课时作业(四十四) [第44讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程]
[时间:35分钟 分值:80分]
基础热身
1.在下列关于斜率与倾斜角的说法中正确的是( )
A .一条直线与x 轴正方向所成的正角叫做这条直线的倾斜角
B .倾斜角是第一或第二象限的角
C .直线倾斜角的正切值就是这条直线的斜率
D .斜率为零的直线平行于x 轴或重合于x 轴
2.已知直线ax +by +c =0(ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等,则a ,b ,c 满足的条件是
( )
A .a =b
B .|a |=|b |
C .c =0或a =b
D .c =0且a =b
3.过点P (-2,m )和Q (m,4)的直线斜率等于1,那么m 的值等于( )
A .1或3
B .4
C .1
D .1或4
4.已知点A (-1,2),B (2,-2),C (0,3),若点M (a ,b )(a ≠0)是线段AB 上的一点,则直线CM 的斜率的取值范围是( )
A.?
???-∞,-52 B .[1,+∞)
C.?
???-∞,-52∪[1,+∞) D.???
?-52,1 能力提升 5.已知直线l 的倾斜角α满足条件sin α+cos α=15
,则l 的斜率为( ) A.43 B.34 C .-43 D .-34
6.已知a >0、b <0、c >0,则直线ax +by +c =0必不经过( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
7.若直线经过点(1,1),且与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则这样的直线共有( )
A .4条
B .3条
C .2条
D .1条
8.直线l 1,l 2关于x 轴对称,l 1的斜率是-7,则l 2的斜率是( )
A.7 B .-77 C.77
D .-7 9. 将直线l 1:x -y -3=0,绕它上面一定点(3,0)沿逆时针方向旋转15°得直线l 2,则l 2的方程为________.
10.直线过点(2,-3),且在两个坐标轴上的截距互为相反数,则这样的直线方程是________.
11. 在平面直角坐标系中,如果x 与y 都是整数,就称点(x ,y )为整点,下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;
②如果k 与b 都是无理数,则直线y =kx +b 不经过任何整点;
③直线l 经过无穷多个整点,当且仅当l 经过两个不同的整点;
④直线y =kx +b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与b 都是有理数;
⑤存在恰经过一个整点的直线.
12.(13分)已知直线l的方程是y=-(a+1)x+2-a(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若l与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,求直线l的方程.
难点突破
13.(12分)为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图K44-1所示),其中在△AEF区域内有一文物保护区不能占用,经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m
课时作业(四十四)
【基础热身】
1.D [解析] 注意与相应的概念相对照,一一判断.
2.C [解析] 由-c a =-c b
得C 正确. 3.C [解析] 根据斜率公式4-m m +2
=1,解得m =1. 4.C [解析] 因k AC =2-3-1-0=1,k BC =3-(-2)0-2
=-52,且点A ,B 在y 轴两侧.故选C.
【能力提升】
5.C [解析] α必为钝角,且sin α的绝对值大,故选C.
6.D [解析] 斜率大于0,且在x 轴上的截距-c a <0,在y 轴上的截距-c b
>0,由图形分析即得.如图.
7.B [解析] 作图易得在第一、二、四象限各能围成一个.
8.A [解析]
之间的关系.如图,显然直线l 29.3x -y -33=0 [解析] 已知直线的倾斜角是45°,旋转后直线的倾斜角增加了15°,由此即得所求直线的倾斜角,进而求出斜率和直线方程.直线l 2的倾斜角为60°,斜率为3,故其方程为y -0=3(x -3),即3x 10.y =-32x 或x 5-y 5=1 [解析] 设直线方程为为x a -y a
=1或y =kx 的形式后,代入点的坐标求得a =5和k =-32
. 11.①③⑤ [解析] ①正确,比如直线y =2x +3,不与坐标轴平行,且当x 取整数时,y 始终是一个无理数,即不经过任何整点;②错,直线y =3x -3中k 与b 都是无理数,但直线经过整点(1,0);③正确,当直线经过两个整点时,它经过无数多个整点;④错误,
当k =0,b =13时,直线y =13
不通过任何整点;⑤正确,比如直线y =3x -3只经过一个整点(1,0).
12.[解答] (1)依题意a +1≠0,∴a -2a +1
=a -2, ∴a =2,或a =0,
∴所求的直线方程是3x +y =0,或x +y -2=0.
(2)设所围成的面积为S ,则S =12????
??a -2a +1|a -2|=2, ∴(a -2)2=4|a +1|,解得a =8,或a =0,
∴所求直线方程是x +y -2=0,或9x +y +6=0.
【难点突破】
13.[解答] 建立如图所示的直角坐标系,则E (30,0),F (0,20),线段EF 的方程是x 30+y 20
=1(0≤x ≤30),
在线段EF 上取点P (m ,n ),作PQ ⊥BC 于Q ,作PR ⊥CD 于R ,设矩形PQCR 的面积为S ,则
S =|PQ ||PR |=(100-m )(80-n ),
又m 30+n 20
=1(0≤m ≤30), ∴n =20???
?1-m 30, ∴S =(100-m )80-20+23
m =-23(m -5)2+18 0503
(0≤m ≤30), 故当m =5时,S max =18 0503,此时EP →=30-55
PF →, 即EP →=5PF →.
∴当草坪矩形的两边在BC ,CD 上,一个顶点在线段EF 上,且满足条件EP →=5PF →时有
最大面积,这一最大面积为18 0503
m 2.