(2017浙江衢州第19题)如图,AB 为半圆O 的直径,C 为BA 延长线上一点,CD 切半圆O 于点D 。连结OD ,作BE ⊥CD 于点E ,交半圆O 于点F 。已知CE=12,BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] (1)求证:△COD ∽△CBE ; (2)求半圆O 的半径r 的长
:
试题解析: (1)∵CD 切半圆O 于点D , ∴CD ⊥OD , ∴∠CDO=90°, ∵BE ⊥CD , ∴∠E=90°=∠CDO , 又∵∠C=∠C , ∴△COD ∽△CBE .
(2)在Rt △BEC 中,CE=12,BE=9, ∴2
2CE
BE +=15,
∵△COD ∽△CBE . ∴
OD OC
BE BC
=
,即15915r r -=, 解得:r=
458
. 考点:1. 切线的性质;2.相似三角形的判定与性质.
2.(2017山东德州第20题)如图,已知Rt ΔABC,∠C=90°,D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E. (1)求证:DE 是圆O 的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6,求AE 的长.
(1)如图所示,连接OE,CE
∵AC是圆O的直径
∴∠AEC=∠BEC=90°
∵D是BC的中点
∴ED=1
2
BC=DC
∴∠1=∠2
∵OE=OC
∴∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°
∴∠OED=90°,即OE⊥DE
又∵E是圆O上的一点
∴DE是圆O的切线.
考点:圆切线判定定理及相似三角形
3.(2017甘肃庆阳第27题)如图,AN 是⊙M 的直径,NB ∥x 轴,AB 交⊙M 于点C . (1)若点A (0,6),N (0,2),∠ABN=30°,求点B 的坐标; (2)若D 为线段NB 的中点,求证:直线CD 是⊙M 的切线.
(1)∵A 的坐标为(0,6),N (0,2), ∴AN=4,
∵∠ABN=30°,∠ANB=90°, ∴AB=2AN=8,
∴由勾股定理可知:NB=2
243AB AN -=,
∴B (43,2).
(2)连接MC ,NC ∵AN 是⊙M 的直径, ∴∠ACN=90°, ∴∠NCB=90°,
在Rt △NCB 中,D 为NB 的中点,
∴CD=
1
2
NB=ND , ∴∠CND=∠NCD , ∵MC=MN , ∴∠MCN=∠MNC , ∵∠MNC+∠CND=90°, ∴∠MCN+∠NCD=90°, 即MC ⊥CD .
∴直线CD 是⊙M 的切线.
考点:切线的判定;坐标与图形性质.
4.(2017广西贵港第24题)如图,在菱形ABCD 中,点P 在对角线AC 上,且PA PD =,O 是PAD ?的外
接圆.
(1)求证:AB 是
O 的切线;
(2)若2
8,tan 2AC BAC =∠=
求O 的半径. 【答案】(1)证明见解析;(236
. (1)连结OP 、OA ,OP 交AD 于E ,如图, ∵PA=PD , ∴弧AP=弧DP , ∴OP ⊥AD ,AE=DE ,
∴∠1+∠OPA=90°, ∵OP=OA , ∴∠OAP=∠OPA , ∴∠1+∠OAP=90°, ∵四边形ABCD 为菱形, ∴∠1=∠2, ∴∠2+∠OAP=90°, ∴OA ⊥AB ,
∴直线AB 与⊙O 相切;
(2)连结BD ,交AC 于点F ,如图, ∵四边形ABCD 为菱形, ∴DB 与AC 互相垂直平分,
∵AC=8,tan ∠
∴AF=4,tan ∠DAC=
DF AF
∴
∴
∴
在Rt △PAE 中,tan ∠1=
PE AE =2
,
∴
设⊙O 的半径为R ,则OE=R OA=R , 在Rt △OAE 中,∵OA 2
=OE 2
+AE 2
,
∴R 2=(R 2+2
,
∴R=
4
,
即⊙O 的半径为
4
.
考点:切线的判定与性质;菱形的性质;解直角三角形.
5.(2017贵州安顺第25题)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:BE与⊙O相切;
(2)设OE交⊙O于点F,若DF=1,BC=2 3,求阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)43﹣4
3
π.
