§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2014高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件．
复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
4．充分条件与必要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
[难点正本疑点清源]
1．等价命题和等价转化
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
(2)互为逆否命题的两个命题同真假；
(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．
2．集合与充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
(1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若B ?A ，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；
(4)若A ?B ，且B ?A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
1． 下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③
解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”，而由ab ≠0，可得a ，b 都不为零，故a ≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题． 2． “x >2”是“1x <1
2
”的________条件．
答案 充分不必要
解析 ①x >2?2x >0?x 2x >22x ?1x <1
2，
∴“x >2”是“1x <1
2”的充分条件．
②1x <1
2
?x <0或x >2D ?/x >2. ∴“x >2”是“1x <1
2
”的不必要条件．
3． 已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“a ＋b
2
＝ab ”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为若a ＝b <0，则a ＋b 2≠ab ，所以充分性不成立；反之，因为a ＋b
2＝ab ?a ＝
b ?a ＝b ≥0，所以必要性成立，故“a ＝b ”是“a ＋b
2＝ab ”的必要不充分条件．
4． (2011·天津)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则
“x∈A∪B”是“x∈C”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，
B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，
所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}
＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．
即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.
5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，
但是若f(x)＝cos(x＋φ) (x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．
故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.
题型一四种命题的关系及真假
例1已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是() A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题
B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题
C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题
D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题
思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．
答案 D
解析命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．
探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原
命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．
命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是
( )
A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数
B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数
C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数
D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 C
解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C. 题型二 充要条件的判断
例2 已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是
( ) A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点 B ．p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数
C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β
D ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ?U ，B ?U ，?U B ??U A
思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断． 答案 D
解析 对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件；
对于B ，由f (－x )f (x )＝1?f (－x )＝f (x )?y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出
f (－x )
f (x )＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；
对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；
对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ?B ，所以?U B ??U A ； 反之，由?U B ??U A ，知A ?B ，即A ∩B ＝A . 所以p ?q .
综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.
探究提高 判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命
题的等价性，转化为判断它的等价命题．
给出下列命题：
①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件． 其中真．命题的序号是________． 答案 ①④
解析 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列 {a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，
反之，当A ＝30°时，有sin B ＝3
2
，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④. 题型三 利用充要条件求参数
例3 已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．
