宁波市鄞州高中数学论文：Maple在微积分中的应用

Maple 在微积分中的应用

摘要：Maple 被称为当今世界上最流行的符号计算软件之一，它具有强大的交互式工程数学计算功能；其丰富的函数包能满足用户在各方面的需求；简单灵活的平面和立体作图技术使得它成为当前最普及的数学教学软件；它在统计学、经济结算方面的程序库被广泛应用于很多领域。本文通过Maple9.5软件分六个部分：1. Maple 在极限中的应用；2.Maple 在求导中的应用；3. Maple 在积分中的应用；4.Maple 在级数中的应用；5.Maple 在积分变换中的应用；6.Maple 中通过菜单的工具选项操作实现相关微积分的功能对Maple 在微积分中应用进行了系统的研究与说明。

关键字：Maple ；微积分；应用研究

一、Maple 在极限中的应用

1 数列的极限

例1．设

2

2

2

111

1

2

n u n =

+

++

，求lim n n u →∞。

首先可以通过Maple 绘制散点图得到这个数列是收敛的，如图1： > with(plots);

> plot(sum('1/k^2','k'=1..n),n=1..1000);

（图1 数列

{}

n u 散点图）

进一步用maple 计算得到该数列的极限为2

1

6π

，其中命令为：

> limit(sum('1/k^2','k'=1..n),n=infinity);

例2．

1

0110,1,,lim 2

n n n n

n x x x x x x -+→∞

+===

设求。

这是一种迭代形式的数列，对于这种题目，我们一般有两种解答方法：1）先证明数列为单调，再证明其有上界或下界，从而根据单调有界定理得到数列的极限存在，最后，对数列的迭代式两边求极限；2）通过计算数列的通项公式，直接求极限。在本题中，显然，第一种方法是

行不通的，因此，我们尝试用第二种方法来解。

Maple 可以通过命令容易的解决此种迭代形式的数列，其中命令为： > rsolve({x(n+1)=(x(n)+x(n-1))/2,x(0)=0,x(1)=1},x(n));

得到数列的通项公式为

2

21332n

n x -??=- ?

??，这样，就得到了这个数列的极限是2

3。

2、函数的极限

在微积分中，有两个非常重要的极限，它们分别是0

sin lim

1

x x x

→=，1lim (1)0

x

n x →∞

+

=。很多

函数的极限问题都可以化到这两种函数极限的问题，因此，了解这两个函数的性质是非常重

要的。以

sin lim

1

x x x

→=为例，首先我们可以给出这个函数的图像（图2）。

>f:=x->sin(x)/x; >with(plots); >plot(f(x),x=1..100);

从这个图中，我们可以看到，函数sin ()x f x x

=

，当

0x →时收敛到1，当x →∞时，收敛到0，在做极

限题时，注意观察极限的下标是非常重要的。

图2 （

sin ()x f x x

=

的图像 ）

例3. 函数()sin()f x x x =的图像及相关极限。 >f:=x->x*sin(x); >with(plots); >plot(f(x),x=-100..100);

从图中我们可以得到0

lim sin()0

x x x →=而lim sin()

x x x →∞

是不存在的，因为函数在无限远处无限震

荡。从而“无穷大与有界函数的乘积是无穷大”的论断是错误的。

（图3 ()sin()f x x x =） Maple 在求导中的应用

例4．计算

22

(

)

sin()

d

x dx

x ，

5

23

(sin())

xy x y

???

对于单变量、多变量的求导问题，在Maple 中可以直接通过简单的命令进行求解，如本题命令：

>diff(x/sin(x),x$2);

从而得到： 2

2

3

2cos()2cos()sin()

sin()

sin()x x x x x x x -

+

+

>diff(sin(x*y),y$3,x$2);

从而得到： 23

2

c o s ()6s i n ()6c o s

()x y y

x x y y x

x y x +-

Maple 在积分中的应用

积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求它的原函数. 是以i n t ()来作为积分( integration)指令的,用来求解函数的积分。输入格式如下: 不定积分：()f x dx

?

命令：int((),)f x x

定积分：()b

a

f x dx

?

命令：int((),,..)f x x x a b =

Maple 可以用来求解单变量积分、重积分，同时，也可快速求解在不定积分和定积分运算中非常重要的两种方法换元积分法、分部积分法问题。除此之外,Maple 还可以求数值积分、近似

积分、曲线积分和旋转曲面积分等等,此软件包功能强大,操作简便。

例5．计算

sin()x dx

?，0,1

x y

x y e

dxdy

+≤≤??

>int(sin(x),x);

cos()x -

> int(int(exp(x+y),x=-1..1),y=-1..1);

(2)

2

2e

e -+-

例6．（换元积分）用换元函数

计算积分,0

a >?

sin x a t =令

> with(student):

> changevar(x=a*sin(t),Int(sqrt(a^2-x^2),x),t);

cos()t dt

?

