2016年中考数学专题复习一 含字母系数的一元二次方程与函数
知识考点：
⑴ 理解二次函数与一元二次方程之间的关系；
⑵ 会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x 轴的交点情况； ⑶ 会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 注意事项：
⑴注意题中的“关键字”：
① 方程与一元二次方程；② 函数与二次函数；③ 有实根与有两个实根等等；④ 有两个
实根与有两个不等实根；⑤ 有交点与有两个交点、与x 轴交点和与坐标轴交点等等。 ⑵ 利用“△”时，要注意二次项系数：a ≠0？ ⑶ 利用韦达定理时，要注意检验：△≥0；
⑷ 几何问题与实际问题中，要注意根是否符合实际意义等等。
温故知新 1. (2015·凉山州）关于x 的一元二次方程．．．．．．(m ﹣2)x 2+2x +1=0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A.m ≤3 B.m ＜3 C.m ＜3且m ≠2 D.m ≤3且m ≠2 2.（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5
3.（2014?莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x +k 2
=0的两根互为倒数，则k= ． 4.关于x 的方程2(1)210k x kx k --++=
⑴当k 为何值时，方程有两个不相等实数根；⑵当k 为何值时，方程的两个实数根中，一根是另一根的3倍.
历年荆州中考题：
1.（2013?荆州22题）已知：关于x 的方程．．kx 2
﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）=0 （1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x 1，x 2，且|x 1﹣x 2|=2，求k 的值．
2. （2012·荆州22题）23．(本题满分10)已知：y 关于x 的函数．．y ＝(k －1)x 2
－2kx ＋k ＋2的图象
与x 轴有交点．
(1)求k 的取值范围；
(2)若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足(k －1)x 12＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2． ①求k 的值；②当k ≤x ≤k ＋2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值．
3.（2006·荆州16题）已知关于x 的二次方程012)21(2=---x k x k 有实数根，则k 的取值范围是 .
4.（2007·荆州12题）若0x =是方程22(2)3280m x x m m -+++-=的解，则m ＝ 。
5.（2008·荆州13题）关于的方程222(1)0x k x k +++=两实根之和为m ，且满足2(1)m k =-+，关于y 的不等于组4
y y m
>-??
6.（2011·荆州9题）关于x 的方程ax 2－（3a +1）x ＋2（a +1）＝0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2＋x 2＝1－a ，则a 的值是（ ）
A.1
B.－1
C.1或－1
D.2
7.（2006·荆州21题）（本题满分8分） 已知y 关于x 的函数1)1(2)2(2++---=k x k x k y 中满足k ≤3 ①求证:函数图象与x 轴总有交点.② 当关于z 的方程
23
32+-=--z k
z z 有增根时, 求上述函数图象与x 轴的交点坐标
8.（2008·荆州20题）已知：如图，Rt △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴
的负半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y =(x －2)(x －m )－(p -2)(p -m )（m 、p 为常数且m +2≥2p >0）经过A 、C 两点．
（1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长；
（2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB
9.（2009·荆州23题）已知：点P （1a +，1a -）关于x 轴的对称点在反比例函数8
(0)y x x
=-
>的图像上，y 关于x 的函数22(21)1y k x k x =-++的图像与坐标轴只有两个不同的交点A ﹑B ，求P 点坐标和△PAB 的面积.
