定理1 如果函数与是二阶线性齐次方程（**）的两个解，那末
也是方程（**）的解（为任意常数）。
注：1 .这条性质说明齐次方程（**）的解满足叠加原理。
2 .函数是否方程（**）的通解呢？这要看与是否独立，如果，则
，
式中只有一个独立常数，显然，此时不是（**）的通解。
下面给出两个函数线性相关、线性无关的概念：
设函数与在区间I有定义，且其中之一是另一个的常数倍（即），则称函数与线性相关，否则称为线性无关或线性独立。如：与相关；与无关；
与当时无关。
定理2 如果函数与是齐次方程（**）的两个线性无关的特解，则
（是任意常数）是齐次方程（**）的通解。
定理3 设是二阶非齐次方程（*）的一个特解，是与（*）对应的
齐次方程（**）的通解，则是二阶非齐次线性方程（*）的通解。
定理4 设与分别是方程
与的特解，则
是方程的特解。
二阶常系数齐次线性微分方程
形如为常数）（1）
或都是常数）的方程称为
二阶常系数齐次线性微分方程。
下面求它的通解设为方程（1）的解，将其代入方程得
（*）
此称为齐次方程（1）的特征方程，其根叫特征根，记称为齐次方程（1）的特征多项式。显然，如果是特征方程的根，则函数一定是齐次方程（1）的解，下面根据特征方程根的不同情况，讨论齐次方程（1）的通解形式
（1）特征方程有两个不等的实根与
由解的结构知方程（1）的通解为
（2）特征方程有两个相等的实根
此时只得到方程（1）的一个解，现找出与线性无关的另一个解，设，将代入方程（1）得
即
所以取得方程（1）的另一解，
方程（1）的通解为
（3）特征方程有一对共轭复根
此时，方程（1）的两个解为
，
由齐次方程（1）的解的性质（叠加原理）知
，
仍为方程（1）的解，且与线性无关，
方程（1）的通解为
综上所述，求二阶齐次常系数线性微分方程的通解的方法是：
（1）写出特征方程，（2）求出特征根，（3）根据特征根的不同情况写出通解。
通解公式：
特征方程的根通解公式（其中为任意常数）有两个不等的实根
有两个相等的实根
有一对共轭复根
例1 求下列微分方程的通解
（1）
（2）
（3）
（4）
解（1）特征方程为
特征根为
故原微分方程的通解为
（2）特征方程为
特征根为
故原方程的通解为
（3）特征方程为，特征根为
故原方程的通解为
（4）特征方程为，特征根为
故原方程的通解为
例2 求方程满足条件的特解。
解特征方程，特征根
所以方程通解为
代入初始条件，
，，
所求特解为
二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式
（为常数）（1）根据非齐次线性方程解的结构定理（定理3），只要找出其一个特解和对应的齐次方程
（2）
的通解，则可得到非齐次方程的通解。而齐次方程的通解求法上一节已介绍，本节主要介绍非齐次方程的特解求法。下面分别介绍为两种特殊形式时其特解的求法（待定系数法）。
型
其中是常数，是的m 次多项式：
。
由函数的形式，可设特解为，（是的多项式）则，，将其代入方程（1）得
（*）
即（为对应的齐次方程的特征多项式）
（1）当不是齐次方程（2）的特征方程的根时，
，要（*）式两端恒等，应是一个m 次多项式：
将代入（*）式，比较等号两边同次幂的系数，得到一个以为未知数的方程组，解出，得到方程（1）的特解。
（2）当是（2）的特征方程的单根时，
但，要（*）式两边相等，则应是m 次多项式，此时可令，得到方程（1）的特解。
（3）当是（2）的特征方程的重根时，
且，要（*）式两边恒等，应是m 次多项式，此时可令，得到方程（1）的特解。
综上所述，当时，非齐次方程（1）的特解求法：
特征方程的根特解形式（是次多项式）不是特征方程的根
是特征方程的单根
是特征方程的重根
例1 写出下列方程的特解形式
（1）
（2）
（3）
解（1）对应齐次方程的特征方程为，特征根；
不是特征方程的根，所以，设特解。
（2）对应齐次方程的特征方程为，特征根
是特征方程的单根，所以，设特解。
（3）对应齐次方程的特征方程为，特征根；
是特征方程的重根，所以，设特解。
例2 求方程的通解。
解对应齐次方程的特征方程为，特征根；
齐次方程的通解为，是特征方程的单根，设特解
，，，，特征多项式
将其代入（*）式
得（或将代入原方程也得此结果），
有，所以特解为；故所求通解为
例3 求方程的一个特解。
解先求出方程的特解，再求出方程
的特解，则原方程的特解为。
例4 求方程满足初始条件的特解。
解（1）先求齐次方程的通解：
对应齐次方程的特征方程为，其特征根：
故齐次方程的通解为
（2）设非齐次方程的特解，并求出待定系数：
不是特征方程的根，故设非齐次方程的特解：，代入原方程，得：，解得： .