> value(%)assum

ing a>0;

11sin(arcsin(sin())22a t a t ?? ?

??

> subs(sin(t)=x/a,%);

1arcsin()22x a a a a ??

+ ? ???

> int(sqrt(a^2-x^2),x) assuming a>0;

2

11

arcsin()2

2x a a

例7．(分部积分)计算积分cos x xdx

?

> with(student):

> intparts(Int(x*cos(x),x),x);

sin()sin()x x x dx

-?

> value(%);

sin()cos()x x x +

Maple 在级数中的应用

1）数值级数和函数级数求和

我们可以用sum 方便地求得级数的和，无论是有限项、无限项、常数项还是函数项级数。相应地，和式的形式函数是sum,求连乘积使用product.

例8．求级数

2

1

1

41k k

∞

=-∑，

2

1

1n

k k =∏

的和

>Sum(1/(4*k^2-1),k=1..infinity)=sum(1/(4*k^2-1),k=1..infinity);

从而得到：

2

1

1141

2k k ∞

==

-∑

>Product(1/k^2,k=1..n)=product(1/k^2,k=1..n);

从而得到： 2

2

1

11(1)n

k k

n ==

Γ+∏

幂级数展开

对函数()f x 在x a =处做n 次级数展开的命令格式为：((),,)series f x x a n =，如果只写x ，表示在0x =处展开。n 为非负整数，缺省值是6 例9．求函数()sin(3*)f x x x =*的幂级数展开。 >f:=x*sin(3*x):series(f,x);

从而得到：

2

46

93()

2

x x x -

+O

泰勒展开

在Maple 中，可以用命令taylor 方便快捷地得到一个函数或表达式在一点的任意阶Taylor 展开式，如对函数()f x 在x a =处做n 次泰勒展开的命令格式为：((),,)taylor f x x a n =。 例10．求函数()sin(tan())tan(sin())f x x x =-的泰勒展开式 >taylor(sin(tan(x))-tan(sin(x)),x=0,10);

从而得到： 7

911

129()

30

756

x x x --

+O

Maple 在积分变换中的应用

无论在数学理论研究还是在数学应用中，积分变换都是一种非常有用的工具。积分变换就是将一个函数通过参变量积分变为另一个函数。常用的积分变换包括拉普拉斯变换（Laplace ）,

傅里叶变换（Fourier ）等。函数f 的积分变换的定义如下：()()(,)b

a

T f f t K s t dt

=

?

其中K 为变换核。具体如下：

例11．计算Laplace 变换0

()()st

L s f t e

dt

∞

-=

?

及其反变换（其中

3

()*cos()

f t t t =）。

>with(inttrans); > f(t):=t^3*cos(t): > F(s):=laplace(f(t),t,s);

从而其Laplace 变换为： 42

2

4

6(16)():(1)

s s F s s +-=

+

> invlaplace(F(s),s,t);

从而其Laplace 变换的反变换为： 3

c o s ()

t t

例12．计算Fourier 变换()()iw t

F s f t e

dt +∞

--∞

=

?

及其反变换

1()()2ist

f t F e d ωω

π

+∞

-∞

=

?

（其中2

()1f t t =+）。 > fourier(1+t^2,t,w);

从而其Fourier 变换为： 2((

)(2,)D i r a c w D i r a c w

π- > invfourier(%,w,t);

从而其Fourier 变换的反变换为： 2

1t + 六、Maple 中通过菜单的工具选项操作实现相关微积分的功能

1） 关于微积分的相关计算如极限（菜单选项 Limit Methods ）、求导(菜单选项Differentiation Methods)、积分（菜单选项Integration Methods ）等也可以通过Maple 的菜单栏中的工具选项

进行。如计算，如计算

2

1

1

1lim

x x x →-+-，我们可以进行如下菜单操作，显示窗口如图4。

（图4：

2

1

1

1lim

x x x →-+-的计算窗口）

关于微积分中相关定理如中值定理、罗尔定理等的应用求解也可以通过Maple 的菜单栏中的工具选项进行说明。以拉格朗日中值定理为例：

求函数

2

()6f x x x

=+-在区间(2,1)-内至少存在一点c ,使得

'

()()()f b f a f c b a

-=

-

显示窗口如图5，得到存在一点0.5c =-，此时

'

()()()f b f a f c b a

-=

-，同时，我们也可由图

得到拉格朗日中值定理的几何意义：在点(,())c f c 处的切线平行于曲线两端点的连线。

（图5）

同时，关于曲线分析求最大最小值问题（菜单选项Curve Analysis）、计算曲面的表面积（菜单选项Surface of Revolution）等也可通过Maple的菜单栏中的工具选项进行。

