函数的单调性一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题．二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用．
三、教学过程：
(一)主要知识：
1、函数单调性的定义；
2、判断函数单调性(求单调区间)的方法：
(1)从定义入手(2)从导数入手(3)从图象入手(4)从熟悉的函数入手 (5)从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域
3、函数单调性的证明：定义法；导数法。
4、一般规律
(1)若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；
(2)若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；
(3)互为反函数的两个函数有相同的单调性；
(4)设y = f g(x)是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y = f g(x)在M 上是
减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则y = f g(x)在M上是增函数。
(二)主要方法：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有：(1)用定义；(2)用已知函数的单调性；(3)利用函数的导数．3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用．
(三)例题分析：
例1．(1)求函数y = log0.7(x2- 3x + 2)的单调区间；
(2)已知f(x)=8+2x-x2,若g(x)= f(2-x2)试确定g(x)的单调区间和单调性．解：(1)单调增区间为：(2,+),单调减区间为(-,1)，
(2)g(x)=8+2(2-x2)-(2-x2)2=-x4+2x2+8，g(x)=-4x3+4x，
令g(x)0，得x-1或0x1，令g(x)0，x1或-1x0 ∴单调增区间为(-,-1),(0,1)；单调减区间为(1,+),(-1,0)．
e x a
例2．设a0，f (x) = e + a是R上的偶函数．
ae
x
(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0,+)上为增函数．
例3．若f(x)为奇函数，且在(-,0)上是减函数，又f(-2)=0，则x f(x)0的解集为(-,-
2)U(2,+)．
例4．已知函数f(x)的定义域是x0 的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)= f (x1)+ f(x2)，且当x1时f(x)0, f (2)=1，
(1)求证：f (x)是偶函数；(2) f(x)在(0,+)上是增函数；(3)解不等式f(2x2-1)2．解：(1)令x =x =1，得f (1) = 2f (1)，∴ f (1)=0，令x= x =-1，得∴ f(-1)=0，∴ f(-x)= f(-1x)= f(-1)+ f(x)= f(x)，∴ f (x)是偶函数．
x xx
(2)设x2 x1 0，则f(x2)- f(x1)= f(x1x2)- f (x1) = f (x1)+ f(x2)- f(x1)= f(x2)
x xx
∵x 2x 10，∴ x 2 1，∴ f (x 2)
0，即 f (x 2)-f (x 1)0，∴ f (x 2) f (x 1) xx ∴ f (x )在(0,+)上是增函数．
(3) 即不等式的解集为 (-
, ) ． a 例5．函数 f (x )=log 9(x +8- a )在［1, +
)上是增函数，求a 的取值范围． 9x aa 另解：(用导数求解)令g (x )= x +8- a ，函数 f (x )=log 9(x +8- a )在［1,+)上是增函数， x 9 x aa
∴g (x ) = x +8- a 在[1,+)上是增函数，g (x )=1+ a ， x x 2
a ∴1+8-a 0，且1+a 0在[1,+)上恒成立，得-1a 9． x 2
(四) 巩固练习：
1、下列函数中，在区间(0,2)上递增的是
A ) y = 1 (
B ) y = -x (
C ) y = x - 1 x
2、设函数 f (x ) 是减函数，且 f (x )
0 ，下列函数
中为增函数的是
3、已知y = f (x )是定义在R 上的偶函数，且 f (x )在(0，+∞)上是减函数，如果x 1 0， x 2 0且|
x 1 || x 2 |,则有
( ) (A ) f (-x 1)+ f (-x 2)0(B ) f (x 1)+ f (x 2)0
(C ) f (-x 1)- f (-x 2)0(D ) f (x 1)- f (x 2)0
4、已知 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在［0,+)上为增函数， f (1) = 0，则不等式 f (log 1 x )
0的解集为 ( )
8
(A ) (0, 1) (B )(2,+) (C )(1,1)(2,+) (D )(0,1)(2,+)
变题：设定义在［-2, 2］上的偶函数 f (x )在区间［0, 2］上单调递减，若 f (1- m )
f (m ) ，求实数m 的 取值范围。
5、( 1)函数 f (x ) = 2-x 2+4x -
3的递增区间为 _____________ ； (2)函数 f (x ) = log 1 (-x 2 +4x - 3)的递减区间为 ______________
2
变题：已知 f (x )= log a (2- ax )在［0, 1］上是减函数，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿。
四、小结：
函数单调性或者求函数单调区间的求法。
五、作业： D ) y = x 2 + 2x + 1 A ) y = - 1 A f (x ) B ) y = 2 f (x ) C ) y = log 1 f (x ) (D ) 2 y = [ f ( x )]2
