2020届内蒙古赤峰市赤峰二中高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在102()x x -的二项展开式中，6x 的系数等于（ ） A ．-180 B ．53-
C ．5
3 D ．180 2．已知01a <<，则22,2,log a a a 的大小关系为（ ）
A ．222log a a a >>
B ．22log 2a a a >>
C ．222log a a a >>
D ．2
22log a a a >>
3．若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则（ ）
A ．c a b <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．c b a <<
4．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ） A ．3 B ．34
C ．5
D ．5
4
5．已知2
παπ<<，且1sin cos 5αα+=，则tan2α的值为（ ） A ．24
7- B ．247 C ．724- D ．724
6．若点P 是函数y=
2sinx sinx cosx +图象上任意一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l 斜率的范围是（ ） A ．(),1∞- B ．[]0,1 C ．[)1,∞+ D ．(]0,1
7．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π 8．若函数
存在单调递增区间，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
9．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）
A ．0.7
B ．0.75
C ．0.8
D ．0.9
10．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点为1F ，2F ，若在椭圆上存在一点P ，使得12PF F ?的内心I 与重心G 满足12//IG F F ，则椭圆的离心率为（ ）
A 2
B ．23
C ．13
D ．1
2
11．已知函数()y f x =是奇函数，当[0,1]x ∈时，()0f x =，当1x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集时（ ）
A ．(,1)(2,3)-∞-?
B ．(1,0)(2,3)-?
C ．(2,3)
D ．(,3)(2,3)-∞-? 12．已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．3π
B ．23π
C ．43π
D ．12π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______.
14．已知抛物线
22(0)y px p =>上一点M 到x 轴的距离为4,到焦点的距离为5,则p =__________． 15．如图,在矩形ABCD 中,4AB =,2AD =,E 为边AB 的中点.将三角形ADE 沿DE 翻折,得到四棱锥1A DEBC -.设线段1A C 的中点为M ,在翻折过程中,有下列三个命题:
①总有//BM 平面1A DE ;
②三棱锥1C A DE -体积的最大值为423
; ③存在某个位置,使DE 与1A C 所成的角为90o .
其中正确的命题是______.（写出所有．．
正确命题的序号）
16．在平面直角坐标系xOy 中，将函数
sin 23y x π??=+ ???的图像向右平移?02π???<< ??
?个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则?的值为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，AC 和BD 交于一点，除EC 以外的其余各棱长均为2.
()1作平面CDE 与平面ABE 的交线l ，并写出作法及理由；
()2求证：BD CE ⊥；
()3若平面ADE ⊥平面ABE ，求多面体ABCDE 的体积.
18．（12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA ∥，且22PA ED ==.
证明：平面PAC ⊥平面PCE ；若直线PC 与平面ABCD 所成的角为
45o ，求二面角P CE D --的余弦值.
19．（12分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．
20．（12分）直角坐标系中曲线C 的参数方程为4cos {
3sin x y θθ==（θ为参数）.求曲线C 的直角坐标方程；经过点(0,1)M 作直线l 交曲线C 于,A B 两点（A 在B 上方），且满足2BM
AM =，求直线l 的方程. 21．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，22BC =，D ，E 分别是BC ，1CC 的中点．
()1证明：平面1ADB ⊥平面ADE ；
()2求三棱锥1D AB E -的高．
22．（10分）已知函数()ln f x x x ax a
=-+．若()1,a ∈+∞，求函数()f x 在[]1,e 上的最小值；若()()2g x x f x =-，当()1,x ∈+∞时，()0g x ≥恒成立，求整数a 的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
2．C
3．A
4．B
5．B
6．C
7．B
8．B
9．A
10．D
11．A
12．D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．92π
14．2或8.
15．①②
16．6π
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．()1见解析()2见解析()3 2
【解析】
【分析】
()1由题意可得//AB 平面CDE ，由线面平行的性质作出交线即可.
()2取AE 的中点O ，连结OB ，OD .由条件可证得AE ⊥平面OBD ，故AE BD ⊥.
又AC BD ⊥.BD ∴⊥平面ACE .从而BD CE ⊥.
()3将多面体ABCDE 分割成两个三棱锥，再利用等体积法求得结果.
【详解】
()1过点E 作AB （或CD ）的平行线，即为所求直线l .
AC Q 和BD 交于一点，,,,A B C D ∴四点共面.又Q 四边形ABCD 边长均相等.
∴四边形ABCD 为菱形，从而//AB DC .
又AB ?平面CDE ，且CD ?平面CDE ，//AB ∴平面CDE .
AB ?Q 平面ABE ，且平面ABE ?平面CDE l =，//AB l ∴.
()2证明：取AE 的中点O ，连结OB ，OD .AB BE =Q ，DA DE =，OB AE ∴⊥，OD AE ⊥. 又OB OD O ?=Q ，AE ∴⊥平面OBD ，BD Q ?平面OBD ，故AE BD ⊥.
又Q 四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥.又AE AC A ?=Q ，BD ∴⊥平面ACE .
又CE ?Q 平面ACE ，BD CE ∴⊥.
()3解：Q 平面ADE ⊥平面ABE ，DO ∴⊥平面ABE .
