上海交通大学2002年硕士研究生入学考试高等代数
1、（12）)()()(1x bg x af x f +=，)()()(1x dg x cf x g +=且0≠d
c b a ，证
()())(),()(),(11x g x f x g x f =。
2、（14）计算x
a a a a a a
x
a
a a a a x a a a a a
x
a x a a a a a a x a
a a a a x n
n n -------=+++O ΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛ
ΛΛΛΛΛ
ΛΛ,32
1
321
321
。
3、（15）k 取何值时，下列方程组β=AX ：（1）有唯一解；（2）无解；（3）
有无穷多解，此时求其通解。其中???
?
?
??=????? ??-=111,2111111βk k A 。
4、（12）设A 为数域P 上n 阶可逆矩阵，任意将A 分为两个子块???
?
??=21A A A ，
证n 维线性空间n P 是齐线性方程组01=X A 的解空间1V 与02=X A 的解空间2V 的直和。
5、（10）f(x)是方阵A 的特征多项式，g(x)为任多项式，())()(),(x d x g x f =，
证r(g(A))=r(d(A)).
6、（12）求正交变换化二次型3231212
322
21844552x x x x x x x x x f --+++=为标准型。
7、（15）设σ为线性空间V 的一线性变换，σσ=2.证（1）σ的特征值只能为1或0（2）若用1V 与0V 分别表示对应于特征值1和0的特征子空间，则V V σ=1，)0(10-=σV （3）)0(101-⊕=⊕=σσV V V V 。
8、（10）设A ，B 为n 阶对角化矩阵，AB=BA 。证明A ，B 可同时对角化。
上海交通大学2003年硕士研究生
一 判断以下各题，正确的给出证明，错误的举出反例并给出理由（每小题6分，共24分）
1）若f （x ）在R 上有定义，且在所有的无理点上连续，则f （x ）在R 上处处连续
2）若f （x ），g （x ）连续，则))(),(min()(x g x f x =φ连续 3）任意两个周期函数之和仍为周期函数
4）若函数f （x ，y ）在区域D 内关于x ，y 的偏导数均存在，则f （x ，y ）在D 内连续
二．设f （x ）在[a ，b]上无界，试证：对任意的],[,0b a 在>δ上至少有一点0x ，使得f （x ）在δ的0x 邻域上无界.（12分）
三 设f （x ）对任意的R x ∈有)()(2x f x f =且)(x f 在x=0和x=1 处连续，试证明f （x ）在R 上为常数.（12分） 四 已知)(,....)()2(,0,....,,lim 011
21x f n a
a x f n a a a x x
x n
x n →???
?
?
?++=≥>试求且（12分） 五，若实系数多项式)0(,)(01110≠++?????++=--a a x a x a x a x P n n n n n 的一切根均为实数，试证导函数)('x P n 也仅有实根。（12分）
六 设}{n na 收敛，级数)(12
-∞
=-∑n n n a a n 收敛，试证明级数∑∞
=1
n n a 收敛（12分）
七 设)0)((≥=x x y φ是严格单调增加的连续函数，
)(,0)0(y x ψφ==是它的反函数，试证明对??≥+>>a b
ab dy y dx x b a 00.)()(,0.,0ψφ有（12分） 八计算题（每小题12分，共24分）
1） 求函数4
44),,(z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值。
2） 计算积分
所围成的区域
九．设g （x ）在),[+∞a 上一致连续，且对任意的A n x g a x n =+≥+∞
→)(,lim 有，
试证：A x g x =+∞
→)(lim （10分）
十 试证分）10.(0,)
1(1
)1
1(ln 2>+<
+x x x x
十一。设函数f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且f （x ）是非线性函数，试证存在分）
使得10.()
()()('),(a
b a f b f f b a -->
∈ξξ 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。
2、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。
3、世界会向那些有目标和远见的人让路。