(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5 (2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5 (2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5 解 设A ＝{x |x 2－4x －5≤0}＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3 分不必要条件， 从而有A B .故? ???? －a ＋3<－1， a ＋3>5， 解得a >4. 等价转化思想在充要条件关系中的应用 典例：(12分)已知p ：? ??? 1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而 不充分条件，求实数m 的取值范围． 审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简． (2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． 规范解答 解 方法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，[2分] ∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，[3分] 由p ：???? 1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，[5分] ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}．[6分] ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件． ∴A B ，∴???? ? m >0，1－m <－2， 1＋m ≥10， 或???? ? m >0，1－m ≤－2，1＋m >10， 即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分] 方法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件，[2分] 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，[4分] 由p ：???? 1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．[6分] ∵p 是q 的充分而不必要条件， ∴P Q ，∴???? ? m >0，1－m <－2， 1＋m ≥10， 或???? ? m >0，1－m ≤－2，1＋m >10， 即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分] 温馨提醒 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键. 方法与技巧 1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提． 2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的． 3． 命题的充要关系的判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假． (2)等价法：利用A ?B 与綈B ?綈A ，B ?A 与綈A ?綈B ，A ?B 与綈B ?綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． (3)利用集合间的包含关系判断：若A ?B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 失误与防范 1．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式． 2．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言． A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·湖南)命题“若α＝π 4 ，则tan α＝1”的逆否命题是 ( ) A ．若α≠π 4，则tan α≠1 B ．若α＝π 4，则tan α ≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π 4 D ．若tan α≠1，则α＝π 4 答案 C 解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若tan α≠1，则α≠π 4. 2． (2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是 ( ) A ．x ＝－1 2 B ．x ＝－1 C ．x ＝5 D ．x ＝0 答案 D 解析 ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x . 又a ⊥b ?a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0. 3． 已知集合M ＝{x |0 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为M N ，所以a ∈M ?a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B. 4． 下列命题中为真命题的是 ( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A 解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝? ???? y (y ≥0)－y (y <0)， 必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β； ③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③④ 解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ?/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2?A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ?a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对． 6． 已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为 ________． 答案 [3,8) 解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 7． (2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．． 根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4 解析 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2 ＝2±4－n ， ∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 三、解答题(共22分) 8． (10分)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. 判断如下： ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－1 4<0， ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题． 9． (12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条 件，求实数m 的取值范围． 解 由题意得p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5. q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x ∴? ???? m －1≥1，m ＋1≤5，且等号不能同时取到，∴2≤m ≤4. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分) 1． (2012·上海)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 ∵mn >0，∴????? m >0， n >0或????? m <0，n <0， 当m >0，n >0且m ≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆， 当m <0，n <0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形， 所以条件不充分；反之， 当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn >0， 所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 2． 已知p ：1 x －2 ≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3] B ．[2,3] C ．(2,3] D ．(2,3) 答案 C 解析 由1 x －2≥1，得2 由|x －a |<1，得a －1 若p 是q 的充分不必要条件，则???? ? a －1≤2a ＋1>3 ，即2 所以实数a 的取值范围是(2,3]，故选C. 3． 