从而：
（3）写出原方程的通解：所以原方程的通解
（4）由初始条件求原方程的特解：
，把初始条件代入：得：，解方程得：
（5）结论：所以所求特解为：
用欧拉公式将写成复指数形式
其中是的次多项式，用中方法先求出方程的特解
的特解
由解的结构定理 4 知，原方程的通解为
其中是的次多项式，按不是或是特征方程的根依次取0 或 1 。
由上述推导过程知：如果方程（1）右端
可设方程的特解为
代入原方程，比较等号两边同类项的系数得一方程组，可确定中的系数。
特殊情况：，为常数，不同时为零
（Ⅰ）不是特征方程的根，设特解
（Ⅱ）是特征方程的根，设特解
为待定系数。
例5 写出下列方程的特解形式
（1）
（2）
（3）
解（1）对应齐次方程的特征方程为，特征根，
不是特征方程的根，设特解
（2）对应齐次方程的特征方程为，特征根，
是特征方程的根，设特解
（3）对应齐次方程的特征方程为，特征根，
是特征方程的根，设特解
例6 求方程的通解。
解对应齐次方程的特征方程为，特征根，
齐次方程的通解为
下面求特解，将原方程写成
先求出方程的特解
因是特征方程的根，设特解，
，特征多项式
，将上面结果代入（*）式
得
所以特解，
显然方程的特解，
所以原方程的特解为
故原方程的通解为
注：此方程特解也可这样求，设，将代入原方程，可得。
例7 求方程满足初始条件的特解。
解对应齐次方程的特征方程为，特征根，齐次方程的通解为，
不是特征方程的根，设特解，
将代入原方程，化简得
比较两边同类项的系数，有，解得，所以，则原方程的通解为
而
将初始条件代入上面两式，有
，解得，
所以满足初始条件的特解为
非齐次线性方程组同解的讨论 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解. 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。 下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出 11121121222212n n m m mn m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ???????????? ，b= 12m b b b ???????????? 。 即非齐次线性方程组可写成Ax b =。 一 、线性方程组同解的性质 引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 证明 设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1 r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为 2 12,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 引理[1]2 设A 、B 为m n ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充
费马小定理 费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么是p的倍数，可以表示为 如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成 这个书写方式更加常用。（符号的应用请参见同余。） 证明 若n不能整除a - b，x>0，(x,n)=1，则n也不能整除x(a-b)。取整数集A为所有小于p的集（A构成p的完全剩余系,即A 中不存在两个数同余p），B是A中所有的元素乘以a组成的集合。因为A中的任何两个元素之差都不能被p整除，所以B 中的任何两个元素之差也不能被p整除。因此 即
在这里W=1·2·3·...·(p-1)，且(W, p) = 1，因此将整个公式除以W即得到： 广义 费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果n和a的最大公约数是1，那么 这里φ(n)是欧拉商数。欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的个数。假如n是一个素数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。 在费马小定理的基础上，费马提出了一种测试素数的算法； 尽管它是错误。 神奇的费马小定理(1) ——从实验、观察、发现到猜想和证明谢国芳（Roy Xie）Email: roixie@https://www.doczj.com/doc/9611576021.html, 章节目录 1. 费马的惊人断言——费马小定理的原始表述
2. 我们的探索之旅——从实验、观察、发现到猜想和证明 2.1 费马指数和最小费马指数 2.2 “普通版费马小定理”和“加强版费马小定理” 2.3 对最小费马指数更深入的探究 3. 费马小定理的证明 1.费马的惊人断言——费马小定理的原始表述 十七世纪的法国律师、历史上最伟大的业余数学家、近代数论的先驱费马(Pierre de Fermat，1601～1665）在 1640 年10 月 18 日给他的朋友、数迷小团体成员之一弗莱尼科·德·贝西（Frénicle de Bessy, c. 1605～1675）的信中，写下了这样一段话（原文是法语）： ? Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances - 1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné - 1 ? [拙译]“任何一个质数总能除尽任何几何级数中的某一项减1，且该项的指数是这个给定的质数减1的因子。”
在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理(Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。 在数论中，欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则： 几何定理： 1)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr. 2)三角形ABC的垂心H，九点圆圆心V,重心G,外心O共线，称为欧拉线 欧拉定理证明： 设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,则d^2=R^2-2Rr.
