八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标提高题检测
一、解答题
1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一
点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE
（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形． 2．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则
2222AB CD AD BC +=+．
（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边
AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．
3．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC . （1）求证：AEF CGH ???
（2）若ACD ?是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：
（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+
4．已知正方形ABCD ．
（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=?． ①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形． ②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．
（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当1
3
AE CF =时．请直接写出HC 的长________．
5．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ?的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；
（2）如图②，在Rt ABD ?中，90,BAD AD AB ?
∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两
点，且45MAN ?∠=，将ABM ?绕点A 逆时针旋转90度至ADH ?位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；
（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．
6．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,?得到线段,CQ 连接,BP DQ .
()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；
()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；
()3如图丙，若
BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.
7．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接
AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ． （1）求EAF ∠的度数；
（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：
2BD BG DG AF DM =+=+．
8．如图，锐角ABC ?，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ?，使
AE AD =，EAD BAC ∠=∠．
（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）
①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系； ②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；
（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么
（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
9．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点
,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ?∠=.
（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ?的周长；
（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ?的面积为1S ，DOE ?的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.
10．在正方形中，连接，为射线
上的一个动点（与点不重合），连接，
的垂直平分线交线段于点，连接
，
.
提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点的两个特殊位置：
①当点与点重合时，如图1所示，____________
②当
时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：
__________；（填“变化”或“不变化”）
（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）
（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.
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一、解答题
1．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45? 【分析】
（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；
（2）先求出45ABC ∠=?，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=?，即可证出结论． 【详解】
解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下： ∵DE BC ⊥，
90DFE ∴∠=?，
∵90ACB ∠=?，
ACB DFB ∴∠=∠， //AC DE ∴，
∵//MN AB ，即//CE AD ， ∴四边形ADEC 是平行四边形， CE AD ∴=； D 为AB 中点， AD BD ∴=， BD CE ∴=， ∵//BD CE ，
∴四边形BECD 是平行四边形， ∵90ACB ∠=?，D 为AB 中点，
1
2
CD AB BD ∴==，
∴四边形BECD 是菱形；
