《离散数学》题库答案
一、选择或填空
（数理逻辑部分）
1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )
(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P
答：（1），（4）
2、下列公式中哪些是永真式？( )
(1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)
答：（2），（3），（4）
3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )
(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q
(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P
答：（2），（3），（4），（5），（6）
4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z
5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！(6) 给我一杯水吧！
答：（1）是，T （2）是，F （3）不是
（4）是，T （5）不是（6）不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死
7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校
(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P
?（4）Q
P?
?
P→
P?
→（3）Q
Q→
?（2）Q
8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)
答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：
(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )
(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )
答：（1）F （2）F （3）F （4）T
10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )
(1) 自然数(2) 实数(3) 复数(4) (1)--(3)均成立
答：（1）
11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
答：2不是偶数且-3不是负数。
12、永真式的否定是（）
(1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)--(3)均有可能
答：（2）
13、公式(?P∧Q)∨(?P∧?Q)化简为（），公式Q→(P∨(P∧Q))可化简为（）。
答：?P ，Q→P
14、谓词公式?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x)中量词?x的辖域是（）。
答：P(x)∨?yR(y)
15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。
答：??x(R(x)→Q(x))
（集合论部分）
16、设A={a,{a}}，下列命题错误的是（）。
(1) {a}∈P(A) (2) {a}?P(A) (3) {{a}}∈P(A) (4) {{a}}?P(A)
答：(2)
17、在0（）Φ之间写上正确的符号。
(1) = (2) ?(3) ∈(4) ?
答：(4)
18、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（）。
答：32
19、设P={x|(x+1)2≤4且x∈R},Q={x|5≤x2+16且x∈R},则下列命题哪个正确（）
(1) Q?P (2) Q?P (3) P?Q (4) P=Q
答：（3）
20、下列各集合中，哪几个分别相等( )。
(1) A1={a,b} (2) A2={b,a} (3) A3={a,b,a} (4) A4={a,b,c}
(5) A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} (6) A6={x|x2-(a+b)x+ab=0}
答：A1=A2=A3=A6，A4=A5
21、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？( )
(1) A=Ф(2) B=Ф(3) A?B (4) B?A
答：（4）
22、判断下列命题哪个为真?( )
(1) A-B=B-A => A=B (2) 空集是任何集合的真子集
(3) 空集只是非空集合的子集(4) 若A的一个元素属于B，则A=B
答：（1）
23、判断下列命题哪几个为正确？( )
(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}?{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}}
(4) Ф?{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}}
答：（2），（4）
24、判断下列命题哪几个正确？( )
(1) 所有空集都不相等(2) {Ф}≠Ф(4) 若A为非空集，则A?A成立。答：（2）
25、设A∩B=A∩C，A∩B=A∩C，则B( )C。
答：=（等于）
26、判断下列命题哪几个正确？( )
(1) 若A∪B＝A∪C，则B＝C (2) {a,b}={b,a}
(3) P(A∩B)≠P(A)∩P(B) （P(S)表示S的幂集）
(4) 若A为非空集，则A≠A∪A成立。
答：（2）
27、Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确：
(1) A?B，B?C=> A?C (2) A?B，B?C=> A∈B (3) A∈B，B∈C=> A∈C 答：（1）
（二元关系部分）
28、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，
求(1)R (2) R-1 。
答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}
29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( ) 答：A上的恒等关系
30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？( )
答：自反性、对称性和传递性
31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？( )
答：自反性、反对称性和传递性
32、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝求(1)R R (2) R-1。
答：R R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}
R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝
33、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除关系，求R= {( )}。答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,
<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}
34、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=2y｝，求(1)R (2) R-1 。
答：（1）R={<1,1>,<4,2>,<6,3>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>,(36>}
35、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，
求R和R-1的关系矩阵。
答：R 的关系矩阵=????
??
?
?
?
?????
????0000000010000000
01 R 1-的关系矩阵=????
??????000000010000000001 36、集合A={1,2,…,10}上的关系R={
(1) 自反的 (2) 对称的 (3) 传递的，对称的 (4) 传递的
答：（2）
（代数结构部分）
37、设A={2,4,6}，A 上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点
答：2，6
38、设A={3,6,9}，A 上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点
答：9，3
（半群与群部分）
39、设〈G,*〉是一个群，则
(1) 若a,b,x ∈G ，a *x=b ，则x=( )；
(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
-1 b （2）b
答：（1）a*
40、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。答：6,4
41、代数系统
答：单位元
42、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。答：5，10
43、群
答：单位元，1
44、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
答：循环群，任一非单位元
45、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则
(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
*a(2) b
答：（1）b1-
46、
答：
47、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。答：1，单位元，0
48、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
答：k
49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2)
50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
(1) 不可能是群(2) 不一定是群
(3) 一定是群(4) 是交换群
答：(1)
51、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
(1) 2阶(2) 3 阶(3) 4 阶(4) 6 阶
答：(3)
（格与布尔代数部分）
52、下列哪个偏序集构成有界格（）
(1) （N,≤）(2) （Z,≥）
(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),?)
