正弦定理练习题
一、选择题、1.在△ABC 中,若0
030,6,90===B a C ,则b c -等于( )A .1 B .1- C .32 D .32-
2.若A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( )A .A sin B .A cos C .A tan D .A
tan 1
3.在△ABC 中,a =15,b =10,A =60°,则cos B = ( ) C .-63 D .-223 4.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于()A 006030或 B.006045或 C.0060120或 D 0015030或
5.在△ABC 中,::1:2:3A B C =,则::a b c 等于()A .1:2:3 B .3:2:1 C .1:2 D .2 6.在△ABC 中,若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ,则△ABC 的形状是( )A 直角三角形 B 等边三角形 C 不能确定 D 等腰三角形
7.在△ABC 中,若tan 2A B a b a b
--=+,则△ABC 的形状是( )A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形
8.A 为△ABC 的内角,则A A cos sin +的取值范围是()A )2,2( B )2,2(-C ]2,1(- D .]2,2[- 9.在△ABC 中,若,900
=C 则三边的比
c b a +等于( )A .2cos 2B A + B .2cos 2B
A - C .2sin 2
B A + D .2
sin 2B A - ^
10、在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1
sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=且a b >,则B ∠= A.
6π B.3π C.23π D.56
π 二、填空题、1.在△ABC 中,,26-=AB 030C =,则AC BC +的最大值是________。
2.若在△ABC 中,0
60
,1,ABC
A b S ?∠===则C
B A c
b a sin sin sin ++++=_______。
3.若,A B 是锐角三角形的两内角,则B A tan tan _____1(填>或<)。 4.在△ABC 中,若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。 5.在△ABC 中,若b c a 2=+,则=+
-+C A C A C A sin sin 3
1
cos cos cos cos ______。 6.在△ABC 中,若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________。
7.在△ABC 中,若ac b =2
,则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________。
8、在锐角ABC ?中,1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于 ,AC 的取值范围为 . :
9、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2,b =2,sin B +cos B =2,则角A 的大小为________. 10、在△ABC 中,若b =1,c =3,∠C =2π
3,则a =________.
三、解答题、1、在ABC △中,已知内角A π
=
3
,边BC =设内角B x =,周长为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域; (2)求y 的最大值.
2、.△ABC 的三个内角为A 、B 、C ,求当A 为何值时,2cos 2cos C B A ++取得最大值,并求出这个最大值。
、
3、在ABC ?中,A B 、为锐角,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,且sin A B =
(I )求A B +的值;(II )若1a b -=,求a b c 、、的值。
;
4、在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,且满足csinA=acosC .(Ⅰ)求角C 的大小;
(B+4π
)的最大值,并求取得最大值时角A 、B 的大小。
\
5、已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a x b x ==-(1)当//a b 时,求2cos sin 2x x -的值;(2)设函数()2()f x a b b =+?,已知
在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,若
2,sin a b B ==求()4cos(2),[0,]63
f x A x ππ++∈ 的取值范围.
6、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,且tan 21tan A c
B b
+
=
.(Ⅰ)求角A ;(Ⅱ)若m (0,1)=-,
n ()
2cos ,2cos 2C B =,试求|m +n |的最小值.
{
一、选择题
00tan 30,tan 302b
b a
c b c b a
=====-=; 0,sin 0A A π<<>
3、解析:由正弦定理得,sin B =10×sin 60°15=3
3.∵a >b ,∴B <60°,∴cos B =1-?
??
??332
)=63,故选A. 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302
b a B B A B A A ====或0150
12,,,::sin :sin :sin 26
3
2
22A B C a b c A B C πππ====== sin sin lg
lg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A A
A B C B C B C
===
sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-=sin()0,B C B C -==,等腰三角形
2cos
sin sin sin 22tan 2sin sin 2sin cos 22
A B A B A B a b A B A B A B a b A B +----===+-++, tan 2tan ,tan 022tan 2A B A B A B A B ---==+,或tan 12A B +=所以A B =或2A
B π+=
sin cos ),4A A
A π
+=+而50,sin()144424
A A A πππππ<<<+-<+≤
sin sin sin sin sin a b A B
A B
c C ++==+ 2sin cos 222
A B A B A B +--== 10、【答案】A 二、填空题 、1 . 4 ,,sin sin sin sin sin sin AC BC AB AC BC AB B
A
C B A
C
+
===+
}
AC BC
+sin )cos
22
A B A B
A B +-=+=max 4cos 4,()42A B AC BC -=≤+=
2 .
