2>+-≥+-a a a x a ，因而)cos 21ln(2a x a +-为连
续函数，且具有连续导数，令tan 2x t =，于是2
21dt
dx t =+，221cos 1t x t -=+，于是有
()I a '=
?
+--π
2cos 21cos 22dx a
x a x
a ?+--+=π022]cos 2111[1dx a x a a a ()()()
()22022
2
222202
2
1211211121112111a dt
a a t a a t t a dt
a a a t a a dt a
a a a t a π
ππ
+∞∞+∞
-=+??-+-+ ?+??
-=+++--=
+
+-??+ ?
+??
??? 0
21arctan 01a t a a a π
+∞
+??=+= ?-??． 从而)(a I 恒等于常数，根据0)0(=I ，知)1(0)(<=a a I ．
()ii 当1>a
时，令a
b 1
=
，则1
b b I dx b dx x b b dx
b
x b b I a I ln 2ln 2)(ln )1cos 2ln()1
cos 21ln()1()(0
20
2
02πππ
π
π=-=-+-=
+-==??
?
()iii 当1=a
时，有
()00020
2
(1)ln(22cos )ln 42ln sin 2ln 22ln sin 222ln 24ln sin 0
x
t x x I x dx dx dx
t dt ππππ
ππ=
????
=-=+=+ ? ????
?=+=????．
注
()()()0
2220
0022
ln sin ln sin ln cos ln cos ln 2222x t x dx t d t t dt x dx πππ
πππππ=-??????=--===- ? ? ????????
???， ()()()()()()()()()222000
22
20
0020022ln sin ln cos ln sin cos 1ln sin 2ln sin 2ln 2ln sin 2ln 222111ln sin ln 2ln sin ln sin ln 222222
t x x dx x dx x x dx
x dx x dx x dx t dt t dt t dt π
πππ
ππ
πππππππ=+=??==-=- ???
=-=+-????
?????
又因为
()()()0
20
2
2
ln sin ln sin ln sin t u
t dt
u du u du π
π
πππ=-=-=???，因此
()()2200
lnsin ln cos ln 22x dx x dx πππ
==-??
()0
020
2
(1)ln(22cos )ln 42ln cos 2ln 22ln cos 222ln 24ln cos 0
x
t x x I x dx dx dx t dt ππ
ππ
ππ=
?
???-=+=+=+ ? ?????
=+=??
??
综上所述，得知
??
?>≤=1
,
ln 21,0)(a a a a I π．
（3）()22220
ln(sin cos ),I x x d π
θθθ=
+?
()2
22
22222002cos 12sin cos tan x I x d x d x x π
πθθθθθ
θ'==++?? 令tan t θ=，arctan t θ=，2
1dt
d t θ=
+，于是 ()22222220
01121121111x I x x dt dt t x t x t t x x π
+∞
+∞??'==-= ?++-+++??
?
?， 积分得()()()ln 11I x x C x π=++≠，由于()I x 的连续性，此式对1x =也成立，在原式中令1x =，得()10I =，所以ln 2C π=-，所以()1ln 2x I x π+??
=
???
． 4．应用积分号下求积分方法计算积分．
（1）1
01sin(ln )
,(0,0)ln b a x x dx a b x x ->>? （2）201cos 1
ln ,(||1)1cos cos x dx x x
π
ααα+?>-? 解：（1）不妨设a b <，有
()
1
100110011sin(ln )sin(ln )ln 11
=sin(ln )sin(ln )b a b y
a
b b y y a a x x dx x dy dx x x x dx x dy dy x dx x x -==???????
这里，当0x =时，1
sin(ln )y
x x
理解为0，从而1sin(ln )y
x x
在01,x a y b ≤≤≤≤上连 续，故可应用积分号下的积分法交换积分次序．
作代换t
x e -=，可得
1
(1)(1)000(1)02
(1)2
21sin(ln )sin lim sin 1lim [(1)sin cos ]|1(1)1lim {[(1)sin cos ]1}1(1)11(1)B y y t y t
B y t B
B y t
B x dx e tdt e tdt x
y t t e y y B B e y y +∞-+-+→+∞-+→+∞-+→+∞===-+-++=-+-+++=
++???
于是，最后得
1
201sin(ln )arctan(1)|ln 1(1) arctan(1)arctan(1)b a b b
a a x x dy dx y x x
y b a -==+++=+-+?? 注
22
sin cos cos ,ax ax b bx a bx
e bxdx e C a b
+=++?
22
sin cos sin .ax ax a bx b bx e bxdx e C a b -=++?
