2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
编写人：叶剑平 高二数学备课组 班级 姓名
学习目标－－明确目标、学有所的
1、对样本数据中提取基本的数字特征：众数、中位数、平均数、标准差、方差。
2、理解样本数据基本的数字特征的意义和作用，会给出合理的解释。
3、形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
自主学习检测
（知识检测）－－自觉整理、学有所得
1、众数：在一组数据中， 的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数：将一组数据按 ，处在 的一个数据（或 ）叫做这组数据的中位数。
3、平均数： 一组数据的算术平均数，即x=
4、极差：一组数据中， 与 的差。
5、方差的计算公式： 标准差的计算公式：
（知识应用）－－应用检测、学有所用
1.一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31,其中位数为22，由些可知x=（ ）
A . 21
B . 22
C . 20 D. 23 2.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A.92 ,2 B.92,2.8 C.93 ,2 D.93 , 2.8 3.
则加奥运会的最佳人选是 ．
我的疑惑－－总结疑问、学有所思
)(1
21n x x x n
+?++
课堂合作学习－－交流协作、共同进步
问题1、某工厂人员及工资构成如下：
人员经理管理人员高级技工工人学徒合计
周工资2200 250 220 200 100
人数 1 6 5 10 1 23
合计2200 1500 1100 2000 100 6900 （1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数；
（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－问题2、有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－问题3、利用下图说明如何在频率直方图中估计众数、中位数、平均数呢？
①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积。
②平均数的估计值等于频率分布直方图的每个乘以。
③众数的估计值是最高。
———————————————————————————————————————问题4、根据下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点，并指出标准差的统计意义。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５ (2)４，４，４，５，５，５，６，６，６(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７（4）２，２，２，２，５，８，８，８，８条形图看课本P76
课堂点精
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类： ①用样本平均数估计总体平均数。
②用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。 2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。 并且标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
课后作业
(A 组）
1、某篮球队在一个赛季的十场比赛中分别进球： 30，35，，25，25，30，34，26，25，29，21
则该队平均每场进求x = 个，标准差s= 。
2、设甲、乙两班某次数学考试的平均成绩分别为甲x =106.8，乙x =107，，又知2
甲s =6，
2
乙s =14，则如下几种说法：①乙班的数学成绩大大优于甲班；②甲班数学成绩较乙班稳定；
③乙班数学成绩比甲班波动大。其中正确的说法是 。
3、甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验，成绩的茎叶图如图，则甲班、乙班的最高成绩各是 ，从图中看 班的平均成绩较高。
甲 乙 6 4 8 5 7 9 4 1 6 2 5 9 8 7 5 4 2 1 7 2 5 7 8 9 7 4 4 8 1 4 4 7 9 6 9 2
（B 组）
1.某人5次上班途中所的花时间（单位：min ）分别为：x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数是10，方差为2，则x y 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.若数据1220,,x x x 这20个数据的平均数为x ；方差为0．20，则1220,,,x x x x 这21个数据的方差为 ．
3．据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位） 如下：
职务 董事长 副董事长
董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数。
（2）假设副董事长的工资从5000元提长到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000
元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法？
（C 组） 1、（2010年北京高考卷）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用X 表示。
如果X =8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差。
2、（2011年广东高考卷）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为
(1,2,...,6)n n 的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5 成绩
n
x
70
76
72
70
72
求第6位同学的成绩
6
x ，及这6位同学成绩的标准差s 。
普通高中课程标准实验教科书数学3 必修 用样本的数字特征估计总体的数字特征 说课人：王自强 东华高级中学数学组
