1、用行列式的性质计算下列行列式：
()
134215352152809229092
；
【分析】可见行列式中1，2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000，易于化为下三角行列式，于是， 【解法一】
3421535215280922909221
c c -34215100028092100012
r r -61230
280921000
下三角6123000。
【解法二】
34215352152809229092
12
r r -6123
6123
2809229092
21
c c -6123
280921000
下三角6123000。
()
2ab ac ae bd cd de bf
cf
ef
---；
【分析】各行、列都有公因，抽出后再行计算。 【
解
】
ab ac ae bd cd de bf
cf
ef
---123
a r d r f r ←←←
b
c e
adf b
c e b
c
e ---12
3
b c c c e c ←←←1111
111
1
1
adfbce ---
1123
r r r r ++111
020
20
adfbce -23
r r ?111
200
02
abcdef --
上三角2(1)2abcdef -?-?4abcdef =。
()
31111111111
1
1
1111
------； 【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式，
【解】1111
1111
1111
1111
-
--
---
21
31
41
r r
r r
r r
+
+
+
1111
0222
0022
0002
上三角3
12
?8
=。
2、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：
()1
2240 4135 3123 2051
--
-
--
；
【解法一】
2240
4135
3123
2051
--
-
--21
c c
?
2240
1435
1323
0251
--
-
-
--21
r r
?
1435
2240
1323
0251
-
--
--
21
31
2
r r
r r
+
+
1435
06210
0712
0251
-
23
r r-
1435
0118
0712
0251
-
-
32
42
7
2
r r
r r
+
+
1435
0118
00858
00717
-
-34
r r-
1435
0118
00141
00717
-
-
43
7
r r
-
1435
0118
00141
000270
-
-
-
上三角2
(1)1(270)
-??-270
=-。
【解法二】
2240
4135
3123
2051
--
-
--1
2r
←
1120
4135
2
3123
2051
--
-
--21
c c
?
1120
1435
2
1323
0251
--
-
-
--
21
31
r r
r r
+
-
1120
0315
2
0403
0251
--
-
-23
r r
-
1120
0118
2
0403
0251
--
-
-
-
32
42
4
2
r r
r r
+
+
1120
0118
2
00429
00717
--
-
-
43
2
r r
-
1120
0118
2
00429
00141
--
-
-
--
3
4
4 r r +112
001182
0001350
1
41
-------34
r r ?11200118
2
001410
135
------
上三角221(1)(135)??-?-270=-。
()
21234
234134124123
。
【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2，3，4列加到第1列：
【解】
1234
234134124123
1234 ()
c c c c +++10234
103411041210123213141
r r r r r r ---10
234011
3
02
22
111
------
3242 2
r r r r -+102
340113004
40
4
--- 上三角2
101(4)
??-160=。
3、设行列式ij a m =(,1,2,,5)i j =L ，依下列次序对ij a 进行变换后，求其结果： 交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。
【解】()1交换第一行与第五行，行列式变号，结果为m -；
()2再转置，行列式的值不变，m -；
()3用2乘所有元素，即5行里每行都有公因2，这等于用52乘以行列式，结果为
52m -?32m =-；
()4再用(-3)乘以第二列加到第四列，这是倍加，行列式的值不变，结果仍为32m -；
()5最后用
4除第二行各元素，即第二行有公因
14，这等于用1
4
乘以行列式，结果为1
324
m -?
8m =-。
4、用行列式的性质证明下列等式：
()
1111112222233
33
3
a k
b b
c c a kb b c c a kb b c c ++++++1112
223
3
3a b c a b c a b c =； 【证法一】左边=11
11122
22233
33
3
a k
b b
c c a kb b c c a kb b c c ++++++23
c c -111122223333
a k
b b
c a kb b c a kb b c +++ 12
c kc -1
11
222333
a b c a b c a b c =右边，证毕。 【证法二】右边=1
112
223
3
3
a b c a b c a b c 12
c kc +11112222333
3
a k
b b
c a kb b c a kb b c +++ 23
c c +11
111
2222233333
a k
b b
c c a kb b c c a kb b c c ++++++=左边，证毕。 【证法三】左边=11
11122
22233
333
a k
b b
c c a kb b c c a kb b c c ++++++1
c 分拆1111
22223333a b c c a b c c a b c c ++++1
11122223333
kb b c c kb b c c kb b c c +++ 2
c 都分拆1
11
22233
3a b c a b c a b c +111
222333a c c a c c a c c +1
11
2223
33kb b c kb b c kb b c +1
1122233
3
kb c c kb c c kb c c 2312: =:1
c c c c k =第2，4行列式第3行列式111
22233
3a b c a b c a b c +0+0+0=1
11
2223
3
3
a b c a b c a b c =右边，证毕。 ()
2y z z x x y x y y z z x z x
x y
y z +++++++++2x y z z
x y y
z x =。 【证法一】左边=y z
z x x y x y y z z x z x
x y
y z
+++++++++123 ()
c c c ++2()
2()2()
x y z z x x y x y z y z z x x y z x y
y z
++++++++++++