对称性在积分中的应用
摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果.
关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称
目录
一、引言
二、相关对称的定义
（一）区域对称的定义
（二）函数对称性定义
（三）轮换对称的定义
三、重积分的对称性
（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性
（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性
（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结
参考文献
谢词
一、 引言
积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义.
二、相关的定义
定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -?∈,则D 关于直线a x =对
称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ?)2,(y b x -
),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然
当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）.
定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈?),(a x a y --,则D a x y +=对称,
称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈?),(x a y a -- D ∈，则D 关于直线z y ±=对称.
注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线
对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义. 空间对称区域.
定义3：(1)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对
称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性.
(2)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同
的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.
(3)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称. (4)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有
轮换对称性.
定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于
a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-,
则)(x f 为关于()0,a 中心对称.当且仅当0=a 时有)()(x f x f -=-则)(x f 为奇函数.若
)()(a x f a x f +=-且)()(x a f x a f +-=-则)(x f 既关于a x =对称,又关于()0,a 中心
对称.
定义5若n 元函数),,,,,,(),,,(11121-+≡i x x x x x f x x x f n i i n , (n i ,,2,1 =),
则称n 元函数),,,(21n x x x f 关于n x x x ,,,21 具有轮换对称性.
定义6：若)(),,,(21N n R D x x x p n
n
n ∈?∈? 有),,,,,,(1111-+i x x x x x p n i i n
D ∈
),,2,1(n i =成立，则称n D 关于),,,(21n x x x p 具有轮换对称性.
三、重积分的对称性
（一）对称性在定积分中的应用
利用函数图形的对称性可简化定积分的计算.在特殊情况下,甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分.因此掌握对称性在积分中的方法是必要的.下面首先给出一个引理,由此得出一系列的结论,并通过实例说明这是结论的应用. 引理 设函数)(x f 在[]h a h a +-,上连续,则有
[]?
?+--++=h
a h
a h
dx x a f x a f dx x f 0
)()()( (1)
证令t a x +=,有 ?
??+--+++=h a h
a h h
h
dt t a f dt t a f dx x f 0
)()()( (2)
令u t -=,则
???--=--=+0
00
)()()(h
h
h
du u a f du u a f dt t a f （3）
将（3）式带入（2）式,并将积分变量统一成x ,则
[]??-++=+-h
h a h
a dx dx x a f x a f dx x f 0
)()()(
特别地，令0=a ，就得公式
[]dx x f x f dx x f h
h
h
?
?--+=0
)()()(
由函数奇偶性的定义及上式，易知
定理1 设函数)(x f 在[]h h ,-上连续，那么
2） 若)(x f 为偶函数，则??-=h
h h
o
dx x f dx x f )(2)(
3） 若)(x f 为奇函数，则
?
-=h
h
dx x f 0)(
次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助，
例1 求xdx x x I cos 1
1
22
2
23?-
+++=
π
π
解：虽然被奇函数非奇非偶，但可以把它分成两部分x x x cos 1
2
3
+和x cos ，前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.
??--
++=
22
22
23
cos cos 1π
ππ
π
xdx dx x x x I =?
2
cos 2
π
xdx
=2
注：而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间[]h h ,-上求解。 下面我们把定理1推广到更一般的情况.
定理2 设函数)(x f 连续
1）若)(x f y =的图像关于直线a x =对称，即)()(a x f a x f +=-，则对一切
0>h ，有?
?
+-+=h
a h
a h
a o
dx x f dx x f )(2)(
2）若)(x f y =的图像关于原点()0,a 中心对称，即)()(x a f x a f +-=-，则对一
切0>h ，有?
+-=h
a h
a dx x f 0)(
证 1)由（1）式及已知条件)()(a x f a x f +=-，有
?
?
?+-+=+=h
a h
a h
a o
h dt t f dx x a f dx x f )(2)(2)(0
2)有（1）式及已知条件)()(x a f x a f +-=-，有
?
?+-==h
a h
a h
dx dx x f 00)(0
例2 求?
+=π
2
cos 1sin dx x
x
x I
解： 由于x sin 及
x 2cos 11+都关于2π=x 对称，)2(π-x 关于
)0,2
(π
点中心对称，因此x cod x
x 2
1sin )2(+-π
关于点)0,2(π点中心对称，有区间[]π,0关于2π=x 对称，故由定理2的2）有01sin )2(02=+-=?π
π
dx x
cod x x I 于是 41sin ]2)2[(1sin 20202ππ
πππ=++-=+=??dx x
cod x x dx x cod x x I 本例中的被积函数)cos 1(sin 2x x x +原函数不是初等函数，所以不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式，但利用对称性却能容易地求出其值.
以上我们研究的是一个函数图像本身的对称性在积分中的应用，下面来看看两个函数图像之间的对称关系是如何在定积分中的应用的.
定理3 设)(x f ，)(x g 都是连续
1）若)(x f 与)(x g 关于直线a x =对称，即)()(a x g a x f +=-，则对一切0>h ，
有?
?
+-+=h
a h
a h
a o
dx x g dx x f )(2)(
2）若)(x f 与)(x g 的图像关于原点()0,a 中心对称，即)()(x a f x a f +-=-，则对
一切0>h ，有?