用样本的数字特征估计总体的数字特征 第1课时 一、教材分析与学情分析 ★教材地位与作用 本节是在已经学习了用图、表来组织样本数据，用样本的频率分布估计总体的分布情况下，进一步学习如何通过样本的频率分布直方图来估计总体的数字特征，从而使我们能从整体上更好地把握总体的规律，并初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。 ★学情： 本节课的学习者是普通班学生，他们的观察、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、紧密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。 二、教学目标 ★教学目标 1．知识与技能 ①能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数； ②结合实际, 能选取恰当的样本数字特征，对问题作出合理判断,制定解决问题的有 效方法。 2. 过程与方法 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 3.情感、态度与价值观 通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风。 ★教学重点、难点 重点：利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数。 难点：1.从频率分布直方图中计算出中位数； 2.选取恰当的样本数字特征来估计总体，从而正确的对实际问题做出决策。 三、教学方法与策略 本节课让学生通过熟知的一组数据的代表-众数，中位数，平均数下，并辅以计算器、多媒体手段，通过一定手脑结合的训练，让学生感受在只能得到频率分布直方图的情况下也可以估计总体数字特征。在课堂结构上，我根据学生的认知水平，采取“仔细观察—分析研究---小组讨论---总结归纳”的方法，使知识的获得与知识的发生过程环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。
限时练 093 一、选择题 1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是 ( ) A ．85，85，85 B ．87，85，86 C ．87，85，85 D ．87，85，90 2．(2015·乐清高一检测)某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表： 次品数 0 1 2 3 4 频率 则次品数的众数、平均数依次为 ( ) A ．0， B ．0，1 C ．4，1 D ．，2 3．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数x 方差s 2 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为 ( ) A ．6 C ．66 D ． 5．(2015三门峡高一检测)若样本1＋x 1，1＋x 2，1＋x 3，…，1＋x n 的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x 1，2＋x 2，…，2＋x n ，下列结论正确的是 ( ) A ．平均数是10，方差为2 B ．平均数是11，方差为3 C ．平均数是11，方差为2 D ．平均数是10，方差为3 6.(2013·重庆)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 7．(2013·山东)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分， 7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A ．1169 B ．367 C ．36 D ．67 7
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案 教学目标： 知识与技能 （1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 （2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。 （3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 （4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 过程与方法 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 情感态度与价值观 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 重点与难点 重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。 教学设想 【创设情境】 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。 【探究新知】 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗：P62 （1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？ （2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论） 初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。 〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25这个数值呢？
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 一、教学目标 1．能从样本数据中提取基本的数字特征，并做出合理的解释． 2．会求样本的众数、中位数、平均数． 3．能从频率分布直方图中，求得众数、中位数、平均数． 二、教学重难点 重点：根据实际问题，对样本数据提取基本的数字特征并做出合理解释，估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性． 难点：在频率分布直方图中分析众数、中位数、平均数. 三、众数、中位数、平均数的概念 1.众数的概念 一组数据中重复出现次数_____的数叫做这组数的众数 2.中位数的定义 把一组数据按大小顺序排列，把处于_____位置的那个数称为这组数据的中位数； 当数据个数为奇数时，中位数是按大小顺序排列的____的那个数； 当数据个数为偶数时，中位数是按大小顺序排列的最中间两个数的_________。 3.平均数的概念 如果有n 个数12,,,n x x x ，那么这n 个数的算术平均数就是这组数平均数，即 例1：在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下： 甲运动员：7,8,6,8,6,5,8,10,7,4 乙运动员：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7 观察上述样本数据，分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数？ 甲运动员命中环数： 众数： 中位数： 平均数： 78686581074 6.9 10x +++++++++= = 乙运动员命中环数： 众数： 中位数：
平均数： 9578768677 7 10x +++++++++= = 例2、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示： 分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 . 众数（最多的）： ；中位数（最中间的）： 平均数 ： 四、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 思考1：如何从频率分布直方图中估计出众数的值？ 例3：在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，这些样本数据的频率分布直方图如下所示：观察图形，估计出众数的 思考2：如何从频率分布直方图中估计出中位数的值？ 在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数 反映到频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。 所以，中位数在频率分布直方图中，就是使其左右小矩形面积和相等 思考3：如何从频率分布直方图中估计出平均数的值？