答：(4)
53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
(1) 偶数(2) 奇数(3) 4的倍数(4) 2的正整数次幂答：(4)
（图论部分）
54、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。
(1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4) 连通图
答：(4)
55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( )
(1) {0，10，110，101111} (2) {01，001，000，1}
(3) {b，c，aa，ab，aba} (4) {1，11，101，001，0011}
答：（2）
56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。
答：所有结点一次且恰好一次
57、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示( )，入度deg-(v)表示( )。答：以v为起点的边的条数，以v为终点的边的条数
58、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。
(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定
答：1
59、n阶无向完全图K n 的边数是( )，每个结点的度数是( )。
答：
2)1
(
n
n
, n-1
60、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。答：m=n-1
61、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
答：所有边一次且恰好一次
62、有n个结点的树，其结点度数之和是( )。
答：2n-2
63、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。
(1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1}
(3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}
答：(1)
64、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。答：n(n-1),2n-2
65、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。
答：它是连通图
66、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则
(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。
答：（3）
67、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。答：2
68、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。
答：1，树
69、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于:
(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。
答：（1）
70、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。
答：无简单回路
71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16
答：（4）
72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12
答：(4)
73、设图G=
答：有向图
74、任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。
答：偶数
75、具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由( )条边围成？
(1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 5
答：（3）
76、在有n个顶点的连通图中，其边数（）。
(1) 最多有n-1条(2) 至少有n-1 条
(3) 最多有n条(4) 至少有n 条
答：（2）
77、一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（）。
(1) 5 (2) 7 (3) 8 (4) 9
答：（4）
78、若一棵完全二元（叉）树有2n-1个顶点，则它（）片树叶。
(1) n (2) 2n (3) n-1 (4) 2
答：（1）
79、下列哪一种图不一定是树（）。
(1) 无简单回路的连通图(2) 有n个顶点n-1条边的连通图
(3) 每对顶点间都有通路的图(4) 连通但删去一条边便不连通的图答：（3）
80、连通图G是一棵树当且仅当G中（）。
(1) 有些边是割边(2) 每条边都是割边
(3) 所有边都不是割边(4) 图中存在一条欧拉路径
答：（2）
（数理逻辑部分）
二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式：
1、(P→Q)∧R
解：(P→Q)∧R?(?P∨Q )∧R
?(?P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）
?(?P∧(Q∨?Q)∧R)∨((?P∨P)∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）
?((P→Q)∧R)?(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)
∨(P∧Q∧?R)∨( P∧?Q∧?R)（原公式否定的主析取范式）(P→Q)∧R?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)
∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R)（主合取范式）
2、(P∧R)∨(Q∧R)∨?P
解：(P∧R)∨(Q∧R)∨?P（析取范式）
?(P∧(Q∨?Q)∧R)∨((P∨?P)∧Q∧R)∨(?P∧(Q∨?Q)∧(R∨?R))
?(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
∨( ?P∧Q∧R)∨( ?P∧Q∧?R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)
?(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧?R) ∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R) (主析取范式)
?（(P∧R)∨(Q∧R)∨?P）
?(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧?R）（原公式否定的主析取范式）
(P∧R)∨(Q∧R)∨?P ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)（主合取范式）3、(?P→Q)∧(R∨P)
解：(?P→Q)∧(R∨P)
?(P∨Q)∧(R∨P)（合取范式）
?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨(Q∧?Q))∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨R)（主合取范式）
?((?P→Q)∧(R∨P))
?(P∨?Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R) ∧(?P∨?Q∨?R)（原公式否定的主合取范式）
(?P→Q)∧(R∨P)
?(?P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R) （主析取范式）
4、Q→(P∨?R)
解：Q→(P∨?R)
??Q∨P∨?R（主合取范式）
?（Q→(P∨?R)）
?(?P∨?Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)
∧(P∨?Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R）（原公式否定的主合取范式）Q→(P∨?R)