（2）因为()()1cos 111
ln ln 1cos ln 1cos 1cos cos cos 1cos x x x dy x x x y x
αααααα-+?=+--=????-+?，于是
2
22
001111cos 1cos 1cos dy dx dx dy dy dx y x y x y x π
ππ
αααααα---????== ? ?+++????
?
????? 令tan 2x t =
，112
2200022
1122111cos 11111dt dt dx dt y t y x
t y t y y t
π
==+-++-++-+??? 于是
原式0dy α
αα
-
?=
=??
arcsin α
ππα==?
．
5．讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性． (1)
dy e y x ?
+∞
-0
2
在],[b a )0(>a 上一致收敛；
（2）0x xe dx α+∞
-?
在[,)(0)b b +∞>上关于α的一致收敛性．
（3）
sin xu
x
e dx x
+∞
-?
在[)0,+∞上一致收敛． （4）2
sin 1y
x I y dx x
+∞=
+?
（）在[0,)y ∈+∞中的一致收敛性． 解：（1）（M -判别法）由于对0>≥a x ，+∞<≤y 0有y a y
x e e
2
20--≤<，且
20
20
1122
a
e a
dy e y
a y a =
-
=∞+-+∞
-?
， 即
2
a y e dy +∞
-?
收敛，由M -判别法知dy e y x ?+∞-0
2
在],[b a )0(>a 上一致收敛．
（2）法1：（利用定义判断）当0b α≥>时，0A ?>，有：
2
21
10||0()x
x A A bA bA
A
A
A
A xe
dx xe dx e e e e A b b
ααααα
α
+∞
+∞
------≤==
+
≤+→→+∞?
?
，根据定义可知
x xe dx α+∞
-?
在[,)(0)b b +∞>上关于α的一致收敛．
法2：对0b α≥>，0x ≤<+∞，有x
bx xe
xe α--≤，且0
bx xe dx +∞
-?
收敛，取2p >
lim 0p
bx x x x e
→∞=，则0bx
xe dx +∞-?收敛．由M -判别法知0x xe dx α+∞-?在[,)(0)b b +∞>上关
于α的一致收敛．
（3）0A ?>，
sin 1cos 2A
xdx A =-≤?，1
x
在()0,+∞单调递减趋于0，由无穷积分的狄利克雷判别法，知0sin x
dx x
+∞?收敛，因此关于u 在[)0,+∞上一致收敛．而xu e -关
于x 在[)0,+∞上单调，且01xu
e -≤≤，即关于u 在[)0,+∞上一致有界，由阿贝尔判别法，
知
sin xu
x
e dx x
+∞
-?
在[)0,+∞上一致收敛． （4）法1：因为
2
sin x dx +∞
+∞
=?
?
收敛，且与y 无关，故关于[0,)y ∈+∞是一致收敛的．任意固定[0,)y ∈+∞，
1
1y
x
+是x 的单调函数，且1||11y x <+，由Abel 判别法知2
sin 1y
x I y dx x
+∞
=+?
（）关于[0,)y ∈+∞上一致收敛． 法2：将I y （）
改写成2
1
sin (1)
y
x x dx x x +∞
+?
，由于
()
i 2200
1sin cos |1,[0,)2
A
A
x x dx x y =-≤?∈+∞?
；
()ii 对每一个固定的[0,)y ∈+∞，
1(1)
y
x x +对x 单调减，（因为当x 增，y
x 也增） 且110()(1)y x x x x -≤
≤→→+∞+，故当x →+∞
时，1
(1)
y x x +关于y 一致收敛于0．由狄利克雷判别法知2
sin 1y
x I y dx x +∞
=
+?
（）在[0,)+∞一致收敛． 6．设在[][d c a ,),?+∞内成立不等式).,(),(y x F y x f ≤若?
+∞
a
dx y x F ),(在[]
d c y ,∈上一致收敛，证明
?
+∞
a
dx y x f ),(在[]d c y ,∈上一致收敛且绝对收敛．
证 因为
?
+∞
a
dx y x F ),(在[]d c y ,∈上一致收敛，由柯西准则知，对任给正数ε，总存
在实数a M >，使得当M A A >>12时，对一切[]d c y ,∈，都有
ε
2
1
),(A A dx y x F ．
又[][),),),()(,(),(d c a y x y x F y x f ?+∞∈?≤，从而
.),(),(),(),(2
1
2
1
2
1
2
1
ε<=
≤≤?
??
?
dx y x F dx y x F dx y x f dx y x f A A A A A A A A
故
?
+∞
a
dx y x f ),(在[]d c y ,∈上绝对一致收敛．
7.若(),f x y 在(),),a c +∞?+∞??连续，对每个(),y c ∈+∞，()(),a
I y f x y dx +∞
=?
