2020年广东省惠州市中考数学试卷
班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 9的相反数是( )
A. ?9
B. 9
C. 1
9
D. ?1
9
2. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是( )
A. 5
B. 3.5
C. 3
D. 2.5 3. 在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为( )
A. (?3,2)
B. (?2,3)
C. (2,?3)
D. (3,?2) 4. 一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形的边数为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7 5. 若式子√2x ?4在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )
A. x ≠2
B. x ≥2
C. x ≤2
D. x ≠?2
6. 已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为( )
A. 8
B. 2√2
C. 16
D. 4
7. 把函数y =(x ?1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为( )
A. y =x 2+2
B. y =(x ?1)2+1
C. y =(x ?2)2+2
D. y =(x ?1)2?3
8. 不等式组{2?3x ≥?1,
x ?1≥?2(x +2)
的解集为( )
A. 无解
B. x ≤1
C. x ≥?1
D. ?1≤x ≤1
9. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点E ，F 分别在边AB ，CD
上，∠EFD =60°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. 2
10. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是x =1，下列
结论：
①abc >0；②b 2?4ac >0；③8a +c <0；④5a +b +2c >0， 正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共7小题，共28.0分） 11. 分解因式：xy ?x =______．
12. 如果单项式3x m y 与?5x 3y n 是同类项，那么m +n =______． 13. 若√a ?2+|b +1|=0，则(a +b)2020=______．
14. 已知x =5?y ，xy =2，计算3x +3y ?4xy 的值为______． 15. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =30°，取大于1
2AB 的长为
半径，分别以点A ，B 为圆心作弧相交于两点，过此两
点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE，BD.则∠EBD的度数为______．16.如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°
的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥
的底面圆的半径为______m.
17.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住
位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙
面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型
如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN
长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，
BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE
的最小值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
18.先化简，再求值：(x+y)2+(x+y)(x?y)?2x2，其中x=√2，y=√3．
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
19.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、
“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级，随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：
等级非常了解比较了解基本了解不太了解
人数(人)247218x
(2)若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”
垃圾分类知识的学生共有多少人？
20.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，
∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰
三角形．
21. 已知关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =?10√3,x +y =4
与{x ?y =2,
x +by =15的解相同．
(1)求a ，b 的值；
(2)若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x 的方程x 2+ax +b =0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
22. 如图1，
在四边形ABCD 中，AD//BC ，∠DAB =90°，AB 是⊙O 的直径，CO 平分∠BCD ． (1)求证：直线CD 与⊙O 相切；
(2)如图2，记(1)中的切点为E ，
P 为优弧AE ?上一点，AD =1，BC =2.求tan∠APE 的值．
