二次函数与一元二次方程和一元二次不等式
二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，
函数在2b x a =-处取得最小值2
44ac b a
-，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得
最大值2
44ac b a
-，无最小值．
方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。
本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】已知二次函数2
2y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程
220x x m -++=的解为 ．
分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数2
2y x x m =-++的图象与x 轴交点横坐标。根据已知条件2
2y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。 【例2】 二次函数2
(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：
x
1-
1
2
-
12
1
32
2
52
3
y
2-
14
-
1
74
2
74
1
14
-
2-
（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
（2）一元二次方程2
0(0ax bx c a a b c ++=≠，，，是常数)的两个根12x x ，的取值范围是下列选项中的哪一个 ．
①1213
0222x x -
<<<<，
②1215
1222x x -<<-<<
，
③12150222
x x -<<<<，
④1213
1222x x -<<-<<，
分析：本题以表格的形式给出二次函数2
y ax bx c =++的部分对应值，解题时可以选定三
对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标。但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与1x =等距离的x 对应的函数值相等，所以直线1x =是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为（1，2）；观察表格发现：当1x >时，y 随着x 的增大而减小，当1x <时，y 随着x 的增大而增大，所以抛物线的开口向下。（2）一元二次方程
20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，是常数)的根即为抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点的
横坐标，观察表格发现：12-
与0之间一定有一个x 的值，使2
y ax bx c =++＝0；2与52
之间一定有一个x 的值，使2
y ax bx c =++＝0，所以20ax bx c ++=的两根12x x ，的取值范围是1215
0222
x x -
<<<<，，故答案为③ 【例3】已知函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ） A ．无实数根
B ．有两个相等实数根
C ．有两个异号实数根
D ．有两个同号不等实数根
分析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于x 的方程2
20ax bx c +++=的根的情况，因为220ax bx c +++=可化为2
2ax bx c ++=-，即2
2y ax bx c =++=-，所以，方程
220ax bx c +++=的根即为抛物线与直线y ＝－2的交点横坐标，作直线y ＝－2，观察图
象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D 。本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标
。
【例4】二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．
（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．
（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k
的取值范围． 分析：本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系。
（1）方程20ax bx c ++=的根即抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交点的横坐标，观察图象得方程20ax bx c ++=的两根为11x =，23x =；
（2）不等式20ax bx c ++>的解集即抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠位于x 轴上方的那一段的x 的范围，观察图象得不等式20ax bx c ++>的解集为13x <<；
（3）抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为2x =，结合图象得对称轴右边y 随x 的增大而减小，所以2x >；
（4）方程2ax bx c k ++=的解为抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与直线y k =的交点，所以当2k <时，抛物线与直线有两个交点，即方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根的
k 的取值范围是2k <。
【例5】当22x -≤≤时，求函数2
23y x x =--的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．
解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．
x y 3 3 2 2 1
1 4 1- 1-
2- O
【例6】当12x ≤≤时，求函数2
1y x x =--+的最大值和最小值．
解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．
由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
【例7】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．
解：作出函数2
(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【例8】当1t x t ≤≤+时，求函数215
22
y x x =
--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数215
22
y x x =
--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 15
22
y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时：
当1x =时，2min 15
11322
y =?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +
当1x t =+时，22min 151
(1)(1)3222
y t t t =+-+-=-．
综上所述：2
213,023,0115
,1
2
2t t y t t t t ?-
=-≤≤???-->?