?+-+-=h
a h
a h
a h
a dx x g dx x f )()(
例3 求?
-+=
a
x
a x dx
I 0
2
2
解：设t a x sin =，]2
,
0[π
∈t ，则??
+=-+=2
2
2cos sin cos π
dt t
t t
x a x dx I a
而由定理3可证
??
+=+2020
cos sin cos cos sin sin π
π
dt t t t
dt t
t t ，故
??==++=20202
cos sin cos sin 2π
π
π
dt dt t t t t I
故4
π
=
I .
注：定理3可以推广到更一般的情况. 定理4 设)(x f 与)(x h 都连续，则
1） ?
?-=a
a
dx x a u f dx x u f 00
)]([)]([；
2）
.)]([)]}([)]([{0
?
?-=-+a
a
dx x a u f a dx x a u f x u f x
例4 计算
?
?--20
cos sin 31cos sin π
dx x
x x
x n n
解：令x x x x x f n n cos sin 31cos sin )(?--=，则x
x x
x x f n n cos sin 31sin cos )2(?--=-π
所以
0)2
()(=-=x f x f π
,
由定理3得
0cos sin 31cos sin 20
=?--?
π
dx x
x x
x n n .
我们可以看出这些都是教材中常见的等式，我们使用对称性给出了它们的简洁证明，并有一定的规律可循.另外,取各种连续函数)(x f ，又可以从已知的公式中到处许多公式.
（二）重积分中的对称性定理及应用
在二重积分的计算中利用对称性不仅要求积分区域D 具有对称性，而且被积函数对于区域D 也要有有对称性.但在特殊情况下区域D 不对称，或者关于对称区域D 的被积函数不具备对称性，也可以经过一些变化使之能用对称性来计算.
定理5 设二元函数),(y x f 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则 1)当),(),(y x f y x f -=-（即),(y x f 是关于y 的奇函数）时，有??=D
dxdy y x f 0),(
2)当),(),(y x f y x f =-（即),(y x f 是关于y 的偶函数）时，有
????=D
D dxdy y x f dxdy y x f 0),(2),(1
,其中1
D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域.
例5 计算??+=
D
dxdy y xy I )(3，其中D 为由x y 22
=与2=x 围城的区域. 解：如图所示几，积分区域D 关于x 轴对称，且 图形待定
),()(),(3y x f y xy y x f -=+-=-
即),(y x f 是关于y 的奇函数，由定理5有
0)(3
=+=
??D
dxdy y xy I 类似地推出下面的定理：
定理6 设二元函数),(y x f 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则 1） 若),(),(y x f y x f =-，则
????=2
),(2),(D D
dxdy y x f dxdy y x f
2）
若),(),(y x f y x f -=-，则
0),(??=D
dxdy y x f
其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域.
例6 计算??
+=
D
d y x f xy I σ)(2
23，，其中D 为=y 3x ，1=y 所围成的区域，)(u f 是连续函数.图形待定
解：如图几，作辅助线=y 3
x ，它把区域D 分成1D ，2D 两部分，其中
(){}
331,10|,y x y y y x D ≤≤-≤≤=,(){}
332,10|,x y x x y x D ≤≤-≤≤=,在1D 上，
())(,223y x f xy y x F +=满足),(),(y x F y x F -=-，而1D 关于y 轴对称，因而
0)(1
2
23=+??D d y x f xy σ. 在2D 上，),(),(y x F y x F -=-，且2D 关于x 轴对称，因而
0)(2
2
23=+??D d y x f xy σ 因此0)(2
1
223
=+=+=
??????D D D
d y x f xy
I σ
例7 计算二重积分??+=
D
dxdy y x I |)||(|，其中D ：2||||≤+y x
解：如图所示几,D 关于x 轴和y 轴均对称，且被积函数关于x 和y 是偶函数，即有
),(),(),(y x f y x f y x f =-=-
由定理5,6，得 ????+=+=
1
|)||(|4|)||(|D D
dxdy y x dxdy y x I
其中1D 是D 的第一象限部分，2有对称性知，
????=1
1
||||D D dxdy y dxdy x ,
故3
8
||8|)||(|4|)||(|4
1
1
1
=
=+=+=??????D D D dxdy x dxdy y x dxdy y x I 图形待定 定理7 设平面区域21D D D +=,且1D ,2D 关于原点对称，则当D 上连续函数满足
1）),(),(y x f y x f =--时，有
????=D
D dxdy y x f dxdy y x f 1
),(2),(
2）),(),(y x f y x f -=--时，有??=D
dxdy y x f 0),(.
例8 计算二重积分
dxdy y x D
)(3
3+??
，区域D :122≤+y x 解：如图所示几，区域D 关于原点对称，对于被积函数33),(y x y x f +=，有
),()()()(),(3333y x f y x y x y x f -=+-=-+-=--
由定理7，得
??=D
dxdy y x f 0),(
定理8 设二元函数),(y x f 在平面区域D 上连续，且21D D D +=，且1D ,2D 关于
直线x y =对称，则
1）????=D
D
dxdy x y f dxdy y x f ),(),(;
????=1
2
),(),(D D dxdy y x f dxdy y x f .