3392
211sin 4,13,22ABC S bc A c c a a ?======
sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++3.> ,22A B A B ππ+>>-,即sin()2tan tan()2cos()
2
B A B B π
ππ->-=-cos 1sin tan B B B ==,1tan ,tan tan 1tan A A B B >>
4、2
sin sin tan tan cos cos B C B C B C +=
+ sin cos cos sin sin()2sin 1cos cos sin sin 2
B C B C B C A
B C A A
+++===
5.1 sin sin 2sin ,2sin cos 4sin cos 2222A C A C A C A C A C B +-+++==cos 2cos ,cos cos 3sin sin 222222
A C A C A C A C
-+== 则
221sin sin 4sin sin 322A C A C =;1
cos cos cos cos sin sin 3
A C A C A C +-+
2
2(1cos )(1cos )14sin sin 22A C A C =---++22222sin 2sin 4sin sin 112222
A C A C =-?++= 6.
)2
,3[π
π
2tan tan tan tan tan ,tan tan()tan tan 1
A C
B A
C B A C A C +==-+=
-2tan tan tan tan()tan 1A C B A C B +=-+=
-3tan tan tan tan 2tan B B A C B -=+≥=
3tan 3tan ,tan 0tan 3
B B B B B π≥>?≥≥
7
.
1
22,sin sin sin ,b ac B A C ==B
B C A 2cos cos )cos(++-2cos cos sin sin cos 12sin A C A C B B
=+++-cos cos sin sin cos 12sin sin A C A C B A C =+++-cos cos sin sin cos 1
A C A C
B =-++cos()cos 11A
C B =+++=
8、解:设,2.A B θθ∠=?=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θ
θ
θ
θ
=∴=?=由锐角ABC ?得0290045θθ<<<,
又01803903060θθ<-<<
,故23045cos
θθ<
<<2cos AC θ∴=∈
?
9、【解析】 ∵sin B +cos B =2,∴sin ???
?B +π4=1.又0<B <π,∴B =π4.由正弦定理,知2sin A =2sin B ,
∴sin A =12.又a <b ,∴A <B ,∴A =π6.【答案】 π
6 ;
10、【解析】 由正弦定理b sin B =c sin C ,即1sin B =3sin 2π3
,sin B =12.又b <c ,∴B =π6.∴A =π
6.∴a =1.
三、解答题、1、解:(1)ABC △的内角和A B C ++=π,由00A B C π=
>>3,,得20B π
<<
3
.
应用正弦定理,知sin 4sin sin sin BC AC B x x A
===3
,2sin 4sin sin BC AB C x A π??
=
=- ?3??.
因为
y AB BC AC =++, 所以224sin 4sin 03y x x x ππ???=+-+<<
??
3???
(2)因为1
4sin sin 2y x x x ?
?=+
++ ?
???
5x x ππππ?
??=+
+<+< ??66
66???, 所以,当x ππ+
=6
2,即x π
=3
时,y 取得最大值 2.解:∵A 、B 、C 为△ABC 的三内角 ∴A B C π++= 2
22
B C A π+∴=-
2cos 2cos
cos 2cos cos 2sin 12sin 2sin 222222B C A A A A A A A π+??
∴+=+-=+=-+ ???
2cos 2cos 2sin 2sin 1222B C A A A +∴+=-++ 令2
213
sin cos 2cos 22122222
A B C x A x x x +??=+=-++=--+ ???则
《
cos()cos()
4
cos 2sin().