证明O、I分别为⊿ABC的外心与内心. 连AI并延长交⊙O于点D,由AI平分ETH;BAC,故D为弧BC的中点. 连DO并延长交⊙O于E,则DE为与BC垂直的⊙O的直径. 由圆幂定理知,R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID.(作直线OI与⊙O交于两点,即可用证明) 但DB=DI(可连BI,证明ETH;DBI=ETH;DIB得), 故只需证2Rr=IA·DB,即2R∶DB=IA∶r 即可. 而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得.故得R^2-d^2=2Rr,即证.
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
二阶线性微分方程解的结构
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ?
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系,因此在本附录里,我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= (A.1) 其中n 称为方程的阶数,()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（Ａ．１），则称其为常微分方程(Ａ．1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（Ａ.1)的自由项,当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程,否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合,解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里,我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.１ 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. (A.2) 当()0f x ≡,方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3) 假设()y x 不恒等于零,则上式等价于
'()y p x y =- 而()'ln 'y y y =，从而（A.3)的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= ( A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程(A ．２）,在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -????=+ ??? ?‘ 综上有如下结论 定理A.１ 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1)的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5)
1 / 3 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解. 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。 方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列 的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX=b
费马小定理及应用 知识定位 费马小定理是初中数学竞赛数论中经常出现的一种。要熟练掌握费马小定理是数论中的一个定理，数学表达形式和应用。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中不定方程相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。 知识梳理 1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数. ①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2 …p n αn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n ) 例如，30＝2·3·5，则.8)5 11)(311)(21 1(30)30(=---=? ②若p 为素数，则1 ()1,()(1),k k p p p p p ??-=-=-若p 为合数，则()2,p p ?≤- ③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为 1 ()2 n n ?； ④若(,)1()()(),a b ab a b ???=?= 若()()a b a b ??? ⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()n d ?， 同时 ()()d n d n n d n d ??==∑∑； 2、欧拉定理：若(a , m )＝1，则a φ(m ) ≡1(mod m ). 证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系， 又∵(a , m )＝1， ∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系， ∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )， 又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1， ∴a φ(m ) ≡1(mod m ). 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c ≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ). 补充：设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )，我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： （1）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡ v (mod k)， 特别地，a u ≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然. 必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )u a a m ν ≡及(,)1a m =知1(mod )l a m ≡.
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?