2）当),(),(y x f x y f -=时，有??=D
dxdy y x f 0),(.
3）当),(),(y x f x y f =时，有
????=D
D dxdy y x f dxdy y x f 1
),(2),(
例9 求??+=D
dxdy b y a x I )(22
22，区域D ：122≤+y x
解：积分区域关于直线x y =对称，由定理8，得
????+=+=D
D dxdy b x a y dxdy b y a x I )()(22
222222，
故])()([21)(22
2222222222??????+++=+=D
D D dxdy b x a y dxdy b y a x dxdy b y a x I
dr r d b a dxdy y x b a D ????+=++=
10320
222222)11(21)()11(21π
θ
).11(
4
2
24b a R +=
π
相似地，我们可得以下定理：
定理9 设二元函数),(y x f 在平面区域D 上连续，且21D D D +=，且1D ,2D 关于直线x y -=对称，则
1）),(),(y x f x y f -=--时，有??=D
dxdy y x f 0),(;
2) ),(),(y x f x y f =--时，有????=D
D dxdy y x f dxdy y x f 1
),(2),(.
例题略.
注：在进行二重积分计算式，我们要善于观察被积函数的积分区域的特点，既要注意被积函数的奇偶性也要注意积分区域的对称性.恰当地利用积分中的对称性，可以避免计算的繁琐，时二重积分的解答大大简化.
（三）三重积分的对称性定理及应用
在三重积分中我们也有类似的结论.
定理10 设空间有界闭区域21Ω?Ω=Ω,1Ω与2Ω关于xoy 坐标平面对称，函数
),,(z y x f 在Ω上连续,那么：
1)若),,(z y x f 是关于z 的奇函数，则???Ω
=0),,(dv z y x f
2)若),,(z y x f 是关于z 的偶函数，则
??????ΩΩ
=1
),,(2),,(dv z y x f dv z y x f
同样地，若积分区域分别关于yoz ,zox 坐标平面对称，也有类似的结论：
推论1 1）若),,(z y x f 是关于x 的奇函数，则???Ω=0),,(dv z y x f
2)若),,(z y x f 是关于x 的偶函数，则
??????ΩΩ
=1
),,(2),,(dv z y x f dv z y x f
推论2 1)若),,(z y x f 是关于y 的奇函数，则
???Ω
=0),,(dv z y x f
2)若),,(z y x f 是关于y 的偶函数，则
??????ΩΩ
=1
),,(2),,(dv z y x f dv z y x f
例10 计算三重积分dv z y x z y x z I ???Ω
++++++=2
22222)
1ln(，其中Ω是由球面
1222=++z y x 所围成的空间闭区域.
解：积分区域Ω关于xoy 面对称,被积函数1
)
1ln(2
22222++++++z y x z y x z 是z 的奇函 所以
0)1ln(2
22222=++++++=???Ω
dv z y x z y x z I 定理10 若空间区域Ω具有轮换对称性,若),,(),,(),,(111y x z f x z y f z y x f ==, 则
??????ΩΩ
=1
),,(3),,(1
dv z y x f dv z y x f .
在有些问题中，尤其对于三重积分，在被积函数及积分区域都没有对称性的时，而被积函数具有轮换对称性，我们利用轮换对称性可以使问问题得到简便的计算.下面我们给出例子.
例11 求dxdydz c z b y a x I V )(222222++=???,其中V 是椭球体.122
2222≤++c z b y a x
解：由于dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x I V
V V ?????????++=22
2222,
其中?????-=X
V a a V
dydz dx a x dxdydz a x 2222
,这里x V 表示椭球面为2222221a x c z b y -≤+ 它的面积为 )1()1)(1(22
2222a
x bc a x c a x b -=--ππ.
于是 abc dx x x a bc dxdydz a x a a V
ππ1541()
22222=-=????-.
同理利用轮换对称性可得
abc dxdydz b y V π154
22=???,abc dxdydz c z V
π15422=??? 所以 abc abc dxdydz c z b y a x I V
ππ54
)154(3)(222222==++=???.
四、对称性在曲线积分中的定理及应用
（一）第一型曲线积分
1、平面曲线积分
?
L
ds y x f ),(的计算
若曲线L 关于X 轴对称，记L 位于X 周上半部分的1L ，则： 3） 当),(),(y x f y x f =-时，
??
=1
),(2),(L L
ds y x f ds y x f
4）
当),(),(y x f y x f -=-时，
?
=L
ds y x f 0),(
同理能得到关于Y 轴对称的式子. 例12 求ds y x I L
?
+=
22，其中L 为圆周222R y x =+.
解：因为曲线L 关于y 轴对称，记位于y 轴上方部分为1L ，而被积函数满足：
),(),(y x f y x f =-
所以 22222221
R ds y x ds y x I L L
=+=+=
??
注：对于一般情况我们可以得出引理
引理：设L 关于直线a x =对称的一条曲线弧，则 1）若),2(),(y x a f y x f --=，则?
=L
ds y x f 0),(.
2）若),2(),(y x a f y x f -=，则
??
=1
),(2),(L L
ds y x f ds y x f ，其中
}|),{(1a x L y x L ≤∈=.