在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：
【例9】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元， 那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．
2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤
(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下
∴当42x =时，2max 342252424860432y =-?+?-=
∴ 当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
课后自我检测
A 组
1．抛物线2
(4)23y x m x m =--+-，当m ＝ _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m ＝ _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m ＝ _____ 时，图象过原点．
2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．求下列二次函数的最值：
(1) 2245y x x =-+；
(2) (1)(2)y x x =-+．
4．求二次函数2
235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值． 5．对于函数2
243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围． 6．求函数23532y x x =---的最大值和最小值．
7．已知关于x 的函数2
2
(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？ 8．若不等式02>++c bx x 的解为－1 9．当直线0=++b y ax 在两点P (1,1),Q (2,1)之间通过时，求实数b a ,满足的关系式_______ 10．二次方程2 2 (1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是 11．已知函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点,若01c <<,则a 的取值范围是 12.若方程05)2(2 =++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是 B 组 1．已知关于x 的函数2 22y x ax =++在55x -≤≤上． (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值． 2．函数2 23y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围． 3．设0a >，当11x -≤≤时，函数2 1y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值． 4．已知函数2 21y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值． 5．求关于x 的二次函数2 21y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)． 6．已知关于的不等式02>++t x x 对R x ∈恒成立，则的取值范围是______ 7.不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 8．一元二次不等式220ax bx ++>的解是11 23 x -<<，则a b +的值是 课后自我检测参考答案 A 组 1．4 14或2， 3 2 2．2216 l m 3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值9 4 ，无最小值． 4．当34x = 时，min 318 y =；当2x =-时，max 19y =． 5．5y ≥- 6．当56x = 时，min 33y =-23 x =或1时，max 3y =． 7．当5 4 t =-时，min 0y =． 略 B 组 1．(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =． (2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-． 2．21m -≤≤-． 3．2,2a b ==-． 4．1 4 a =- 或1a =-． 5．当0t ≤时，max 22y t =-，此时1x =；当0t >时，max 22y t =+，此时1x =-． 略 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 一元二次不等式专题练习 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 例2 解下列分式不等式： （1） 2 2 123+-≤-x x （2） 1 2 731 422<+-+-x x x x 例3 解不等式242+<-x x 例4 解不等式 04125 622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x x x x x <-+-+2 2232 2． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ． 例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ． 例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02 >++c bx ax 的解集是 {})0(><<αβαx x ．求不等式 02>++a bx cx 的解集． 例11 若不等式 1 12 2+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31 (∞+-∞，，Y ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032． 例1解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 ,0321 =-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案 一、选择题 1．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．144（1﹣x ）2=100 B ．100（1﹣x ）2=144 C ．144（1+x ）2=100 D ．100（1+x ）2=144 【答案】D 【解析】 试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 解：2012年的产量为100（1+x ）， 2013年的产量为100（1+x ）（1+x ）=100（1+x ）2， 即所列的方程为100（1+x ）2=144， 故选D ． 点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键． 2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下面所列方程中正确的是( ) A ．168(1＋a %)2＝128 B ．168(1－a %)2＝128 C ．168(1－2a %)＝128 D ．168(1－a 2%)＝128 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元， 第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2； 故选B. 3．将方程()2 2230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ） A ．1和3 B ．-1和3 C ．1和4 D ．-1和4 【答案】C 【解析】 【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】 移项得x 2-2x=3， 配方得x 2-2x+1=4， 即（x-1）2=4， ∴m=1，n=4． 《二次函数与一元二次方程、一元二次不等式》复习题汇编 【知识梳理】： 1.