?(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R) ∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R）（主析取范式）
5、P→(P∧(Q→P))
解：P→(P∧(Q→P))
??P∨(P∧(?Q∨P))
??P∨P
?T (主合取范式)
?(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
6、?(P→Q)∨(R∧P)
解：?(P→Q)∨(R∧P)??(?P∨Q)∨(R∧P)
?(P∧?Q)∨(R∧P)（析取范式）
?(P∧?Q∧(R∨?R))∨(P∧(?Q∨Q)∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）?(?(P→Q)∨(R∧P))?(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)
∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)（原公式否定的主析取范式）?(P→Q)∨(R∧P)?(?P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)（主合取范式）
7、P∨(P→Q)
解：P∨(P→Q)?P∨(?P∨Q)?(P∨?P)∨Q
?T(主合取范式)
?(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
8、(R→Q)∧P
解：(R→Q)∧P?(?R∨Q )∧P
?(?R∧P)∨(Q∧P) （析取范式）
?(?R∧(Q∨?Q)∧P)∨((?R∨R)∧Q∧P)
?(?R∧Q∧P)∨(?R∧?Q∧P)∨(?R∧Q∧P)∨(R∧Q∧P)
?(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）
?((R→Q)∧P)?(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R）∨(P∧?Q∧R) ∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)（原公式否定的主析取范式）
(R→Q)∧P?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)
∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)（主合取范式）
9、P→Q
解：P→Q??P∨Q（主合取范式）
?(?P∧(Q∨?Q))∨((?P∨P)∧Q)
?(?P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧Q)
?(?P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
10、P∨?Q
解：P∨?Q （主合取范式）
?(P∧(?Q∨Q))∨((?P∨P)∧?Q）
?(P∧?Q)∨(P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(P∧?Q）
?(P∧?Q)∨(P∧Q)∨(?P∧?Q)（主析取范式）
11、P∧Q
解：P∧Q（主析取范式）?(P∨(Q∧?Q))∧((P∧?P)∨Q)
?(P∨?Q)∧(P∨Q)∧(P∨Q)∧(?P∨Q)
?(P∨?Q)∧(P∨Q)∧(?P∨Q)（主合取范式）
12、（P∨R）→Q
解：（P∨R）→Q
??(P∨R)∨Q
?(?P∧?R)∨Q
?(?P∨Q)∧(?R∨Q)（合取范式）
?(?P∨Q∨(R∧?R))∧((?P∧P)∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)（主合取范式）
?（P∨R）→Q
?(?P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(P∨
?Q∨?R) （原公式否定的主析取范式）
（P∨R）→Q
?(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)
∨(?P∧Q∧R)（主析取范式）
13、（P→Q）→R
解：（P→Q）→R
??(?P∨Q)∨R
?(P∧?Q)∨R(析取范式)
?(P∧?Q∧(R?
∨Q)∧R)
∨R))∨((P?
∨P)∧(Q?
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R) ∨(?P∧?Q∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
∨(?P∧?Q∧R)(主析取范式）
（P→Q）→R
??(?P∨Q)∨R
?(P∧?Q)∨R(析取范式)
?(P∨R)∧(?Q∨R)(合取范式)
?(P∨(Q∧?Q)∨R)∧((P∧?P)∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)(主合取范式)
14、(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
解：(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(?P∨(Q∧R))∧(P∨(?Q∧?R))
?(?P∨Q)∧(?P∨R)∧(P∨?Q)∧(P∨?R)（合取范式）
?(?P∨Q∨(R∧?R))∧(?P∨(Q∧?Q)∨R)∧(P∨?Q∨(R∧?R)) ∧(P∨(Q∧?Q)∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R) ∧(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨?R) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R)
∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨?R)(主合取范式)
?(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(?P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨R)(原公式否定的主合取范式)
(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)(主析取范式)
15、P∨(?P→(Q∨(?Q→R)))
解：P∨(?P→(Q∨(?Q→R)))
?P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))
?P∨Q∨R(主合取范式)
?(P∨Q∨R)
?(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)
∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨?R)
(原公式否定的主合取范式)
(P∨Q∨R)
?(?P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R) ∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)(主析取范式)
16、(P→Q)∧(P→R)
解、(P→Q)∧(P→R)
?(?P∨Q)∧(?P∨R) (合取范式)
?(?P∨Q∨(R∧?R)∧(?P∨(?Q∧Q)∨R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)(主合取范式)
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
《离散数学》考试题库及答案 一、 填空 10% （每小题 2分） 1、 若P ，Q 为二命题，Q P ?真值为1，当且仅当 。 2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公 式 为 。 3、 )) (()(x xG x xF ??∧?的 前 束 范 式为 。 4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的， 则 被称为全称量词消去规则，记为US 。 5、 与非门的逻辑网络为 。 二、 选择 30% （每小题 3分） 1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 2、 下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好看呀！。 3、 下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、P Q P ?→)( 4、 下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 5、 命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。 A 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ；
