第六章 实数小结与复习
考点呈现
考点1 算术平方根、平方根和立方根的概念以及它们的性质
例1 81的平方根是 （ ） A. 3± B. 3 C. 3
1
±
D. 31
解析：本题直接利用算术平方根和平方根的概念来求.
因为81=9，又（3±）2
=9，所以81的平方根是3±.故选A.
例2 327-等于 （ ）
.
B.－9 D.－3
解析：进行开立方运算，正数结果是正的，负数的结果是负的．
因为(－3)3
=－27，所以327-＝―3.故选D ．
例3 已知实数x ，y 满足5-x +6+y =0，求（x+y ）2011的值.
解析：应根据算术平方根和绝对值的非负性求出x ，y 的值. 由5-x +
6+y =0，得x-5=0,y+6=0,即x=5,y=-6.
所以（x+y ）2011
=（5-6）
2011
=-1.
点评：a 的非负性即被开方数a ≥0，且a ≥0.
#
考点2 有理数、无理数和实数的概念
例4 在所给的实数2
2，-3
1
，π，0.。5。7，35-， 772 777 2…（相邻两个2之间的7的个数逐次增加
1）中，无理数的个数为 （ ）
个 个 个 个
解析：正确理解无理数的概念是解决问题的关键.
由于2
2=2，所以它是有理数；-3
1
是分数，所以也是有理数；0.。5。7是无限循环小数，故也是有理数.π，
3
5-， 772 777 2…是无理数.故选B.
点评：常见的无理数有以下几种类型：①开方开不尽的带根号型，如-3，217；②含π型，如π，
2
π；
③构造型，如 010 001 000 01….
考点3 方根的估算
例5 设26=a ，则下列结论正确的是 （ ）
~
A. ＜a ＜5
B. 5＜a ＜
C. ＜a ＜6 ＜a ＜
解析：由于25＜26＜36，即5＜26＜6，可排除A,D.又因为=＞26，所以＜26＜.故选B. 考点4 实数的大小比较及运算
例6 如果a ＜b ，b ＞0，a+b ＜0，那么下列关系式中正确的是 （ ） A. a ＞b ＞-b ＞-a B. a ＞-a ＞b ＞-b C. b ＞a ＞-b ＞-a D. -a ＞b ＞-b ＞a
解析：本题可以采用特殊值法，即在满足字母取值范围的条件下，取一些特殊值代入验算. 由a ＜b ，b ＞0，a+b ＜0，可以取a=-2，b=1，显然-a ＞b ＞-b ＞a.故选D. 例7 化简2-2（2+2）的结果为 .（结果精确到）
.
解析：2-2（2+2）=2-2-22=-2-2≈. 故填.
点评：实数的运算法则和有理数的运算法则相同.在实数运算中，如果遇到无理数并且需要求出运算结果的
近似值时，可以按照所要求的精确度用近似有限小数去代替无理数，再进行计算.
考点5 实数和数轴上点的一一对应关系
例8 如图1，数轴上点P 表示的数可能是 （ ）
图1
—
A. 7
B. -7
C.
D. -10
解析：观察P 点的位置，P 点表示的数大于-3而小于-2.故选B. 例9 实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图2所示.试化简：
a -+c
b --a
c += .
_
`
1
_0
_- 1 _- %2
_- 3
_- 4
图2
解析：本题主要是考查实数绝对值的概念，同时涉及相反数和绝对值的化简.解题时，运用数形结合思想，首先根据图示判断每个绝对值号内式子的符号，正确地去掉绝对值号.
|
由图知a ＜0,b ＜0,c ＞0,且a ＞c . 所以-a ＞0,b-c ＜0,c+a ＜0.
所以a -+c b --a c +=-a-(b-c)+(c+a)=2c-b.
误区点拨
误区1 生造运算法则出错 例1 计算1916
. 错解：
1916
=1+9
16
= 1 ＋916 = 134
. 剖析：错解误认为将带分数开方，只将整数部分和分数部分分别开方，而显然19
16
= 1+9
16
≠ 1 ＋916
. 】
正解：
1916
=2516 = 54 = 114
. 误区2 考虑不全面出错
例2 如果式子12-x +31x -有意义，则x 的取值范围是 （ ） ≥
21 ≤1 C. 2
1
≤x≤1 D.以上答案都不对 错解：C 或D.
剖析：受a 中被开方数a 的非负性影响，不加仔细分析就认为2x-1≥0 ,且1-x≥0,故选C.而31x -为对1-x 开3次方，1-x 不受符号的限制，故有的同学不假思索而选D.
正解：由题意知，只需2x-1≥0，即x≥2
1
，故选A. 误区3 忽视结果的化简
（
例3 计算：242
1
3
32-+.
错解：原式=22
11242211
24=-+. 剖析：这一错误主要是书写不规范造成的，其中的2211应写成22
3
. 正解：原式==-+
2422
324223
. 跟踪训练
1.下列实数（-52）2，π，9，27-）（， 001 000 1…，-6，-5-，3
7-，2
1，。4，-35中，
无理数的个数是 （ ）
2.下列说法正确的是 （ ）
【
没有立方根 的立方根是3± C.
361的立方根是6
1
的立方根是35- 3.下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应关系；②不带根号的数就是有理数；③负数没有立方根；④-4是16的平方根.其中正确的有 （ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 4.计算-9
4
5
的结果为 . 5.满足-3＜x ＜6的整数x 有 . 6.如果x 2
=16，那么5-x 的算术平方根是 .
7．已知一个正方体的体积是1000 cm 3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得截去后余下的体积是488 cm 3，问截得的每个小正方体的棱长是多少
>
8.已知2a —1的平方根是±3，4是3a+b-1的算术平方根，求a+2b 的值.
9.小欢和小樱都十分喜欢唱歌，她们两个一起参加社区的文艺汇演. 在汇演前，主持人让她们自己确定出场顺序，可她们俩争着先出场，最后主持人想了一个主意.
第六章 实数小结与复习
跟踪训练： 3
7
,0,1,2 或3 .
8.解：根据题意，得2a-1=9，3a+b-1=16，解得a=5，b=2，所以a+2b=9. 9. -π<<||<
2
1<<|+1|.
【
||
|+1
|
;
给你们六张卡片，每张卡片上都有一些实数.将能化简的数先化简，再用“<”把原数连接起来.谁先按照要
一起来怎么样你也试一试吧！
-π