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 链接高考 1.(2014课标Ⅰ,18,12分,★★☆)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表: 质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 (1)作出这些数据的频率分布直方图; (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定? 2.(2014陕西,9,5分,★★☆)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2, (x10) 其均值和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为() A.,s2+1002 B.+100,s2+1002 C.,s2 D.+100,s2
3. (2015广东,17,12分,★★☆)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以 [160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图 . (1)求直方图中x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户? 4. (2014课标Ⅱ节选,19,★★☆)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下: 甲部门 乙部门 4 97 97665332110 98877766555554443332100 6655200 632220 3 4 5 6 7 8 59 0448 122456677789 011234688 00113449 123345
一 知识梳理，基本概念的理解 1.平均数的计算方法 （1）如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x = n 1 （x 1+x 2+…+x n ）叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”. （2）当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a ，那么，x =x ' +a . （3）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（f 1+f 2+…+f k =n ），那么 x =n f x f x f x k k +++Λ2211. 6.方差的计算方法 （1）对于一组数据x 1，x 2，…，x n ，s 2=n 1 ［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］ 叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差. （2）公式s 2=n 1 ［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］. （3）当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a . 则s 2=n 1［（x 1′2+x 2′2+…+x n ′2）－n 2x '］. 2总体平均值和方差的估计 人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确. 范例解析 例 1、某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔１小时抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录．抽查数据如下： 甲车间：102,101,99,98,103,98,99; 乙车间：110,105,94,95,109,89,98． 问（１）根据抽样是何种抽样方法？ （２）估计甲乙两车间包装重量的均值与方差，并说明哪个均值的代表好？哪个车间包装重量较稳定？ 例2有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下： ［，］，6；［，］，16；［，］，18；［，］，22； ［，），20；［，），10；［，），8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计数据小于的概率 例3、.某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：求全班的平均成绩和标准 差. 课堂练习 1.在方差计算公式])20()20()20[(10 1 21022212-++-+-= x x x s Λ中，数字10和20分别
C语言课程设计报告 课程名称：计算机综合课程设计 学院：土木工程学院 设计题目：矩阵特征值分解 级别： B 学生姓名： 学号： 同组学生：无 学号：无 指导教师： 2012年 9 月 5 日 C语言课程设计任务书 （以下要求需写入设计报告书） 学生选题说明: 以所发课程设计要求为准，请同学们仔细阅读； 本任务书提供的设计案例仅供选题参考；也可自选，但难易程度需难度相当； 鼓励结合本专业（土木工程、力学）知识进行选题，编制程序解决专业实际问题。
限2人选的题目可由1-2人完成（A级）；限1人选的题目只能由1人单独完成（B级）；设计总体要求: 采用模块化程序设计； 鼓励可视化编程； 源程序中应有足够的注释； 学生可自行增加新功能模块（视情况可另外加分）； 必须上机调试通过； 注重算法运用，优化存储效率与运算效率； 需提交源程序(含有注释)及相关文件(数据或数据库文件)； (cpp文件、txt或dat文件等) 提交设计报告书，具体要求见以下说明。 设计报告格式： 目录 1．课程设计任务书（功能简介、课程设计要求）； 2．系统设计（包括总体结构、模块、功能等，辅以程序设计组成框图、流程图解释）； 3．模块设计（主要模块功能、源代码、注释（如函数功能、入口及出口参数说明，函数调用关系描述等）； 4．调试及测试：（调试方法，测试结果的分析与讨论，截屏、正确性分析）； 5．设计总结：（编程中遇到的问题及解决方法）； 6．心得体会及致谢； 参考文献
1.课程设计任务书 功能简介： a）输入一个对称正方矩阵A，从文本文件读入； b）对矩阵A进行特征值分解，将分解结果：即U矩阵、S矩阵输出至文本文件； c）将最小特征值及对应的特征向量输出至文本文件； d）验证其分解结果是否正确。 提示：A=USU T,具体算法可参考相关文献。 功能说明： 矩阵特征值分解被广泛运用于土木工程问题的数值计算中，如可用于计算结构自振频率与自振周期、结构特征屈曲问题等。 注：以三阶对称矩阵为例 2.系统设计 3.模块设计 #include