注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 第七讲 费马小定理与欧拉定理 2017.12.18 基础例题 1. 设n 是自然数，则n n n n 4321|5+++/ 2.设{x 1，x 2，x 3，…，()m x ?}为模m 的一个简化剩余系，则()()()mod 1321≡?m x x x x ? 3. 设a ，b ，c ，m 为自然数，m >1，(b ，m )=1，且()m b a mod 1≡， ()m b c mod 1≡，记()c a d ,=，则()m b d mod 1≡ 4. 设p 是素数，p |b n -1，n 为自然数，则下列两个结论中至少有一个成立： (1)p |b d -1对于某个因数d 6. 将612-1分解质因数 7. 若a ，b 是任意整数，p 为素数.证明：()()p b a b a p p p mod +≡+ 8. 设p 为奇素数，a ，n 都是正整数，且p n |a p -1. (1)证明：p n -1|a -1； (2)当p =2时，上述结论成立吗? 10. 求(1237156+34)28被111除的余数. 11. 设p 是一个大于5的素数，求证：240|p 4-1 12. 设p 为素数.证明：存在无穷多个正整数n 使得()p n n mod 2≡ 13.(1)证明下列事实但不许用费马小定理：若p 是质数，h 1，h 2，…，h n 是整数，则(h 1+h 2+…+h n )p ≡h 1p +h 2p +…+h n p (mod p ) (2)由(1)证明费马定理，然后再由费马定理证明欧拉定理. 每周真题小练 1. (ELMO 2017)设H 为三角形ABC 的垂心，M 为边BC 的中点.以AH 为直径的圆上，有相异的两点P ，Q (P 、Q 两点均不与A 重合)，满足M 位于直线PQ 上.证明：三角形APQ 的垂心位于三角形ABC 的外接圆上. 2.(命题人讲座) 设n 是一个大于1的奇数，数a 1，a 2，a 3，…，()n a ?是1，2，3，…，n 中与n 互素的所有正整数.证明()()n n k k n a ??π2 1cos 1=∏= 附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 '()y p x y =- 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -??? ?=+ ??? ?‘ 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1） 的解等于一阶线性齐次常微分方程（A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数 齐次线性方程组Ax=0 一、基本理论 齐次线性方程组的Ax=0解集是一个线性子空间, 称为解空间（或零空间），记作N(A ). N(A )的一组基称为方程组的一个基础解系。 解空间的维数：dim N(A ) = n - rank(A ). 求解齐次线性方程组Ax=0的方法: 利用初等行变换将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出基础解系. 二、Matlab 实现 实现一：rref(A )将A 化成最简行阶梯矩阵. 根据对应方程组写出基础解系. 实现三：Matlab 函数null(A )可以返回解空间的一组基，但与上述方法所得结果不同。 三、例子 例. 求解线性方程组 12451234512345123451 2 3 4 5 25023450223024319803632490 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??+++-=??+++-=??+--+=?+--+=?? 输入系数矩阵A A = [1 2 0 -5 1; 1 2 3 4 -5; 1 2 2 1 -3; 2 4 -3 -19 8; 3 6 -3 -24 9] A = 1 2 0 -5 1 1 2 3 4 -5 1 2 2 1 -3 2 4 -3 -19 8 3 6 -3 -24 9 解一 R=rref(A) R = 1 2 0 -5 1 0 0 1 3 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 原方程化为 12453 4 5 250320 x x x x x x x +-+=??+-=? 即 12453 45 5223x x x x x x x +-+=-??=-? 通解 12452234245445555220251100332010001x x x x x x x x x x x x x x x x +----?????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=-=++- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????+??? 解二. 调用nulbasis(A)求零空间的基 N=nulbasis(A) N = -2 5 -1 1 0 0 0 -3 2 0 1 0 0 0 1 Matlab 的null(A)给出不同的结果 null(A) ans = -0.9331 -0.1583 -0.0875 0.1057 0.7349 -0.2499 0.0468 -0.0248 0.8851 -0.1995 0.3712 -0.0414 -0.2759 0.5444 0.3805 例. 求12340x x x x +++=的解空间 A=[1 1 1 1]; nulbasis(A) ans = -1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 欧拉定理、费马小定理、孙子定理 函数； 互质的个数，称为欧拉中与，，，是个有互质，这样的同余类共中每一个数均与互质，那么与如果个剩余类有，则模、设m m m m m M m i m i Z k km i M m m m i i 21)(,)(1 ,,2,1,0},|{01 );(m od 1,1),(12)(m a m a m m 则，、欧拉定理：设 k i m M M m b M M b M M b M M x m b x m b x m b x m m m m m M k i M m m m m m m k m m m p p p n n p p p n n p a a p m ax m x m a i i m a a m a a a m m a a a m m i i i k k k k k k i i i i i k k k k p i i m m k ,,2,1),(mod 1) (mod ) (mod )(mod )(mod ,),,,2,1(,,6)1 1()11)(11()(5); (mod 4,1),()3(); (),(mod )()2()()1(3''22' 211'12211112121212121212121 其中有唯一解则同余方程组 设个两两互质的正整数，是、、、孙子定理：设，则： 的标准分解为：、若为素数，则、费马小定理：若的缩系；也是通过模的缩系，则是通过模且、若的充要条件是的一组缩系是模、、互质的整数，则个与是、、、若个数； 的一组缩系含有、模、缩系的几种性质： ）（ 原命题成立；上式不成立，则有： 也是一组完全剩余系，另一方面又同理有：： 的一组完全剩余系，则是、、证：的一组完全剩余系。不是、、求证：，的一组完全剩余系，且分别是、、和、、、设例 ,2 0|2)(mod 2 )()() (mod 0)(mod )()(mod 2 )(mod 22)1(|211 1 1 11 2122112121n n n n n b a b a n n n b a n n b n n n n i a n a a a n b a b a b a n n b b b a a a n i i i i i n i i i n i i n i n i i n n n n n ***学院数学分析课程论文 线性方程组解的判定与解的结构 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名******* 年级 2009级 学号200906034*** 指导教师 ** 2011年6月 线性方程组解的判定与解的结构 姓名****** （重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班） 摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系． 关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解 引言 通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式． 1 基本性质 下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件． 对于线性方程组 1111221121122222 1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++???+=??++???+=???????++???+=? (1) 引入向量 112111s αααα??????=?????????，122222s αααα??????=?????????，…12n n n sn αααα??????=????????? ，12s b b b β?? ?? ??