总的来说，Map le软件在微积分领域中功能强大,操作简便。本文只对其部分简单常用的功能进行了一定的研究与说明。通过系统研究，认为利用Maple 来进行辅助教学,不仅形象生动,使学生耳目一新,更重要的是能够提高教学效果,省掉画图和中间计算所需要的大量时间,培养学生用计算机解决数学问题的能力,提高学生学习数学的积极性。从这方面来看，Maple 具有

比较好的实用性，因此，也就需要我们不断加强研究学习。

Maple基础

1 初识计算机代数系统Maple 1.1 Maple简说 1980年9月, 加拿大Waterloo大学的符号计算机研究小组成立, 开始了符号计算在计算机上实现的研究项目, 数学软件Maple是这个项目的产品. 目前, 这仍是一个正在研究的项目. Maple的第一个商业版本是1985年出版的. 随后几经更新, 到1992年, Windows系统下的Maple 2面世后, Maple被广泛地使用, 得到越来越多的用户. 特别是1994年, Maple 3出版后, 兴起了Maple热. 1996年初, Maple 4问世, 1998年初, Maple 5正式发行. 目前广泛流行的是Maple 7以及2002年5月面市的Maple 8. Maple是一个具有强大符号运算能力、数值计算能力、图形处理能力的交互式计算机代数系统(Computer Algebra System). 它可以借助键盘和显示器代替原来的笔和纸进行各种科学计算、数学推理、猜想的证明以及智能化文字处理. Maple这个超强数学工具不仅适合数学家、物理学家、工程师, 还适合化学家、生物学家和社会学家, 总之, 它适合于所有需要科学计算的人. 1.2 Maple结构 Maple软件主要由三个部分组成: 用户界面(Iris)、代数运算器(Kernel)、外部函数库(External library). 用户界面和代数运算器是用C语言写成的, 只占整个软件的一小部分, 当系统启动时, 即被装入, 主要负责输入命令和算式的初步处理、显示结果、函数图象的显示等. 代数运算器负责输入的编译、基本的代数运算(如有理数运算、初等代数运算等)以及内存的管理. Maple的大部分数学函数和过程是用Maple 自身的语言写成的, 存于外部函数库中. 当一个函数被调用时, 在多数情况下, Maple会自动将该函数的过程调入内存, 一些不常用的函数才需要用户自己调入, 如线性代数包、统计包等, 这使得Maple在资源的利用上具有很大的优势, 只有最有用的东西才留驻 Maple可以在较小内存的计算机上正常运行. 用户可以查看Maple的非内存函数的源程序, 也可以将自己编的函数、过程加到Maple的程序库中, 或建立自己的函数库. 1.3 Maple输入输出方式 为了满足不同用户的需要, Maple可以更换输入输出格式: 从菜单“Options | Input Display和Out Display下可以选择所需的输入输出格式. Maple 7有2种输入方式: Maple语言(Maple Notation)和标准数学记法(Standard Math Notation). Maple语言是一种结构良好、方便实用的内建高级语言, 它的语法和Pascal或C有一定程度的相似, 但有很大差别. 它支持多种数据操作命令, 如函数、序列、集合、列表、数组、表, 还包含许多数据操作命令, 如类型检验、选择、组合等. 标准数学记法就是我们常用的数学语言. 启动Maple, 会出现新建文档中的“[>”提示符, 这是Maple中可执行块的标志, 在“>”后即可输入命令, 结束用“;”(显示输出结果)或者“:”(不显示输出结果). 但是, 值得注意的是, 并不是说Maple的每一行只能执行一句命令, 而是在一个完整的可执行块中健入回车之后, Maple会执行当前执行块中所有命令(可以是若干条命令或者是一段程序). 如果要输入的命令很长, 不能在一行输完, 可以换行输入, 此时换行命令用“shift+Enter”组合键, 而在最后一行加入结束标志“;”或“:”, 也可在非末行尾加符号“\”完成. Maple 7有4种输出方式: Maple语言、格式化文本(Character Notation)、固定格式记法(Typeset Notation)、标准数学记法(Standard Math Notation). 通常采用标准数学记法. Maple会认识一些输入的变量名称, 如希腊字母等. 为了使用方便, 现将希腊字母表罗列如下，输入时只需录入相应的英文，要输入大写希腊字母, 只需把英文首字母大写: 的函数或程序设计方式控制其输出方式，如下例：> for i to 10 do printf("i=%+2d and i^(1/2)=%+6.3f", i, eval(sqrt(i))); od; +2d的含义是带符号的十进位整数，域宽为2. 显然，这种输出方式不是我们想要的，为了得到更美观> for i to 10 do printf("i=%+2d and i^(1/2)=%+6.3f\n", i, eval(sqrt(i))); od; 再看下例：将输入的两个数字用特殊形式打印：> niceP:=proc(x,y) printf("value of x=%6.4f, value of y=%6.4f",x,y);