例13 计算?-+=
L
ds x y y I )3(5,其中L 是曲线1)2(2
2=+-y x 所围成的回路.
解：因为L 关于x 轴和直线2=x 对称，故 ?
??---+=
L
L
L
ds ds x ds y y I 2)2(35
设5
),(y y y x f +=，则),(),(y x f y x f -=-; 设2),(-=x y x g ，则),(2),4(y x g x y x g =-=--. 所以有 π82002)2(35=-+=---+=
??
??L
L
L
L
ds ds ds x ds y y I .
2、空间曲线积分
?Γ
ds z y x F ),,(的计算
若积分曲线Γ关于xoy 面对称，记Γ位于xoy 面上半部分为1Γ，则 1） 当),,(),,(z y x F z y x F =-时，
?
?ΓΓ=-1
),,(2),,(ds z y x F ds z y x F
2） 当),,(),,(z y x F z y x F -=-时，
0),,(=-?Γ
ds z y x F
同理可得关于yoz ，zox 面对称的式子.例题略.
（二）第二型曲线积分
对于第二型曲线积分还需要我们考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标方向之间的夹角小于
2
π
时，投影元素的符号为正，否则为负，就?L dx y x f ),(而言，只需考察dx
y x f ),(在对称点的符号.
但第二类曲线积分有关对称性的结论与第一型曲线积分结论恰好相反：
定理11 设积分曲线L 是平面分段光滑曲线,若曲线L 关于x 轴对称，且L 在x 轴上半部分与下半部分走向相反，曲线1L ,2L 分别是L 位于x 轴上、下方的部分，则
1）0),(=?
L
ds y x f ，当),(),(y x f y x f =-时；
2）
,),(2),(1
??
=L L
ds y x f ds y x f 当),(),(y x f y x f -=-时.
其中, ),(),(y x f y x f =-表示),(y x f 是y 的偶函数，),(),(y x f y x f -=-表示),(y x f 是y 的奇函数。
注：当定理中两部分的方向相同时则结论与定理相反.
推论：设L 是xoy 平面上关于直线a x =对的一光滑曲线弧，21L L L +=，任意
L y x ∈),(，有2),2(L y x a ∈-,且1L ,2L 在y 轴投影方向相反，则
1）若),2(),(y x a f y x f --=,则0),(=?
L
ds y x f
2）若),2(),(y x a f y x f --=,则
??
=1
),(2),(L L
ds y x f ds y x f
定理12 若积分曲线T 关于x ,y ,z 具有轮换对称性，即
???
==L
L
L
dx z y x f dy z y x f dz z y x f ),,(),,(),,(,
则
??
=L
L
dx z y x f ds z y x f ),,(3),,(.
例14 计算?
+=
L
xydx x y I cos )(2,其中L 为圆周122=+y x ,以逆时针方向.
解：令xy x y y x f cos )(),(2
+=，L y x ∈),(,
将L 分为1:2
2
1=+y x L ,0≥y 与1:2
2
2=+y x L ,0≤y 两部分.
对于对称点),(y x ,L y x ∈-),(，有),(),(y x f y x f -=,而1L ,2L 两部分关于y 轴对称，且方向相同，所以 0cos )(2
=+=
?L
xydx x y
I .
例15 设L 为球面12
2
2
=++z y x 和平面0=++z y x 的交线，若从x 轴正向看去，
L 时沿逆时针方向的,试计算下列第二型曲线积分：???++=L
L
L
zdz ydy xdx I
解：把z x y --=代入2222a z y x =++,得2
22222a xz z x =++.令v u x +=,
v u z -=,可得
1)2
()6(22
22=+a v a u 所以可取 θcos 6
a
u =,θsin 2a v =，]2,0[πθ∈
由此可知L 的参数方程为
θθsin 2cos 6a a x +=
,θcos 62a y -=,θθsin 2cos 6a
a z -=,]2,0[πθ∈ 因为
??=-=πθθθ2020sin cos 3
2d a ydy L , 由轮换对称性可知 0===
??
?L
L
L zdz ydy xdx ，
所以 0=++=
?zdz ydy xdx I L
.
五、曲面积分的对称性
（一）第一型曲面积分的对称性定理及应用
定理13 若积分曲面S 可以分成对称的两部分21S S S +=，在对称点上被积函数的绝对值相等，即光滑曲面S 关于xoy (或xoy ,或xoy )坐标面对称，则有
1）若在对称点上),,(z y x f 取相反的符号，即),,(z y x f 关于z (或x ,或y )的奇函数,
则，
??
=S
dS z y x f 0),,(.
2)在对称点上),,(z y x f 取相同的符号，即),,(z y x f 关于z (或x ,或y )的偶函数，则，
????
=1
),,(2),,(S S
dS z y x f dS z y x f .
推论1：若光滑曲面S 可以分成对称的两部分21S S S +=,且关于原点对称,则 1）??
=S
dS z y x f 0),,(,),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的奇函数.
2)
????
=1
),,(2),,(S S
dS z y x f dS z y x f ，),,(z y x f 关于z (或x ,或y )的偶函数.