（2）当45A ∠=?时，四边形BECD 是正方形；理由如下： ∵90ACB ∠=?，45A ∠=?，
45ABC ∴∠=?，
∵四边形BECD 是菱形，
1
2
ABC DBE ∴∠=∠，
90DBE ∴∠=?，
∴四边形BECD 是正方形． 故答案为：45?． 【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键． 2．（1）证明见解析； （2）73． 【分析】
（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222
,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；
（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案． 【详解】
解：（1）∵AC ⊥BD ，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，
222222AD BC AO DO BO CO +=+++， 222222AB CD AO BO CO DO +=+++，
∴2222AD BC AB CD +=+； （2）连接CG 、BE ，如图2，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ， 在△GAB 和△CAE 中，
AG AC GAB CAE AB AE =??
∠=∠??=?
， ∴△GAB ≌△CAE （SAS ）， ∴∠ABG=∠AEC ， 又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ， 由（1）得，2222CG BE CB GE +=+， ∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，
，
， ∴222273GE CG BE CB =+-=， ∴
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键． 3．（1）证明见解析；（2
）BE =3）证明见解析． 【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等； （2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得1
2
AE DG CG
CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；
（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB//CD ，AD//BC ， ∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ， ∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ， ∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ， ∵//EH AC ，AB//CD ， ∴四边形ACGE 是平行四边形， ∴AE=CG ，
∴△AEF ≌△CGH （AAS ）； （2）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB//CD ，AB=CD ， ∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ， ∵F 是AD 的中点，
∴△AEF ≌△DGF （AAS ）； 由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）； ∴△DGF ≌△CGH, ∴1
2
AE
DG CG
CD , ∵ACD ?是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =， ∴2422
AB
CD
AD ,
∴22AE =， ∴62BE AB BE =+=； （3）如下图，
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，
∵ACD ?是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ， ∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==
2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==， 且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=, ∴22222()AC BD AB BC +=+ 【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE 是平行四边形证明AE=CG ；（2）得出DG CG =是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键． 4．（1）①证明见详解；②45PAQ ∠=?，见解析；（2）5． 【分析】
（1）①只要证明//PB AC 即可解决问题；②如图2中，连接QC ，作DT DQ ⊥交QC 的延长线于T ，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）如图3中，延长EH 交BC 于点G ，设AE=x ，由题意易得AB=BC=CF=EG=3x ，然后可得CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1，利用勾股定理求解即可．
（1）①证明：
四边形ABCD 是正方形，∴//B DP C ，45DAC ∠=?，∴135PAC ∠=? 45APB ∠=?，∴+180APB PAC ∠∠=?，∴//PB AC
∴四边形APBC 是平行四边形；
②
四边形PADQ 是平行四边形，∴DQ//,//,AP AD PQ AD PQ BC ==，
AD//B C ，∴,//PQ BC PQ BC =，∴四边形PQCB 是平行四边形，
∴QC//BP ，∴45APQ DQC ∠=∠=?，90ADC QDT ∠=∠=?，
∴DQ=DT ，45,T DQT ADQ CDT ∠=∠=?∠=∠，
AD=DC ，∴ADQ CDT ≌，∴45AQD T ∠=∠=?， AP//DQ ，∴45PAQ DQA ∠=∠=?；
（3）CH=5，理由如下：
如图3所示：延长EH 交BC 于点G ；
四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，90D ∠=?， 又
EH=3，FH=1，EH ⊥AD ，∴EH//CD ，∴90HGC ∠=?
设AE=x ，
1
,3
AE CF BC CF ==，∴AB=BC=CF=EG=3x ， ∴CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1
在Rt HGC △中，()()2
2
2222
43331CG HG CH x x x +=+-=-即，解得121,2x x ==
当x=1时，AB=3(不符合题意，舍去)； 当x=2时，AB=6，∴CH=5．
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查正方形的综合问题、三角形全等及勾股定理，关键是利用已知条件及四边形的性质得到它们之间的联系，然后利用勾股定理求解线段的长即可．