二次函数与一元二次方程关系非常密切，可以相互转化，若已知函数值，可以利用一元二次方程的知识求自变量的值。 2.从“形”的方面看，函数2 y ax bx c =++的图像与 轴交点的横坐标，即为方程 20ax bx c ++=的解；从“数”的方面看，当二次函数2y ax bx c =++的函数值为 时，相应的自变量的值即为方程2 0ax bx c ++=的解。 3.抛物线2 y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点，相应的一元二次方程 20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数根；反过来，如 果一元二次方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数 根，那么抛物线2 y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点。 4.二次函数2 y ax bx c =++与一元二次方程2 的关系如下： 5.直线y=kx+b 与抛物线y ax bx c =++有0个、1个、2个交点，则由方程y ax bx c =++； y=kx+b 联立并消元后的一元二次方程分别满足24b ac -＜0、24b ac -=0、2 4b ac -＞0. 6.二次函数与一元二次不等式的关系也非常密切，当c bx ax ++2 ＞0时，则相应的二次函 数图象2y ax bx c =++上的点位于x 轴的上方；当c bx ax ++2 ＜0时，则相应的二次函 数图象2 y ax bx c =++上的点位于x 轴的下方。 7.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故12b x x a +=- 、12c x x a = ； ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121【典型例题】 例1．已知函数()()()() 2 2 113513x x y x x ?--? =?--??≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 例2．已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 A.4 一元二次不等式练习 一、选择题 1．设集合S ＝{x |－5 二、填空题 8．若不等式2x2－3x＋a<0的解集为(m,1)，则实数m的值为________． 9．若关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式ax＋b x－2 >0的解集是 ________． 10．若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 11．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)． . 12．设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． §2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 导学目标： 1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程． 2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系． （预习教材P 51~ P 53，回答下列问题） 情景：学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化， 计划四周种花卉，花卉带的宽度相同， 中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观， 现要求草坪的种植面积超过总面积的一半， 此时花卉带的宽度的取值范围是什么? 【知识点一】一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式. 其一般形式可表示为：2 0ax bx c ++>或2 0ax bx c ++<()0a ≠ 自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是( ) A ．22 20a x x +≥ B ． 2 1 3x < C ．20x x m -+-≤ D ．32 410x x x +-+> 【知识点二】一元二次不等式的解法 下图是一元二次函数76y x x =--的图像，请根据图像回答： （1）当x 取 时，0y = 当x 取 时，0y < 当x 取 时，0y > 由上面可知： （2）一元二次不等式2 760x x --<的解集为 一元二次不等式2 760x x --<的解集为 有何发现： 第二章 一元二次函数、方程和不等式 - 2 - （3）一元二次方程2760x x --=的解集为 有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()2 00ax bx c ++><的解集的步骤？ 自我检测2：一元二次不等式2 20x x -<的解集是 【知识点三】三个二次之间的关系 请根据右图回答： 一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠、 一元二次不等式()2 00ax bx c a ++>≠ 与其对应的一元二次函数()2 0y ax bx c a =++≠图像的关系？ （1）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数 ()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ． （2）一元二次方程()2 00ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的 ． （3）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ． 自我检测3：不等式2 50ax x c ++>的解集为1 13 2x x ??<≠恒成立的充要条件是：0a >且2 40()b ac x -<∈R ． （2）2 0(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且2 40()b ac x -<∈R ． 怀文中学2014—2015学年度第一学期随堂练习 初 三 数 学（5.3二次函数与一元二次方程和不等式(1)） 设计：吴兵 审校：蔡应桃 班级__________ 学号___________ 姓名____________ 一、知识点 1.二次函数与一元二次方程之间的关系是通过 与 的交点来体现的:若抛物线0(2 ≠++=a c bx ax y ）与x 轴的交点为(m ,0)、(n ,0),则对应的一元二次方程 02=++c bx ax 的两根为 . 一元二次方程根的情况对应决定着抛物线与x 轴的交点个数. （1）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点, 02 =+ +c bx ax ac b 42- 0； （2）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个交点， 02 =++c bx ax ac b 42- 0； （3）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点, 02 =++c bx ax ac b 42- 0. 2.抛物线与直线的交点: ①二次函数图象与x 轴及平行于x 轴的直线； ②二次函数图象与y 轴及平行于y 轴的直线； ③二次函数图象与其它直线(不平行于坐标轴,即一次函数图象). 3.根据示意图求一元二次不等式的解集. 二、典型例题 不画图象，你能判断函数 的图象与x 轴是否有公共点吗？请说明理由。 三、适应练习 1、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ． 2、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的 交点有 个，其坐标是 ． 3、下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是（ ） 62 -+=x x y 0542 =-+x x 025102=-+-x x 25102 -+-=x x y 542 -+=x x y 2)(2-=x y A x x y B -=2)(96)(2-+-=x x y C 2)(2+-=x x y D 初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点 一、选择题 1．