收
敛，但当y c =时，积分(),a
f x c dx +∞
?
发散，则()(),a
I y f x y dx +∞
=?
在(),c +∞上不一致
收敛．
证 反证法，设()(),a
I y f x y d x +∞
=
?
在(),c +∞上一致收敛，则由柯西准则得：对任给
正数ε，总存在实数M c >，使得当M A A >>12时，对一切(),y c ∈+∞，都有
2
1
(,)A A f x y dx ε
．
因为(),f
x y 在(),),a c +∞?+∞??连续，则(),f x y 在[](),,A A c '''?+∞上连续，因此
2
1
(,)A A f x y dx ?
连续，令y c +→，则有
2
1
(,)A A f x c dx ε
，由反常积分的柯西准则得
(),a
f x c dx +∞
?
收敛，矛盾．
8．讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性． 1）()2
0tx I t e dx +∞
-=?在()0,+∞上一致收敛吗？ 2）()2
20cos tx I t e x x dx +∞
-=?在()0,+∞上一致收敛吗？
3）()2
tx I t dx -=?
在()0,+∞上一致收敛吗？
4）()0xy I x xe dy +∞
-=?在[]0,b 上一致收敛吗？ 5）()0
xy I x xe dy +∞
-=
?
在()0,+∞上一致收敛吗？
解 1）因为()0
01I dx +∞
=?
发散，则()2
tx I t e dx +∞
-=?在()0,+∞上不一致收敛．
2）因为()20
0cos I x x dx +∞
=?
，而2201
cos sin 2
A x x dx x =?当A →+∞，极限不存在，
因此()20
0cos I x x dx +∞
=
?
发散，则()2
tx I t e dx +∞
-=?在()0,+∞上不一致收敛．
3）取2
01
0u e du ε+∞-=
>?
，对,N c A N ?>?>，取2
1
0t A =
>，使 2
0tx u
A
dx du ε+∞
--==?
?
因此()2
tx I t dx -=
?
在()0,+∞上不一致收敛．
注 虽然()0
000I dx +∞
==?
收敛，
但不能推出()2
tx I t dx -=?在()0,+∞上一致收
敛．
4)(),xy
f x y xe
-=在[][)0,0,b ?+∞连续，
()0
0,0
1,0xy
x I x xe
dy x +∞
-=?==?≠?
?
不连续，
因此()0
xy I x xe dy +∞
-=?
在[]0,b 上不一致收敛．
5）取01
0u e du ε+∞
-=
>?
，对,N c A N ?>?>，取1
0x A
=
>，使 0xy u A
Ax
xe dy e du ε+∞
+∞
--==?
?
因此()0xy I x xe dy +∞
-=
?
在()0,+∞上不一致收敛．
9.从等式
?----=b
a
bx
ax xy
x
e e dy e
出发，计算积分
?
∞
+-->>-0
)0(a b dx x
e e bx
ax ． 解
dx dy e dx x
e e b a xy bx
ax ][0
0??
?-∞
+∞+--=-
由于当b y a x ≤≤≥,0时，ax xy
e e
--≤<0，而?+∞
-0
dx e ay 收敛，故由M -判别法知
?
+∞
-0
dx e xy 在],[b a 上一致收敛，又因xy e -在b y a x ≤≤+∞<≤,0内连续，所以
dy dx e dx x e e xy b a bx
ax ][00
???∞+-∞
+--=-?==b a a
b dy y ln 1
10．求下列积分： (1)?
∞
+---0
2
2
22
2dx x e e x
b
x
a
(提示：证明中可利用公式2
2
π
=
?∞
+-dx e x )；
(2)
;sin 0
?+∞
-dt t
xt
e t
(3)2
01cos x xy e dx x +∞
--? ． 解 (1)因为
?---=-2
22
2
22
22
b a
y x x
b
x
a
dy e x e e ，所以
???
∞
+-∞
+--=-0
2
2
222
22
2b a
y
x x
b x
a
dy e
dx dx x e e ．
易证含参量反常积分
?
+∞
-0
2
dx e y x 在],[22b a 上一致收敛，
由于y x e 2
-在],[),0[2
2b a ?+∞上连续，因此可以交换积分顺序，于是
???
∞
+-∞
+--=-2
222
22
20
2
b a
y
x x
b
x
a
dx e
dy dx x e e
2
22
2
2
).2
b x y a
b
a e
b a +∞-==
=-???
(2)
??