例16 计算积分??S
zdS ,其中S 为曲面)0(222
>++a ax z x
被曲面22y x z +=所
截取部分.图在P273
解：因为S 关于yz 坐标平面、zx 坐标平面以及z 轴对称,且被积函数在对称点上函数值相同,所以由对称性可得
????=1
4S S
zdS zdS .
其中1S 为S 在第一卦限中的部分（见图几）.由az y x 222=+和22y x z +=消去x
得到1S 在yz 坐标面上的投影区域
a z y a y a a z D 2,0,1)2
()2()2(:2222
≥≥≥--
而1S 在D 上的显函数表示为22z az x -=
????????-=++==1
1
1
2
2
224144S S S S
dydz z
az az dydz y x z zdS zdS dz z
a a
z z
a dy z az z dz a
az
z a
a
??
?--=-=-20
220
2
22224242（令z
a a
z t --=
222）
dt t t a
?
∞
++=0
3
223
)
2((
32（令θtan 2=t ） ?
=+-=20
33
2
27)4cos 812cos 87(28π
πθθa a
. 例17 计算下列面积的曲线积分??++=
S
dS
z y x I )(,其中S 为球面
2222a z y x =++上, )0(a h h z <<≥的部分.
解：因为S 关于yz 坐标平面、zx 坐标平面以及z 轴对称,且又),,(z y x f 关于x ,y 的奇函数,所以利用对称性知
0==??
??S
S
ydS xdS
设}|),{(2222h a y x y x D xy -≤+=,则
????=++=S
S
zdS dS z y x I )(
dxdy Z Z y x a y x D xy
2
22221++--=
??
??
-==xy
D h a a dxdy a
)(22π
定理14 若积分曲面S 关于z y x ,,具有轮换对称性,即
??????
==S
S
S
dS y x z f dS x z y f dS z y x f ),,(),,(),,(,则
????
++=
S S
dS y x z f x z y f z y x f dS z y x f )],,(),,(),,([3
1
),,( 例18 计算曲面积分
??S
dS z
2
,其中S 是球面2222a z y x =++.
解：此积分若按照一般方法来计算,计算量比较大,若果利用对称函数的
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1．预备知识 (1) 2．二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 (2) 2.1 积分区域D关于坐标轴对称 (2) 2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 (5) 2.3 积分区域D关于坐标原点对称 (9) 2.4 积分区域D关于坐标区域内任意一点对称 (11) 2.5 积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13) 二重积分对称性定理的证明及应用
摘 要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题． 关键词：对称性；积分区城；被积函数 The Application of Symmetry in Double Integral Calculating Abstract ：It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords ：Symmetry; Integral region; Integrated function 前言 利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误．在一般情况下，必须是积分区域D 具有对称性，而且被积函数对于区域D 也具有对称性，才能利用对称性来计算．在特殊情况下，虽然积分区域D 没有对称性，或者关于对称区域D 被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分．这些都是很值得我们探讨的问题． 1 预备知识 对于二重积分(,)D f x y dxdy ??的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在 定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论： 当()f x 在区间上为连续的奇函数时，()0a a f x dx -=?． 当()f x 在区间上为连续的偶函数时，0 ()2()a a a f x dx f x dx -=??． 这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分． 在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的．下面，我们将此结论类似地推广到二重积分． 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 定理1[]1 若二重积分(,)D f x y dxdy ??满足
第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.
（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=
对称性在积分中的应用 摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果. 关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称
目录 一、引言 二、相关对称的定义 （一）区域对称的定义 （二）函数对称性定义 （三）轮换对称的定义 三、重积分的对称性 （一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性 （一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性 （一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结 参考文献 谢词
一、 引言 积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义. 二、相关的定义 定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -?∈,则D 关于直线a x =对 称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ?)2,(y b x - ),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然 当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）. 定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈?),(a x a y --,则D a x y +=对称, 称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈?),(x a y a -- D ∈，则D 关于直线z y ±=对称. 注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线 对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义. 空间对称区域. 定义3：(1)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对 称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性. (2)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同 的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性. (3)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称. (4)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有 轮换对称性. 定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于 a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-,
情形一：积分区域关于坐标轴对称 定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则 1)当(即就是关于得奇函数）时，有 、 2)当（即就是关于得偶函数）时，有 、 其中就是由轴分割所得到得一半区域. 例5 计算,其中为由与围成得区域。 解:如图所示，积分区域关于轴对称，且 即就是关于得奇函数，由定理１有、 类似地，有: 定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则 其中就是由轴分割所得到得一半区域。 例6 计算其中为由所围。 解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、 定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则 (１）当或时,有 、 （２)当时，有 其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。 9例7 计算二重积分，其中: 、 解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是 偶函数,即有 ,由定理2，得