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则
第一章习题 1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。（1）2是无理数。 （2）5能被2整除。 （3）现在开会吗？ （4）x+5>0 （5）这朵花真是好看！ （6）2是素数当且仅当三角形有三条边。 （7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。 （8）2000年10月1日天气晴好。 （9）太阳系以外的星球上有生物。 （10）小李在宿舍里。 （11）全体起立。 （12）4是2的倍数或是3的倍数。 （13）4是偶数且是奇数。 （14）李明和王华是同学。 （15）蓝色和黄色可以调配成绿色。 1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。 1.3判断下列各命题的真值。 （1）若2+2=4，则3+3=6； （2）若2+2=4，则3+3≠6； （3）若2+2≠=4，则3+3=6； （4）若2+2≠=4，则3+3≠=6； （5）2+2=4，当且仅当3+3=6； （6）2+2=4，当且仅当3+3≠6； （7）2+2≠4，当且仅当3+3=6； （8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6； 1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号； （2）如果今天是1号，则明天是3号； 1.5将下列命题符号化。 （1）2是偶数不是素数； （2）小王不但聪明而且用功； （3）虽然天气冷。老王还是来了； （4）他一边吃饭，一边看电视； （5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来； （6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来； （7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来； （8）不经一事，不长一智； 1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。（1）p∨(q∧r);
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设
第一章 定律证明: (1) A?B=B?A (交换律) 证?x x∈A?B ? x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A ? x∈B?A 得证A?B?B?A. 同理可证B?A?A?B. (2) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (分配律) 证?x x∈A?(B?C) ? x∈A或(x∈B且x∈C ) ?(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C) ?x∈(A?B)?(A?C) 得证A?(B?C)?(A?B)?(A?C). 类似可证(A?B)?(A?C)?A?(B?C). (3) A?E=E (零律) 证根据并的定义, 有E?A?E. 根据全集的定义, 又有A? E?E. (4) A?E=A (同一律) 证根据交的定义, 有A?E?A. 又, ?x x∈A, 根据全集E的定义, x∈E, 从而x∈A且x∈E, ?x∈A?E 得证A?A?E. 例4 证明A?(A?B)=A（吸收律） 证利用例3证明的4条等式证明 A?(A?B) = (A?E)?(A?B) (同一律) = A?(E?B) (分配律) = A?(B?E) (交换律) = A?E (零律) = A (同一律) 例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证(A-C)-(B-C) = (A ?~C) ? ~(B ? ~C) (补交转换律) = (A ?~C) ? (~B ? ~~C) (德摩根律) = (A ?~C) ? (~B ? C) (双重否定律) = (A ?~C? ~B)?(A ?~C? C) (分配律) = (A ?~C? ~B)?(A ??) (矛盾律) = A ?~C? ~B (零律,同一律) = (A ?~B) ? ~C (交换律,结合律)
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学试题一（A 卷答案） 一、（10分）证明(A ∨B )(P ∨Q )，P ，(B A )∨P A 。 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4 种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1)，US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3)，ES (5)Q (y ) T (2)(4)，I (6)xQ (x ) T (5)，EG 四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、 五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f o g 是满射，则f 是满射。 (2)若f o g 是单射，则g 是单射。 六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得T R 且R ，证明T 是一个等价关系。 七、（15分）若
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P
离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r
离散数学 1.在自然推理系统P 中构造下面推理的证明： 前提：,,p q r q r s ?∨∨?→ 结论：p s →. 3设一阶逻辑公式 ((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =???→?→ 试将G 化成与其等价的前束范式。 4.判断下面推理是否正确，并证明你的结论。 如果小王今天家里有事，则他不会来开会。 如果小张今天看到小王，则小王今天来开会了。 小张今天看到小王。所以小王今天家里没事。 5、构造下面推理的证明 前提： ))()(()),()()((x R x F x x H x G x F x ∧?∧→? 结论: ))()()((x G x R x F x ∧∧? 6用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ??→∧→=的类型。 7分别用真值表法和公式法求(P →(Q ∨R ))∧(?P ∨(Q ?R ))的主析取范式 ，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。 8用逻辑推理证明： 所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。 9、设A ＝{?，1，{1}}，B ＝{0，{0}}，求P (A )、P (B )－{0}、P (B )⊕B 。 10、设X ＝{1，2，3，4}，R 是X 上的二元关系，R ＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>} (1)画出R 的关系图。 (2)写出R 的关系矩阵。 (3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。 11、集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<
1 / 15 离散数学（2）复习题 一、单项选择题 1、由集合运算定义，下列各式正确的有（ A ）。 A.X ?X ?Y B.X ?X ?Y C.X ?X ?Y D.Y ?X ?Y 2、设A B -=?，则有（ C ）。 A.B =? B.B ≠? C.A B ? D.A B ? 3、对任意的集合A 、全集U ，下列命题为假的是（ D ）。 A.A ?? ＝A ， B.A ?U = U C.A ?? = ?， D.A ?U = U 4、集合A={1，2，…，10}上的关系R={