2005全国结构动力学学术研讨会 海南省海口市，2005.12.19-20 中国振动工程学会结构动力学专业委员会 三种常用固有振动特征值解法的比较 宫玉才1 周洪伟 陈 璞 袁明武 （北京大学力学与工程科学系 北京，100871） Email ：yuanmw@https://www.doczj.com/doc/961254281.html, 摘要： 本文以高效的细胞稀疏直接快速解法为核心步骤，实现了快速的固有振动广义特征值问题解法, 并在相同的允许模态误差的意义下检验了三种结构动力学中常用的大型矩阵特征模态算法——子空间迭代法、迭代Ritz 向量法和迭代Lanczos 法的计算效率。迭代Ritz 向量法平均而言最快，子空间迭代法最慢，三种解法效率相差不是太大。与ANSYS 的子空间迭代和Lanczos 法相比，本文的子空间迭代比ANSYS 的效率高很多，Lanczos 法和ANSYS 的差不多 。大量较大规模的例题显示，本文对特征值算法的改进是十分有效的，算法的健壮性，通用性都达到了高水平。 关键词：特征值，结构振动，迭代法，高效能计算 1 高等学校博士学科点专项科研基金资助项目 （编号：20030001112） 引言 在工程有限元分析中常常要求解广义代数特征值问题 0K M ?λ??= (1)的部分低阶特征值与特征向量。对于矩阵阶数超过1000的大型问题，子空间迭代法、Ritz 向量法和Lanczos 法被公认为求解部分低阶极端特征值和特征向量的有效方法。尽管国内外的有限元软件都提供广义代数特征值问题(1)的多种解法，但结果仍然不能令人完全满意，漏根与多根、自由模态误判都时有发生。 传统上，低端特征值问题求解过程极度依赖于谱变换的线性方程组 ()T K M x LDL x My μ?== (2) 的解法，移轴矩阵K M μ?的LDLT 三角分解是计算量最大的主要步骤。在以变带宽解法为核心步骤的特征值解法中，它常常占到特征值问题计算时间的70%到90%。本文采用了文[1]提出的一个效率非常高的有限元解法-细胞稀疏直接快速解法（简称细胞解法）替换变带宽解法，极大地提高了三角分解的效率。 如果要求不太多的特征模态，例如10个，通常认为Ritz 向量法和Lanczos 法具有比子空间迭代法更高的计算效率，Ritz 向量法和Lanczos 法比子空间迭代法平均快4～10倍[2]。但是，标准的Ritz 向量法和Lanczos 方法对收敛的判定是相对含糊的，在实用的工程计算中可能造成漏根或多根。
安徽铜都双语学校高效课堂数学登山型创感学道班级：高二（）姓名编号 3206 日期: 2015-10-20 等级认定：主备校长： 课题：用样本的数字特征估计总体的数字特征（一）设计者: 高二数学组展示课（时段：正课时间： 60 分钟） 学习主题：1、能根据实际问题选择样本，从样本数据中提取基本的数字特征；2、正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 【主题定向·五环导学·当堂反馈】 课堂 结构 课程结构 自研自探合作探究展示表现总结归纳 自学指导 （内容·学法·时间） 互动策略 （内容·形式·时间） 展示方案 （内容·方式·时间） 随堂笔记 （成果记录·知识生成·同步演练） 概念认知【学法指导】 ※思考：为了研究总体数据的数字特征，我们能 否利用样本数据的数字特征进行估计？ ※初中有哪些数可以估计总体数据特征？ ※频率分布直方图能否呈现样本数据？ ※结合图2.2-5，如何通过频率分布直方图估计 众数? ※中位数如何通过直方图估计，样本数据中并没 有2.02，为什么？ ※同理：平均数又该如何利于频率直方图估计？ ☆☆☆☆☆ 标准差： 自研教材P74、75页内容，归纳用样本数据求标 准差的步骤 标准差如何刻画样本数据的离散程度，它的取值 范围是多少？ 自研例1，体会如何不同数据如何利于标准差刻 画其分散程度 （15分钟） 师友对子 （4分钟） 迅速找到自己的 师友小对子，对 自学指导内容进 行交流 ☆以上部分为概 念认知 十人共同体 （10分钟） 课研长就本 组学情将本组分 为两组： A组（5人） 就展示方案进行 解读，分解，进 行板书预展 B组（5人） 就双基再次进行 巩固性学习，相 互检测，对不明 白的地方标注， 展示过程中作为 质疑 检测性展示 （4分钟） 导师就师友对子成 果进行双基反馈性 检效展示 以抽查形式展开 主题性展示 标准差 1.呈现案例、探究 评价方法 2.展示求标准差的 基本步骤 3．分析标准差如何 刻画数据的离散程 度，值为0的样本 数据有何特征 4.展示例题解题思 路 （15分钟） 【重点识记】 小练笔 关于平均数、中位数、众数的下 列说法中正确一个是（） A.中位数可以准确的反映出总体 的情况 B.平均数数可以准确的反映出总 体的情况 C.众数数可以准确的反映出总体 的情况 D.平均数、中位数、众数都有局 限性，都不能准确的反映出总体 的情况 等级评定 同类演练同类演练（17分钟） 用1分钟时间自主研读下列题目，并在作答区解答： 课本P79页练习题第2题 解答区：
估计总体的数字特征教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
§1.6估计总体的数字特征(二) 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 （2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。 （3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 （4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 2、过程与方法： 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 3、情感态度与价值观： 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 二、重点与难点 重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。 三、教学方法： 探究归纳，思考交流 四、教学过程 （一）、创设情境 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。 （二）、探究新知 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗：（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心
点” （2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论） 初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。 〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢为什么（请大家思考作答） 分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。 〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？ 分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。 〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）（图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。 〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗（让学生讨论，并举例） <二>、标准差、方差 1．标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。 例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运
