一元二次方程的解法复习之“再探公式法”
龙山中学曹建建
教学目标
知识目标通过对两个具体问题的分析和解决，使学生对公式法有更深层次的认识；
能力目标培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。
情感目标让学生体会数学公式无论是局部还是整体都蕴含着无尽的奥秘，等
待着我们同学去探索，去发现。
教学重点难点
重点解一元二次方程的公式法中二次项系数与判别式的作用；两根和与两根积的巧解。难点两根和与两根积的巧解方法推导。
课堂教与学互动设计
发现问题，引入本课
之前的第二章独立练习卷中，老师发现有一个问题同学们解决的不是很好，“已知a,b,c为三角形的三边长，关于x的方程b（x2 -1）-2ax ? c（x2 1）=0 有两个相等
的实数根。试判断此三角形的形状，并说明理由。”而相对来说，另一个填空题完成的还好，“若关于x的一元二次方程X2 - 6x ? c = 0 （c是常数）没有实数根，那么c的取值范围是_______________ ■”
合作交流，再探旧知
今天，老师想和大家从较简单的这题着手，再来探究一下公式法在这类问题上的应用。
（1）若关于x的一元二次方程x2-6x ?c = 0（c是常数）没有实数根，那么 c 的取值范围是_______________ .
师：遇到这样的问题，你有什么想法？（请学生谈谈自己的想法）
生：（一般学生都能讲到b2 - 4ac ：：： 0 ）
师：（做积极评价）那你能求出c的取值范围了吗？
生：学生列不等式，求出c的取值范围师：如果把题目中的“没有实数根”改为“有两个
不相等的实数根”
，又如何解呢？
生：(b -4ac- 0 )
师：你能自己再编一个类似的题目吗？
生：(方程有两个相等的实数根)(b2_4ac=0 )
收获1
?元二次方程处2十桩十实数根的个数包系数的关系：
方程有两个不相等的实数根—?b2-4ac>0
方程有两个相等的实数根—?4皿=0
方程没有实数根—?b2-4ac<0
师：明白了这样的规律，我们是否就能解决这类问题了呢？如果上述问题再改变一下：若关于x的一元二次方程kx2_2x_i = 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
生：(有只考虑判别式的，应该也考虑到二次项系数的) 师：由于参数出现在二次项，所以应首先考虑二次项系数不等于零。
现在，再来看独立练习上的问题，你会解决了吗？
(2)已知a,b,c为三角形的三边长，关于x的方程b(x2-1)「2ax ? c(x2? 1) = 0
有两个相等的实数根。试判断此三角形的形状，并说明理由。
生：(提示化成一般式，独立的完整的进行解答，并请一位同学进行板演)
师：根据实际情况，先由学生互评，再做积极评价。
师：解决了练习中遗留的问题，下面老师想和大家再来探讨一个在课余时间有同学向老师请教的一个问题，想请大家一起看看，能不能帮上忙。
已知花必为方程X2-3X-4=0的两个根，求下列代数式的值
1 1
(1) - _；
% x2
生：(可以先把方程的两个根求出来，然后再代入代数式，求出值) 师：请一个同学进行板演，并肯定评价。
师：那如果老师把方程改为x2-5x ^0呢？我们是不是依然能用这个方法求
解？
生：（可以）（再请学生进行板演）
这时，学生解出方程的两根分别为务=出色x2 = 5-厉，问题不大，
2 22 22
但在代入求解时，可能大部分学生都会遇到困难，u u ? u u很难再计算下5+J5 5 -sJ5去。
师：这时我们发现，由于根的形式较复杂，直接代入求解有困难，那么当正面去解决一个问题比较困难时，我们可以选择从（反面）（由学生答出或引导学生）考虑。在这个问题上，我们是不是可以在解出根后，先不代入，而是将目光投向所给的代数式。对于这个代数式，你有何想法？你能对它做些什么呢？师：（引导学生将代数式看成是分式的加减运算，因而可以通分，然后相加）
1 1 x +x
生：（可以整理得到—1）
% X2 X2U X2
师：对学生板演的过程进行第一次修改：即解方程步骤不变，将直接代入改为先变形再代入，可得到代数式的值为1
师：事实说明：根据方程X2-5X，5=0的两个根的结构特点，计算
X! - X2和XLX2比较简单，结果也很简单。
那么，对于一元二次方程ax2?bx，c=0 （a = 0）的两个实数根而言，计算
X-! - X2和xl_x2简单吗？结果呢？
给出求根公式x _ -b b2—4ac x _ -b- b2 -4ac，让学生计算两根和
12a ' 22a
与两根积。（老师可根据实际情况做适当引导）
生：X! X2 二-b； X^X2 二-
a a
收获2
若孑一心"
_ b
则西+X2 ~
师：有了这样的发现，我们对刚才的问题是不是又可以进行改进呢？
生：（引导并鼓励学生在原来学生板演的基础上进行第二次修改：将解方程的过程改为直接利用结论求两根和与两根积的过程）
师：原来公式法还能给我们带来这样的惊喜，我们怎么也得好好利用一下：
方程不变，求（2）（/-x2）2的值，大家试试看。
生：（学生合作练习，教师巡视，并引导对代数式变形）
师：对于我们作业本上的一个问题，你有新的想法吗？
已知直角=角形的两条直角边恰好是
力■程X2-5X +6=0的两个根*
求此直角三角形的斜边长。
课后相互之间可以讨论讨论。
师：这节课我们一起合作，很好的解决了平时学习过程中发现的问题，最后我们再来回顾一下：
一元二次方程ax2? bx ? c = 0 （a = 0），当b2_4ac^0 时，
-b + Jb2 -4ac -b-J b2 -4ac
X i , X2 ：
2a 2a
收获1 （局部）：考虑a与b2 -4ac作用大；
收获2 （整体）:计算Xi ' x2与x1Lx2有捷径。