第二章微积分0

> 第二章微积分运算 微积分是数学学习的重点和难点之一, 而微积分运算是Maple最为拿手的计算之一, 任何解析函数, Maple都可以求出它的导数来, 任何理论上可以计算的积分, Maple都可以毫不费力的将它计算出来. > > 随着作为数学符号计算平台的Maple的不断开发和研究, 越来越多的应用程序也 在不断地出现。 函数的极限和连续 1.1 函数和表达式的极限 在Maple中, 利用函数limit计算函数和表达式的极限. 如果要仅仅聋子耳朵,仅仅写出数学表达式, 则用惰性函数Limit. 若a可为任意实数或无穷大时, 求极限命令格式为: limit(f,x=a); 求时的命令格式为limit(f, x=a, right); 求时的命令格式为limit(f, x=a, left); 请看下述例子： > Limit((1+1/x)^x,x=infinity)=limit((1+1/x)^x,x=infinity); >

> > > > >

对于多重极限计算, 也用limit. 命令格式为: limit(f, points, dir); 其中, points是由一系列方程定义的极限点, dir(可选项)代表方向: left(左)、right(右)等. 例如: > limit(a*x*y-b/(x*y),{x=1,y=1}); > > restart: > plot3d(sin(x+y), x=-1..1, y=-1..1); > plot3d(x^2*(1+x)-y^2*(1-y)/(x^2+y^2),x=-1..1,y=-1..1); >

高中数学导数及微积分练习题

1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，

底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

高中数学微积分公式大全

微積分公式

tan -1 x = x-33x +55x -77x +…+) 12()1(1 2+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+ !2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1

Maple常用计算命令..

常用计算命令 《Maple 指令》7.0版本 第1章章数 1.1 复数 Re,Im - 返回复数型表达式的实部/虚部 abs - 绝对值函数 argument - 复数的幅角函数 conjugate - 返回共轭复数 csgn - 实数和复数表达式的符号函数 signum - 实数和复数表达式的sign 函数5 1.2 MAPLE 常数 已知的变量名称 指数常数（以自然对数为底） I - x^2 = -1 的根 infinity 无穷大 1.3 整数函数 ! - 阶乘函数 irem, iquo - 整数的余数/商 isprime - 素数测试 isqrfree - 无整数平方的因数分解 max, min - 数的最大值/最小值 mod, modp, mods - 计算对 m 的整数模 rand - 随机数生成器 randomize - 重置随机数生成器 1.4 素数 Randpoly, Randprime - 有限域的随机多项式/首一素数多项式ithprime - 确定第 i 个素数 nextprime, prevprime - 确定下一个最大/最小素数 1.5 数的进制转换 convert/base - 基数之间的转换 convert/binary - 转换为二进制形式 convert/decimal - 转换为 10 进制 convert/double - 将双精度浮点数由一种形式转换为另一种形式convert/float - 转换为浮点数 convert/hex - 转换为十六进制形式 convert/metric - 转换为公制单位

convert/octal - 转换为八进制形式 1.6 数的类型检查 type - 数的类型检查函数 第2章初等数学 2.1 初等函数 product - 确定乘积求和不确定乘积 exp - 指数函数 sum - 确定求和不确定求和 sqrt - 计算平方根 算术运算符+, -, *, /, ^ add, mul - 值序列的加法/乘法 2.2 三角函数 arcsin, arcsinh, . - 反三角函数/反双曲函数 sin, sinh, . - 三角函数/双曲函数 2.3 LOGARITHMS 函数 dilog - Dilogarithm 函数 ln, log, log10 - 自然对数/一般对数，常用对数 2.4 类型转换 convert/`+`,convert/`*` - 转换为求和/乘积 convert/hypergeom - 将求和转换为超越函数 convert/degrees - 将弧度转换为度 convert/expsincos - 将trig 函数转换为exp, sin, cos convert/Ei - 转换为指数积分 convert/exp - 将trig 函数转换为指数函数 convert/ln - 将arctrig 转换为对数函数 polar - 转换为极坐标形式 convert/radians - 将度转换为弧度 convert/sincos - 将trig 函数转换为sin, cos, sinh, cosh convert/tan - 将trig 函数转换为tan convert/trig - 将指数函数转换为三角函数和双曲函数 第3章求值 3.1 假设功能 3.2 求值 Eval - 对一个表达式求值 eval - 求值