总体特征值估计 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
一知识梳理，基本概念的理解
1.平均数的计算方法 （1）如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x =n 1（x 1+x 2+…+x n ）叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”. （2）当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a ，那么，x =x ' +a . （3）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（f 1+f 2+…+f k =n ），那么 x = n f x f x f x k k +++ 2211. 6.方差的计算方法 （1）对于一组数据x 1，x 2，…，x n ，s 2=n 1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ） 2 ］叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差. （2）公式s 2=n 1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］. （3）当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a . 则s 2=n 1［（x 1′2+x 2′2+…+x n ′2）－n 2x '］. 2总体平均值和方差的估计 人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确. 范例解析 例 1、某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔１小时抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录．抽查数据如下： 甲车间：102,101,99,98,103,98,99; 乙车间：110,105,94,95,109,89,98． 问（１）根据抽样是何种抽样方法 （２）估计甲乙两车间包装重量的均值与方差，并说明哪个均值的代表好哪个车间包装重量较稳定 例2有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下： ［，］，6；［，］，16；［，］，18；［，］，22； ［，），20；［，），10；［，），8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计数据小于的概率 例3、.某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：求全班的平均成绩和标准差.
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 （两课时） 零号作业 一、众数、中位数、平均数 1、众数：(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数． (2)特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势 [破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征． （3）在直方图中为最高矩形下端中点的横坐标 2、中位数： (1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数． (2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． [破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点． （3） 直方图面积平分线与横轴交点的横坐标.左右两边面积各占一半 3、平均数：(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x n ＝ x 1＋x 2＋…＋x n n (2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低． （3） 直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和. 二、标准差、方差 1、标准差 (1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用以下公式来计算 s ＝ 1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2 ]可以用计算器或计算机计算标准差． (2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较_ 小． 2．方差 (1)定义：标准差的平方， 即s 2 ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] (2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小． (3)取值范围：[0，＋∞) 3、数据组x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，标准差为s ，则数据组ax 1＋b ，ax 2 ＋b ，…，ax n ＋b (a ，b 为常数)的平均数为a x ＋b ，方差为a 2s 2，标准差为 4、规律总结 （1）用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据. 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度. 用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据 （2）平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策. （3）标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围. 列出一组样本数据的频率分布表步骤 说明：1、对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差，则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大，由此可见抽样方法的重要性. 2.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，如从一个包含6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本就有20中可能抽样，因此样本的数字特征也有随机性. 用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有惟一答案. 3.在实际应用中，调查统计是一个探究性学习过程，需要做一系列工作，我们可以把学到的知识应用到自主研究性课题中去.