5．（1）见解析；（2）MN2=ND2+DH2，理由见解析；（3）EG=4，MN=52
【分析】
（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．
（3）设EG=BE=x，根据正方形的边长得出CE，CF，EF，在Rt△CEF中利用勾股定理得到方程，求出EG的长，设MN=a，根据MN2=ND2+BM2解出a值即可．
【详解】
解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE=∠GAE．
同理，∠GAF=∠DAF．
∴∠EAF＝1
2
∠BAD＝45°；
（2）MN2=ND2+DH2．
∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN，
又∵AM=AH，AN=AN，
∴△AMN≌△AHN（SAS）．
∴MN=HN，
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，
∴NH2=ND2+DH2，
∴MN2=ND2+DH2；
（3）∵正方形ABCD的边长为12，
∴AB=AG=12，
由（1）知，BE=EG，DF=FG．
设EG=BE=x，则CE=12-x，
∵GF=6=DF，
∴CF=12-6=6，EF=EG+GF=x+6，
在Rt△CEF中，
∵CE2+CF2=EF2，
∴（12-x）2+62=（x+6）2，
解得x=4，
即EG=BE=4，
在Rt△ABD中，
，
在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，
∴MN2=ND2+BM2．
a+，
设MN=a，则a2＝()(22
a+，
即a 2=()(22
∴a=MN＝
【点睛】
本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．
6．（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）△DEP为等腰直角三角形，理由见试题解析．
【分析】
（1）根据正方形性质得出BC＝DC，根据旋转图形的性质得出CP＝CQ以及∠PCB＝
∠QCD，从而得出三角形全等来得出结论；
（2）由（1）知∠PBC＝∠QBC，BE和CD交点为F，根据对顶角得出∠DFE＝∠BFC，从而说明BE⊥QD；
（3）根据等边三角形的性质得出PB＝PC＝BC，∠PBC＝∠BPC＝∠PCB＝60°，则∠PCD＝30°，根据BC＝DC，CP＝CQ得出△PCD为等腰三角形，然后根据△DCQ为等边三角形，从而得出∠DEP＝90°，从而得出答案．
【详解】
（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，
又∵将线段CP绕点C顺时针旋90°得到线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝90°，
∴∠PCD＋∠QCD＝90°，
又∵∠PCB＋∠PCD＝90°，
∴∠PCB＝∠QCD
在△BCP和△DCQ中，
BC＝DC，CP＝CQ，∠PCB＝∠QCD，
∴△BCP≌△DCQ，
∴∠CBP ＝∠CDQ ；
（2）证明：∵△BCP ≌△DCQ ， ∴∠PBC ＝∠QDC ，
∴∠DFE ＝∠BFC ，∠FED ＝∠FCB ＝90°， ∴BE ⊥QD ；
（3）△DEP 为等腰直角三角形，理由如下： ∵△BPC 为等边三角形，
∴PB ＝PC ＝BC ，∠PBC ＝∠BPC ＝∠PCB ＝60°， ∴∠PCD ＝90°－60°＝30°， ∴∠DCQ ＝90°－30°＝60°， 又∵BC ＝DC ，CP ＝CQ ， ∴PC ＝DC ，DC ＝CQ ，
∴△PCD 是等腰三角形，△DCQ 是等边三角形， ∴∠CPD ＝∠CDP ＝75°，∠CDQ ＝60°， ∴∠EPD ＝180°－75°－60°＝45°， ∠EDP ＝180°－75°－60°＝45°， ∴∠EPD ＝∠EDP ，PE ＝DE ， ∴∠DEP ＝180°－45°－45°＝90°， ∴△DEP 是等腰直角三形． 【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质证明三角形全等是解题的关键． 7．（1）∠EAF=135°；（2）证明见解析． 【分析】
（1）根据正方形的性质，找到证明三角形全等的条件，只要证明△EBC ≌△FNE （AAS ）即可解决问题；
（2）过点F 作FG ∥AB 交BD 于点G ．首先证明四边形ABGF 为平行四边形，再证明△FGM ≌△DMC （AAS ）即可解决问题； 【详解】
（1）解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴90B N CEF ∠=∠=∠=?，
∴90NEF CEB ∠+∠=，90CEB BCE ∠+∠=， ∴NEF ECB ∠=∠， ∵EC EF =， ∴EBC ?≌FNE ? ∴FN BE =，EN BC =， ∵BC AB = ∴EN AB =
∴EN AE AB AE -=-
∴AN BE =， ∴FN AN =， ∵FN AB ⊥， ∴45NAF ∠=， ∴135EAF =∠
（2）证明：过点F 作//FG AB 交BD 于点G .
由（1）可知135EAF =∠， ∵45ABD ∠=?
∴135180EAF ABD ∠=?+∠=?， ∴//AF BG ， ∵//FG AB ，
∴四边形ABGF 为平行四边形， ∴AF BG =，FG AB =， ∵AB CD =， ∴FG CD =， ∵//AB CD ， ∴//FG CD ， ∴FGM CDM ∠=∠， ∵FMG CMD ∠=∠ ∴FGM ?≌CDM ? ∴GM DM =， ∴2DG DM =，
∴2BD BG DG AF DM =+=+. 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 8．（1）①EAB DAC ∠=∠； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析． 【分析】
（1）①根据EAD BAC ∠=∠，两角有公共角BAD ∠，可证EAB DAC ∠=∠； ②连接EB ，证明△EAB ≌△DAC ，可得,ABE ACD EB CD ∠=∠=,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC ，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形证明四边形CDEF 为平行四边形．
（2）根据60BAC ∠=?，可证明△AED 和△ABC 为等边三角形，再根据ED ∥FC 结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA ，求证△ABD ≌△CAF ，得出ED=CF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形． 【详解】
解：（1）①EAB DAC ∠=∠，理由如下：
∵EAD BAC ∠=∠，EAD EAB BAD ∠=∠+∠，BAC BAD DAC ∠=∠+∠, ∴EAB BAD BAD DAC ∠+∠=∠+∠， ∴EAB DAC ∠=∠； ②证明：如下图，连接EB,
在△EAB 和△DAC 中
∵AE AD EAB DAC AB AC =??
∠=∠??=?