故多面体ABCDE 的体积11222??2?3?3232E ABCD E ABD D ABE V V V ---??====
???. 【点睛】
本题考查证明线面平行、线面垂直的方法及求多面体体积的大小，不规则多面体常进行体积分割或补形，此法是解题的关键和难点．
18．（1）见解析；（2）64-
【解析】
试题分析：（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得BD EF P ，再证明BD ⊥平面PAC ，从而可得EF ⊥平面PAC ，进而可得平面PAC ⊥平面PCE ；（2）以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -，分别求出平面PCE 与平面CDE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果 试题解析：（1）证明：连接，交于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ．
因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，
所以OF PA P ，且12
OF PA =
， 因为DE PA P ，且12DE PA =， 所以OF DE P ，且OF DE =．
所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF P ，即BD EF P ．
因为PA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，所以PA BD ⊥．
因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．
因为PA AC A ?=，所以BD ⊥平面PAC ．
因为BD EF P ，所以EF ⊥平面PAC ．
因为FE ?平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．
（2）解法：因为直线PC ？与平面ABCD 所成角为45o ，
所以45PCA ∠=o ，所以2AC PA ==．
所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形．
设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．
以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -（如图）．
则()0,02P ，
，)
0C ，，()0,21E ，，()0,20D ，，
，()CE =u u u v ，
==． 设平面PCE 的法向量为{}111,,n x y z =，
则·0,·0,n PC n CE ?=?=?u u u v
u u u v
即11111120,0.
y z y z +-=++=?? 11,
y =令则11 2.x z ?=?
?=??所以)
n =． 设平面CDE 的法向量为()
222,,m x y z =， 则0,0,m DE m CE ??=??=?u u u v
u u u v 即22220,0.z y z =???++=??令
21,x =则220.y z ?=??
=??所以()
m =． 设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，
所以cos cos ,4n m
n m n m θ?=-=-==-?． 所以二面角P CE D
--的余弦值为． 【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19．（1）13
； （2）()1E X =. 【解析】
【分析】
（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；
（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
【详解】
（1）由已知有1123432101()3
C C C P A C ?+==， 所以事件A 的发生的概率为13
； （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；
2223342104(0)15C C C P X C ++===；1111
33342107(1)15
C C C C P X C ?+?===； 11342104(2)15C C P X C ?===； 所以随机变量X 的分布列为：
数学期望为()0121151515E X =?
??. 【点睛】 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题。
20．（1）22
1169
x y +=;（2）0x =. 【解析】
试题分析: （1）运用同角的三角函数关系消去参数即可;(2)把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,根据t 的几何意义解出倾斜角,从而得到直线方程.
试题解析:（1）由题意：曲线C 的直角坐标方程为：22
1169
x y +=. （2）设直线l 的参数方程为{1x tcos y sin =?=+?
（?为参数）代入曲线C 的方程有： ()227sin 932sin 1280t t ?++?-=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则212t t =-，
则121232sin 97sin t t t ?+=-=-+?，21212128?297sin t t t =-=-+?
， ∴2sin 1?=，
∴直线l 的方程为：0x =.
21． (1)见解析；（2）1h =.
【解析】
分析：（1）要证明平面1ADB ⊥平面ADE ，利用平面与平面垂直的判定定理，在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直。由AB AC =，D 是BC 的中点，可得AD BC ⊥。因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以AD ⊥平面11BCC B ，进而可得1AD B D ⊥。由已知条件直三棱柱111ABC A B C -中，
12AA =，BC =，,D E 分别是1,BC CC 的中点．可得：1BB BD DC CE
==1Rt B BD ?∽Rt DCE ?，所以1BB D CDE ∠∠=，所以1B D DE ⊥。因为=AD DE D ?，由直线与平面垂直的判定定理可得1B D ⊥平面ADE ，再由平面与平面垂直的判定定理可得平面1ADB ⊥平面ADE 。（2）求三棱锥1D AB E -的高，直接作高不容易判断垂足的位置，故可以用等体积法求高。由（1）可知可用 11D AB E B ADE V V --=来求。由（1）知直线1B D ⊥平面ADE ，故求
11
222
ADE S AD DE ?=?==，1B D ,，进而求得11113B ADE ADE V S B D -?=?=。由条件可
求得1AB =， 13AE B E =，知三角形边长要求面积，应先求一个角，故由余弦定理推论可得：
1cos B AE ∠==，进而求1sin B AE ∠=，可求1132AB E S ?=?=, 设三棱锥1D AB E -的高为h ，由11D AB E B ADE V V --=，得：
1113AB E S h ??=，解得1h =.
详解：（1）由已知得：1BB BD DC CE
==所以1Rt B BD ?∽Rt DCE ?
所以1BB D CDE ∠∠=，所以1B D DE ⊥
又因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥
所以AD ⊥平面11BCC B ，所以1AD B D ⊥
而=AD DE D ?，所以1B D ⊥平面ADE
又1B D ?平面1ADB ，
所以平面1ADB ⊥平面ADE ；
（2）设三棱锥1D AB E -的高为h ，因为111,222ADE S AD DE B D ?=
?===所以11113
B ADE ADE V S B D -?=?=，
由已知可求得1AB =， 13AE B E ==，
在
1AB E ?中，由余弦定理的推论可得 1cos B AE ∠==，
所以
1sin B AE ∠=，所以1132AB E S ?=?=, 由11D AB E B ADE V V --=，得：
1113AB E S h ??=，所以1h =. 点睛：（1）立体几何中证明平面与平面垂直，应注意直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的互相转化；
（2）证明面面垂直需注意以下几点： ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方 法之一。 ③明确何时应用判定定理， 何时应用性质定理， 用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
（3）求点到平面的距离，一种方法，作高求高；一种方法，利用三棱锥等体积转化求高。
22．（Ⅰ）当12a <<时 ()1min a f x e
a -=-+；当2a ≥时,()min f x e ae a =-+； （Ⅱ）2-.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求导得()'ln 1(0)f x x a x =+->，讨论当12a <<时，当2a ≥时，结合导数的正负，由单调性求最值即可； （Ⅱ）由()0g x ≥对一切1x >恒成立，可得2
ln 1
x x x a x -≥-对一切1x >恒成立，()2
ln (1)1x x x h x x x -=>-令，求导，根据单调性求最值即可.