关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a=1 C ．a ＜1 D ．a<1且a≠0 【答案】D 【解析】 【分析】 由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围． 【详解】 解：由于原方程是二次方程，所以a≠0； ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1； 综上，可得a≠0，且a ＜1； 故选D ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： (1)△＞0?方程有两个不相等的实数根； (2)△=0?方程有两个相等的实数根； (3)△＜0?方程没有实数根． 2．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法： ①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立； ④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ） A ．只有①②③ B ．只有①②④ C ．①②③④ D ．只有③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ． 【详解】 解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0 九年级数学第十周拓展训练（部分习题选自《新思维》）（2017.11.5） 1．（永州）抛物线122-++=m x x y 与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是----（ ） A ．m ＜2 B ．m ＞2 C ．0＜m≤2 D ．m ＜﹣2 2.(陕西)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图 （ ） x … 1- 0 1 2 … y … 1- 47- 2- 4 7- … A.只有一个交点 B.有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C.有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D.无交点 3.（宜昌）已知抛物线122+-=x ax y 与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是------（ ） A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 4．（南宁）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 和正比例函数x y 3 2=的图象如图所示，则方程0)3 2(2=+-+c x b ax 的两根之和-------------------------------------------------------（ ） A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不能确定 5.（安徽）如图，一次函数x y =1与二次函数c bx ax y ++=22的图象相交于P 、Q 两点，则函数 c x b ax y +-+=)1(2的图象可能为-----------------------------------------------------（ ） 6.（绵阳）若)(,2121x x x x ＜是方程)(1))((b a b x a x ＜=--的两个根，则b a x x ,,,21的大小关系（ ） A. b a x x ＜＜＜21 B. b x a x ＜＜＜21 C. 21x b a x ＜＜＜ D. 21x b x a ＜＜＜ 7.（泰安）二次函数bx ax y +=2 的图象如图所示，若一元二次方程02=++m bx ax 有实数根，则m 的最大值为-----------------------------------------------------------------------------（ ） A.-3 B.3 C.-6 D.9 第4题 第5题 第7题 一元二次方程练习题 1. 解下列方程：（1）2(1) 9x -=； （2）2(21)3x +=； （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 2. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2）21(31)644 x +=； （3）26(2) 1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 3. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2．（2）223x x -+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 4. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 5. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 7. 用适当的方法解方程（1）23(1) 12x +=； （2）2410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2310y y ++=． （5） ()9322=-x ； （6）162=-x x ； 一元二次不等式 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 必修5《一元二次不等式及其解法》练习卷 知识点： 1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数2y ax bx c =++ ()0a >的图象 一元二次方程20ax bx c ++= ()0a >的根 有两个相异实 数根 1,22b x a -±? = ()12x x < 有两个相等实 数 根 122b x x a ==- 没有实数 根 一元二次不等 20ax bx c ++> ()0a > {} 1 2 x x x x x <>或 2b x x a ??≠-??? ? R 式的解集 20ax bx c ++< ()0a > {}1 2x x x x << ? ? 同步练习： 1、不等式2654x x +<的解集为（ ） A ．41,,32????-∞-+∞ ? ????? B ．41,32??- ??? C ．14,,23????-∞-+∞ ? ????? D ．14,23??- ??? 2、设集合{}12x x A =≤≤，{}0x x a B =-<，若A B ≠?，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．[)1,+∞ 3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．R B ．()2,2- C ．()(),22,-∞-+∞ D ．[]2,2- 4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ?? -< 第一章 集合与函数 1.1 集合及集合间的基本关系 一 、知识梳理： 1、集合中元素的性质：________、 ________ 、________； 2、 集合的表示方法：________、 __________； 3、 元素与集合的关系：_____________________ ； 4、 集合与集合的关系：______________ 。 5、子集的概念：___________ ，表示： ，文氏图表示： 真子集：___________ ， 集合的相等的意义：___________ 6、 数集之间的关系（横线上填数集的专用符号） →→?? ?? ?? ?? ???? ? ?? 整数集自然数集正整数集 有理数集实数集分数集 复数集 无理数集虚数集 7、空集的含义：________________________，符号表示_______________ 空集的特征__________________________。 8、设有限集合A 含有n 个元素，则其子集有_______个；真子集有________个。 二 、基础练习 1.用符号“∈”“?”