(1)证明:连接OC,如图,
∵CE为切线,
∴OC⊥CE,
∴∠OCE=90°,
∵OD⊥BC,
∴CD=BD,
即OD垂中平分BC,
∴EC=EB , 在△OCE 和△OBE 中
OC OB OE OE EC EB ?=?
=??=?
, ∴△OCE ≌△OBE , ∴∠OBE=∠OCE=90°, ∴OB ⊥BE , ∴BE 与⊙O 相切;
(2)解:设⊙O 的半径为r ,则OD=r ﹣1, 在Rt △OBD 中,BD=CD=
1
2
BC=3
, ∴(r ﹣1)2
+(3)2
=r 2
,解得r=2,
∵tan ∠BOD=
BD
OD
=3, ∴∠BOD=60°, ∴∠BOC=2∠BOD=120°, 在Rt △OBE 中,BE=3OB=23, ∴阴影部分的面积=S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC =2S △OBE ﹣S 扇形BOC
=2×1
2
×2×23﹣21202360π??
34
3
π. 考点:切线的判定与性质;扇形面积的计算. 6.(2017湖北武汉第21题)如图,ABC ?内接于
O ,,AB AC CO =的延长线交AB 于点D .
(1)求证AO平分BAC
∠;
(2)若
3
6,sin
5
BC BAC
=∠=,求AC和CD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)310;90 13
.
(2)过点C作CE⊥AB于E
∵sin∠BAC=3
5
,设AC=5m,则CE=3m
∴AE=4m,BE=m
在RtΔCBE中,m2+(3m)2=36
∴m=310
5
,
∴AC=310
延长AO交BC于点H,则AH⊥BC,且BH=CH=3,过点O作OF⊥AH交AB于点F,
∵∠HOC=∠BAC
∴OH=4,OC=5 ∴AH=9
∴tan∠BAH=1 3
∴OF=
1
3AO=
5
3
∵OF∥BC
∴OF DO
BC DC
,即
5
DC-5
3=
6DC
∴DC=90 13
.
考点:1.全等三角形的判定与性质;2.解直角三角形;3.平行线分线段成比例.
7.(2017湖南怀化第23题)如图,已知BC是O
⊙的直径,点D为BC延长线上的一点,点A为圆上一点,且AB AD,AC CD.
(1)求证:ACD BAD
△∽△;
(2)求证:AD是O
⊙的切线.
试题解析:(1)∵AB=AD,
∴∠B=∠D,
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠D,
∴∠CAD=∠B,
∵∠D=∠D,
∴△ACD∽△BAD;
(2)连接OA,
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB,
∴∠OAB=∠CAD,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∴OA⊥AD,
∴AD是⊙O的切线.
考点:相似三角形的判定与性质;切线的判定.
11.(2017江苏盐城第25题)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分∠BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上,⊙F与y轴相交于另一点G.
(1)求证:BC是⊙F的切线;
(2)若点A、D的坐标分别为A(0,-1),D(2,0),求⊙F的半径;
(3)试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析;(2)⊙F的半径为5
2
;(3)AG=AD+2CD.证明见解析.
试题解析:(1)连接EF ,
∵AE 平分∠BAC , ∴∠FAE=∠CAE , ∵FA=FE , ∴∠FAE=∠FEA , ∴∠FEA=∠EAC , ∴FE ∥AC ,
∴∠FEB=∠C=90°,即BC 是⊙F 的切线; (2)连接FD , 设⊙F 的半径为r , 则r 2
=(r-1)2
+22
, 解得,r=
52,即⊙F 的半径为52
; (3)AG=AD+2CD . 证明:作FR ⊥AD 于R ,
则∠FRC=90°,又∠FEC=∠C=90°, ∴四边形RCEF 是矩形, ∴EF=RC=RD+CD , ∵FR ⊥AD , ∴AR=RD , ∴EF=RD+CD=
1
2
AD+CD , ∴AG=2FE=AD+2CD .. 考点:圆的综合题.
13.(2017甘肃兰州第27题)如图,ABC △内接于O ⊙,BC 是O ⊙的直径,弦AF 交BC 于点E ,延长BC 到点
D ,连接OA ,AD ,使得FAC AOD ∠∠,D BAF ∠∠.