其中就是得第一象限部分，由对称性知,， 故、 情形二、积分区域关于原点对称 定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足 １）时,有 2）时，有、 例8 计算二重积分，为与所围区域、 解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有 ,有定理7，得 、 情形三、积分区域关于直线对称 定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称， 则 1）； 、 2)当时，有、 3）当时,有、 例9 求，为所围、 解：积分区域关于直线对称，由定理8,得 ， 故 、 类似地，可得: 定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有； （2)当，则有、 例10 计算,其中为区域：, 、 解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足， 由以上性质,得:
关于积分对称性定理 1、 定积分： 设)(x f 在[],a a -上连续，则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、 二重积分： 若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则 （1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。 （2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分
()()()()2 0,,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数. 其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。 （3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 （4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.（二重积分的轮换对称 性） (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特
土木工程系土木5班徐亚飞529在工程实际中，有很多结构具有对称性，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。现在业已学完了结构力学，现就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。 所谓结构的对称性，需要满足以下两个方面的要求： （1）结构的几何形状和支撑情况对某一轴线对称； （2）杆件截面和材料的性质也对此轴对称。结构上力的对称性有正对称和反对称两种类型，非对称的力都可以化为正对称力与反对称力的叠加。 一、对称性在求解结构内力中的应用 因为对称结构在对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。 二、对称性在体系自由振动中的应用 我们知道，结构的频率、主振型及主振型的正交性是结构本身的固有特性，与外界因素无关。只要结构本身和质量分布都是对称的，其振型或为正对称，或为反对称，因此，我们可以选取半边结构计算其相应的自振频率。但其只能应用于两个自由度的振动体系，且自振频率小的为第一振型，较大的为第二振型。运用对称性求解结构的自振频率，避免了求解复杂的频率方程，使得计算大大简化。 三、对称性在结构稳定性分析中的应用 结构的稳定性分析，就是为了确定在新的平衡形式的荷载，即临界荷载。通常的解法是假设新的平衡形式，运用静力平衡法或能量法通过稳定方程求的
题目：关于曲面积分对称性的研究专业：数学与应用数学 系班：数学与信息科学系 毕业年份： 姓名： 学号： 指导教师： 职称：
关 摘 要：在直角坐标系中定义了曲面关于坐标平面的概念，研究了在积分曲面是对称的情况下，曲面积分的若干性质。利用这些性质，可以简化曲面积分的计算，给出相应的计算公式，并利用对称性计算曲面积分，这种积分方法使曲面积分更为简捷。 关键词：曲面积分；对称性；奇函数；偶函数 1 预备知识 大学课本上，我们学习了第一型曲面积分和第二型曲面积分，并且学习了他们的一些性质，但是这些性质在一些问题中应用麻烦， 比如一些关于曲面积分计算的问题，我们常会因符号处理不当而导致的积分错误。在这里，我们研究了曲面积分的另外一些性质及定理，为我们在以后的计算提供了方便 以下所讨论的各种情况均假设被积函数在积分区域上连续，积分曲面是分片光滑的 ] 2[。 定义]5[1：设函数),,(),,(z y x f z y x f -=，则称),,(z y x f 关于x 为偶函数；若定义),,(),,(z y x f z y x f --=，则称),,(z y x f 关于x 为奇函数；类似可以定义函数),,(z y x f 关于z y ,变量的奇函数，偶函数。 定义]7[2：设空间曲面11:(,)z z x y ∑=与22:(,)z z x y ∑=，若1∑与2∑在xoy 面具有相同的投影区域D ，且D y x ∈?),(有),(),(21y x z y x z -=，1∑与2∑异侧，则称曲面1∑与2∑关于xoy 面对称。类似可以定义曲面1∑与2∑关于yoz 面对称；曲面1∑与2∑关于zox 面对称。 命题]6][4[1： 若曲面1∑与2∑关于xoy 面对称，则： 1 2 (,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-???? （1） 1 2 (,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=--???? （2）
函数的对称性应用（一） ──含绝对值函数的图象 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军 在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。 图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。 一、含绝对值的函数常见情况的分类： 已知函数，叫做函数的自变量；叫做函数的应变量（函数值）。 ①对自变量取绝对值：；②对应变量取绝对值：； ③对全都取绝对值：；④对整个函数取绝对值：； ⑤对都取绝对值：；⑥部分自变量取绝对值：。 二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法： ①对自变量取绝对值： 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象
②对应变量取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象 ③对全都取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。因为点、、 与都在函数上，所以函数图象关于轴、轴及原点对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留（第一象限）时函数的图象； （3）利用对称性作出（2）中图象关于轴、轴及原点对称后的图象。
积分中的对称性 作者：刘建康 【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称 在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。 在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论： 若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。 1 对称性在重积分计算中的应用 对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。 结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有 ①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数 ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。 其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。 结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有： ①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称； ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。
情形一：积分区域D 关于坐标轴对称 定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有 (,)0D f x y dxdy =?? . 2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有 1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =?? ?? . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D I xy y dxdy = +??，其中D 为由2 2y x =与2x =围成的区域。 解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且 3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有 3()0D f xy y dxdy +=?? . 类似地，有： 定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则 2 2(,),(,)(,). (,)0,(,)(,).D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ?-=?=??-=? ???? 当当 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。 例 6 计算2,D I x ydxdy = ??其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。 解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且 2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴 的偶函数，由对称性定理结论有：