6
3110,,,,
46612623
A B A A A A A A A A A π
ππ
πππππππ
-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时∵A 是△ABC 的内角 0180
0902A A ∴<<∴<
< 0sin 1012
A
x ∴<<<<即 ∴x 可以取到12,由抛物线的图像及性质可知∴当12x =时,3
cos 2cos 22B C A ++=为其最大值。
此时1sin ,0903*******
A A A
A =<<∴=∴=
3、解(I )∵A
B 、为锐角,sin
510A B =
= ∴
cos A B
===
cos()cos cos sin sin 2A B A B A B +=-=
=∵ 0A B π<+<∴ 4
A B π
+= (II )由(I )
知34C π=,∴ sin 2C = 由sin sin sin
a b c
A B
C
==
==,即,
a c == 又∵
1a b -
=
∴ 1b -=
∴ 1b
=∴ a c ==
4、解析:(I )由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以
sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π
>=≠==
从而又所以则
(II )由(I )知
3.4B A π
=
-于是
,
2sin()6A π+取最大值2cos()4A B π-+的最大值为2,此时5,.
312A B ππ
==
5、解:(1)33// cos sin 0 tan =44
a b x x x ∴+=∴- 2
2222
cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++ (2)3()2()2sin(2)42f x a b b x π=+?=
++由正弦定理得sin sin a b A B =
可得
sin 2A =,所以4
A π= 1
()4cos(2))642f x A x ππ++=+-11[0,] 2[,]344
12
x x ππ
ππ ∈∴+∈ 11()4cos(2)62f x A π≤++≤
6、解:(Ⅰ)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C B b B A B +=?+=,即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=,∴sin()2sin sin cos sin A B C
B A B
+=
,∴1cos 2
A =
.∵0πA <<,∴π3A =.
(Ⅱ)m +n 2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2C B B C =-=∴|m +n |222222π1π
cos cos cos cos ()1sin(2)326
B C B B B =+=+-=--. ∵π3A =
,∴2π3B C +=,∴2π(0,)3B ∈.从而ππ7π
2666
B -<-<.
∴当πsin(2)6B -=1,即π3B =时,|m +n |2取得最小值1
2
.所以|m +n |min
正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C = c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .余弦定理可以变形: cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、 r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: [1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ;在锐角三角形中,cos A 教学准备 教学目标 1. 知识目标:理解并掌握正弦定理,能初步运用正弦定理解斜三角形;技能目标:理解用向量方法推导正弦定理的过程,进一步巩固向量知识,体现向量的工具性情感态度价值观:培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; /难点教学重点2. 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC.与边的等式关系。如图11-2,在Rt中,设角三角函数中正弦函数的定义,有 . ,又,则,中,ABC从而在直角三角 形. 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: ,根上的高是CDABC1(证法一)如图.1-3,当是锐角三角形时,设边AB CD=据任意角三角函数的定义,有,则. . 同理可得,从而 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后ABC类似可推出,当自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 ] 理解定理[)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系 数为同1 ( ;使一正数,即存在正数k,, 等价于2(),,。从而知正弦定理的基本作用为: ;①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 . 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。. 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 2(1)题。)、(页练习第第随堂练习[]511 《正弦定理》教案1(苏教版必修5) 课题:11.1 正弦定理 教学目标: (1)掌握正弦定理及其证明,会初步运用正弦定理解斜三角形,培养数学应用意识; (2)在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力; (3)提供适当的问题情境,激发学生的学习热情,培养学生学 习数学的兴趣;在合作学习中,学会学习,学会交流,相互评价,提高学生的合作意识与交流能力. 教学重点:正弦定理及其证明过程 教学难点:正弦定理的推导与证明 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:几何画板 教学过程: 一.问题情境 引言:从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治 水到都江堰的修建,从天文观测 到精密仪器的制造,人们都离不开对几何图形的测量,设计和计算.测量河流两岸码头之间的 距离,确定待建隧道的长度,确定卫星的角度与高度等等问题, 都可以转化为求三角形的边与 角的问题,这就需要我们进一步探索三角形的边角关系. 探索1:在Rt△ABC,C=900,那么边角之间有哪些关系? sinA=,sinB=,sinC==1,...... 即c=,c=,c=. ∴== 探索2:在任意三角形里, ==还成立吗? (几何画板演示) 二.