+∞?-+∞
--?-=010
sin 0sin sin dt t
xt t e dt t xt e t t
由本节例5，易得
上式=.arctan )1
arctan 10(arctan
x x
=--
(3)由?>=-y y dt x xt x xy
02
)0(sin cos 1知
???+∞-+∞-=-0002sin cos 1y
x x dt x xt e dx dx x xy e 易证含参量反常积分?+∞-0sin dx x xt e x 在],0[y 上一致收敛．由于x
xt
e x
sin -在],0[),0[y ?+∞上连续，因此可以交换积分顺序，于是
?????>+-=+-===-+∞-+∞
-y y y y x x
y y y y dt t t t tdt dx x xt e dt dx x xy e 02
2000002
)
0)(1ln(21arctan 1arctan )(arctan sin cos 1由上题知
由于原积分值是y 的偶数，从而当01
arctan 2y y y +-
11．应用2
10
2
2
-
∞
+-=
?
a
dt e at π
)0(>a ．证明2
30
2
4
2
-
∞
+-=
?a
dt e
t at π
证：
dt e a te a
tde a dt e
t at at
at at ???
+∞-∞
+-+∞-+∞
-+-=-=0
00
22222
2121
21 q a dt e a at 2212102π?==?∞+-23
4
-=a π． 12．计算).21
(),21(),25(),25(n n -Γ+Γ-ΓΓ
解 ,43)21(2123)23(23)25(π=Γ?=Γ=Γ
535213411()()/()()/()()/()2225221522Γ-=Γ--=-Γ--=Γ-=,2
!)!12()21(2121232212))1(21(212)21(πn
n n n n n n -=Γ-?-=-+Γ-=+Γ .!
)!12(2)1()21()12()322)(122())1(21(122)21(n n n n n n n n n --=Γ----=--Γ--=-Γ 13．已知,)2
1
(π=Γ试证
.2
2
2
π
=
?
∞
+∞
--dx e x x
证
dx e
x x ?
+∞
∞
--2
22
2x x e
dx --∞
=?2
20
x x e dx +∞
-+?
2
20
y y e
dy +∞
-=?
2
20
x x e
dx +∞
-+?
2
20
2x x e dx +∞
-=?
令2
x t =，则
上式12
2
t
te dt +∞
-=?
1
20
122
t
te t dt +∞
--=??
120
2t
t e dt +∞-
-=?
311()()2222
=Γ=Γ=
14．证明：
(1)6
1ln 2
1
0π-=-?dx x x ； (2)
∑?
∞=-=-120
)1ln(n n
u
n
u dt t t ，10≤≤u ． 证：(1)因∑∞
=--=1
)1(ln n n
n x x )111(≤-<-x ，所以
?∑?∞=---=-10111
0))1((1ln n n dx n x dx x x 612
12π-=-=∑∞=n n ． (2)由于∑∞
=-=-1
)1ln(n n
n t t )10(≤所以
dt n t dt t t u n n u
)()1ln(0110
?∑?
∞=--=-∑∞=-=12n n n
u )10(≤≤u ．
第十九章 含参量正常积分.
第十九章 含参量正常积分 §19.1 含参量正常积分 教学要求： (1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式． (3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念 定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上有定义，且对],[b a 内每一点 x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的 函数 ?=d c dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1） 设二元函数),(y x f 在区域 }),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义， 函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数 ? =) () (),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2） 称()(,)d c I x f x y dy =?和() () ()(,)d x c x F x f x y dy =?为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。 类似可定义含参量y 的正常积分． 含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 . 二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性
习题反常积分的收敛判别法
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有
含参量积分汇总
第十九章含参量积分 一.填空题 1.若在矩形区域上_________,则 2.含参量反常积分 在____________上一致收敛. 3.设在上连续,若含参量反常积分 在上___________,则在上连续. 4. 5.在中如令, 则 6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为 7. 在上不一致收敛是指______________. 8. 9. 设, 则 10. 利用函数定义, 二.证明题 1. 证明在上一致收敛. 2. 证明在上一致收敛. 3.证明若函数在连续, 则, 有
4.证明在上非一致收敛. 5.证明 6.证明在上一致收敛. 7. 证明在上不一致收敛. 8. 证明 9. 证明 10. 证明在R上连续. 计算题1. 求 2. 求 3.设. 求 4. 求 5.用函数与B函数求积分 6.用函数与B函数求积分 7.求积分 8.从等式出发, 计算积分 9.设. 求
10.求 填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. 5.. 6. . 7. , 有 8. 1 9. . 10. . 证明题答案: 1. 证明: , 有 , 而收敛, 则 在上一致收敛. 2. 证: , 有, 而, 则 在上一致收敛. 3证: 已知在连续, 使. 设, 有 于是,