重积分计算中对称性的应用 二重积分的对称性质 一般的本科教材中都末具体给出，但在计算积分中经常用到，现补充如下： 结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则 ?? ????? ??=--=-=D D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1 ),(),(),(2),(),(0),(时当时当σ σ 结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则 ?? ????? ??=--=-=D D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1 ),(),(),(2),(),(0),(时当时当σ σ 结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则 ?? ????? ??=---=--=D D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1 ),(),(),(2),(),(0),(时当时当σ σ 其中}0, ),(),{(1≥∈=x D y x y x D 结论4：如果积分区域D 关于直线x y ,对称，则 ????=D D d x y f d y x f σσ),(),( 三重积分的对称性，可类似给出。 二、补充例题 例1. 利用二重积分性质，估计积分 ??++= D d y x I σ)94(22的值，其中D 是图形区域：42 2≤+y x 解法1. 首先求94),(2 2++=y x y x f 在D 上的最小值m 和最大值M 由于 x x f 2=??，y y f 8=??，令0=??x f ，0=??y f 得驻点），00(，9)0,0(=f D 的边界42 2 =+y x ，此时94494),(2 2 2 2 ++-=++=y y y x y x f
对称性应用 在工程问题中，有很多结构都具有对称性。我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。 结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。如下图所示： 对称性在求解结构内力中的应用： 对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。 在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。2、将未知力及荷载分组。3、取半结构反对称正对称
进行计算。对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。选取半结构的原则： 1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处 2、按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效 奇数跨对称结构： 偶数跨对称结构：
对称性应用 在工程问题中，有很多结构都具有对称性。我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。 结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。如下图所示： 对称性在求解结构内力中的应用： 对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。 在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。2、将未知力及荷载分组。3、取半结构进行计算。对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。选取半结构的反对称 正对称
原则： 1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处 2、按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效 奇数跨对称结构： 偶数跨对称结构： 在用位移法求解超静定结构的时候，同样可以利用对称性简化计算。分析可
2 对称性在曲线积分计算中的应用 2.1 对称性在第一类曲线积分计算中的应用 结论1 若积分曲线L关于x轴（或y轴）对称，记L1为曲线L被坐标轴所分割的两个对称区域之一，则有： ①∫Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于y（或x）的奇函数； ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于y（或x）的偶函数。 结论2 若积分曲线L关于直线y=x对称，则当点(x,y)∈L时，有(y,x)∈L，即L关于x,y具有轮换对称性，这时有： ∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds=12∫L［f(x,y)+f(y,x)］ds 若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x奇对称，则∫Lf(x,y)ds=0； 若f(x,y)=(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x偶对称，则∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(y,x)ds。 其中L1为曲线L被直线y=x所分割的两个对称区域之一。 2.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用 设有曲线积分I=∫L P(x,y)dx，其中L为光滑的有向曲线弧，如果L关于某条直线（包括坐标轴）对称，这时利用对称性计算上述曲线积分时，不仅要考虑P(x,y)的大小和符号，还要考虑投影元素dx的符号。当积分方向和坐标轴正向之夹角小于π2时，投影元素为正，否则为负。一般地，我们有： 结论若积分曲线L关于某直线对称，记L1为曲线L被这条直线所分割的两个对称区域之一，则有： ①∫Lf(x,y)ds=0,P(x,y)dx在对称点上取相反的符号； ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在对称点上取相同的符号。 对于积分∫L Q(x,y)dy也有类似地结论。上述结论都可推广到空间曲线的情形。 3 对称性在曲面积分计算中的应用 3.1 对称性在第一类曲面积分计算中的应用
摘要 “对称性在数学解题中的应用”是数学学习中重要内容之一，是高考数学备考中的重要环节.“对称性的探究及应用”也是中学数学中的难点之一，学生在学习过程中，往往感到困惑，从而提出种种质疑，在对称性的应用问题中条件和结论容易混淆. 本文整理了对称性在几何、代数、微分、积分中的应用问题，同时对一些典型例题给予解释，对定理证明与条件的分析，给出论证及说明.通过“对称性”在各方面解题中的应用，进一步探究“对称性在解题中应用”的条件.体会到数学源于生活，又应用于生活.通过对“对称性在解题中应用”的条件理解，提高了学习者的数学素养和人文精神，培养了学习者分析问题和解决问题的能力. 关键词：对称性，函数图像，轮换对称，轴对称，中心对称
目录 一、引言 (1) （一）研究工作的背景和发展概况 (1) 1.对称性在代数中的应用 (1) 2.对称性在几何中的应用 (2) 3.对称性在微分学中的应用 (2) 4.对称性在积分学中的应用 (3) （二）文章结构安排和主要结论 (3) 二、对称关系在解题中的应用 (4) （一）利用对称关系解轮换对称题 (4) （二）对称性在函数中的应用 (6) 1.对称性在基本初等函数中的应用 (6) 2.对称性在三角函数中的应用 (9) 3.对称性在解析几何中的应用 (11) 三、结束语 (16) 四、参考文献 (16)
一、引言 （一） 研究工作的背景和发展概况 对称性是数学研究的一个重要组成部分,它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支.古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯曾说:”哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”对称性的内容十分丰富,对称性的应用也十分广泛. 1.对称性在代数中的应用 对称是代数中随处可见的现象.譬如，实数a 与a -互为相反数，复数bi a +与 bi a -互为共轭复数，导数的运算法则，()v u v u '+'='+，()v u v u uv '+'=', 这些 有着明显的对称性.还有，原函数与反函数的图像关于直线x y =对称，偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，都给人以赏心悦目之感. 例1．古人发现的“杨辉三角”，又称贾宪三角形﹑帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 151010 5114641 1331 121 11 1 它具有的性质： （1）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1; （2）第n 行的数字个数为n 个; （3）第n 行数字和为)1(2-n ; （4）每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角形. “杨辉三角”形式上所具有的对称性和谐统一，令人叹为观止. 例 2.似乎黄金分割点（618.0=ω处）不是对称点，但若将左端点记为A ，右端点记为B ，黄金分割点记为C ，则AB CA CA BC ::=，而且C 关于中点的对称点D 也是AB 的黄金分割点，因为AB DB DB AB ::=，再进一步，D 又是的黄金分割点，C 是DB 的黄金分割点。由此讨论下去，可以视为一种连环对称.