《估计总体的数字特征》 1、如图是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图形中的数据填空。 (1)样本数据落在5～9内的频率为________ (2)样本数据落在9～13内的频率为________ 2、一个容量为40的样本数据依次为x 1,x 2,…,x 40,若这个样本的标准差为s= ,记 s *= ,则s *= __________ 3、若M 个数的平均数是X,N 个数的平均数是Y ,则这M+N 个数的平均数是 4、从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如表所示： 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多__________人
1、下列说法正确的是( ) A.甲、乙两个班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样 B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好 C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习情况甲班比 乙班好 D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习情况甲班比 乙班好 2、某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么 由此求出的平均数与实际平均数的差是( ) A.3.5 B.-3 C.3 D.-0.5 3、统计某校1000名学生的数学测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示(每组包含左端点,不包含右端点)，若满分为100分,规定不低于60分为及格，则及格率是( ) A.20% B.25% C.6% D.80% 4、已知数据x1,x2,x3,…,x n是某市普通职工n(n≥3,n∈N*)个人的年收入,设这n个数 据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上世界首富的年收入x n+1,则关于这n+1个数据,下列说法中正确的是( )
《2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征》教学案2 一、教材分析 教科书结合实例展示了频率分布的众数、中位数和平均数.对于众数、中位数和平均数的概念，重点放在比较它们的特点，以及它们的适用场合上，使学生能够发现，在日常生活中某些人通过混用这些(描述平均位置的)统计术语进行误导.另一方面，教科书通过思考栏目让学生注意到，直接通过样本计算所得到的中位数与通过频率直方图估计得到的中位数不同.在得到这个结论后，教师可以举一反三，使学生思考对于众数和平均数，是否也有类似的结论.进一步，可以解释对总体众数、总体中位数和总体平均数的两种不同估计方法的特点.在知道样本数据的具体数值时，通常通过样本计算中位数、平均值和众数，并用它们估计总体的中位数、均值和众数.但有时我们得到的数据是整理过的数据，比如在媒体中见到的频数表或频率表，用教科书中的方法也可以得到总体的中位数、均值和众数的估计. 教科书通过几个现实生活的例子，引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的，还需要描述样本数据离散程度的特征.通过对如何描述数据离散程度的探索，使学生体验创造性思维的过程.教科书通过例题向学生展示如何用样本数字特征解决实际问题，通过阅读与思考栏目“生产过程中的质量控制图”，让学生进一步体会分布的数字特征在实际中的应用. 二、教学目标 1、知识与技能 (1)正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差. (2)能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释. (3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征. (4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 2、过程与方法 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法. 3、情感态度与价值观 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系. 三、重点难点 教学重点：根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性.
§２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 学习目标： （1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 （2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如 平均数、标准差），并做出合理的解释。 （3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 （4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 学习重点与难点 1．重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 2．难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。 一、新课探究 1.众数、中位数、平均数的概念。 ①众数： 。 ②中位数： 。（当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列中间的那个数．当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的两个数的平均数）． ③平均数：n x x x x x n ++++= (321) 求下列各组数据的众数、中位数、平均数 （1）1 ，2，3，3，3，4，6，7，7，8，8，8 （2）1 ，2，3，3，3，4，6，7，8，9，9 2.