2020高考数学模拟考试
（理科）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}()ln x f x x =，B ＝{﹣1，2，3}，则A I B ＝ ． 答案：{2，3}
考点：集合的交集运算
解析：∵集合A ＝{}()ln x f x x =， ∴集合A ＝(0，+∞) ∵B ＝{﹣1，2，3}，
∴A I B ＝{2，3}．
2．若()1310z i +=，则z 的实部为 ． 答案：1 考点：虚数
解析：∵(13i)10z +=， ∴1010(13i)10(13i)
13i 13i (13i)(13i)10
z --=
===-++-， 故z 的实部为1．
3．已知a b +r r ＝(3，4)，a b -r r ＝3，则a b ?=r r
．
答案：4
考点：与向量的模有关的计算
解析：∵a b +r r
＝(3，4)，
∴5a b +=r r
，
则2
()25a b +=r r ，即22225a a b b +?+=r r r r ①，
由a b -r r
＝3，得2229a a b b -?+=r r r r ②，
由①，②解得a b ?=r r
4．
4．已知函数4, 1
()3, 1
x x f x x x ?≥=?+
答案：﹣1 考点：分段函数
解析：当()1f a <时，(())()3416f f a f a =+<≠， 故()1f a ≥时，()
(())4
16f a f f a ==，∴()2f a =，
当a ≥1时，()442a
f a =≥≠，
故a ＜1时，()32f a a =+=，故a ＝﹣1．
5．双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y x =，且过点(5，，则其焦距为 ． 答案：7
考点：双曲线的性质
解析：∵双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y x =，
∴
b a =①，
∵双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)过点(5，，
∴
22
2518
1a b -=②， 由①、②解得：2
254
a =，2
6b =， ∴2
2
2
2549644
c a b =+=
+=，即72c =，27c =，
故该双曲线的焦距为7．
6．已知(m ，n )为直线120x y +-=上一点，且0mn >，则
14
m n
+的最小值为 ． 答案：
34
考点：基本不等式
解析：∵(m ，n )为直线120x y +-=上一点， ∴12m n +=，
∴
1412125532=12312312312124
m n m n n m m n m n m n m n +++=+=+=++≥ 当且仅当m ＝4，n ＝8时取“＝”， 故
14m n +的最小值为34
． 7．若函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12
x π
=
对称，则θ＝ ．
答案：
56
π 考点：三角函数的图像与性质
解析：∵函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12
x π
=对称，
∴212
k π
θπ?
+=
∴6
k π
θπ=-
，
∵0θπ<<， ∴56
πθ=
． 8．在棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 为棱AD 的中点，E 为线段CC 1上一点，则三棱锥E —FDD 1的体积为 ．
F E D 1
C 1
B 1
A 1
D C
B
A
答案：18
考点：棱锥体积 解析：1—11
(36)61832
E FDD V =
????=． 9．已知A ＝[0，2]，B ＝{}
32
0x x x x a ---≥，若A ?B ，则实数a 的最大值为 ．
答案：﹣1
考点：不等式恒成立
解析：由题意，得x ?∈[0，2]，不等式32
0x x x a ---≥恒成立， 参变分离得32
a x x x ≤--对x ?∈[0，2]恒成立，
令3
2
()f x x x x =--，则2
()321(1)(31)f x x x x x '=--=-+， 当0＜x ＜1，()f x '＜0，即()f x 在(0，1)上单调递减， 当1＜x ＜2，()f x '＞0，即()f x 在(1，2)上单调递增，
故x ＝1时，min ()(1)1f x f ==-，故a ≤﹣1，则实数a 的最大值为﹣1．
10．已知等差数列{}n a 的公差为﹣2，且2a ，4a ，5a 成等比数列，则该等比数列的公比
为
． 答案：
12
考点：等差数列的通项公式，等比中项的运用 解析：∵等差数列{}n a 的公差为﹣2，
∴212a a =-，416a a =-，518a a =-， ∵2a ，4a ，5a 成等比数列，
∴2
425a a a =，即2
111(6)(2)(8)a a a -=--， 化简得：110a =， 故公比q ＝
41216106121022
a a a a --===--． 11．如图，已知点O(0，0)，A(2，0)，P 是曲线y x =(0≤x ≤1)上一个动点，则OP AP ?u u u r u u u r
的
最小值是 ．
答案：14
-
考点：平面向量数量积 解析：设P(0x ，0x )，
∴OP u u u r
＝(0x ，0x )，AP u u u r ＝(02x -，0x )，
故2000011
OP AP (2)()24
x x x x ?=-+=--u u u r u u u r ，
∵0≤x ≤1，∴012x =时，OP AP ?u u u r u u u r 有最小值为1
4
．
12．已知cos()63x -=，x ∈(0，π)，则sin(2)3
x -＝ ．
答案：42
9
-
考点：同角三角函数关系式，二倍角公式 解析：∵0＜x ＜π，∴6π-
＜6x π-＜56
π，
∵1cos()63
x π
-=＞0，故6π-＜6x π-＜2π，
又当6π-＜6x π-＜0
时，cos()126x π<-<，与1
cos()63
x π-=矛盾， ∴0＜6
x π
-＜
2
π
，则sin()63x π-=，
∴sin(
2)sin(2)sin[2()]2sin()cos()33666
x x x x x π
ππππ
-=--=--=---
12339
=-?