23. 某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类
摊位的占地面积多2平方米．建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的
3
．
5
(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求
建造这90个摊位的最大费用．
(x>0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足24.如图，点B是反比例函数y=8
x
(x>0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点为A，C.反比例函数y=k
x
D，E.连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
(1)填空：k=______；
(2)求△BDF的面积；
(3)求证：四边形BDFG为平行四边形．
25.如图，抛物线y=3+√3
x2+bx+c与x轴交于A，B两点，
6
点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO=3AO=3，
过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，
BC=√3CD．
(1)求b，c的值；
(2)求直线BD的函数解析式；
(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线
BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足
条件的点Q的坐标．
答案和解析1.A
解：9的相反数是?9，
2.C
解：将数据由小到大排列得：2，2，3，4，5，
∵数据个数为奇数，最中间的数是3，
∴这组数据的中位数是3．
3.D
解：点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(3,?2)．4.B
解：设多边形的边数是n，则
(n?2)?180°=540°，
解得n=5．
5.B
解：∵√2x?4在实数范围内有意义，
∴2x?4≥0，
解得：x≥2，
∴x的取值范围是：x≥2．
6.A
解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF=1
2AC，DE=1
2
BC，EF=1
2
AC，
故△DEF的周长=DE+DF+EF=1
2
(BC+AB+AC)=
1
2
×16=8．
7.C
解：二次函数y=(x?1)2+2的图象的顶点坐标为(1,2)，∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2,2)，
∴所得的图象解析式为y=(x?2)2+2．
8.D
解：解不等式2?3x≥?1，得：x≤1，
解不等式x?1≥?2(x+2)，得：x≥?1，
则不等式组的解集为?1≤x≤1，
9.D
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，
∴∠AEB′=180°?∠BEF?∠FEB′=60°，
∴B′E=2AE，
设BE=x，则B′E=x，AE=3?x，
∴2(3?x)=x，
解得x=2．
10.B
解：由抛物线的开口向下可得：a<0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2?4ac>0，故②正确；
=1，可得b=?2a，∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以?b
2a
由图象可知，当x=?2时，y<0，即4a?2b+c<0，
∴4a?2×(?2a)+c<0，
即8a+c<0，故③正确；
由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=?1时，y=a?b+c>0，
两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；
∴结论正确的是②③④3个，
11.x(y?1)
解：xy?x=x(y?1)．
故答案为：x(y?1)．
12 4
解：∵单项式3x m y与?5x3y n是同类项，
∴m=3，n=1，
∴m+n=3+1=4．
13.1
解：∵√a?2+|b+1|=0，
∴a?2=0且b+1=0，
解得，a=2，b=?1，
∴(a+b)2020=(2?1)2020=1，
14.7
解：∵x=5?y，
∴x+y=5，
当x+y=5，xy=2时，
原式=3(x+y)?4xy
=3×5?4×2
=15?8
=7，
15.45°
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=1
(180°?∠A)=75°，
2
由作图可知，EA=EB，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠EBD=∠ABD?∠ABE=75°?30°=45°，
16.1
3
解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，
，
则扇形的弧长为：120π×1
180
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
2πr=120π×1
，
180
解得，r=1
，
3
故答案为：1
3
．
17.2√5?2
解：如图，连接BE，BD．
由题意BD=√22+42=2√5，
∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE，
∴BE=1
2
MN=2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为2√5?2．
18.解：(x+y)2+(x+y)(x?y)?2x2，
=x2+2xy+y2+x2?y2?2x2
=2xy，
当x=√2，y=√3时，
原式=2×√2×√3=2√6．
19.解：(1)x=120?(24+72+18)=6；
(2)1800×24+72
120
=1440(人)，
答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人．
20.证明：∵∠ABE=∠ACD，
∴∠DBF=∠ECF，
在△BDF和△CEF中，{∠DBF=∠ECF ∠BFD=∠CFE BD=CE
