝mx经过的象限是第二、四象限．
故选：B．
7．解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根是m，n，
∴m+n＝4，mn＝﹣3．
故选：D．
8．解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
9．解：∵方程有一个整数根，
∴△＝25m2﹣8（2m2﹣5）＝9m2+40＞0，
设△＝p2（p为正整数），
∴（3m﹣p）（3m+p）＝﹣40，
∵3m﹣p≤3m+p且同奇偶，
∴3m﹣p＝﹣4，﹣10，﹣2，﹣20，
3m+p＝10，4，20，2，
∴m＝±3，±1，
经检验，均有一根为整数，
∴符合条件的整数m的值有4个，
故选：D．
10．解：因为30×80＝2400＜2800，所以人数超过30人；
设参加这次旅游的人数为x人，依题意可知：x[80﹣（x﹣30）]＝2800，解之得，x＝40或x＝70，
当x＝70时，80﹣（x﹣30）＝80﹣40＝40＜50，故应舍去，
即：参加这次旅游的人数为40人．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．解：∵（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，|a|﹣1＝2，
解得，a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．解：∵x＝3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，∴9﹣2×3+a＝0，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣1）2﹣4×a×1≥0，且a≠0，
则a≤且a≠0，
则a的最大整数值为﹣1，
故答案为：﹣1．
14．解：∵a是方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，
∴a2﹣3a＝6，
∴a2﹣3a+7
＝6+7
＝13，
故答案为：13．
15．解：设a＝x2﹣x，则原方程变为a（a﹣2）＝3，（a+1）（a﹣3）＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝3，
当a＝﹣1时，x2﹣x＝﹣1，
△＝1﹣4＝﹣3＜0，此方程无解
当a＝3时，x2﹣x＝3，
解得：x1＝，x2＝．
所以原方程的解为x1＝，x2＝．
故答案为：或．
16．解：由题意可得，
100（1﹣x）2＝64，
故答案为：100（1﹣x）2＝64．
17．解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，
根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，
解得x1＝3，x2＝2（舍去），
∴AB的长为3米．
故答案为：3．
18．解：∵方程有两个相等实数根，且a+b+c＝0，∴b2﹣4ac＝0，b＝﹣a﹣c，
将b＝﹣a﹣c代入得：a2+2ac+c2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，则a＝c．
故答案为：①．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解：（1）∵x2+4x﹣8＝0，
∴x2+4x＝8，
则x2+4x+4＝8+4，
即（x+2）2＝12，
∴x+2＝±2，
∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2；
（2）∵（x﹣3）2＝5（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，
解得：x1＝3，x2＝8；
（3）方程两边同除以2，变形得x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
20．解：（1）由题意得△＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0
解得得k＞﹣；
（2）由（1）得k＝2，则原方程变形为x2+3x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣3．21．解：设每件商品降价x元，则平均每天可以销售（20+2x）件，依题意，得：（200﹣x﹣160）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵尽快减少库存，
∴x＝20，
∴×10＝9．
答：每件商品应降价20元，为了满足降价要求，小明妈妈应打9折出售．22．（1）证明：∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；
（2）x＝
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形的三边，
∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，
∴k＝或2．
23．解：（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：6×（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
（2）17.34×（1+70%）＝29.478（万座），
∵29.478＞25，
∴到2023年底，全省5G基站数量能超过25万座．
24．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．
答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．
（2）设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是150cm2，
依题意，得：×（20﹣2x）＝150，
化简，得：x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25．
当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；
当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．
答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．
25．解：（1）∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°，
又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，
则90°+2∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝45°．
（2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根．理由如下：
由勾股定理得：，
∴
解关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0，
（x+b）2＝a2+b2，
得，
∴线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根；
②∵D为AE的中点，
∴，
由勾股定理得：，
则b2﹣ab＝0，
故b﹣a＝0，
整理得：．
26．解：（1）∵m，n是方程x2﹣x﹣100＝0的两个实数根∴m+n＝1，mn＝﹣100
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn
＝12﹣2×（﹣100）
＝201；
（2）①由题意得：x（x﹣2）2﹣t＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）∴x3﹣4x2+4x﹣t＝x3﹣（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x2x3+x3x1）x﹣x1x2x3∴x1+x2+x3＝4，x1x2+x2x3+x3x1＝4，x1x2x3＝t
∴x1x2+x2x3+x3x1的值为4；
②∵x1+x2+x3＝4
∴x1+x3＝4﹣x2
∵x1x2+x2x3+x3x1＝4
∴x3x1＝4﹣（x1+x3）x2
∵x1x2x3＝t
∴x3x1＝
∵＝﹣4x3x1
∴＝﹣4[4﹣（x1+x3）x2]
＝﹣3+8x2
＝﹣3+≤
∴当x2＝时，x3﹣x1的最大值为：＝．∴x3﹣x1的最大值为．