?=-． 13．已知椭圆22
221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12
e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是
椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()
cos()
αβαβ-+的值
为 ． 答案：
17
考点：椭圆的性质 解析：∵椭圆的离心率12
e =
， ∴
12
c a = 即2214c a =，则22214a b a -=，解得223
4
b a -=-，
∵A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，
∴PA PB k k ?＝223
4
b a -=-，
∴
1cos()cos cos sin sin 1tan tan cos()cos cos sin sin 1tan tan 1PA PB PA PB
k k k k αβαβαβαβαβαβαβαβ+?-++===+---?
31()
143
7
1()4
+-=
=--． 14．已知函数4
()ln 2f x x x x
λλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，
2y )使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则1x ＋2x 的取值范围为 ． 答案：(8，+∞)
考点：导数的几何意义，不等式恒成立，基本不等式 解析：∵4
()ln f x x x x
λ=+-， ∴2
4
()1f x x
x λ
'=
-
-， ∵曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行， ∴12()()f x f x ''=，即
221
122
4411x x x x λ
λ-
-=--， ∴2
1212124()()2
x x x x x x λλ++=<，之所以取不到等号是因为1x ≠2x ， 从而1216
x x λ
+>，对λ≥2恒成立，
∴12max 16
(
)8x x λ
+>=，故1x ＋2x 的取值范围为(8，+∞)．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
，且2
2
2
()tan A b c a +-=．
（1）求角A ；
（2）若2a =，△ABC
的面积S ，求
11
b c
+的值． 解：（1
）由222()tan b c a A +-=，及余弦定理222
2cos b c a bc A +-=得
2sin bc A =，又0bc >
，得sin 2
A =
． 因为△ABC 为锐角三角形，所以02
A π
<<，故=
3
A π
．
（2）因为2a =，=
3
A π
，根据余弦定理2
2
2
2cos b c a bc A +-=得
224b c bc +-=，
又1sin 2S bc A ==
=4bc = ．……① 所以2244b c +-=，即()()2222
288b c b c bc b c +=+-=+-=． 又+0b c >，所以4b c += ……②
根据①②得，114=
14b c b c bc ++==，所以，11
b c
+的值为1．
16．（本题满分14分）
如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点． （1）求证：AC 1∥平面PBD ； （2）求证：BD ⊥A 1P ．
P D 1C 1
B 1
A 1
D C
B
A
（1）证明：连结AC 交BD 于O 点，连结OP ，
因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以O 点是AC 的中点，所以AO OC =．
又因为点P 是侧棱1C C 的中点，所以1CP PC =． 在1ACC ?中，
11C P
AO OC PC
==, 所以1//AC OP ．
又因为OP PBD ?面，1AC PBD ?面， 所以1//AC 平面PBD ． （2）证明：连结11A C .
因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ?平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．
因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．
又1AC CC C =I ，111,AC AC CC AC ??面面,所以1BD AC ⊥面．
又因为1111,P CC CC ACC A ∈?面,所以11P ACC A ∈面，因为111A ACC A ∈面， 所以11A P AC ?面， 所以1BD A P ⊥．
O
P D 1C 1
B 1
A 1
D C
B
A
17．（本题满分14分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ＝1，8S ＝22． （1）求n a ；
（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}
n k a ，其中k 1＝1，且k 1
＜k 2＜…＜k n ＜…．当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式． 解：（1）设等差数列的公差为d ，则
8118878+28222
S a d d =+??==，解得12d =，
所以111
(1)1(1)22
n n a a n d n +=+-=+-=
. （2）法一：因为{a k n }为公比q 的等比数列，11k a =，所以1
n n k a q -= 又1
2
n n k k a +=，所以
111
212
n n n k n k k a q k a +++==+，即1=+1n n k qk q +-，所以()1+1=+1n n k q k +. 又k 1＝1，k 1+1＝20≠，
所以{}1n k +是公比q 的等比数列，所以1
21n n k q -=?-.