集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x 5”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ?B ，则a >4.a >4D /?a >5，但a >5?a >4.故“A ?B ”是 “a >5”的必要不充分条件． 二、填空题(每小题5分，共15分) 4． 设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x ) ＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是____________． 答案 ???? 34，1∪(1，＋∞) 解析 当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合； 当a ≠0时，不等式ax 2 ＋2x ＋1>0恒成立的条件是????? a >0，Δ＝22 －4a <0， 解得a >1. 若命题q 为真，则0<4a －3<1，解得3 4 由题意，可知p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，a 的取值范围是 {a |a >1}∩{a |a ≤3 4或a ≥1}＝{a |a >1}； 当p 假q 真时，a 的取值范围是 {a |a ≤1}∩{a |34 4 所以a 的取值范围是???? 34，1∪(1，＋∞)． 5． 若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 答案 [1,2) 解析 x ?[2,5]且x ?{x |x <1或x >4}是真命题． 由????? x <2或x >5，1≤x ≤4， 得1≤x <2. 点评 “A 或B ”的否定是“綈A 且綈B ”． 6． “m <1 4 ”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件． 答案 充分不必要 解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0， 即m ≤14，∵m <14?m ≤1 4 ，反之不成立． 故“m <1 4”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件． 三、解答题 7． (13分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝??????x | x －2 x －(3a ＋1)<0，B ＝???? ??x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝1 2 时，求(?U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1 2 时， A ＝?????? ????x |x －2x －52<0＝?????? x |2 ??x |x －94x －12 <0＝???? ??x |1 2 ∴?U B ＝? ?? ? ??x |x ≤12或x ≥94. ∴(?U B )∩A ＝? ??? ??x |9 4≤x <52. (2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a ①当3a ＋1>2，即a >1 3时，A ＝{x |2 ∵p 是q 的充分条件，∴A ?B . ∴? ???? a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13 3时，A ＝?，不符合题意； ③当3a ＋1<2，即a <1 3时，A ＝{x |3a ＋1 由A ?B 得??? ? ? a ≤3a ＋1a 2 ＋2≥2 ，∴－12≤a <1 3. 综上所述，实数a 的取值范围是 ????－12，13∪? ????13，3－52 充要条件与四种命题 【考纲要求】（1）了解命题及其逆命题，否命题，逆否命题 （2）理解充分条件，必要条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系 【基础回顾】 1、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：____________；否命题：_________；逆否命题__________ (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 2、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题是否为真？__________ ②、原命题为真，它的否命题是否为真？_________ ③、原命题为真，它的逆否命题是否为真？____________ 3、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的_______条件，q 是p 的________条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的_____________________，记为p ?q. 【基础自测】 1、（2010上海文）16.“()24x k k Z π π=+∈”是“tan 1x =”成立的 （ ） （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件. 2、（2010山东文）(7)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 3、（2010广东理）5. “14 m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B.充分必要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件 4、（2010四川文）（5）函数2 ()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是 （A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m = §1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 2014高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系； 2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现； 3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件． 复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论； 2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反； 3.注意等价命题的应用． 1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及相互关系 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 4．充分条件与必要条件 (1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件． ，则p是q的充分不必要条件，p的必要不充分条件是q。注意对定义的理解:例如：若p?q，q p [难点正本疑点清源] 1．等价命题和等价转化 (1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假； (3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 2．集合与充要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有 ?，则p是q的充分不必要条件； (1)若A?B，则p是q的充分条件，若A B ?，则p是q的必要不充分条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若B A (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A?B，且B ?A，则p是q的既不充分也不必要条件． 题型一四种命题的关系及真假 例1已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(D) A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题 B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题 1.理解命题的概念． 2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. ★备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一， 考查形式以选择题为主，试卷多为中低档题目， 命题的重点主要有两个： 一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断； 二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维. 