学生活动 数学实验: 分组一:对于锐角三角形验证结论是否成立? 分组二:对于钝角三角形验证结论是否成立? 数学猜想: ==; 三.建构数学: 数学证明:证法一:证明二:(等积法) 在任意斜△ABC当中S△ABC= 两边同除以即得:== 证明三:(外接圆法) 如图所示,∠A=∠D∴同理 =2R,=2R 证明四:(向量法) 探索活动3:观察正弦定理的结构,看它有什么特点?你能用语言把它叙述出来吗?定理中的正弦改成余弦,结论还成立吗? 正弦定理与余弦定理 1.已知△ABC 中,a=4,ο 30,34==A b ,则B 等于( ) A .30° B.30° 或150° C.60° D.60°或120° 2.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3,则角C 的大小为( ) A .75° B.60° C.45° D.30° 3.已知ABC ?中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边,若0cos cos )2(=++C b B c a ,则角B 的大小为( ) A . 6 π B . 3 π C . 32π D .6 5π 4.在?ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2,ac a b 322=-,则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知a=5,c=10,A=30°,则B 等于( ) A .105° B.60° C.15° D.105° 或 15° 6.已知ABC ?中,75 6,8,cos 96 BC AC C ===,则ABC ?的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .钝角三角形 7.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2B C =,2cos 2cos b C c B a -=,则角A 的大小为( ) A . 2π B .3π C .4π D .6 π 8.在△ABC 中,若sin 2 A +sin 2 B <sin 2 C ,则△ABC 的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不能确定 9.在ABC ?中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C =( ) A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10.在ABC ?中,a b c ,,分别为角A B C ,,所对边,若2cos a b C =,则此三角形一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰或直角三角形 11.在△ABC 中,cos 2 =,则△ABC 为( )三角形. A .正 B .直角 C .等腰直角 D .等腰 12.在△ABC 中,A=60°,a=4,b=4 ,则B 等于( ) A .B=45°或135° B .B=135° C .B=45° D .以上答案都不对 13.在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=( ) 正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13,则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13,再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2-b23bc,sin C3B,则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b,代入a2-b23得a2-b2=6b2,所以a2=7b2,a7b, 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ,所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B,则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2,再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B,故cos B=2 , 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???, 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导; 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形; 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用; 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 基础知识梳理 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可 以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin _B ∶sin _C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos_A ,b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos_B ,c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos_C .余弦 定理可以变形:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半 径),并可由此计算R 、r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a =b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [难点正本 疑点清源] 1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC ;在锐角三角形中,cos A 第七节 正弦定理、余弦定理应用举例 时间:45分钟 分值:75分 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.如图所示,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A .a km B.3a km C.2a km D .2a km 解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB =120°,在△ACB 中,由余弦 定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos120°=2a 2-2a 2×? ?? ??