(1)求证:AD 是O ⊙的切线;
(2)若O ⊙的半径为5,2CE ,求EF 的长.
(1)由BC 是⊙O 的直径,得到∠BAF+∠FAC=90°,等量代换得到∠D+∠AOD=90°,于是得到结论; (2)连接BF ,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.
(2)连接BF ,
∴∠FAC=∠AOD , ∴△ACE ∽△DCA , ∴
AC AE CE
OC OA AC ==, ∴
2
55
AC
AE
AC
=
=
,
∴10, ∵∠CAE=∠CBF , ∴△ACE ∽△BFE ,
∴AE BE CE EF
=,
∴108
EF
=,
∴EF=810
.
考点:切线的判定与性质;相似三角形的判定与性质.
14.(2017贵州黔东南州第21题)如图,已知直线PT与⊙O相切于点T,直线PO与⊙O相交于A,B两点.(1)求证:PT2=PA?PB;
(2)若PT=TB=3,求图中阴影部分的面积.
(1)证明:连接OT.
∵PT是⊙O的切线,
∴PT⊥OT,
∴∠PTO=90°,
∴∠PTA+∠OTA=90°,
∵AB是直径,
∴∠ATB=90°,
∴∠TAB+∠B=90°,
∵OT=OA,
∴∠OAT=∠OTA,
∴∠PTA=∠B,∵∠P=∠P,
∴△PTA∽△PBT,
∴PT PA PB PT
=,
∴PT2=PA?PB.
(2)∵TP=TB=3,
∴∠P=∠B=∠PTA,
∵∠TAB=∠P+∠PTA,
∴∠TAB=2∠B,
∵∠TAB+∠B=90°,
∴∠TAB=60°,∠B=30°,
∴tanB=
3 AT
TB
=
∴AT=1,
∵OA=OT,∠TAO=60°,∴△AOT是等边三角形,
∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=
2
2
60133
1
360464
ππ
?
-?=-.
考点:相似三角形的判定与性质;切线的性质;扇形面积的计算.
16.(2017四川泸州第24题)如图,⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D,与边BC相交于点F,OA与CD相交于点E,连接FE并延长交AC边于点G.
(1)求证:DF∥AO;
(2)若AC=6,AB=10,求CG的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)2.
(1)证明:连接OD.
∵AB与⊙O相切与点D,又AC与⊙O相切与点,
∴AC=AD,∵OC=OD,
∴OA⊥CD,
∴CD⊥OA,
∵CF是直径,
∴∠CDF=90°,
∴DF⊥CD,
∴DF∥AO.
(2)过点作EM⊥OC于M,∵AC=6,AB=10,
∴,∴AD=AC=6,
∴BD=AB-AD=4,
∵BD2=BF?BC,
∴BF=2,
∴CF=BC-BF=6.OC=1
2
CF=3,
∴,∵OC2=OE?OA,
∴,
∵EM∥AC,
∴
1
5 EM OM OE
AC OC OA
===,
∴OM=3
5
,EM=
6
5
,FM=OF+OM=
18
5
,
∴
3.63
65 EM FM
CG FC
===,
∴CG=5
3
EM=2.
考点:切线的性质.
17.(2017四川宜宾第23题)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AD平分∠CAE交⊙O于点D,且AE ⊥CD,垂足为点E.
(1)求证:直线CE是⊙O的切线.(2)若BC=3,CD=32,求弦AD的长.
(1)证明:连结OC,如图,
∵AD平分∠EAC,
∴∠1=∠3,
∵OA=OD,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠2,
∴OD∥AE,
∵AE⊥DC,
∴OD⊥CE,
∴CE是⊙O的切线;
(2)∵∠CDO=∠ADB=90°,
∴∠2=∠CDB=∠1,∵∠C=∠C,
∴△CDB∽△CAD,
∴CD CB BD CA CD AD
==,
∴CD2=CB?CA,
∴(22=3CA,∴CA=6,
∴AB=CA﹣BC=3,
322
62
BD
AD
==,设2,AD=2K,
在Rt△ADB中,2k2+4k2=5,
∴k=30
6
,
∴AD=30
3
.