一、知识梳理《名师一号》P4 知识点一命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 注意： 命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系． (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 原词语等于（=）大于（>）小于（<）是 否定词语不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是 原词语都是至多有一个至多有n个或 否定词语不都是至少有两个至少有n+1个且 原词语至少有一个任意两个所有的任意的 （1）充分条件： q p ? 则p 是q 的充分条件 即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立， 亦即要使q 成立，有 p 成立就足够了，即有它即可。 （2）必要条件： q p ? 则q 是p 的必要条件 q p ??q p ??? 即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。 (补充)（3）充要条件 q p ?且q p ?即p q ? 则 p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件） “p 是q 的充要条件”也说成“p 等价于q ”、 “q 当且仅当 p ”等 (补充)2、充要关系的类型 （1）充分但不必要条件 定义：若q p ?，但p q ?/， 则p 是q 的充分但不必要条件； （2）必要但不充分条件 定义：若p q ?，但q p ?/， 则p 是q 的必要但不充分条件 （3）充要条件 定义：若q p ?，且p q ?，即p q ?， 则p 、q 互为充要条件； （4）既不充分也不必要条件 定义：若q p ?/，且p q ? /， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件． 3、判断充要条件的方法：《名师一号》P6特色专题 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】 1．理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p?q，则p与q互为充要条件． (3)若p?/ q，且q?/ p，则p是q的既不充分也不必要条件． 1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？ 提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论． 2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？ 提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必 要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的． 1．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A 当a＝3时，A＝{1,3}，A?B；反之，当A?B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件． 2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( ) A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x＞y，则x2＞y2” C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2” 解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”． 3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项． 5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 解析：选A 由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立. [例1] A．若x＞1，则x≤0 B．若x≤1，则x＞0 C．若x≤1，则x≤0 数学高考总复习：四种命题、充要条件 【考纲要求】 1、理解命题的概念. 2、了解“若p ，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。 3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 【知识网络】 【考点梳理】 一、命题：可以判断真假的语句。 二、四种命题 原命题：若p 则q ； 原命题的逆命题：若q 则p ； 原命题的否命题：若p ?，则q ?； 原命题的逆否命题：若q ?，则p ? 三、四种命题的相互关系及其等价性 1、四种命题的相互关系 2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。 四、充分条件、必要条件和充要条件 1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。 如：命题p 是命题q 成立的××条件，则命题p 是条件，命题q 是结论。 又如：命题p 成立的××条件是命题q ，则命题q 是条件，命题p 是结论。 又如：记条件,p q 对应的集合分别为A,B 则A B ?,则p 是q 的充分不必要条件；A B ?,则p 是q 的必要不充分条件。 2、“?”读作“推出”、“等价于”。p q ?，即p 成立，则q 一定成立。 3、充要条件 互逆 ??否命题若p 则q 原命题若p 则q 逆命题若q 则p ??逆否命题 若q 则p 互 逆 互 逆否 为 互 逆否为否否互 互 四种命题、充要条件 充要条件 四种命题及其关系 互为逆否关系的命题等价 充分、必要、充要、既不充分也不必要 考点3 命题和充分必要条件 [玩前必备] 1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，q ?p ，则p 是q 的充要条件． 3.全称量词和存在量词 4. 5. [玩转典例] 题型一 充分条件与必要条件的判定 例1（2019?天津）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 例2（2019?上海）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 例3（2018?天津）设x R ∈，则“11 ||22 x -<”是“31x <”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 例4（北京高考）设,a b ∈R ，“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [玩转跟踪] 1.（2020届山东省济宁市高三3月月考）“0x y >>”是“()()ln 1ln 1x y +>+”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 2.（2020届山东省泰安市肥城市一模）若集合{}{}1234|05P Q x x x R ==<<∈，，，，，，则“x P ∈”是“x Q ∈”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也非不必要条件 3.(2015·湖南，2)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ?B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型二 含一个量词的命题的否定和真假命题 例5（2020?四川模拟）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:p x A ?∈，2x B ∈，则( ) A ．:p x A ??∈，2x B ? B ．:p x A ???，2x B ? C ．:p x A ???，2x B ∈ D ．:p x A ??∈，2x B ? 例6已知命题p ：?x 0∈R ，log 2(03x ＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 例7(1)(2020·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．?n ∈R ，n 2≥n B ．?n 0∈R ，?m ∈R ，m ·n 0＝m C ．?n ∈R ，?m 0∈R ，m 20 四种命题与充要条件练习题 一、选择题： 1.有下列四个命题: 若x +y =0，则X, y 互为相反数”的逆命题; 全等三角形的面积相等”的否命题; 若q <1 ,则x 2 +2x + q=0有实根”的逆否命题; 7.