习题 1—2 1．确定下列函数的定义域： （1）91 2 -=x y ； （2）x y a arcsin log =； （3）x y πsin 2 = ； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？ （1）2)(,)(x x g x x f ==； （2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ； （3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？ （1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=； （3）2211x x y +-=； （4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明： （1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。 （1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==； （3）23,log 2+==x u u y a ； （4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ；
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清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在), (b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。
2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。
第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限
(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
清华微积分答案
a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场 向量值函数的切平面、微分、偏导 f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即 f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中 a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度， aij := ?fi/?xj) f的全微分df=adx 当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f) div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm 复合函数求导 一阶偏导： 若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微， j(f○g) = j(f(u)) j(g(x)) 具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即 ui=g(x1,…,xn) ?f/?xj = ?f/?u * ?u/?xj = sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u} 高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数 例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))
?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151 隐函数、隐向量值函数 由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数 隐函数： 1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续， 且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续 注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值， 那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y 是双值函数，不是函数 ,??)处，2.偏导公式：在b内的(?? ????????/??????=???或者说 ????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即 sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1) 由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij) 所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0 于是立即可得上述公式 隐向量值函数： 1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. … 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. ] 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
一元微积分期中考试答案 一． 填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6．第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11．x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15． 13y x =+ 二． 计算题 1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解：=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以，原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ；……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解：
考研数学三-多元函数微积分学(一) (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、Section Ⅰ Use of Eng(总题数：1，分数：10.00) The mass media is a big part of our culture, yet it can also be a helper, adviser and teacher to our young generation. The mass media affects the lives of our young by acting as a (an) (1) for a number of institutions and social contacts. In this way, it (2) a variety of functions in human life. The time spent in front of the television screen is usually at the (3) of leisure: there is less time for games, amusement and rest. (4) by what is happening on the screen, children not only imitate what they see but directly (5) themselves with different characters. Americans have been concerned about the (6) of violence in the media and its (7) harm to children and adolescents for at least forty years. During this period, new media (8) , such as video games, cable television, music videos, and the Internet. As they continue to gain popularity, these media, (9) television, (10) public concern and research attention. Another large societal concern on our young generation (11) by the media, is body image. (12) forces can influence body image positively or negatively. (13) one, societaland cultural norms and mass media marketing (14) our concepts of beauty. In the mass media, the images of (15) beauty fill magazines and newspapers, (16) from our televisions and entertain us (17) the movies. Even in advertising, the mass media (18) on accepted cultural values of thinness and fitness for commercial gain. Young adults are presented with a (19) defined standard of attractiveness, a(n) (20) that carries unrealistic physical expectations. （分数：10.00） (1).[A] alternative [B] preference [C] substitute [D] representative（分数：0.50） A. B. C. D. (2).[A] accomplishes [B] fulfills [C] provides [D] suffices（分数：0.50） A. B. C. D. (3).[A] risk [B] mercy [C] height [D] expense（分数：0.50） A. B. C. D. (4).[A] Absorbed [B] Attracted [C] Aroused [D] Addicted（分数：0.50） A. B. C. D. (5).[A] identify [B] recognize [C] unify [D] equate（分数：0.50） A. B. C.
(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 22 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2sin 2cos 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。
清华大学第二学期期末考试模拟试卷 一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1, 2-B ，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依 次为4、4-和7，则该向量的起点A 的坐标为___________________________． 2. 设a 、b 、c 都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=?+?+?a c c b b a _____________________________． 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则 =??y z _____________________________． 4. 设y x z =，则=???y x z 2___________________． 5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =，已知⑴. 当20,64==K L 时， 25000=Q ；（2）当20,64==K L 时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率 为270='L f ，350='K f 。如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ，则产量的近似增量为_______________ 6. 交换积分顺序，有()=?? --2 21 , y y y dx y x f dy _____________________________． 7. 设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，且 u u n n =∑∞ =1 ，则级数()=+∑∞ =+1 1n n n u u __________． 8. -p 级数 ∑∞ =1 1 n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________．
一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x
4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋
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清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在) ,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。
2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。
第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法
一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！） 1. =-?dx x x 2)1(ln 答案：C x x x x +--+-ln |1|ln 1ln 2. ? =+x dx 2cos 1 。 答案： C x +?? ? ??tan 21arctan 21 3. =? +∞ 1 2 arctan dx x x 解： 22 ln 4)1(arctan arctan 121 1 2+=++-=?? ∞++∞ ∞+πx x dx x x dx x x 4.C x dx x xf +=?arctan )(，则 =? dx x f ) (1 。 答案：C x x ++4 24 2 5. =++?-dx x x x 2 22sin 1cos )1(π π 。 答案： 2 π 6. =?? ? ???22x x t dt e dx d 。 答案：2 4 2x x e xe - 7. 设)(x f 为连续函数，0)0(≠f ，? =x dt t f t x F 0 2 )()(，当0→x 时，)(x F 与k x 是同阶无穷小，则=k 。 答案：3 8. 将22 (3)1x y -+=绕y 轴转一圈，则所得图形围成的体积为 。 答案：2 6π 9. 设0>m ，且广义积分? +∞ +0 m x x dx 收敛，则m 的范围为 答案：1>m
10．幂级数∑∞ =-+1 2)5(2n n n n x 的收敛域为 。 答案：)5,5(- 11. 级数 ∑ ∞ +=-1 1 sin )1(n p n n n 条件收敛，则参数p 的范围为 。 答案：01≤<-p 12.在00=x 点，函数 ? -x t dt e 0 2 的幂级数展开为 答案：∑+∞ =++-0 1 2)12(!)1(n n n n n x ，?∈x 13.'x x y y e e ++=，的通解是 。 答案：ln 1y y x e e e C =++ 14.0)2(=-+dx y x xdy 满足0)1(=y 的解为 。 答案：2 x x y -= 15. 初值问题()? ??='=='+''0)0(,1)0(0 22y y y x y 的解为 。 答案：1=y 二．计算题（每题10分，共40分） 1．求p 的范围，使得1sin ln p dx x x π∞?收敛 解：???∞+∞+=2211ln sin ln sin ln sin x dx x x dx x x dx x p p p πππ， 1x =附近，p p x x x x )1(1 11~ln 1sin -?? ? ??-ππ ，所以仅当20p ->时?21ln sin x dx x p π收敛 ……………………………………………….5分 x x x x x p p ln ~ln 1sin ,π π +∞→对任意的p 成立,所以只需要考虑广义积分2ln p dx x x π∞?
清华大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。