填空 （1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则： 中国_____A ， 美国_______A ， 印度_______A ， 英国_______A ； （2）若{ } x x x A ==2 |，则—1 _____ A ； （3）若{ } 06|2 =-+=x x x B ，则3 ___ A ； （4）若{}101|≤≤∈=x N x C ，则8_______C ，9.1 ____ C 2.试选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程092 =-x 的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有质数组成的集合； （3）一次函数3+=x y 与62+-=x y 的图象的交点组成的集合； 3.写出集合{}c b a ,,的所有子集。 二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系(第8课时) 知识回顾： 1如图填空：（1）a____0 2）b___0 （3）c___0 （4）b 2－4ac____0 2如图一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝3 的解为_________________ 探究实践： 例1．画出函数322 --=x x y 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么 （2）当x 取何值时，y=0这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系 （3）x 取什么值时，函数值y 大于0x 取什么值时，函数值y 小于0 例2、关察图像回答下列问题: 1．特殊代数式求值： ①如图 看图填空：（1）a ＋b ＋c___0 （2）a －b ＋c_____0 （3）2a －b __0 ②如图2a ＋b _______0 4a ＋2b ＋c_______0 2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________； （2）方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________； （3）方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________； （4）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________； （5）不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________； （6）不等式－4＜ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________． 课内练习： 1、根据图象填空： （1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； （4）△＝b 2－4ac_____0；（5）a ＋b ＋c_____0； （6）a －b ＋c_____0；（7）2a ＋b_____0； （8）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为__________； （9）当y ＞0时，x 的范围为___________； （10）当y ＜0时，x 的范围为___________； 一元二次不等式的解法在高中数学中的地位与作用一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点和难点之一。（知识上）“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，又是本章集合知识的运用与巩固，也为下一章函数的定义域和值域教学作铺垫，起着链条的作用。（数学思想上）同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用.不等式是高中数学研究的一个重要课题，它与中学数学其他章节有着密切的联系，可以说是贯穿高中数学的始终，而一元二次不等式虽是最基础、最简单的不等式，但他却有着重要的地位，纵向看，它是后面的分式不等式、含绝对值不等式等化归、转化的归宿；横向看，它与二次函数、一元二次方程密切相关，因此成为我们学习讨论和考察学生能力的一个热点。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元二次不等式组的延续和深化，对已学过的集合知识的巩固和运用具有重要 的作用，也与函数、数列、三角函数、线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。1、知识与能力：熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系；培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。2、过程与方法：在经历由二次函数图象解不等式的过程，师生共同分析、交流，探究发现其中的一般规律，从而得到解决一元二次不等式的办法。3、情感态度与价值观： 第4节从函数的观点看一元二次方程和 一元二次不等式 知识梳理 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1， x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝ x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2 或x＜x1}?? ? ? ? ? x|x≠－ b 2a R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}??3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 ab (x－a)·(x－b)>0{x|x (1)f (x ) g (x )>0(<0)?f (x )·g (x )>0(<0). (2)f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒] 1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形. 3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立????a ＝b ＝0，c >0或???a >0，Δ<0. (2)不等式ax 2 ＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立????a ＝b ＝0，c <0或???a <0， Δ<0. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( ) (4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( ) 解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为?. (4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为?. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.(必修5P103A2改编)已知集合 A ＝???? ?? x ???12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B 一元二次方程和不等式 1. 如图，抛物线从 c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （1,0），B （3,0），则 (1) a 0, b 0, c 0； (2) 方程02=++c bx ax 的解集为 ； (3) 不等式02>++c bx ax 的解集为 ； (4) 不等式02<++c bx ax 的解集为 ； 2. 如图，是二次函数 c bx ax y ++=21和一次函数n mx y +=2的图象， (1) n x c bx ax +=++m 2的解为 ； (2) 不等式n x c bx ax +>++m 2的解集为 ； (3) 不等式n x c bx ax +<++m 2的解集为 ； 3. 解一元二次不等式 (1) 解不等式0342<+-x x (2) 已知二次函数21x y -=与一次函数432--=x y 交于A 、B 两点 a 、 求A 、B 两点的坐标； b 、判断x 为何值时，21 y y < 4、抛物线c bx ax y ++=2分别交坐标轴于A （-2,0），B （6,0），C （0,4），则402<++≤c bx ax 的解集是 。 