-12=3a 2, ∴AB =3a . 答案B 2.张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上,15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A .2 2 km B .3 2 km C .3 3 km D .2 3 km 解析 如图,由条件知AB =24×15 60=6,在△ABS 中,∠BAS =30°,AB =6,∠ABS =180°-75°=105°,所以∠ASB =45°.由正弦定理知BS sin30°=AB sin45°,所以BS =AB sin45°sin30°=3 2. 答案B 3.轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A 的航行速度是25海里/小时,轮船B 的航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距离是( ) A .35海里 B .352海里 C .353海里 D .70海里 解析 设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ,F ,则依题意有CE =25×2=50,CF =15×2=30,且∠ECF =120°, EF =CE 2+CF 2-2CE ·CF cos120° = 502+302-2×50×30cos120°=70. 答案D 4.(2014·济南调研)为测量某塔AB 的高度,在一幢与塔AB 相距20 m 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60°等; (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有 时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 考点自测 1.(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积等于________. 解析 记三角形三边长为a -4,a ,a +4,则(a +4)2=(a -4)2+a 2-2a (a -4)cos 120°,解得a =10,故S =12×10×6×sin 120°=15 3. 答案 15 3 2.若海上有A ,B ,C 三个小岛,测得A ,B 两岛相距10海里,∠BAC =60°,∠ABC =75°,则B ,C 间的距离是________海里. 解析 由正弦定理,知BC sin 60°=AB sin (180°-60°-75°) .解得BC =56(海里). 答案 5 6 3.(2013·日照调研)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为________海里/时. 解析 由正弦定理,得MN =68sin 120°sin 45°=346(海里),船的航行速度为3464= 176 2(海里/时). 答案 176 2 4.在△ABC 中,若23ab sin C =a 2+b 2+c 2,则△ABC 的形状是________. 解析 由23ab sin C =a 2+b 2+c 2,a 2+b 2-c 2=2ab cos C 相加,得a 2+b 2= 2ab sin ? ????C +π6.又a 2+b 2≥2ab ,所以 sin ? ????C +π6≥1,从而sin ? ????C +π6=1,且a =b ,C =π3时等号成立,所以△ABC 是等边三角形. 答案 等边三角形 习题课 正弦定理与余弦定理 双基达标 (限时20分钟) 1.在△ABC 中,若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 的形状一定是 ( ). A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等边三角形 解析 ∵2cos B sin A =sin C =sin(A +B ), ∴sin A cos B -cos A sin B =0, 即sin(A -B )=0,∴A =B . 答案 C 2.在△ABC 中,若a 2=bc ,则角A 是 ( ). A .锐角 B .钝角 C .直角 D .60° 解析 cos A =b 2+c 2-a 2 2bc = b 2+ c 2 -bc 2bc = ????b -c 22+3c 2 4 2bc >0,∴0°<A <90°. 答案 A 3.在△ABC 中,AB =7,AC =6,M 是BC 的中点,AM =4,则BC 等于 ( ). A.21 B.106 C.69 D.154 解析 设BC =a ,则BM =MC =a 2. 在△ABM 中, AB 2=BM 2+AM 2-2BM ·AM cos ∠AMB , 即72=14a 2+42-2×a 2×4·cos ∠AMB ① 在△ACM 中, AC 2=AM 2+CM 2-2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62=42+14a 2+2×4×a 2·cos ∠AMB ② ①+②得:72+62=42+42+1 2 a 2, ∴a =106. 答案 B 4.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 2+c 2-b 2=3ac ,则角B 的值为________. 解析 ∵a 2+c 2-b 2=3ac , ∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =3ac 2ac =32,∴B =π 6. 答案 π 6 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =2,b =2,sin B +cos B =2,则角A 的大小为________. 解析 由sin B +cos B =2sin ????B +π 4=2得 sin ????B +π4=1,∴B =π 4. 由正弦定理a sin A =b sin B 得 sin A =a sin B b = 2sin π 4 2 =12 , ∴A =π6或56 π. ∵a <b ,∴A <B ,A =π 6. 答案 π6 6.在△ABC 中,内角A 、B 、C 成等差数列,其对边a ,b ,c 满足2b 2=3ac ,求A . 解 由A 、B 、C 成等差数列及A +B +C =180°得B =60°,A +C =120°. 由2b 2=3ac 及正弦定理得 2sin 2B =3sin A sin C , 故sin A sin C =12 . cos(A +C )=cos A cos C -sin A sin C =cos A cos C -1 2, 即cos A cos C -12=-1 2, cos A cos C =0, cos A =0或cos C =0, 《正弦定理》第一课时 尊敬的各位专家、评委、老师们: 大家好! 