Maple的常用内部数学函数要点

吉林大学公共数学实验中心数学实验 >> 首页> 微积分> 实验2 Maple简介 一、Maple操作界面介绍 1、编辑功能: 编辑功能中查找模块,可以帮助查找你所需要的关键字节.具体操作如图所示: 按上述操作完成后,出现下图所示的对话框: 在文本框中输入你要查找的字符或者符号,可以通过findprevious上下翻看,也可以通过replacewith 操作替代你所查找的字符或者符号.cancle表示取消操作. 其他编辑操作包括分割或连接(splitorjoin)分为一个执行过程（快截键为f3、f4）和选定块(shift+f3、

shift+f4)过程四个操作块 运行操作(Execute)：运行选定或者当前的maple中的语句; 删除运行结果操作（Removeoutput）：将选定或者当前的maple中运行结果从工作爷中删除或者不显示; 2、示图操作（VIEW） 文档在屏幕上的显示模式称为“示图”，maple示图菜单主要设置工作爷文档的一些视图属性，所包括菜单如上图所示。 工具条(toolbar)的功能和其他系统一样，主要包括打开文件、创建新文档、存盘、打印当前页面、复制、剪切、粘贴、撤消操作等。 内容工具条： “枫叶”表示设置工作页和标准公式和maple语言之间的转换 “X”表示设置工作页和标准公式在活动和非活动方式之间的转换 “（对号）”表示标准公式有效时自动检查输入表达式的正确性 “！”表示运行当前表达式 3、插入操作（INSERT）

插入操作比较简单这里就不做详细介绍,主要功能分为: 文本插入(textinput); 标准maple数学表达式插入; 运行单元executegroup插入其中包括在光标前插入和光标后插入 图形插入plot,其中包括两维和三维图象的插入 电子表格插入spreadsheet 段落插入parigraph,其中包括光标前插入和光标后插入 数学输入对象(image)插入 插入超级连接hyperlink 4、其他操作窗口的功能和其他软件基本相同，这里就不做详细介绍了。 二、基本语法规则 MaPle的科学计算功能主要是以命令输入的方式来实现的。Map1e 的命令有自己的使用规则和语法。在使用Maple进行科学计算之前，首先要了解Map1ev命令使用的基本规则。下面给出了利用Maple进行科学计算时的—些基本语法规则 ·MapleV的命令在提示符“>”的右边键入，每行命令要以分号“；”结尾。 ·命令输入结束按回车键,maple就立即执行该命令 ·如果命令以分号结尾，Maple将在下一行给出相应的输出结果，并把光标移到下—个程序段的

maple-图形制作

第五章Maple图形绘制 图形无疑是数学中最令人着迷的部分, 一些枯燥的公式可以从图形看出其美. 历史上有许多学者利用函数图形解决了学科中的许多难题. 客观地说, Maple不是一种可视化的语言—它不会产生出版品质的图形. 然而, 它的图形功能非常强大, 足以提供更多的关于函数的信息. 当然, 如果需要, 它的图形作适当改进即可满足出版要求. 限于篇幅, 本章所有图形未作打印, 读者只需在计算机上按照书中语句操作即可观其效果, 更多图形功能可通过Maple帮助获得. 1二维图形制作 Maple所提供的二维绘图指令plot可以绘制二维的函数图、参数图、极坐标图、等高线图、不等式图，等等. 这些绘图指令有些已经内嵌在其核心程序里, Maple启动时即被装入，直接调用函数命令即可，有些则需要使用with(plots)调用plots函数库才能完成. 1.1 基本二维绘图指令 plot (f(x), x=xmin .. xmax); plot (f(x), x=xmin .. xmax, y=ymin .. ymax); plot ([f1(x), f2(x), …], x=xmin .. xmax); plot (f(x), x=xmin .. xmax, option); 其中，xmin..xmax为x的变化范围，ymin..ymax为y(即f(x))的变化范围.option 选项参数主要有： axes：设定坐标轴的显示方式, 一般有FRAME(坐标轴在图形的左边与下面)、BOXED(坐标轴围绕图形)、NORMAL(一般方式显示)或NONE(无) color：设定图形所要涂的颜色(可选用也可自设) coords：指定绘图时所用的坐标系(笛卡尔坐标系(cartesian，默认)、极坐标系

(完整版)新课标高中数学微积分精选习题

高二数学微积分练习题 一、选择题： 1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的 路程为 （ ） A ．32 0gt B ．20gt C ．22 0gt D ．6 2 0gt [解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是 A ．32 B ．329- C ． 332 D ．3 35 [解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、 若 1 1 (2)3ln 2a x dx x +=+? ，且a ＞1，则a 的值为 （ ） A ．6 B 。4 C 。3 D 。2 [解析] 4、用 S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A ．??a c f (x ) d x B ．|??a c f (x ) d x | C ．?? a b f (x )d x ＋?? b c f (x ) d x D ．??b c f (x ) d x －??a b f (x )d x 5、已知f (x )为偶函数且??0 6 f (x )d x ＝8，则??-6 6f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 6、函数y ＝??-x x (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．以上都不正确 7、函数f(x)＝? ??? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图 形的面积为( ) A.32 B ．1 C ．2 D.12 8、???0 3|x 2 －4|dx ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.253 二、填空题： 9．曲线1,0,2 ===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 10．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应 表达为 ． 11、若等比数列{a n }的首项为2 3，且a 4＝??1 4 (1＋2x )d x ，则公比等于____． 12、.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若??-1 1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________