已知条件p : |x+1|>2，条件q : x>a ，且「卩是「q 的充分不必要条件，贝U a 的取值 范围可以是（ ） A . a 31 ； 1 8. m =-”是 直线（m +2）x +3my +1 =0与直线（m-2）x +（m + 2）y-3 = 0相互垂 直” 的（ ） （A ）充分必要条件 （C ）必要而不充分条件 不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ） A .①② B .②③ C .①③ 2. 命题若a >b ，贝U a +c >b +c ”的逆否命题为（ A .若 acb ，贝U a + c c b +c C .若 a =c v b +c ，贝U a c b 1 一 3. “ m < — ”是“一元二次方程 4 充分非必要条件 D .③④ ) B .若 ab 成立的充分而不必要条件是（ D.既不充分也不必要条件 {a j 是递增数列”的（） D.既不充分也不必要条件 ） A. a >b +1 B. a Ab-1 C. a 2 >b 2 f 3 J .3 D. a >b B . a <1 ； （B ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条 常用逻辑用语与充要条件 欧阳光明（2021.03.07） 【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下． 1．命题的定义 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p 则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p . (2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 命题真假判断的方法： (1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例． (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表． (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．3．充分条件与必要条件的定义 (1)若p?q且q p，则p是q的充分非必要条件． (2)若q?p且p q，则p是q的必要非充分条件． (3)若p?q且q?p，则p是q的充要条件． (4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件． 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有 (1)若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分、必要条件的判定方法 (1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假． (2)传递法． (3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件． (4)等价命题法：利用A?B与┐B?┐A，B?A与┐A?┐B，A?B与┐B?┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础． 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表： 常用逻辑用语与充要条件 【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下． 1．命题的定义 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p . (2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 命题真假判断的方法： (1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例． (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表． (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假． 3．充分条件与必要条件的定义 (1)若p?q且q p，则p是q的充分非必要条件． (2)若q?p且p q，则p是q的必要非充分条件． (3)若p?q且q?p，则p是q的充要条件． (4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件． 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有 (1)若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A B，且B A，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分、必要条件的判定方法 (1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假． (2)传递法． (3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q 的充要条件． (4)等价命题法：利用A?B与┐B?┐A，B?A与┐A?┐B，A?B与┐B?┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础． 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表： p q ┐p ┐q p或q p且 q ┐(p或q) ┐(p且 q) ┐p或 ┐q ┐p且 ┐q 真真假假真真假假假假 真假假真真假假真真假 假真真假真假假真真假 假假真真假假真真真真 2. 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等． (2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有 的”等． 3．全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 命题和充要条件 知识梳理 一、命题的概念 1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出 ，记作βα?。 相反的，如果 成立不能推出 成立，那么就说由 不可以推出 ，记作α β。 4、如果 ，并且αβ?，那么就说与 等价，记作βα?。 二、四种命题形式 1、一个数学命题用条件，结论 表示就是“如果 α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如 果 ，那么 ”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。 2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如 果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。 3、命题 、 的否定分别记作α、β。 4、如果把原命题“如果 ，那么 ”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题， 我们将它叫做原命题的逆否命题。 5、四种命题形式及其相互关系: 6、常见结论的否定形式：（拓展内容） 三、充要条件 1、充分条件与必要条件： 一般地，用α、β分别表示两个命题，如果 成立，可以推出 也成立，即 ，那么 叫做 的充分 条件。叫做 的必要条件。 2、充要条件： 如果既有，又有 ，即有βα?，那么 既是 的充分条件又是 的必要条件，这时我们就说 是 的充要条件。 例题解析 一、有关命题的概念 【例1】判断下列语句是否是命题： ⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷2 60x +>；⑸112+>； 【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：R x ∈，方程012 =++x x 无实根. （4）5>x （5）人类在2020年登上火星. 【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ， ，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11， ．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 命题及其关系、充要条件 编稿：周尚达审稿：张扬责编：张希勇 目标认知 学习目标： 1. 理解命题的概念，了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的 相互关系. 2. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 重点： 四个命题与充分必要条件的理解与判定 难点： 充要条件的判定 知识要点梳理 知识点一：命题 1. 命题的定义： 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。 要点诠释： 1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”。 