y y 2y 1 根与系数关系（一） 基本问题：直线与抛物线相交所截线段长度可用根与系数关系得到。 例1：基本图形，抛物线所截弦长。如图，直线1+=x y 与m m mx x y ++-=222交于A ，B 两点（A 在B 左边）。求证无论m 为任何值，AB 的长总为定值。 例2：(线段和差)如图,抛物线342+-=x x y 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，将直线BC 向上平移交抛物线于M ，N ，交y 轴于点P ，求PM-PN 的 值。 例3：（线段乘积）如图，已知直线k kx 9y -=(k<0)与抛物线322 --=x x y 交于A,B 两点，与x 轴交于点P ，过点A 做AC ⊥x 轴于点C ，过点B 做BD ⊥x 轴于点D ，求证：PC PD ? 为定值。 例4．抛物线L ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (0，1)，与它的对称轴直线x ＝1交于点B (1) 直接写出抛物线L 的解析式 (2) 如图1，过定点的直线y ＝kx －k ＋4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若 △BMN 的面积等于1，求k 的值 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题 一、选择题 1．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ） A ．x 1≠x 2 B ．x 1+x 2＞0 C ．x 1?x 2＞0 D ．x 1＜0，x 2＜0 【答案】A 【解析】 分析：A 、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x 1≠x 2，结论A 正确； B 、根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=a ，结合a 的值不确定，可得出B 结论不一定正确； C 、根据根与系数的关系可得出x 1?x 2=﹣2，结论C 错误； D 、由x 1?x 2=﹣2，可得出x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误． 综上即可得出结论． 详解：A ∵△=（﹣a ）2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8＞0， ∴x 1≠x 2，结论A 正确； B 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根， ∴x 1+x 2=a ， ∵a 的值不确定， ∴B 结论不一定正确； C 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根， ∴x 1?x 2=﹣2，结论C 错误； D 、∵x 1?x 2=﹣2， ∴x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误． 故选A ． 点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22 240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y +-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2 【答案】C 【解析】 【分析】 由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y +-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】 第1课 一元二次不等式的解法、集合及运算 一、一元二次不等式的解法 1. 基本形式：①2 0(0)ax bx c a ++>> 或 2 0(0)ax bx c a ++≥> ②2 0(0)ax bx c a ++<> 或 2 0(0)ax bx c a ++≤> 2．当不等式可十字相乘时：设12x x <，则 12()()0x x x x --≥的解集为12[,]x x ，12()()0x x x x --≤的解集为12(,][,)x x -∞+∞U 120x x x x -≥-的解集为12(,](,)x x -∞+∞U ，1 2 0x x x x -≤-的解集为12[,)x x ． 【例1】解下列不等式： ①2820x x -+< ②22530x x +-≥ ③2619x x -< 解：①原不等式可化为2280x x -->，∴(2)(4)0x x +->，∴4x >或2x <- ∴原不等式的解集为(,2) (4,) -∞-+∞（或写成原不等式的解集为{}42x x x ><-或） ②原不等式可化为23520x x --≤，∴(31)(2)0x x +-≤，∴1 23 x -≤≤， ∴原不等式的解集为1 [,2]3- ．（或写成原不等式的解集为123x x ??-≤≤???? ） ③原不等式可化为29610x x -+>，∴2 (31)0x ->，∴x R ∈，且1 3 x ≠， ∴原不等式的解集为13x x R x ??∈≠???? ,且． 【变式】①21240x x --≥②22320x x +-<③2414x x ->④ 2 01 x x -≤+ 解：①原不等式可化为24120x x +-≤，∴(6)(2)0x x +-≤，∴62x -≤≤ ∴原不等式的解集为[6,2]-（或写成原不等式的解集为{} 62x x -≤≤） ②原不等式可化为2 2320x x -->，∴(21)(2)0x x +->，∴2x >或12 x <- ， ∴原不等式的解集为1(,) (2,)2-∞-+∞． （或原不等式的解集为{|2x x >或1 }2 x <-） ③原不等式可化为2 4410x x -+<，∴2 (21)0x -<，∴无实数解，∴原不等式的解集为Φ． 二次函数与一元二次方程和一元二次不等式 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2 44ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。 本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ． 分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴交点 横坐标。根据已知条件22y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛 物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。 【例2】 二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： 方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案解析 一、选择题 1．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解. 【详解】 解：Q 一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限， 0k ∴>，0b ≤， 240k b ∴?=->， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞﹣1 C ．m ＞1 D ．m ＜﹣1 【答案】C 【解析】 试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2 24241440b ac m m ?=-=--??=-<， 解得： 1.m > 故选C ． 3．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法： ①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立； ④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ） A ．只有①②③ B ．只有①②④ C ．①②③④ D ．只有③④(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
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