4.证: , 有 . 即在上非一致收敛. 5.证: 设有 . 6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知 在上一致收敛. 7. 证: 因在处不连续, 而在 内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛. 8. 证: 令, 则. 9. 证: 令则, . 10. 证：
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
含参量反常积分的一致收敛判别法及推广 作者：蒋碧希 指导老师：张海 摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性 质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用. 关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛 1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用. 2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? (1) 都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有 ()(,),[,],c I x f x y dy x a b +∞ =∈? (2) 称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 2.2 含参量反常积分的一致收敛概念 若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有 (,)()M c f x y dy I x ε-
(,)M f x y dy ε+∞ ，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε?ε,0>?M ,M A A >?21,时，使得],[b a x ∈?时，有 1 (,)2A f x y dy ε+∞ ?>?M ε，当M A A >21,时， 有 2 1 (,)A A f x y dy ε，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切 ],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε
含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-
含参变量反常积分的几种计算方法
含参变量反常积分的几种计算方法 摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。 关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理 在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。 一 积分号下积分法 要对含参变量反常积分()(),y a g f x y dx +∞=? 实现积分号下求积分，须验证以下条件： (1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞? 在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),c f x y dx +∞ ? 在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛； (3) (,)c a dy f x y dx +∞ +∞?? 及(),a c dx f x y dy +∞+∞ ?? 至少有一个收敛， 则 ()(),,a c c a dx f x y dy dy f x y dx +∞+∞ +∞ +∞ =?? ?? 例1 利用2 u e du +∞ -?u=x α令2 ()0 (0)x e dx ααα+∞ -?>?，求2 e d αα+∞ -?的值。 分析：2 x e dx +∞ -?这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积 分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。 解：由已知，得()g α=2 ()0 x e dx αα+∞ -?是取常值的函数，记I=2 e d αα+∞ -?, 则 I 2=I 2 e d αα+∞ -?=2 Ie d αα+∞ -? =22 ()0 ()x e dx e d αααα+∞+∞ --??=2 2(1) x d e dx α αα+∞+∞ -+?? =2 2(1) x dx e d α αα+∞+∞ -+??= 201121dx x +∞+?=4π 故 二 积分号下微分法
数学分析之含参量积分
第十九章含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：12学时 §1含参量正常积分 一. 含参积分:以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 在上连续 . ( 证) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 在上连续, 则函数在上连续. ( 证) P173
2. 含参积分的可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导, 且 . ( 即积分和求导次序可换) . ( 证) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上, 且可微, 则含参积分 在上可微, 且 . ( 证)P174 例1 计算积分. P176. 例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 的阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 一. 含参无穷积分:
1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 无穷区间) . 以为例介绍含参无穷积分表示的函 数. 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性) 设函数定义在上 . 若对 , 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:
含参量反常积分一致收敛的判别法
题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名 学号 系别数学系 年级2010级 专业数学与应用数学 指导教师 职称 完成日期
摘要 含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法