关于积分对称性定理 1、 定积分： 设 f ( x) 在 a,a 上连续，则 2、 二重积分： 若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则 (1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分 0, f x,y 为y 的奇函数 f x, y dxdy 2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数 D D 1 其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分 0, f x, y 为x 的奇函数, f x,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数. D D 2 其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。 (3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函 a -a x dx 0, a 2 f x dx, 0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶
数，即卩 f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分 0, f x,y为x,y的奇函数 f x,ydx：y 2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数 D D2 其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分 f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性) D D (5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有 0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时 D D 利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3) 中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特 性。 3、三重积分： (1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关 于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩 有
对称性在积分计算中的应用 定理2.1.1[3] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于 x 轴对称.如果函数),(y x f 是关于y 的奇函数， 即),(),(y x f y x f -=-，D y x ∈),(， 则(,)0D f x y d σ=??；如果),(y x f 是关于y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =-， D y x ∈),(，则1 (,)2(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是D 在x 轴上方的平面区域. 同理可写出积分区域关于y 轴对称的情形. 则由定理2.1.1知32sin 0D y xd σ=??. 由定理2.1.1可得如下推论. 推论2 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，若积分区域D 既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，则 ⑴ 若函数),(y x f 关于变量y x ,均为偶函数，则1 (,)4(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是区域D 在第一象限的部分，{}1(,)|0,0D x y D x y =∈≥≥. ⑵ 若函数),(y x f 关于变量x 或变量y 为奇函数，则(,)0D f x y d σ=??. 当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理. 定理 2.1.2[]4 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于 原点对称.如果),(),(y x f y x f -=--，(,)x y D ∈，则(,)0D f x y d σ=??；如果),(),(y x f y x f =--，(,)x y D ∈，则1 2(,)2(,)2(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ==??????，其中{}1(,)|0D x y D x =∈≥，{}2(,)|0D x y D y =∈≥. 为了叙述的方便，我们给出区域关于y x ,的轮换对称性的定义. 定义 2.1.1 设D 为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意(,)x y D ∈，存在(,)y x D ∈，则称区域D （或光滑平面曲线段）关于y x ,具
函数对称性的应用 高中数学新课标对函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。在这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结 一、对称性的概念 （1）函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 （2）中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 二、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） （1）常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为
它的对称轴 （2）幂函数：幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴。 （3）正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（k π，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 （4）正弦型函数：正弦型函数y=Asin（ωx+φ）既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 （5）余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=k π是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心。 （6）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称图形，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，（不要误以为对称中心只是（kπ，0））。 （7）三次函数：任何三次函数都是中心对称图形，对称中心的横坐标是二阶导数的零点。 （8）对号函数：对号函数y=x+a/x（其中a>0）因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。（它没有对称轴），例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5）=f （1.5），我在教学时总是问学生：你可看见过老师将“√”
二重积分的对称性： ??=D d y x f I σ),( ⑴若D 关于y 轴)0(=x 对称， ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I ， ②若),,(),(y x f y x f =-则??=1 ),(2D d y x f I σ，1 D ：0≥x ⑵若D 关于x 轴)0(=y 对称， ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I ， ②若),,(),(y x f y x f =-则??=2 ),(2D d y x f I σ，2 D ：0≥y 三重积分的对称性： ???Ω =dv z y x f I ),,( ⑴若Ω关于xoy 面)0(=z 对称， ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则1 ,),,(21 Ω=???Ωdv z y x f I ：0≥z ⑵若Ω关于yoz 面)0(=x 对称， ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则2 ,),,(22 Ω =???Ωdv z y x f I ：0≥x ⑶若Ω关于xoz 面)0(=y 对称， ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则3,),,(2 3 Ω =???Ωdv z y x f I ： 0≥y 轮换对称性： 设Ω关于z y x ,,具有轮换对称性(既若Ω∈),,(z y x ，则将 z y x ,,任意互换后的点也属于Ω)，则被积函数中的自变量可以任意轮换 而不改变积分值： ???Ω dv z y x f ),,(???Ω =dv x z y f ),,(???Ω =dv x y z f ),,( 特别：???Ω dv x f )(???Ω =dv y f )(???Ω =dv z f )( 从而 3)]()()([=++???Ω dv z f y f x f ???Ω dv x f )(