如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢？ ①众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。 ②中位数就是频率分布直方图面积的一半所对应的值 ③平均数则是每组频率的中间值乘频数再相加 3.标准差、方差的概念。 (1)样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般用2s 表示。 一般地，设样本的数据为123,,, n x x x x ，样本的平均数为x ，则定义 2s = ， （２）2 S 算术平方根，，即为样本标准差。 其计算公式为： 显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。 二、典型例题 1.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数 ])()()[(1 22221x x x x x x n s n ++++-=
总体和样本 教学目标 (一)了解总体、个体、样本、样本容量的意义； (二)初步了解用样本估计总体的统计基本思想. 教学重点和难点 重点：理解总体与样本的概念. 难点：能分辨问题中哪是考察对象、总体、个体、样本与样本容量.了解它们之间的区别与联系. 教学过程设计 (一)新课 概述统计初步 统计在生活实践中有广泛的应用，像人口增长情况的研究，粮食生产情况的研究，交通状况的研究，……，各个部门都离不开统计. 统计是一门与数据打交道的学问，研究怎样搜集、整理、计算和分析数据，然后从中找出某些规律. 统计的基本思想是从总体中抽出一部分个体(总体的样本)根据样本的性质来估计和推测总体的性质. 因此必须弄清：总体、个体、样本、样本容量这四个基本概念，这几个概念的意义是： 总体——所要考察对象的全体叫做总体. 个体——总体中每一个考察对象叫做个体. 样本——从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本. 样本容量——样本中个体的数目叫做样本容量. 为了加深对上述概念的理解和分辨能力，我们举以下几例. 例1 为了分析研究某校高中一年级学生的身高情况，从全部高中一年级学生中抽取了50名学生的身高.在这个问题中，总体、个体、样本、样本容量各指什么？
答：本题的总体是指高中一年级学生身高的全体；本题的个体是指高中一年级每个学生的身高；本题的样本是指被抽取的50名学生的身高；本题的样本容量是指50. 在回答上面的问题时，有些同学把总体看成是高中一年级全体学生，这是错误的.应当注意区分具体对象和对象的数量指标.我们要研究的不是这些对象本身，而是它的某种指标，本题的总体应是高中一年级学生身高的全体. 另外，在本题中，样本指的是被抽取的50名学生的身高，而不是50名学生. 总体是一个确定的数字集合，而样本可以有许多.“在总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本”.如果取出另一部分个体那就构成另一个样本，即，使每次抽取身高做为样本的学生都是50人，每次抽取的情况也不会相同.所以样本里面的数都是一些变量，这些变量的特点只有在一次具体的抽取完成之后才能知道它们的值. 从上述分析可以看出，样本一般不等于总体，但样本来源于总体，因而有可能用样本估计总体，这是统计的基本思想. 例2 一个工厂用两种不同的工艺生产同一型号的电脑，现在要测试这种电脑的使用寿命，从两种不同的工艺生产品中各取出20台电脑进行测试.在本题中，总体、个体、样本、样本容量各指什么？ 答：总体指的是用第一种工艺生产的电脑使用寿命的全体和用第二种工艺生产的同一型号的电脑使用寿命全体； 个体指的是用第一种工艺生产的每一台电脑的使用寿命和用第二种工艺生产的同一型号的每一台电脑的使用寿命； 样本指的是从用第一种工艺生产的电脑中抽取的20台电脑的使用寿命，和从用第二种工艺生产的同一型号的电脑中抽取的20台电脑的使用寿命. 样本容量分别为20. 在这个问题中，不能把这两种工艺生产的同一型号的电脑放在一起，把它们的使用寿命放在一起看成一个整体.如果这样，总体就变成了两种不同性质的个体的混合物，这是不允许的.所以应当把每一种工艺生产的全部电脑的使用寿命分别看成一个总体.这样，在本题中就有两个总体.有时，在一个问题中，可能有三个、四个、……、总体. 由例1所述，一个总体可以有许多样本，样本的作用主要是对一个总体的某些特征值进行估计或检验，如果样本容量越大，样本对总体的估计就越精确，一个问题里如果有两个总体，那就必须在每个总体中各抽取一个样本，一般情况下，这两个样本容量应当相同，其目的是为了对这两个总体的某些特征值进行比较. (二)课堂练习 1.我们所要考察的对象的＿叫做总体，其中＿叫做个体，从总体中抽取的＿叫做总体的一个样本，样本中＿叫做样本的容量.(顺次填入：全体；每一个考察对象；一部分个体；个体的数目)
2.2.2用样本的数字特征估计总体的 数字特征 链接高考 1.(2014课标Ⅰ,18,12分,★★☆)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表: 质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 (1)作出这些数据的频率分布直方图; (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定? 2.(2014陕西,9,5分,★★☆)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2, (x10) 其均值和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为() A.,s2+1002 B.+100,s2+1002 C.,s2 D.+100,s2
3.(2015广东,17,12分,★★☆)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户? 4.(2014课标Ⅱ节选,19,★★☆)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下: 甲部门乙部门 4 97 97665332110 98877766555554443332100 6655200 632220 3 4 5 6 7 8 59 0448 122456677789 011234688 00113449 123345