Abstract Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression. Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis
目录 1引言 (1) 2基本概念 (1) 2.1含参量反常积分 (1) 2.2含参量反常积分一致收敛 (2) 3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2) 3.1定义法 (2) 3.2柯西准则法 (3) 3.3变上限积分的有界性法 (3) 3.4确界法 (4) 3.5微分法 (5) 3.6级数判别法 (6) 3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6) 3.8狄里克莱判别法 (8) 3.9阿贝尔判别法 (8) 4结束语 (1) 参考文献 (10) 致谢 (11)
含参量积分与欧拉积分
含参量反常积分与欧拉积分 姓名：于赛楠(114942059) 司秀秀(114942004) 胡月月(114942011) 郑素丹(114942026) 田玉方(114942054) 冯娜娜(114942028) 任亚南(114942034) 班级： 11级数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012.11.4
i含参量反常积分与欧拉积分 1.含参量反常积分 1.1含参量积分的定义 定义1设函数定义在无界区域R=｜上，其中为一区间，若对每一个固定的反常积分 (1) 都收敛，则它的值是x在上取值的函数，当记这个函数为 称(1)式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 定义2 设在区域R=上有定义，若对的某些值,为函数的暇点，则称为含参量的无界函数反常积分，或简称为 含参量反常积分. 1.2含参量反常积分一致收敛的定义及判定 1.2.1一致收敛的定义 定义3 设含参量反常积分与函数（）对任给的正数，总存在某一实数N，使得当时，对一切，都有｜｜，即｜｜，则称含参量反常积分在一致收敛于，或简单的 说含参量积分在上的一致收敛. 定义4 对任给正数，总存在某正数d-c,使得当0时，对一切 ,都有｜｜则称含参量反常积分在上一 致收敛. 1.2.2一致收敛的柯西准则 定理1 含参量反常积分在I上一致收敛的充要条件是：对于任给的正数，总存在某一实数M c，使得当M 时，对一切x I，都有 ｜｜< . 证明必要性 若在上一致收敛，则任意存在存在 及有,因此，任意N,
充分性若任意，存在任意 ｜｜ 则令，得,这就证明了在上 一致收敛. 例 1 假设在[,=内成立不等式 , 若, 在上一致收敛, 证明在上一 致收敛且绝对收敛. 证明因为在上一致收敛,根据一致收敛的柯准则可 知对总存在某一实数使得当对一切有， ｜｜= 而｜｜｜｜, 在上收敛，即在上绝对收敛 在上一致收敛. 综上在上一致收敛，且绝对收敛. 1.2.3一致收敛的充要条件 定理1含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任意趋于的 递增数列{}(其中=c),函数项级数 在上一致收敛. 例2 设为上连续非负函数在
19数学分析课件含参量积分.doc
第十九章含参量积分 目的与要求：1.掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则；2.掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.3. 了解r函数与B函数的定义与有关性质 重点与难点：本章重点是含参量正常积分的连续性，可微性和可积性，含参量反常积分的一致收敛性概念，性质；难点则是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明 第一节含参量正常积分 ?含参量正常积分的概念 1定义 设二元函数/(x,y)在矩形区域R = [m]x[c,d]上有定义，且对[。,用内每一点们函数f (x, y)关于)，在闭区间]上可积，则定义了尤的函数 /⑴=y)d y, xe[a,h] (i) c 设二元函数/(、,)，)在区域 G = {(%, y)\ c(x) < y < d(x\ a 间[c(x),J(x)]±可积，则定义了尤的函数 d(；) F(x)= \f(x.y)dy , A* e [a.b] (2) c由 称(1)和(2)为含参量]的正常积分.类似可定义含参量)，的正常积分. 二含参量正常积分的连续性、可微性与可积性 1连续性 定理19. 1(连续性)若二元函数/(x,y)在矩形区域R = [a,h]x\c^d]±连续，则函数d Z(x)= 在[。㈤上连续. C 证设x 6 [a.h],对充分小的Ar, ^*x4-ZLr e [a,h](若工为区间端点则考虑Ar〉0或 k<0),于是 d Z(x + Ax)- /(x)= j[/(x + Ax,y)-/(x,y)]Jy (3) c 由于f^y)在有界闭区域R上连续，从而一致连续，即对任给的正数总存在某个正数 S ,对/?内任意两点(X], )与(尤2，光)，只要 X,-X2\<3,_光|<$ 就有F3，)"-/(尤2,光』<￡⑷所以由(3) (4)可得：当|4xj < 8 ,
含参量反常积分答案
§2 含参量反常积分 一 一致收敛性及其判别法 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? （1） 都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有 ()(,),c x f x y dy x I φ+∞ =∈? ， （2） 称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。 如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。 定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。都有 (,)()c f x y dy x φε+∞ -，使得当1 2 ,M A A >时，对一切x I ∈， 都有 1 2 (,)A f x y dy A ε），但在()0,+∞内不一致收敛。
第十一章反常积分习题课教学总结