Maple中微积分与极限的命令介绍

Maple中微积分与极限的命令介绍 在使用Maple进行计算时，对于函数的计算是涉及很多的，但是在计算函数的过程中，有很多需要用到高等数学中的微积分与极限。而这些计算的命令构成了复杂函数的命令。下面就对Maple微积分和命令和极限的命令做一些基本介绍。 一、极限 Limit（f（x），极限点，选项），Limit为极限号（可用value看值）。 选项有：左left、右right，省略则为普通极限。 注：不能对过程函数直接计算。 1.x=a点极限，limit（f（x），x=a）。 2.x趋向无穷极限，limit(f(x),x=infinity)。 3.x趋向正负无穷大极限，在infinity前直接加+、-号即可。 注：函数若由箭头算子、过程、转换法定义，求极限函数要用f（x）形式。 二、导数。 1.diff(f,x1,x2,…) x1,x2,…为各次求混合导数的自变量。 diff(f,x$m,y$n) m，n 分别为对自变量x、y 求导阶数。 Diff 为求导符号,可用value 显示值。 注：不能对过程函数直接使用。

注：函数若由箭头算子、过程、转换法定义，求导函数要用f（x）形式。 2.隐函数导数：diff（方程，自变量及阶数）； （1）将方程中函数变量全部写成自变量函数形式(如y(x))，再求导。 （2）用别名命令alias将函数变量先定义为自变量的函数，如alias（y=y（x））再对方程求导。 3.导数算子：D(函数)，D[i$m,j$n,…](函数) i,j 整数表示,对第i、第j 个变量求导。 注：只有箭头算子、过程、转换法定义函数，才能使用求导算子。 三、积分 1.一元积分 int（f，x）不定积分，int（f，x=a..b）定积分，int为积分符号，用value 显示值。 注：不能对过程函数使用。 注：箭头算子、过程、转换法定义函数要用int(f(x)，x)。 2.二重积分，int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=a..b) 以上内容向大家介绍了Maple微积分和极限的一般使用命令，命令格式相对来说比较简单，只需要进行相应的变量输入就可以了，Maple函数包的数量很多，功能非常齐全。

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据

数学软件Maple使用教程

数学软件Maple使用教程 序言 一．什么是数学实验？ 我们都熟悉物理实验和化学实验，就是利用仪器设备，通过实验来了解物理现象、化学物质等的特性。 同样，数学实验也是要通过实验来了解数学问题的特性并解决对应的数学问题。过去，因为实验设备和实验手段的问题，无法解决数学上的实验问题，所以，一直没有听说过数学实验这个词。随着计算机的飞速发展，计算速度越来越快，软件功能也越来越强，许多数学问题都可以由计算机代替完成，也为我们用实验解决数学问题提供了可能。 数学实验就是以计算机为仪器，以软件为载体，通过实验解决实际中的数学问题。 二．常用的数学软件 目前较流行的数学软件主要有四种： 1．MathACD 其优点是许多数学符号键盘化，通过键盘可以直接输入数学符号，在教学方面使用起来非常方便。缺点是目前仅能作数值运算，符号运算功能较弱，输出界面不好。 2．Matlab 优点是大型矩阵运算功能非常强，构造个人适用函数方便很方便，因此，非常适合大型工程技术中使用。缺点是输出界面稍差，符号运算功能也显得弱一些。不过，在这个公司购买了Maple公司的内核以后，符号运算功能已经得到了大大的加强。再一个缺点就是这个软件太大，按现在流行的版本5.2，自身有400多兆，占硬盘空间近1个G，一般稍早些的计算机都安装部下。我们这次没用它主要就是这个原因。 3．Mathematica 其优点是结构严谨，输出界面好，计算功能强，是专业科学技术人员所喜爱的数学软件。缺点是软件本身较大，目前流行的3.0版本有200兆；另一个缺点就是命令太长，每一个命令都要输入英文全名，因此，需要英语水平较高。 4．Maple 优点是输出界面很好，与我们平常书写几乎一致；还有一个最大的优点就是它的符号运算功能特别强，这对于既要作数值运算，又要作符号运算时就显得

Maple微分方程的求解

题目：微分方程的求解 ——基于Maple工具 姓名: 学号: 专业: 学科: 老师:

目录 一、简介 (3) 概况： (3) Maple 主要技术特征： (3) 1. 强大的求解器：数学和分析软件的领导者 (3) 2. 技术文件环境：重新定义数学的使用性 (4) 3. 知识捕捉：不仅是工具，更是知识 (4) 4. 外部程序连接：无缝集成到您现有的工具链中 (4) 二、Maple在微分方程中的应用 (5) 1、常用函数 (5) 1)求解常微分方程的命令dsolve. (5) 2)求解一阶线性常微分方程的命令linearsol. (5) 3)偏微分方程求解命令pdsolve. (6) 2、方法 (6) 1)一阶常微分方程的解法 (6) 2)二阶线性常微分方程的解法 (7) 3、作图 (8) 1)常微分方程数值解作图命令odeplot (8) 2)偏微分方程作图命令PDEplot (8) 三、各种方程的求解 (8) 第一部分:一阶常微分方程 (8) 1、可分离变量方程 (8) 2、齐次方程 (9) 3、线性方程 (10) 4、Bernoulli方程 (10) 第二部分:二阶线性常微分方程 (11) 1、二阶常系数线性齐次方程 (11) 2、二阶常系数线性非齐次方程 (12) 3、Euler方程(变系数) (12) 第三部分:偏微分方程 (13) 1、波动方程 (13) 2、热传导方程 (14) 3、作图 (14) 四、总结 (15)

一、简介 概况： Maple是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一，在数学和科学领域享有盛誉，有“数学家的软件”之称。Maple 在全球拥有数百万用户，被广泛地应用于科学、工程和教育等领域，用户渗透超过96％的世界主要高校和研究所，超过81％的世界财富五百强企业。 Maple系统内置高级技术解决建模和仿真中的数学问题，包括世界上最强大的的符号计算、无限精度数值计算、创新的互联网连接、强大的4GL语言等，内置超过5000个计算命令，数学和分析功能覆盖几乎所有的数学分支，如微积分、微分方程、特殊函数、线性代数、图像声音处理、统计、动力系统等。 Maple不仅仅提供编程工具，更重要的是提供数学知识。Maple是教授、研究员、科学家、工程师、学生们必备的科学计算工具，从简单的数字计算到高度复杂的非线性问题，Maple都可以帮助您快速、高效地解决问题。用户通过Maple产品可以在单一的环境中完成多领域物理系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序设计、技术文件、报告演示、算法开发、外部程序连接等功能，满足各个层次用户的需要，从高中学生到高级研究人员。 Maple 主要技术特征： 1. 强大的求解器：数学和分析软件的领导者 ★内置超过5000个符号和数值计算命令，覆盖几乎所有的数学领域，如微积分，线性代数，方程求解，积分和离散变换，概率论和数理统计，物理，图论，张量分析，微分和解析几何，金融数学，矩阵计算，线性规划，组合数学，矢量分析，抽象代数，泛函分析，数论，复分析和实分析，抽象代数，级数和积分变换，特殊函数，编码和密码理论，优化等。 ★各种工程计算：优化，统计过程控制，灵敏度分析，动力系统设计，小波分析，信号处理，控制器设计，集总参数分析和建模，各种工程图形等。 ★提供世界上最强大的符号计算和高性能数值计算引擎，包括世界上最强大的微分方程求解器（ODEs，PDEs，高指数DAEs）。 ★智能自动算法选择。 ★强大、灵活、容易使用的编程语言，让您能够开发更复杂的模型或算法。

高中数学导数及微积分练习题

1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)． 54 (B)．52 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．

maple 求高等数学问题

用Maple求函数极限 1. 自变量趋于有限值的极限 解输入： f:=x->sin(x)/x; Limit(f(x),x=0); 输出： 或 f:=x->sin(x)/x; limit(f(x),x=0); 或 f:=x->sin(x)/x: Limit(f(x),x=0)=limit(f(x),x=0); f:=x->(1+x^2/2-sqrt(1+x^2))/((cos(x)-exp(x^2))*sin(x^2)): Limit(f(x),x=0)=limit(f(x),x=0);

2. 自变量趋于无穷大的极限 f:=x->(1+a/x)^x; Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity); f:=x->x*sin(a/x); Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity); 用Maple求单侧极限

解输入： f:=x->exp(1/x); Limit(f(x),x=0,left)=limit(f(x),x=0,left); 输出： f:=x->exp(1/x); Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right); f:=x->exp(1/x); Limit(f(x),x=0)=limit(f(x),x=0);

f:=x->arctan(1/x); Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right); 用Maple求分段函数的极限 2011-07-29 10:30:50| 分类：Maple应用| 标签：|举报|字号大中小订阅 用微信“扫一扫” 将文章分享到朋友圈。 用易信“扫一扫” 将文章分享到朋友圈。 下载LOFTER客户端 g:=x->piecewise(x<3,x^2-6,3<=x,2*x-1); Limit(g(x), x=3,right)=limit(g(x), x=3,right); Limit(g(x), x=3,left)=limit(g(x), x=3,left); Limit(g(x), x=3)=limit(g(x), x=3);