=??????? ?? 方程（1）可以表示为 1122n n x x x αααβ++???+= 性质 线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合. 定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始，讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。 11112211211222 22 11 22n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+ ++= ????+++=? （13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。 方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵11121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ? ?? ? ? ?=?? ?? ? ? 称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ?? ????=??? ??? 方程组（13-2）中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m 行、1 列的矩阵(或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=?????? ,12 m b b b b ?? ????=?????? 由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? 12n x x x ???????????? =12m b b b ???????????? 即 AX=b 齐次线性方程组的基础解系及其应用 齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有： （1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。有非零解的充要条件是R(A) 阶线性微分方程解的结 构 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI- 附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方 程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（），则称其为常微分方程（）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ ） 对于非齐次一阶线性常微分方程（），在其两端同乘以函数()d p x x e ? 注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （） 其中C 是任意常数。 观察（）式和（）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（）的解等于一阶线性齐次常微分方程（）的通解()d p x x Ce -?加上函数 ()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=? 。容易验证，*()y x 是方程（）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。 关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩 Abstract:In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra.This article has researched the development of system of linear equations theory,discussed the general theory of linear equations, vector space with the development and matrix theory to analyze the linear equations and the criterion of the situation. Introduces the theory of linear equations in solving the problem of analytic geometry, illustrates the role of linear equations of structure theory in judgment space relation between the geometry of the convenience of position. space geometric figure between time the position relations with theory of the system of linear equation with examples. Key words: linear equations, The solution space, Basic solution, Matrix rank 欧拉定理 在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。 （1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律 （2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。 （3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。 定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。 （4）提出多面体分类方法： 在欧拉公式中，f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。 除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。 （5）利用欧拉定理可解决一些实际问题 如：为什么正多面体只有5种？足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？ 齐次和非齐次线性方程组的解法精编日 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组() =，则只有零解； r A n (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是() r A n <.（注：当=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 m n A=.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于() -. n r A 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，() ≤<，此时齐次线性方 r A m n 程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 A=； （3）当m n A≠，故齐次线=且() =时，此时系数矩阵的行列式0 r A n 性方程组只有零解； （4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”. 例 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵 显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式： 231531 2132704 13 6 1247 A --= =≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 例 解线性方程组123 451 2 3452 34512 3 4 5 0,3230,2260,54330. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? 解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵 可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523 4 55,226. x x x x x x x x =++??=---?（其中3x ，4x ，5x 为自由未知 量） 令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为二阶线性微分方程解的结构
齐次线性方程组
高中奥林匹克数学竞赛-欧拉定理、费马小定理、孙子定理
线性方程组解的判定与解的结构
线性方程组解的判定
齐次线性方程组基础解系
阶线性微分方程解的结构
线性方程组解的情况及其判别准则
欧拉定理
齐次和非齐次线性方程组的解法精编日
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