第十一章 反常积分习题课 一 概念叙述 1．叙述()dx x f a ? +∞ 收敛的定义． 答： ()dx x f a ? +∞ 收敛? ()()lim +∞ →+∞=? ? u a a u f x dx f x dx 存在． ?()lim 0+∞ →+∞=?u u f x dx ． ?()()0,0,,εε+∞ ?>?>?>-?>?>?>当δ<<+a u a ， 有()()ε-，存在0M >，只要12,u u M >， 便有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ，存在0δ>，只 要()12,,u u a a ∈+δ，总有 ()()()2 1 2 1 b b u u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε??? ． 二 疑难问题 1．试问 ? +∞ a dx x f )(收敛与0)(lim =+∞ →x f x 有无联系？ 答：首先，0)(lim =+∞ →x f x 肯定不是 ? +∞ a dx x f )(收敛的充分条件，例如01 lim =+∞→x x ，但 ? +∞ 11 dx x 发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是?+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如 ? +∞ 1 2 sin dx x ，?+∞ 1 2 cos dx x ，? +∞ 1 4sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得
第5章换元法与分部积分法,反常积分习题集及答案
第五章 习题二 换元法与分部积分法，反常积分 一．选择题 1．设2]2,0[)(C x f ∈，0)0(=f ，4)2(=f ，2)2(='f ，则=''?dx x f x )2(1 0（ A ） （Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）2； （Ｄ）4． 2．设)(x f 连续，则 =+?b a dy y x f dx d )(（ B ） （Ａ）?+'b a dy y x f )(；（Ｂ）)()(a x f b x f +-+；（Ｃ）)(a x f +；（Ｄ）)(b x f +． 3．下列反常积分中收敛的是（ D ） （Ａ）dx x ?∞ +1 1； （Ｂ）dx x ? 1 031 ； （Ｃ）dx x ?101； （Ｄ）dx x ?∞+121． 4．下列反常积分中收敛的是（ C ） （Ａ）?∞ +e dx x x ln ； （Ｂ）?∞+e dx x x ln 1 ； （Ｃ）?∞+e dx x x 2) (ln 1； （Ｄ）?∞+e dx x x 2 1)(ln 1 ． 5．对于反常积分?∞ +1 ln x x dx p ，下列结论正确的是（ D ） （Ａ）当1>p 时收敛； （Ｂ）p 取任意实数都收敛； （Ｃ）当1
第十九章含参量积分
第十九章 含参量积分 一. 填空题 1. 若(,)f x y 在矩形区域[,][,]R a b c d =?上_________,则 (,)(,)b d d b a c c a dx f x y dy dy f x y dx =? ??? 2. 含参量反常积分 2 cos 1xy dx x +∞+? 在____________上一致收敛. 3. 设(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续,若含参量反常积分 ()(,)c I x f x y dy +∞= ? 在[,]a b 上___________,则()I x 在[,]a b 上连续. 4. (1)_______.n Γ+= 5. 在1110 (,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --= ->>? 中如令 2cos x ?=, 则 (,)_______B p q = 6. 对于任何正实数,,p q Γ函数与B 函数之间的关系为(,)________.B p q = 7. (,)c f x y dy +∞ ? 在[,]a b 上不一致收敛是指______________. 8. 1 0lim _________.y -→=? 9. 设 2(), (1,1)(1sin )dx F y y y x π π-=∈-+?, 则 ()__________.F y '= 10. 利用Γ函数定义,4 ________.x e dx +∞ --∞ =? 二.证明题 1. 证明 22 222 1 () y x dx x y +∞ -+? 在(,)-∞+∞上一致收敛. 2. 证明 2 x y e dy +∞ -? 在[,](0)a b a >上一致收敛. 3. 证明若函数()f x 在[,]a A 连续, 则[,)x a A ?∈, 有 01lim [()()]()()x a h f t h f t dt f x f a h →+-=-?
含参量反常积分
§2 含参量反常积分 教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分 的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学要求： (1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反 常积分的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议： (1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔 斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性． (2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与 可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结． 教学程序： 定义 设函数()y x f ,定义在无界区域R =(){}+∞<≤≤≤y c b x a y x ,,上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分 ()?+∞ c dy y x f ,都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记 ()x I = ()?+∞ c dy y x f ,，x ∈[]b a , （1） 称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分. 一 一致收敛概念及其判别法 1．一致收敛的定义 定义1 若含参量的反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?M c x I dy y x f , 即 ()ε，使得当M A A >21,时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?2 1 ,A A x I dy y x f 例1 证明参量的反常积分 ?+∞ sin dy y xy
习题8.2反常积分的收敛判别法
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21<
关于含参量反常积分的证明.