∴△EAB ≌△DAC （SAS ） ∴,ABE ACD EB CD ∠=∠=, ∵AB AC =， ∴ABC ACD ∠=∠, ∴ABE ABC ∠=∠， ∵//EF DC ， ∴EFB ABC ∠=∠, ∴ABE EFB ∠=∠, ∴EB EF =, ∴DC EF =
∴四边形CDEF 为平行四边形； （2）成立；理由如下： 理由如下： ∵60BAC ∠=?，
∴=60EAD BAC ∠=∠?， ∵AE=AD ，AB=AC ，
∴△AED 和△ABC 为等边三角形，
∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED, ∵ED ∥FC ， ∴∠EDB=∠FCB ，
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF ，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ， ∴∠AFC=∠BDA ， 在△ABD 和△CAF 中，
60BDA AFC B BAC AB CA ∠=∠??
∠=∠=???=?
∴△ABD ≌△CAF （AAS ）， ∴AD=FC ， ∵AD=ED ， ∴ED=CF ， 又∵ED ∥CF ，
∴四边形EDCF 是平行四边形． 【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质．在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等．本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第②问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大．
9．（1）12；（2）2S 1=36 +S 2. 【分析】
(1)根据已知条件证得四边形ABOC 是正方形，在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，利用HL 证得Rt △ABG ≌Rt △ACE ，得到∠GAB=∠EAC,GB=CE ，再利用
45DAE ?∠=证得△GAD ≌△EAD ，得到DE=GB+BD ，由此求得DOE ?的周长；
(2) 在OB 上取点F ，使AF=AE ，根据HL 证明Rt △ABF ≌Rt △ACE ，得到
∠FAE=∠ABC=90?，再证明△ADE ≌△ADF ，利用面积相加关系得到四边形AEDF 的面积=S △ACE +S 四边形ACOF +S △ODE ，根据三角形全等的性质得到2S △ADE =S 正方形ABOC +S △OD E ，即可得到2S △ADE =36 +S △ODE . 【详解】
(1)∵点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，AC y ⊥轴， ∴AB=BO=AC=OC=6, ∴四边形ABOC 是菱形， ∵∠BOC=90?，
∴四边形ABOC 是正方形，
在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，
∵四边形ABOC 是正方形， ∴AB=AC ，∠ABG=∠ACE=90?， ∴Rt △ABG ≌Rt △ACE ， ∴∠GAB=∠EAC,GB=CE ， ∵∠BAE+∠EAC=90?， ∴∠GAB+∠BAE=90?， 即∠GAE=90?， ∵45DAE ?∠= ∴∠GAD=45DAE ?∠=, 又∵AD=AD,AG=AE ， ∴△GAD ≌△EAD ， ∴DE=GD=GB+BD,
∴DOE ?的周长=DE+OD+OE=GB+BD+OD+OE=OB+OC=6+6=12
(2) 2S 1=36 +S 2，理由如下： 在OB 上取点F ，使AF=AE ， ∵AB=AC ，∠ABF=∠ACE=90?， ∴Rt △ABF ≌Rt △ACE ， ∴∠BAF=∠CAE, ∴∠FAE=∠ABC=90?， ∵∠DAE=45?， ∴∠DAF=∠DAE=45?， ∵AD=AD ， ∴△ADE ≌△ADF ，
∵四边形AEDF 的面积=S △ACE +S 四边形ACOF +S △ODE ， ∴2S △ADE =S 正方形ABOC +S △OD E ， ∴2S △ADE =36 +S △ODE .即：2S 1=36 +S 2
【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，根据题中的已知条件证得三角形全等，即可利用性质得到边长相等，面积相等的关系，（2）中需根据面积的加减关系进行推导，这是此题的难点.
10．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；
（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；
（3）如图2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，证得
∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得
∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.
【详解】
解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APE=45°
②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；
故答案为：45°，不变化.
(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；
故答案为：成立；
(3)证明一：如图所示.
过点作于点，于点.
∵点在的垂直平分线上，
∴.
∵四边形为正方形，
∴平分.
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
证明二：如图所示.
过点作于点，延长交于点，连接.∵点在的垂直平分线上，
∴.
∵四边形为正方形，
∴，
∴.
∴，.
∴.
又∵，
∴.
又∵，
∴.
∴.
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点