我是第号参赛选手,我今天说课的课题是:正弦定理 (选自人教A版新课程标准实验教材必修5第一章第一节第一课时) 这里我将从教学背景分析、教法学法分析两大块先谈谈我对本节课的教学认识,再以“教什么,怎么教,为什么这样教”的思路,来说明我的教学过程和设计,最后是教学评价。 首先是教学背景分析我分三小点来说明: 一、教学背景分析 1、教材分析 随着解三角形在实际测量和物理中的广泛使用,正弦定理作为解三角形最有力的工具之一,有着很高的学习价值,从知识上讲它又是函数知识和平面三角形知识的的交汇,是任意三角形边角关系准确量化的表示,通过本节课对定理的探索,无论在知识上,还是思想方法上对后续的学习都有重要的意义,因此我认为,本节课的重点是定理的发现和证明,及定理的简单运用。 2、学情分析 正弦定理是在学生已经学习三角形知识,解直角三角形、向量知识,三角函数等知识后对任意三角形边角关系的探索,学生有了一定的知识基础,但学生对知识的构建、论证能力还不强,探究过程中在思维上难免会受限,另外学生的合作交流意识、知识的运用能力还有待加强。因此我认为本节课的难点是定理的发现、证明及已知两边和一边对角时的解三角形。 根据上述教材、学情的分析,我制定如下教学目标: 3、教学目标 (1)知识和技能 引导学生发现正弦定理的内容,探索证明正弦定理的方法; 简单运用正弦定理解三角形。 (2)过程和方法 通过对定理的探究,培养学生发现数学规律的思维方法和能力; 通过对定理的证明和运用,培养学生独立解决问题的能力、体会分类讨论和数形结合的思想方法. (3)情感态度价值观 通过对三角形边角关系的探究学习,经历数学探究活动的过程,体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律,培养探索精神和创新意识,体会数学的使用价值。 为了使学生能够达到本节课设定的教学目标,我再从教法和学法上进行分析。(首先是教法分析) 二、教法学法分析 1、教法分析 根据教材的内容和编排的特点,本讲我将以“教师为主导,以学生为主体”,'采用“师生互动"为基础的“启发——探究式课堂教学模式”,用层层深入的话题将学生引入对定理的发现证明运用过程中,使教师始终站在学生思维和兴趣的最近发展区上,有效的组织教学。 课时作业3应用举例 时间:45分钟满分:100分 课堂训练 1.海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B、C间的距离是() A.103海里B.106海里 C.52海里D.56海里 【答案】 D 【解析】如图,∠A=60°,∠B=75°, 则∠C=45°, 由正弦定理得: BC=AB·sin A sin C =10×sin60° sin45° =5 6. 2.如图所示,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为() A .502m B .503m C .252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB =45°,∠CAB =105°,所以∠ABC =30°,根 据正弦定理可知,AC sin ∠ABC =AB sin ∠ACB ,即50sin30°=AB sin45°,解得AB =502m ,选A. 3.从某电视塔的正东方向的A 处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B 处,测得塔顶仰角为45°,A ,B 间距离是35m ,则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示,塔高为OC ,则∠OAC =60°,∠AOB =180°-30°=150°,∠CBO =45°,AB =35, 设电视塔高度为h m,则OA=3 3h,OB=h,在△AOB中由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB, 即352=(3 2+h2-2×33h×h×(-32) 3h) 解得h=521. 4.如图所示,海中小岛A周围38海里内有暗礁,一船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后,在C处测得小岛在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险? 【分析】船继续向南航行,有无触礁的危险,取决于A到直线BC的距离与38海里的大小,于是我们只要先求出AC或AB的大小,再计算出A到BC的距离,将它与38海里比较大小即可. 第28讲 正弦定理与余弦定理 1.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+bc ,则角A 等于(C) A .60° B .45° C .120° D .30° 因为cos A =b 2+c 2-a 22bc =-12, 又因为0° 正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT- ●高考明方向 掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角形度量问题. ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考 考查的热点. 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题 中,综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的 判断等问题. 3.三种题型都有可能出现,属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一 正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2:sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3:∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意:(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式 均可利用正弦定理进行边角互化。 知识点二 余弦定理1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案
《正弦定理》教案1苏教版
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理与余弦定理地综合应用
正弦定理和余弦定理详细讲解
正弦定理余弦定理
正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)
人教新课标版数学高二-2014版数学必修五练习1-1正弦定理与余弦定理
1.1正弦定理(优质课比赛)
(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
正弦定理与余弦定理
正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