，
∴△BDF≌△CEF(AAS)，∴BF=CF，DF=EF，∴BF+EF=CF+DF，即BE=CD，
在△ABE和△ACD中，{∠ABE=∠ACD ∠A=∠A
BE=CD
，
∴△ABE≌△ACD(AAS)， ∴AB =AC ，
∴△ABC 是等腰三角形．
21. 解：(1)由题意得，关于x ，y 的方程组的相同解，就是程组{x +y =4
x ?y =2的解，
解得，{x =3
y =1
，代入原方程组得，a =?4√3，b =12；
(2)当a =?4√3，b =12时，关于x 的方程x 2+ax +b =0就变为x 2?4√3x +12=0， 解得，x 1=x 2=2√3，
又∵(2√3)2+(2√3)2=(2√6)2，
∴以2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形．
22. (1)证明：作OE ⊥CD 于E ，如图1所示：
则∠OEC =90°，
∵AD//BC ，∠DAB =90°，
∴∠OBC =180°?∠DAB =90°， ∴∠OEC =∠OBC ， ∵CO 平分∠BCD ， ∴∠OCE =∠OCB ，
在△OCE 和△OCB 中，{∠OEC =∠OBC
∠OCE =∠OCB OC =OC ，
∴△OCE≌△OCB(AAS)， ∴OE =OB ， 又∵OE ⊥CD ，
∴直线CD 与⊙O 相切；
(2)解：作DF ⊥BC 于F ，连接BE ，如图所示： 则四边形ABFD 是矩形， ∴AB =DF ，BF =AD =1， ∴CF =BC ?BF =2?1=1， ∵AD//BC ，∠DAB =90°， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴AD 、BC 是⊙O 的切线， 由(1)得：CD 是⊙O 的切线， ∴ED =AD =1，EC =BC =2， ∴CD =ED +EC =3，
∴DF =√CD 2?CF 2=√32?12=2√2， ∴AB =DF =2√2， ∴OB =√2，
∵CO 平分∠BCD ， ∴CO ⊥BE ，
∴∠BCH +∠CBH =∠CBH +∠ABE =90°，
∴∠ABE=∠BCH，∵∠APE=∠ABE，∴∠APE=∠BCH，
∴tan∠APE=tan∠BCH=OB
BC =√2
2
．
23 解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，
根据题意得：60
x+2=60
x
?3
5
，
解得：x=3，
经检验x=3是原方程的解，
所以3+2=5，
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；
(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90?a)个，
由题意得：90?a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：22×40×5+30×(90?22)×3=10520，
答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．
24.2
解：(1)设点B(s,t)，st=8，则点M(1
2s,1
2
t)，
则k=1
2s?1
2
t=1
4
st=2，
故答案为2；
(2)△BDF的面积=△OBD的面积=S△BOA?S△OAD=1
2×8?1
2
×2=3；
(3)设点D(m,2
m )，则点B(4m,2
m
)，
∵点G与点O关于点C对称，故点G(8m,0)，则点E(4m,1
2m
)，
设直线DE的表达式为：y=sx+n，将点D、E的坐标代入上式得{2
m =ms+n
1 2m =4ms+n
，解得
{k =?1
2m
2
b =52m
， 故直线DE 的表达式为：y =?1
2m 2x +5
2m ，令y =0，则x =5m ，故点F(5m,0)， 故FG =8m ?5m =3m ，而BD =4m ?m =3m =FG ， 则FG//BD ，故四边形BDFG 为平行四边形．
25. 解：(1)∵BO =3AO =3， ∴点B(3,0)，点A(?1,0)， ∴抛物线解析式为：y =3+√36
(x +1)(x ?3)=
3+√36
x 2?
3+√33
x ?
3+√32
，
∴b =?
3+√33
，c =?
3+√32
；
(2)如图1，过点D 作DE ⊥AB 于E ，
∴CO//DE ， ∴
BC CD
=
BO OE
，
∵BC =√3CD ，BO =3， ∴√3=
3OE
，
∴OE =√3，
∴点D 横坐标为?√3，
∴点D 坐标(?√3,√3+1)，
设直线BD 的函数解析式为：y =kx +b ， 由题意可得：{√3+1=?√3k +b 0=3k +b ，
解得：{k =?√3
3
b =√3
，
∴直线BD 的函数解析式为y =?
√33
x +√3；
(3)∵点B(3,0)，点A(?1,0)，点D(?√3,√3+1)，
∴AB =4，AD =2√2，BD =2√3+2，对称轴为直线x =1，
∵直线BD ：y =?√33
x +√3与y 轴交于点C ，
∴点C(0,√3)， ∴OC =√3， ∵tan∠COB =
CO BO
=
√3
3
， ∴∠COB =30°，
如图2，过点A 作AK ⊥BD 于K ，
∴AK =1
2AB =2，
∴DK =√AD 2?AK 2=√8?4=2， ∴DK =AK ， ∴∠ADB =45°，
如图，设对称轴与x 轴的交点为N ，即点N(1,0)，
若∠CBO =∠PBO =30°， ∴BN =√3PN =2，BP =2PN ， ∴PN =
2√3
3
，BP =
4√3
3
， 当△BAD∽△BPQ ， ∴BP BA =BQ
BD ， ∴BQ =
4√3
3
×(2√3+2)4=2+
2√3
3
， ∴点Q(1?2√33
,0)；
当△BAD∽△BQP，
∴BP
BD =BQ
AB
，
∴BQ=4√3
3
×4
2√3+2
=4?4√3
3
，
∴点Q(?1+4√3
3
,0)；
若∠PBO=∠ADB=45°，
∴BN=PN=2，BP=√2BN=2√2，当△BAD∽△BPQ，
∴BP
AD =BQ
BD
，
∴√2
2√2=
2√3+2
，
∴BQ=2√3+2
∴点Q(1?2√3,0)；当△BAD∽△PQB，
∴BP
BD =BQ
AD
，
∴BQ=√2×2√2
2√3+2
=2√3?2，∴点Q(5?2√3,0)；
综上所述：满足条件的点Q的坐标为(1?2√3
3,0)或(?1+4√3
3
,0)或(1?2√3,0)或(5?
2√3,0)．