2017年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设非零实数a ，b ，c ，满足?????
a ＋2b+3c ＝02a ＋3b+4c ＝0
则ab +bc +ca
a 2+
b 2+
c 2的值为（ ）
（A ）—12 （B ）0 （C ）1
2 （D ）1
2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个非零实根x 1，x 2，则下列关于x 的一元二次方程中，以1 x 12，1
x 2
2为两个实根的是（ ）
（A ）c 2x 2+(b 2－2ac )x +a 2=0 （B ）c 2x 2—(b 2－2ac )x +a 2=0 （C ）c 2x 2+(b 2－2ac )x —a 2=0 （D ）c 2x 2—(b 2－2ac )x —a 2=0
3．如图，在R t △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ，若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ） （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC
4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF ，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8
5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：x y *=3x 3y +3x 2y 2+xy 3+45(x +1)3+(y +1)3—60
，
且x y z=
x y z ****（），则2013201232****…的值为（ ） （A ）607967 （B ）1821 967 （C ）5463 967 （D ）16389
967
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．设a
，b 是a 2的小数部分，则(b +2)3的值为____________．
7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD 的面积是____________．
8．已知正整数a ，b ，c 满足a +b 2—2c —2=0，3a 2—8b +c =0，则abc 的最大值为__________．
9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程x 2+cx +d =0的两根为a ，b ，一元二次方程x 2+ax +b =0的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组（a ，b ，c ，d ）为___________________________________． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔
共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________
支圆珠笔．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，抛物线y =ax 2+bx —3，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且
OB =OC =3OA ，直线y =—1
3x 2+1与y 轴交于点D ，求∠DBC －∠CBE ．
（第4题)
A
B
E
D （第7题)
A
B
C
O D
E （第3题)
12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度数．
13．设a，b，c是素数，记x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，当z2=y，x－y=2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，a n，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，
a n中都至少有一个为m的魔术数．
2017年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．【答案】A
【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2
()0a b c ++=．于是
2221()2
ab bc ca a b c ++=-++，所以2
221
2ab bc ca a b c ++=-++． 2．【答案】B
【解答】由于2
0ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12b x x a +=-
，12c
x x a
=，且120x x ≠，所以0c ≠，且 22121222222
1212()2112x x x x b ac x x x x c
+--+==，2
2221211a x x c ?=， 于是根据方程根与系数的关系，以
211x ，22
1
x 为两个实根的一元二次方程是22
2
2
20b ac a x x c c
--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．【答案】D
【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝
2
AD BD
+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DO
DE OC
=都是有
理数，而AC ＝
·AD AB 不一定是有理数．
4．【答案】C
【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．
连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ． 因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 5．【答案】C
【解答】设201320124m ***=L ，则
()20132012433m ****=*L 3232
33392745
93316460
m m m m m m ?+?+?+==++++-， 于是()201320123292****=*L 322333
39239292455463
10360967
??+??+?+==+-．
二、填空题
6．【答案】9
【解答】由于2
123a a <<<<，故3
2
292b a =-=
-，因此333(2)(9)9b +==．
7．【答案】
204
13
【解答】如图，连接AF ，则有：
45
=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ???????++===，
35
4
AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ???????++====，
解得10813AEF S ?=，96
13
AFD S ?=． 所以，四边形AEFD 的面积是204
13
．
8．【答案】2013
【解答】由已知2
220+--=a b c ，2
380-+=a b c 消去c ，并整理得
()
2
28666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．
若1a =，则()2
859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2
840b -=，无正整数解；
若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =??=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =??=．
综上知abc 的最大值为2013．
9． 【答案】(1
212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数） （第3题答题）
（第7题答题）
（第3题）
（第4题）
【解答】由韦达定理得，，
，．
+=-??=??+=-?=??a b c ab d c d a cd b
由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1=
=d a b ，1==b
c d
，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．【答案】207
【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，
，+=??
+
x y x y
所以201371
(5032)44
y y x y -+==-+
， 于是14
y +是整数．又20134()343503x y y y =++
所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．
三、解答题
11．如图，抛物线y =2
3ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线1
13
y x =-+与y 轴交于点D ．
求∠DBC -∠CBE ．
【解答】将0x =分别代入y =113
x -+，2
3y ax bx =+-知，D (0，
1)，C (0，3-)，
所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =1
13
x -+过点B ．
将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．
抛物线2
23y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得
BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．
因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=?．
因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =1
3
OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠． 所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=?．
12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．
【解答】分三种情况讨论．
（i ）若△ABC 为锐角三角形． 因为1802BHC A BOC A ∠=?-∠∠=∠，，
所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ?-∠=∠，于是60A ∠=?．
（ii ）若△ABC 为钝角三角形．
当90A ∠>?时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=?-∠∠=?-∠，，
所以由180BHC BOC ∠+∠=?，可得()3180180A ?-∠=?，于是120A ∠=?。
当90A ∠?，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，，
所以由180BHC BOC ∠+∠=?，可得3180A ∠=?，于是60A ∠=?．
（iii ）若△ABC 为直角三角形．
当90A ∠=?时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不可能共圆，
所以A ∠不可能等于90?； 当90A ∠
∠可以是满足090A ?<∠
综上可得，A ∠所有可能取到的度数为所有锐角及120?．
（第12题答题（i ））
（第12题答题（ii ））
（第11题）
13．设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当2,2
z y ==时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
【解答】不能．
依题意，得111
()()()222
a y z
b x z
c x y =
+=+=+，，． 因为2
y z =，所以211(1)()()222
z z a y z z z +=+=+=．
又由于z 为整数，a 为素数，所以2z =或3-，3a =．
当2z =时，2242)16y z x ====，．进而，9b =，10c =，与b ，c 是素数矛盾；
当3z =-时，0a b c +-<，所以a ，b ，c 不能构成三角形的三边长．
14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．
【解答】若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12n a a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．
故n ≥7．
又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则
10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足
7|[(10)(10)]k
k
j m i m +-+，即7|10()k
j i -，从而7|()j i -，矛盾．
故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k
i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．