高中数学微积分公式大全

微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C . cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-2 1x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C ) csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C # d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ? ln | 1-x 2|+ C coth -1 x dx = x coth -1 x- ? ln | 1-x 2|+ C sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + C # a b c α β γ R

Maple 常用计算命令

Maple 常用计算命令 《Maple 指令》7.0版本 第1章章数 1.1 复数 Re,Im - 返回复数型表达式的实部/虚部 abs - 绝对值函数 argument - 复数的幅角函数 conjugate - 返回共轭复数 csgn - 实数和复数表达式的符号函数 signum - 实数和复数表达式的sign 函数５ 1.2 MAPLE 常数 已知的变量名称 指数常数（以自然对数为底） I - x^2 = -1 的根 infinity 无穷大 1.3 整数函数 ! - 阶乘函数 irem, iquo - 整数的余数/商 isprime - 素数测试 isqrfree - 无整数平方的因数分解 max, min - 数的最大值/最小值 mod, modp, mods - 计算对 m 的整数模 rand - 随机数生成器 randomize - 重置随机数生成器 1.4 素数 Randpoly, Randprime - 有限域的随机多项式/首一素数多项式ithprime - 确定第i个素数 nextprime, prevprime - 确定下一个最大/最小素数 1.5 数的进制转换 convert/base - 基数之间的转换 convert/binary - 转换为二进制形式 convert/decimal - 转换为 10 进制 convert/double - 将双精度浮点数由一种形式转换为另一种形式convert/float - 转换为浮点数 convert/hex - 转换为十六进制形式 convert/metric - 转换为公制单位 convert/octal - 转换为八进制形式 1.6 数的类型检查 type - 数的类型检查函数 第2章初等数学 2.1 初等函数 product - 确定乘积求和不确定乘积 exp - 指数函数

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36 微积分运算 第 二 章 本章将通过例子系统地介绍Maple 软件中的微积分运算，读者可以学到利用Maple 软件解决简单的高等数学问题的一些方法和技巧。 本章具体包括以下内容： 如何在Maple 中计算函数的极限 如何在Maple 中检验函数的连续性 如何在Maple 中表示微分运算 如何在Maple 中进行函数和表达式的微分运算 如何在Maple 中对隐函数进行微分和求导运算 如何在Maple 中进行符号积分运算 如何在Maple 中计算广义积分 如何在Maple 中计算数值积分 如何在Maple 中表示和计算数列 如何在Maple 中求数列的极限 如何在Maple 中将已知函数展开成级数

。37． Maple 的应用，可以说大多数是用在高等数学的计算上了，微积分运算，也许是Maple 最为拿手的计算了。任何解析函数，Maple 都可以求出它的导数来；任何理论上可以计算的的积分，Maple 也都可以不费吹灰之力地将它计算出来。有了Maple ，你完全可以把积分手册扔到一边去，因为你在也忍受不了它了。不仅如此，Maple 从来不会抱怨表达式太繁，或者太长的。 可以毫不夸张地说，高等数学书上的任何一道计算题，都可以用Maple 解决。不信？那好，就跟着我用Maple 重新温习一遍微积分吧，你一定会有新的发现的！ 2.1 极限和连续性 2.1.1 函数或表达式的极限 在Maple 中，我们可以利用函数limit 表示和计算函数和表达式的极限。 读者一定还记得，我们用一对单引号表示暂时不作计算的表达式；上面，我们就利用它在Maple 中写出了一个漂亮的极限式。而后面再次引用它时，Maple 就进行计算，得到了我们所期望的结果。实际上，对于这些常用的“漂亮”计算符号（又比如求导、积分等运算） ，Maple 中都有一套函数与其一一对应。对应的规则是，把原有函数的首字母改成大写，于是就得到“形式函数”，得到的是一个形式上的表达式。比如上面这个例子，我们就可以写成： 顺理成章地，这个函数也可用来求自变量趋于无穷时的极限。无穷， 在Maple 中用infinity 表示。我们来看下面这个经典的极限： 为了使大多数计算能够进行下去，函数limit 假设表达式中所有未被赋值的参数都是非0实数。比如在a 未被赋值时，a 2/x 在x 趋向于0时的极限将被认为是正无穷大。 函数的第二个参数表示欲求的极限所在的位置，它是一个等式，等式的左边是自变量，右边是极限点，极限点可以是任意的实数。基于Maple 的强大符号运算功能，表达式中间完