考点:切线的判定与性质.
18.(2017新疆建设兵团第22题)如图,AC为⊙O的直径,B为⊙O上一点,∠ACB=30°,延长CB至点D,使得CB=BD,过点D作DE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,连接BE.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)当BE=3时,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)333
-
22 .
(1)如图所示,连接BO,
∵∠ACB=30°,
∴∠OBC=∠OCB=30°,
∵DE⊥AC,CB=BD,
∴Rt△DCE中,BE=1
2
CD=BC,
∴∠BEC=∠BCE=30°,
∴△BCE中,∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°,∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°,
∴BE是⊙O的切线;
(2)当BE=3时,BC=3,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ABC=90°, 又∵∠ACB=30°, ∴AB=tan30°×BC=3, ∴AC=2AB=23,AO=3,
∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt △ABC 的面积=12π×AO 2
﹣12AB ×BC=12π×3﹣12
×3×3=333-22π.
考点:切线的判定与性质;扇形面积的计算.
1. (2017北京第24题)如图,AB 是
O 的一条弦,E 是AB 的中点,过点E 作EC OA ⊥于点C ,过点B 作
O 的切线交CE 的延长线于点D .
(1)求证:DB DE =; (2)若12,5AB BD ==,求
O 的半径.
(1)证明:∵DC ⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD 为切线,∴OB ⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2,∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,在△DEB 中, ∠4=∠5,∴DE=DB.
(2)作DF ⊥AB 于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=
1
2
BE=3,在 RT △DEF 中,EF=3,DE=BD=5,EF=3 , ∴22534-=∴sin ∠DEF=
DF DE = 45 , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT △AOE 中,sin ∠AOE=
4
5AE AO = , ∵AE=6, ∴AO=
15
2
. 考点:圆的性质,切线定理,三角形相似,三角函数
2. (2017天津第21题)已知AB 是⊙O 的直径,AT 是⊙O 的切线,0
50=∠ABT ,BT 交⊙O 于点C ,E 是
AB 上一点,延长CE 交⊙O 于点D .
(1)如图①,求T ∠和CDB ∠的大小;
(2)如图②,当BC BE =时,求CDO ∠的大小.
:(1)如图,连接AC,21世纪教育网 ∵AB 是⊙O 的直径,AT 是⊙O 的切线, ∴AT ⊥AB,即∠TAB=90°. ∵0
50=∠ABT , ∴∠T=90°-∠ABT=40°
由AB 是⊙O 的直径,得∠ACB=90°, ∴∠CAB=90°-∠ABC=40° ∴∠CDB=∠CAB=40°;
(2)如图,连接AD,
在△BCE 中,BE=BC ,∠EBC=50°, ∴∠BCE=∠BEC=65°, ∴∠BAD=∠BCD=65° ∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=65° ∵∠ADC=∠ABC=50° ∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.
3. (2017福建第21题)如图,四边形ABCD 内接于O ,AB 是O 的直径,点P 在CA 的延长线上,
45CAD ∠=.
(Ⅰ)若4AB =,求弧CD 的长;
(Ⅱ)若弧BC =弧AD ,AD AP =,求证:PD 是
O 的切线.
(Ⅰ)连接OC ,OD ,∵∠COD=2∠CAD ,∠CAD=45°,∴∠COD=90°,∵AB=4,∴OC=
1
2
AB=2,∴CD 的长=
902
180
π?? =π;
(Ⅱ)∵BC =AD ,∴∠BOC=∠AOD ,∵∠COD=90°,∴∠AOD=
1802
COD
?-∠ =45°,∵OA=OD ,∴∠ODA=∠
OAD ,∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,∴∠ODA=
1802
AOD
?-∠=67.5°,∵AD=AP ,∴∠ADP=∠APD ,∵∠CAD=∠
ADP+∠APD ,∠CAD=45°,∴∠ADP=1
2
∠CAD=22.5°,∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°,又∵OD 是半径,∴PD 是⊙O 的切线.
4. (2017河南第18题)如图,在ABC ?中, AB AC =,以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ,过点C 作
//CF AB ,与过点B 的切线交于点F ,连接BD .