小专题(十) 角的计算 类型1 角平分线的有关计算(整体思想)
【例】(教材P140习题T9变式)如图，已知∠AOB 内部有三条射线OE 、OC 、OF ，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC.
(1)若∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠EOF ＝45°；
(2)若∠AOC ＝α，∠BOC ＝β，则∠EOF ＝2
； (3)若∠AOB ＝θ，你能猜想出∠EOF 与θ的关系吗？请说明理由．
解：∠EOF ＝12
θ， 理由：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，
所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝12
∠AOC. 所以∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝12∠BOC ＋12∠AOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC)＝12∠AOB ＝12
θ.
【变式1】 若∠EOF ＝γ，求∠AOB 的度数．
解：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC.
所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝12
∠AOC. 所以∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝12∠BOC ＋12∠AOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC)＝12
∠AOB. 因为∠EOF ＝γ，所以∠AOB ＝2γ.
【变式2】 若射线OC 在∠AOB 的外部，且∠AOB ＝θ，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，则上述(3)中的结论还成立吗？请画出图形，并说明理由．
解：∠EOF ＝12
θ成立，如图所示． 理由：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝12
∠AOC. ∠EOF ＝∠COF －∠EOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC)＝12∠AOB ＝12
θ. 如图，当射线OC 在∠AOB 的内部或外部(0°＜∠AOC ≤180°)，OE 平分∠BOC ，OF
平分∠AOC 时，总有∠EOF ＝12
∠AOB. 图1 图2
1．如图，∠AOC 与∠BOC 互补，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，则∠COE 与∠COF 的数量关系是互余．
2．如图，已知∠AOB 内部有顺次的四条射线：OE 、OC 、OD 、OF ，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD.
(1)若∠AOB ＝160°，∠COD ＝40°，则∠EOF 的度数为100°；
(2)若∠AOB ＝α，∠COD ＝β，求∠EOF 的度数；
(3)从(1)、(2)的结果，你能看出什么规律吗？
解：(2)因为OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，
所以∠COE ＝12∠AOC ，∠DOF ＝12
∠BOD. 因为∠EOF ＝∠COE ＋∠COD ＋∠FOD
＝12∠AOC ＋∠COD ＋12
∠BOD ＝12(∠AOC ＋∠COD ＋∠BOD)＋12
∠COD ＝12∠AOB ＋12
∠COD ， 又∠AOB ＝α，∠COD ＝β，
所以∠EOF ＝12α＋12β＝12
(α＋β)． (3)若∠AOB 内部有顺次的四条射线：OE 、OC 、OD 、OF ，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，
则∠EOF ＝12
(∠AOB ＋∠COD)． 类型2 直接计算
3．(正定期末)如图，点O 为直线CA 上一点，∠BOC ＝46°，OD 平分∠AOB ，∠EOB ＝90°，求∠AOE 和∠DOE 的度数．
解：因为∠AOC ＝180°，∠BOC ＝46°，∠EOB ＝90°，
所以∠AOE ＝∠AOC －∠BOC －∠EOB ＝44°.
因为∠AOC ＝180°，∠BOC ＝46°，
所以∠AOB ＝∠AOC －∠BOC ＝134°.
因为OD 平分∠AOB ，
所以∠BOD ＝12
∠AOB ＝67°. 因为∠EOB ＝90°，
所以∠DOE ＝∠EOB －∠BOD ＝23°.
4．已知∠AOB ＝40°，OD 是∠BOC 的平分线．
(1)如图1，当∠AOB 与∠BOC 互补时，求∠COD 的度数；
(2)如图2，当∠AOB 与∠BOC 互余时，求∠COD 的度数．
解：(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补，
所以∠AOB ＋∠BOC ＝180°.
因为∠AOB ＝40°，
所以∠BOC ＝180°－40°＝140°.
因为OD 是∠BOC 的平分线，
所以∠COD ＝12
∠BOC ＝70°. (2)因为∠AOB 与∠BOC 互余，
所以∠AOB ＋∠BOC ＝90°.
因为∠AOB ＝40°，
所以∠BOC ＝90°－40°＝50°.
因为OD 是∠BOC 的平分线，
所以∠COD ＝12
∠BOC ＝25°. 类型3 方程思想
5．一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，求这个角．
解：设这个角为x °，则它的余角为90°－x °，补角为180°－x °.
根据题意，得180－x ＋10＝3×(90－x)．
解得x ＝40.
答：这个角为40度．
6．(定州期末)如图，已知O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分∠AOB ，OE 在
∠BOC 内，∠BOE ＝12
∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数． 解：设∠BOE ＝x °，
因为∠BOE ＝12
∠EOC ， 所以∠EOC ＝2x °.
因为OD 平分∠AOB ，
所以∠AOD ＝∠DOB ＝70°－x °.
因为∠AOD ＋∠DOB ＋∠BOE ＋∠EOC ＝180°，
所以70－x ＋70－x ＋x ＋2x ＝180.
所以x ＝40，所以∠EOC ＝80°.
7．如图，已知∠AOB ＝12
∠BOC ，∠COD ＝∠AOD ＝3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数． 解：设∠AOB ＝x °，
则∠COD ＝∠AOD ＝3∠AOB ＝3x °.
因为∠AOB ＝12
∠BOC ， 所以∠BOC ＝2x °.
因为∠BOC ＋∠COD ＋∠AOD ＋∠AOB ＝360°，
所以2x ＋3x ＋3x ＋x ＝360.解得x ＝40.
所以∠AOB ＝40°，∠COD ＝120°.
类型4 分类思想
8．已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线．
(1)当∠AOB ＝60°时，求∠AOC 的度数；
(2)在(1)的条件下，∠EOC ＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数；
(3)当∠AOB ＝α时，∠EOC ＝90°，直接写出∠AOE 的度数．(用含α的式子表示) 解：(1)因为OC 是∠AOB 的平分线，
所以∠AOC ＝12
∠AOB. 因为∠AOB ＝60°，
所以∠AOC ＝30°.
(2)如图1，∠AOE ＝∠EOC ＋∠AOC ＝90°＋30°＝120°；
如图2，∠AOE ＝∠EOC －∠AOC ＝90°－30°＝60°.
(3)90°＋α2或90°－α2
.
类型5角的运动问题
9．(武邑中学期末)如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
(1)若∠DCE＝35°，∠ACB＝145°；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝40°；
(2)猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
(3)若保持三角尺BCE(其中∠B＝45°)不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD(其中∠D＝30°)绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD，设∠BCD ＝α(0°<α<90°)．
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由；
②当这两块三角尺各一条边互相垂直时直接写出α的所有可能值．
解：(1)因为∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，
所以∠ACB＝180°－35°＝145°.
因为∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，
所以∠DCE＝180°－140°＝40°.
故答案为：145°，40°；
(2)∠ACB＋∠DCE＝180°或互补，
理由：因为∠ACE＋∠ECD＋∠DCB＋∠ECD＝180°.
又因为∠ACE＋∠ECD＋∠DCB＝∠ACB，
所以∠ACB＋∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．
(3)①当∠ACB是∠DCE的4倍，
所以设∠ACB＝4x°，∠DCE＝x°，
因为∠ACB＋∠DCE＝180°，所以4x＋x＝180.
解得x＝36，所以α＝90°－36°＝54°.
②CE⊥AD时，α＝30°，
BE⊥CD时，α＝45°，
BE⊥AD时，α＝75°.