因为2*n n k k N ≥∈，，所以1
212n q -?-≥，且公比q 为正整数，解得2q ≥，
所以最小的公比2=q ． 所以21n
n k =-．
法二：因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{n k a 的公比1>q ，
若22=k ，则由232a =，得2132a q a ==，此时32
23924
k a a q ??=== ???，由1924n +=， 解得7
*2
n N =?，所以22>k ，同理32>k ；
若23k =，则由32a =，得2=q ，此时1
2n n k a -=，
另一方面，12n n k k a +=，所以11
22
n n
k -+=，即21n n k =-， 所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第21n -项．所以最小的公比2=q ．
所以21n
n k =-． 18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分
别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1
倾斜角的余弦值为3
，圆C 与以线
段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．
（1）求椭圆E 的离心率；
（2）判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．
解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），
因为直线11A B
=
于是2
2
8a b =，即2
2
2
8()a a c =-，所以椭圆E
的离心率e = （2
）由e =可设()40a k k =>
，c
，则b =，
于是11A B
的方程为：40x k -+=，
故2OA 的中点()20k ,
到11A B 的距离d =242k k
k +=， 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切． 因为圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称，
所以直线11A B 与圆C 相切．
（3）由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而1k =， 设2OA 的中点()20, 关于直线11A B
：40x -+=的对称点为()m n , ，
则1,224022
n m m n ?=-?-?+?-+=?．
解得23m n =,
所以，圆C 的方程为(
)(
2
2243x y -+=．
19．（本小题满分16分）
如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD 及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形BEFG 的一边BG 在BC 上，矩形AHIJ 的一边AH 在AD 上，点C ，D ，F ，I 在圆周上，E ，J 在直径上，且∠EOF ＝6
π
，设∠BOC ＝θ，θ∈(
6π，2
π
)
1． （1）记游泳池及休息区的总造价为()f θ，求()f θ的表达式；
（2）为进行投资预算，当θ为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．
解：（1）设，休息区每平方米造价为2(0)t t >
，
则在矩形ABCD 中，=sin ,cos BC R OB R θθ=， 所以，2
2
22sin cos sin 2ABCD S OB BC R R θθθ=?==.
在矩形BEFG
中，sin
,cos cos cos 6262R EF R BE R R R π
π
θθ??==
=-=- ? ???，
所以，2
22cos BEFG S EF BE R θ?=?=????
.
所以，(
)2
=22=22cos ,,62ABCD BEFG f S S t tR
ππθθθθ??+?-∈ ???
. （2）由（1）得，(
)(
))
2
2
2'=22sin 2sin f tR
tR θθθθθ+=+
(
)
2=22sin 1tR θθ-+，
因为,62ππθ??∈
???，所以1sin ,12θ??∈ ???
. 令()'0f θ=
，解得sin θ因为,62ππθ??
∈ ???
，所以=3πθ.
列表如下：
所以，当=
3
πθ时，总造价()f θ
取得极大值(2tR
，即最大值为(2
tR . 20．（本小题满分16分）
已知函数1
()ln f x x x
=-，()g x ax b =+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若直线()g x ax b =+是函数1
()ln f x x x
=-图象的切线，求a b +的最小值；
（3）当3b =-时，若直线()g x ax b =+与函数1
()ln f x x x
=-图象有两个交点，求
实数a 的取值范围．
解：（1）由()()1ln ,f x x g x ax b x =-=+，得1
()()()=ln h x f x g x x ax b x
=----，则
211
'()h x a x x
=
+-， 因为()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，()0,x ?∈+∞，211
'()0h x a x x
=
+-≥，
即()0,x ?∈+∞，211a x x ≤
+，令21
,(),0t H t t t t x
==+>，2()H t t t =+在()0,+∞上单调递增，且()H t 能取到()0,+∞上一切实数，所以0a ≤，故实数a 的取值范围为
(,0]-∞．
（2）设切点为0001,ln x x x ?
?-
???，则切线方程为()002000111ln y x x x x x x ????
--=+- ? ??