关于含参量反常积分的证明 引言 刚开始学习数学分析这门课时，老师就说过，在数学分析这门课中，极限的)(δεN -定义和积分等知识十分重要，可以说学好了它们就学好了数学分析这门课。在第四版数学分析教材下册第十九章中向我们介绍了含参量积分的相关知识。在本文中我将对含参量积分的性质的证明做一下归纳总结，希望与大家一同分享。 一、证明过程中用到的定理 定理1（函数项级数的连续性定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项都连续，则其和函数在[]b a ,上也连续。 定理 2（函数项级数的逐项求积定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项()x u n 都连续，则()∑ ? b a n x u dx =()∑? x u n b a dx . 定理 3（函数项级数的逐项求导定理））若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上每一项都 有连续的导函数，[]b a x n ,∈为∑n u ()x 的收敛点，且()∑x u n '在[]b a ,上一致收敛，则 ()()()∑∑ =??? ??x u dx d x u dx d n n . 定理4 若()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则 ()()dx y x f dy dy y x f dx d c b a b a d c ? ???= ,,. 定理5 含参量反常积分()dy y x f c ? +∞ ,在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞ +的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数 ()()∑ ? ∑∞ =∞ =+= 1 1 1 ,n A A n n N N x u dy y x f 在I 上一致收敛。 二、证明思想 由于直接从含参量反常积分入手不易证明，所以我们可以利用定理5将含参量反常积分 转化为已解决的函数项级数问题，从而证得。 三、含参量反常积分性质的证明 1、连续性 设()y x f ,在[]+∞?,c I 上连续，若含参量反常积分()()? +∞ = Φc dy y x f x ,在 I 上一致收敛，则()x Φ在[]b a ,上连续。
第11章反常积分答案
第十一章 反常积分 一、单选题（每题2分） 1、广义积分 dx x x ? ∞ +-1 2 1 1=（ ） A 、0 B 、2π C 、4π D 、发散 2、广义积分 dx x x ? ∞+-+2 2 21 =（ ） A 、4ln B 、0 C 、4ln 31 D 、发散 3、广义积分?+-2 02 34x x dx =（ ） A 、3ln 1- B 、32ln 21 C 、3ln D 、发散 4、下列广义积分收敛的是（ ） A 、 ? ∞ +e dx x x ln B 、?∞+e x x dx ln C 、 ?∞ +e x x dx 2 )(ln D 、?∞+e x x dx 21)(ln 5、下列广义积分发散的是（ ） A 、 ?∞ -0 dx e x B 、 ? π 2cos x dx C 、?-20 2x dx D 、?∞+-0dx e x 6、下列积分中（ ）是收敛的 A 、?∞ +∞-xdx sin B 、?-2 22sin π πx dx C 、?∞+0dx e x D 、 ?-101x dx 7、下列广义积分发散的是（ ） A 、?-1 1sin x dx B 、?--1121x dx C 、?∞+-02 dx xe x D 、?∞+22)(ln x x dx 8、?=-1 01 2 1dx e x x （ ） A 、e 1 B 、11-e C 、e 1 - D 、∞
9、已知 2sin 0 π =? ∞ +dx x x ，则=?∞+dx x x x 0cos sin （ ） A 、0 B 、4π C 、 2π D 、π 10、广义积分=+?∞ +∞-dx x 2 11 （ ） A 、0 B 、2π C 、2π - D 、π 11、下列积分中绝对收敛的是（ ） A 、 dx x x ? ∞ +1 2sin B 、dx x x ?∞+1sin C 、dx x ?∞+12sin D 、dx x x ?∞+14sin 12、已知广义积分 dx x ?∞+∞ -sin ，则下列答案中正确的是（ ） A 、因为()x f 在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =?∞ +∞-dx x B 、 dx x ? ∞+∞-sin = () ()()[]0 cos cos cos =∞--∞+-=∞ -∞+-x C 、dx x ?∞+∞-sin =()0 cos cos lim sin lim =+-=? -+∞ →+∞ →b b xdx b b b b D 、 dx x ?∞+∞ -sin 发散 13、设广义积分 dx e kb ?∞ +-0 收敛，则k （ ） A 、0≥ B 、0> C 、0< D 、0= 答案：BCDCB DAABD ADB 二、判断题（每题2分） 1、当10<<λ时，无穷积分 dx x x ? ∞ +1 cos λ条件收敛； （ ） 2、当10<<λ时，无穷积分 dx x x ? ∞ +1 sin λ绝对收敛； （ ）
数学分析19含参量积分总练习题(含参考答案)
第十九章 含参量积分 总练习题 1、在区间1≤x ≤3内用线性函数a+bx 近似代替f(x)=x 2，试求a,b 使得积分?-+3 122)(dx x bx a 取最小值. 解：设f(a,b)=?-+3 122)(dx x bx a ， 由f a (a,b)=2?-+3 12)(dx x bx a =4a+8b-3 52=0, f b (a,b)=2?-+3 12)(dx x bx a x =8a+ 352b-40=0, 得驻点a=3 11 -,b=4. 又f aa =2?31dx =4, f bb =2?312 dx x =3 52, f ab =f ba =2?31xdx =8, 即f aa ·f bb -f ab 2=316>0， ∴(311-,4)是f 唯一的极小值点，即a=3 11 -,b=4时，积分取最小值. 2、设u(x)=?1 0)(),(dy y v y x k ，其中k(x,y)=???>-≤-y x x y y x y x ),1(),1(与v(y)为[0,1]上 的连续函数，证明：u ”(x)=-v(x). 证：当0≤x ≤1时，u(x)=?10)(),(dy y v y x k =?-x dy y v x y 0)()1(+?-1 )()1(x dy y v y x . 由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续知， u ’(x)=?-x dy y yv 0 )(+x(1-x)v(x)+?-1 )()1(x dy y v y -x(1-x)v(x) = -?x dy y yv 0)(+?-1 )()1(x dy y v y . u ”(x)=-xv(x)-(1-x)v(x)=-v(x). 3、求函数F(a)=?∞ +- 2)1sin(dx x x a 的不连续点， 并作函数F(a)的图像. 解：由?+∞ sin dx x ax =2 π sgna ，