2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题。祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、 “p是有理数吗？”、“共产党万岁！”等。 3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键。一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模 棱两可。命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素 的确定性。 2. 命题的表达形式： 命题可以改写成“若，则”的形式，或“如果，那么”的形式。其中是命 题的条件，是命题的结论。 知识点二：四种命题 （一）四种命题的形式 原命题：“若，则”； 逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置； 否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定； 逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定。 要点诠释： 对于一般的数学命题，要先将其改写为“若，则”的形式，然后才方便写出其他形式的命题。 （二）四种命题之间的关系 （1）互为逆否命题的两个命题同真同假； （2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系。 第2讲命题及其关系、充要条件 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(·重庆卷改编)命题“若p，则q”的逆命题是________． 解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”． 答案若q，则p 2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题． 答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 3．(·南通调研)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行” 的________条件． 解析因为两直线平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1. 答案充分不必要 4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”． 答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是偶数 5．A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B” 是“x∈C”的________条件． 解析由题意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件． 答案充分必要 6．(·盐城调研)“m<1 4”是“一元二次方程x 2＋x＋m＝0有实数解”的________ 条件． 解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. 答案 充分不必要 7．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________． 解析 当c 2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确． 答案 2 8．(·扬州模拟)下列四个说法： ①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； ②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________． 解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真 命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0 或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命 题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确． 答案 ①② 二、解答题 9．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下： ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题． 10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要 四种命题与充要条件练习题 、选择题： 1. 有下列四个命题 ① “若 x y 0 , 则x,y 互为相反数”的逆命题； ② “全等三角形的面积相等 ”的否命题； ③“若 q 1 ,则 x 2 2x q 0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等 ”逆命题； 其中真命题为（ ） B ．②③ C ．①③ 2. 命题“若 a b ，则 a c b c ”的逆否命题为（ ） A ．若a b ，则 a c b c B ．若 a b ，则a c b c C ．若 a c b c ，则 a b D ．若 a c b c ， 12 3. “m ”是“一元二次方程 x 2 x m 0有实数解”的（ 4 6.下列四个条件中，使a b 成立的充分而不必要条件是 （ A. a b 1 B. a b-1 22 C. a b 33 D.a b A ．①② D ．③④ 则a b A. 充分非必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4． 2 x 2 -x-6 0”是 x 2”成立的（ A. 充分非必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5． 设 a n 是首项大于零的等比数列 ，则 a 1 a 2 ”是“数列 a n 是递增数列”的（ ）． A. 充分非必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知条件 p ：|x 1| 2，条件 q ： x a ，且 p 是 q 的充分不必要条件 ，则a 的取 值范围可以是 ( ) A ． a 1； B ． a 1； C ． a 1； D ． a 3 ； 1 8.“m ”是“直线 (m 2)x 3my 1 0与直线 (m 2)x (m 2)y 3 0 相互垂直 ”的 () (B)充分而不必要条件 2 10.设命题甲 :ax 2 2ax 1 0的解集是实数集 R;命题乙 :0 a 1,则命题甲是命题乙的 A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条 11. "tan 1" 是 " " 的 4 (A )充分条件 ( B )必要条件 ( C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 12.命题：“若 x 2 1，则 1 x 1”的逆否命题是 ( ) 22 A.若 x 2 1， 则 x 1，或 x 1 B.若 1 x 1， 则 x 2 1 C.若 x 1，或 x 1，则 x 2 1 D.若 x 1，或x 1，则 x 2 1 二 、 填空题 ： 13． 设 α和 β为不重合的两个平面 ，给出下列命题 ： (A)充分必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 9.已知 a,b 都是实数，那么“ a 2 b 2”是"a b"的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 即不充分也不必要条件 四种命题与充要条件 廖士哲（时间：2008年10月22日 地点：06文 （1）） 一、教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解四种命题及其互相关系，会 分析四种命题的含义；理解必要条件充分条件充要条件的含义,反证法在证明过程中的应用． ． 二、教学重难点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系，必要条件充分条件充要条件的判断． 三、教学过程： （一）知识归纳： 1．命题：可以判断真假的语句叫做命题 2.四种命题 （1）．一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用┐p 和┐q 分别表示p 和q 的否定。于是 四种命题的形式为： 原命题：若p 则q （q p ?） 逆命题：若q 则p )(p q ? 否命题：若┐p 则┐q )(q p ??? 逆否命题：若┐q 则┐p )(p q ??? （2）．四种命题的关系： （3）．一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系： a.原命题为真，它的逆命题不一定为真。 b.原命题为真，它的否命题不一定为真。 