10.（2010·荆州21题）已知：关于x 的一元二次方程()01222=+-+k x k x 的两根21,x x 满足02
22
1=-x x ，双曲线x
k
y 4=(x ＞0)经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于C （如图），求OBC △S ．
11.（2011·荆州22题） 如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B （4，2），一次函数y ＝kx －1的图象平分它的面积，关于x 的函数y ＝mx 2 －（3m ＋k ）x ＋2m ＋k 的图象与坐标轴只有两个交点，求m 的值．
12．（2014·荆州24题12分）已知：函数y =ax 2
﹣（3a +1）x +2a +1（a 为常数）． （1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值；
（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴相交于点C ，且x 2﹣x 1=2．①求抛物线的解析式；②作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC ，DC ，求sin ∠DCB 的值．
巩固练习
1.关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=． （1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根12x x ，满足122
11
m x x m +-=+-，求m 的值．
2.已知关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+=
（1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12＜m ＜40（m 为整数），且方程有两个整数根，求m 的值．
3.已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．
⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称．①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；
4.的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=. （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点()11A --，
是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B
的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
5.关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=（m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线()()2
121y m x m x =-+--总过x 轴上的
一个固定点；
（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()2
1210m x m x -+--=有两个不相等的整数根，
把抛物线()()2
121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
6.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，k 为正整数．
（1）求k 的值；
（2）当次方程有一根为零时，直线与关于x 的二次函数的图象交
于A 、B 两点，若M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ⊥x 轴，交二次函数的图象于点N ，求线段MN 的最大值及此时点M 的坐标；
（3）将（2）中的二次函数图象x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴上方的部分组成一个“W ”形状的新图象，若直线与该
新图象恰好有三个公共点，求b 的值．
课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1．掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法；使学生掌握含有未知数 的解法． 2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维． 3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点． 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用． 教学过程: 一、引入新课 问题一：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？ 因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}．问题二：方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？ 当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为 二、讲授新课 引导思考：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？ 解为： 无意义．此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为： 当Δ≥0时有实根； 当Δ＜0时，有一对共轭的虚根． 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0
i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解： 例2 已知实系数一元二次方程2x 2＋ax ＋b=0的一个根为2i-3，求a ，b 的值． 解：2x 2＋ax ＋b=0一根为2i-3，另一根为-3-2i ．由韦达定理知： b=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25， a=2i-3+（-2i-3）=-6． 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？ 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解． 解：将方程左端配方，得（x-i ）2-4=0，即（x-i ）2=4．解得x-i=±2，即x 1=2+i ，x 2=-2+i ． 练习P22 1、2、3 2、二项方程：形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程，任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式，都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即：所以解：原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以2为半径的圆上.
一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 · 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）》 A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．
评卷人· 得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． · 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值； : （3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围；
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.
题型（三） 二次函数图象与字母系数的关系 1.（2017贵州安顺第10题）二次函数y =ax 2 +bx +c （≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2 ＜0； ②3b +2c ＜0；③4a +c ＜2b ；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠1），其中结论正确的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2,（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论： ①b 2 =4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论： ①0
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.(2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为 （4，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②4a +b +c =0； ③a ﹣b +c ＜0； ④抛物线的顶点坐标为（2，b ）； ⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的是（ C ） A ．①②③ B ．③④⑤ C ．①②④ D ．①④⑤ 6.(2017山东菏泽第8题)一次函数b ax y +=和反比例函数x c y =在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数c bx ax y ++=2 的图c 象可能是（ C ）
复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案） 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039 x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ） (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由； (1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ） ） (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ? ） (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √） 5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -?=+． 解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+． 由复数相等，有3133x y y x -=??-=?，，解得543.4 x y ?=-????=-??，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ； | 若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ，则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= （1）x R ∈ （2）x C ∈ 解：（1）1x = （2）11x orx i ==-
一元二次方程（根与系数关系专题测试） 一、单选题（共10题；共30分） 1.已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（） A. 5 B. 10 C. 11 D. 13 2.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 3.一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于() A. 5 B. 6 C. －5 D. －6 4.是方程的两根， 的值是（） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 5.关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（） A. -1 B. -4 C. -4或1 D. -1或4 6.关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 7.已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则另一根为（） A. ﹣4 B. ﹣2 C. 4 D. 2 8.已知，是一元二次方程的两个实数根且，则的值为（）. A. 0或1 B. 0 C. 1 D. -1 9.若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（） A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 10.若a≠b，且则的值为（） A. B. 1 C. .4 D. 3 二、填空题（共6题；共18分） 11.如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=﹣， x1x2= ，这就是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）．利用韦达定理解决下面问题：已知m与n是方程x2﹣5x﹣25=0的两根，则+ =________． 12.一元二次方程的两根为，则________
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.
二次函数图象与字母系数的关系 教学目标： 1．准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 2．能通过二次函数的图象确定字母a,b,c 的值及ac b 42-的符号. 教学重点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学难点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学过程：一、知识构架 知识点：二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42 -的符号之间的关系 （1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 a>0 开口向下 a<0 (2)c 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定 交点在y 轴正半轴 c>0 交点在y 轴负半轴 c<0 交点在坐标原点 c=0 (3)b 的符号：由对称轴的位置及a 的符号确定 对称轴在y 轴左侧 a,b 同号 对称轴在y 轴右侧 a,b 异号 对称轴在y 轴 b=0 (4)ac b 42 -的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定 与x 轴有两个交点 042>-ac b 与x 轴有一个交点 042=-ac b 与x 轴无交点 042<-ac b (5)a+b+c 的符号:因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c 的符号由x=1时，对应的y 值确定 a-b+c 的符号:因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y 值确定。 抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负：（1，a+b+c ）, （-1，a-b+c ）, （2，4a+2b+c ）, （-2，4a-2b+c ）, (6) 判断2a+b 与2a-b 的正负经常由对称轴与±1的关系确定 二、典型例题 例1 （1） 已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的 位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞0 （2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a+b+c=2； ③a ＜；④b ＞1．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 例2 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则一次函数 b ax y +=与反比例函数x c y = 在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 练习：1.如图001是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断： ?0b ?0>c ④0<++c b a ⑤02<+b a ，正确的 （填序号） 2.如图002是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断： ?042>-ac b ?1>c ?02<-b a ④0<++c b a ⑤)1()(-≠-<+m b a b am m 其中错误的有 （填序号） 3.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则函数x a y =与c bx y +=在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） 三、课堂小结：谈谈你的收获 四、课下作业 1.如图003是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象一部分,则以下正确的有?a b 2>； ②02=++c bx ax 的两根分别为-3和1；?02<+-c b a ④0=++c b a ⑤08>+c a 其中正确的有 （填序号）
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用． 【知识要点】 1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，， 这就是一元二次方程的根与系数的关系． 2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式． 5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方 程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若 ，，则方程有两个负根． 【趋势预测】 利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面： ①求方程中字母系数的值或取值范围； ②求代数式的值； ③结合根的判别式，判断根的符号特征；
④构造一元二次方程解题； ⑤证明代数等式，不等式； ⑥与一元二次方程的整数根有关的问题． 【范例解读】 题1(1997·陕西)已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m
13.6（1）实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=，当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计
六、教学过程设计 （一）复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，我 们回顾一下： 当240b ac ?=-≥ 时，方程有两个实数根：2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解？ 设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？ [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程. （二）讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况： 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-， 配方得
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ，
小专题(二) 二次函数的图象与字母系数的关系 抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系： (1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； (2)若对称轴在y轴的左边，则a，b同号；若对称轴在y轴的右边，则a，b异号；若对称轴为y轴，则b＝0； (3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c>0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c<0；若抛物线经过原点，则c＝0； (4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c； 当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c； 当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c； 当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…；故要比较a＋b＋c与0的大小，只需看抛物线中横坐标为1的点与x轴的位置关系即可； (5)当对称轴为直线x＝1时，x＝－b 2a ＝1，所以－b＝2a，此时2a＋b＝0；当对称轴为直线x＝－1 时，x＝－b 2a ＝－1，所以b＝2a，此时2a－b＝0；判断2a＋b大于或小于0，看对称轴与直线x＝1的位置关系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝－1的位置关系； (6)b2－4ac>0?抛物线与x轴有两个交点； b2－4ac＝0?抛物线与x轴有一个交点； b2－4ac<0?抛物线与x轴无交点． 1．(xx·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(C) A．abc＞0 B．2a＋b<0 C．3a＋c<0 D．ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根
2．(xx·黔东南)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，给出下列结论：①b 2 ＝4ac ；②abc＞0；③a＞c ；④4a－2b ＋c ＞0，其中正确的有(C) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．(xx·滨州)如图，若二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，点B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a－b ＋c ＜0；③b 2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3，其中正确的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，则|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝(D) A ．a ＋b B ．a －2b C ．a －b D ．3a 5．(xx·达州)如图，二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc＜0；②9a＋3b ＋c ＞0； ③若点M(12，y 1)，点N(52，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④－35＜a ＜－25 .其中正确的有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．(xx·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc<0；②