c.原命题为真，它的逆否命题一定为真。 d.逆命题为真，否命题一定为真。 3.必要条件充分条件充要条件的含义 （二）几点说明 1．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论 2．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。 3.充要条件与集合的关系：小推大。 4．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ?且q ?”、“p 且q ”的否定为“p ?或q ?”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等； 5．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ” 互 逆 互 为 为 否 逆 逆 互 互 互 逆 §1.2 四种命题及充要条件 考纲解读 分析解读 1.本节主要考查充分必要条件的推理判断及四种命题间的相互关系问题. 2.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,考查四种命题的真假判断以及充分条件、必要条件的判定和应用,考查学生的逻辑推理能力. 命题探究 五年高考 考点一命题及四种命题间的关系 1.(2015山东,5,5分)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 答案 D 2.(2014陕西,8,5分)原命题为“若b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为. 答案-1,-2,-3(答案不唯一) 4.(2016四川,15,5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P'-;当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题: ①若点A的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A; ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上; ③若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称; ④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是(写出所有真命题的序号). 答案②③ 教师用书专用(5—6) 5.(2014江西,6,5分)下列叙述中正确的是( ) A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0” B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0” 四种命题及充要条件学案 编制单位 临朐一中 编制人 聂升 贾春茂 审核人 贾庆 编号 学习目标 1.掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系． 2.了解命题的四种形式，并能判断真假. 3.弄清四种命题的相互关系，学会用等价转化法解决相关问题. 重点难点 1.充分不必要条件、必要不充分条件的概念； 2.充要条件关系的判定． 3.命题的四种形式及真假判断. 知识链接 1．一般地，命题“若p 则q ”为真，记作“p ?q ”； “若p 则q ”为假，记作“p q ” ． 2．前面讨论了“若p 则q ”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假． （1）若y x =，则22y x = （ ） （2）若0=ab ，则0=a （ ） （3）若12>x ，则1>x （ ） （4）若1=x 或2=x ，则0232 =+-x x （ ） （5）若两个三角形相似，则这两个三角形对应角相等 （ ） 3.将下列命题改写为“如果p ，则q ”形式的命题： （1）平行四边形的两组对角相等 （2）两组对角相等的四边形是平行四边形 学习过程 一、课内探究 问题1：一般地，如果 ，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件； 如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分必要条件，简记为 p 是q 的充要条件，记作 ； 如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分不必要条件； 如果 ，且 ，那么称p 是q 的必要不充分条件； 如果 ，且 ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件 问题2：从集合的观点来看“q p ?，则p 是q 的充分条件” 给定两个条件q p ,，要判断p 是q 的什么条件，也可考虑集合： {}p x x A 满足条件=，{}q x x B 满足条件= q p ?,相当于A B ； p q ?,相当于A B ； ,q p ?相当于A B 问题3：四种命题的形式 一般到，我们用p 和q 分别表示原命题的条件和结论， 用┐p 和┐q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式 就是： 原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┐p 则┐q ； 逆否命题：若┐q 则┐p. 二、典例剖析 例1：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答） （1）在ABC ?中，:p A B >，:sin sin q A B > （2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠ （3）在ABC ?中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B > （4）已知,x y R ∈，22 :(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --= 跟踪训练: 若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 常用逻辑用语与充要条件 【高考考情解读】1?本讲在高考中主要考查集合的运算' 充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查2试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下. 1.命题的定义 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句叫做命题.其中判断为頁?的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)原命题为“若"则gj 则它的逆命题为若q则p ；否命题为若「p则「q :逆否命题为若 -1 q则一1 P? (2)原命题与它的逆否命题等价:逆命题与它的查命題等价.四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正而解决困难的，采用转化为反而情况处理，即， 可以转化为判断它的逆否命题的頁?假. 命题真假判断的方法： (1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明.若判断其为假命题只需举岀一个反例. (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表. (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断英逆否命题的貞?假. 3.充分条件与必要条件的定义 (1)若pnq」L §±7，，则“是的充分非必要条件. (2)若° W」丄。出“,则“是彳的必要非充分条件. ⑶若/Z 则卩是q的充要条件? (4)若“出。且q士则“是"的非充分非必要条件. 设集合A={X\X满足条件B={X\X满足条件q},则有 (1)若AUB,则p是q的充分条件，若A^B,则p是g的充分不必要条件； (2)若医则p是q的必要条件，若B=A,则p是g的必要不充分条件； (3)若A=B、则p是q的充要条件： (4)若￡ B,且万则p是q的既不充分也不必要条件. 2.充分、必要条件的判定方法 (1)泄义法，直接判断若P则q、若q则P的真假. (2)传递法. (3)集合法：若p以集合月的形式出现，g以集合万的形式岀现，即A={x\p^}, B={x g(x)}, 则①若压氏则p是g的充分条件：②若医则p是q的必要条件：③若A=B,则p是q 的充要条件. (4)等价命题法：利用A=>B与1 B=>n A, B=> A -与i A=>-)B, AoB与i B<=>-| A的等价关系，对于条件或结论是否左式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得岀结果，是反证法的理论基础. 1.简单的逻辑联结词 ⑴命题中的“亘”、"或”、"韭”叫作逻辑联结词. (2)充要条件与四种命题
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