???， 因为直线()g x ax b =+是函数()1
ln f x x x
=-图象的切线，
所以20011a x x =
+，00000111ln ln ax b x x x x +=-=--，所以00
12
ln 1b x x =---， 令()0
1
0u u x =>， ()2ln 1a b u u u u ?+==-+--，则 ()()()2211121'21u u u u u u u u u
?+---=-+-==
当()0,1u ∈时，()'0u ?<，()u ?在()0,1上单调递减；当()1,+u ∈∞时，()'0u ?>，
()u ?在()1,+∞上单调递增，所以()()1=1a b u ??+=≥-． 所以a b +的最小值为1-．
（3）当3b =-时，令1()ln 3F x x ax x
=--+，则222
111
'()=ax x F x a x x x -++=+-． 当0a ≤时，'()0F x >，()F x 在()0,+∞上单调递增，()F x 在()0,+∞上至多一个零
点，
故0a >．令方程2
1=0ax x -++的大根为0x ，则2
0010ax x -++=．
当()00,x x ∈时，'()0F x >，()F x 在()00,x 上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，'()0F x <，()F x 在()0,x +∞上单调递减． 因
为
()
F x 在
()
0,+∞上有两个零点，所以
000000
12
()ln 3=ln +20F x x ax x x x =-
-+->， 解得01x >（构造函数2
()ln 2G x x x
=-+，根据单调性求解），
所以()200
11
0,2a x x =
+∈． 取
()
0100x x e x -=∈，，则
()
0000000()330x x x x x F e x e ae x e ae ---=---+=--+-<，
根据零点存在性定理，()F x 在()00,x 上至少有一个零点，又()F x 在()00,x 上单调递增，
所以()F x 在()00,x 上只有一个零点． 同理，()F x 在()0,x +∞上只有一个零点． 综上，实数a 的取值范围为()0,2.
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题．．．．．．．区域内作．．．．答．
．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1012,0202A B ????
==?
???
????
． （1）求2B ； （2）求12A B -．
解：（1）因为1202B ??=????，所以2
121216=020204B ??????=????????????
. （2）因为1002A ??=????
，=20A ≠，所以110102A -??
??=????
. 所以12101616==1040202A B -??
????????????????
??
.
B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为2,
3C π?
?
??
?
，半径为2． 以极点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程为12
(2
x t y t ?=+???
?=??为参数)．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）设l 与圆C 的交点为,A B ， l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +．
解：（1）设P ρθ（，）
为圆C 上任意一点，则 圆C 的圆心坐标为2,
3C π?? ?
??
，半径为2，得圆C 过极点， 所以，cos 3OP OA πθ??=- ???，即=4cos 3πρθ??- ??
?， 所以圆C 的极坐标方程为=4cos 3πρθ??- ??
?． （2）由（1
）得=4cos =2cos 3πρθθθ??-+ ??
?
，即2
=2cos sin ρρθθ+，
根据222
cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，得
222x y x +=+
，即2220x y x +--=．（*）
设1122(1,),(1,)2222
A B t t +
+,将直线l 的参数方程代入（*），整理得
210t --=
12121t t t t +==-
所以，
12=PA PB t t +-=
=
==
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
已知0()sin +
4x
f x e x π??
= ???
，记()1()'()*n n f x f x n N -=∈． （1）123(),(),()f x f x f x ；
（2）求40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ．
解： 由20()sin +4x
f x e x π??
= ?
?
?
得()10()'()=
2cos 2
x
f x f x e x =
. 同理，()2()2cos 2sin x f x x x =
-，()3()4sin x f x x =- （2）由（1）得，当()4n k k N =∈时，
()()4()4sin cos 2
k
x k f x e x x =-?+， 当()4+1n k k N =∈时，
()()41()42cos 2k
x k f x e x +=-?； 当()4+2n k k N =∈时，(
)()4+2()42cos 2sin k
x k f x x x =--， 当()4+3n k k N =∈时，()()43()44sin k
x
k f x e x +=--.
所以，
()[]()4414243()()()()=45cos 5sin 45cos 24k
k x x k k k k f x f x f x f x e x x e x π+++?
?+++--=-?+ ??
?
所以，40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ()1
=54cos 4n k
x k e x π-=??
?
-+
??
?
∑ ()=14cos 4n x
e x π????--+ ??
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．
23．（本小题满分10分）
已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1
n ．
（1）求S 2，S 4的值；
（2）若T n ＝7n ＋11
12，试比较2n S 与T n 的大小，并给出证明．
解：（1）S 2＝1＋12＝32，S 4＝1＋12＋13＋14＝25
12．
（2）当n ＝1，2时，T 1＝7＋1112＝32，T 2＝7×2＋1112＝25
12，所以，2n S ＝T n ． 当n ＝3时，T 3＝7×3＋1112＝83，S 8＝1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＝761280＞8
3＝T 3． 于是，猜想，当n ≥3时，2n S ＞T n ． 下面用数学归纳法证明： ①当n =3时，结论成立；
②假设n ＝k (k ≥3)时结论成立，即2k S ＞T k ；
当n ＝k ＋1时，12k S ＝2k S ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋1
2
k ＋1
＞7k ＋1112＋（12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1）＋（12k ＋2k －1
＋1＋12k ＋2k －1＋2＋ (12)
＋1
）
＞7k ＋1112＋12k ＋2k －1×2k －1＋12k ＋
1
×2k －1＝7k ＋1112＋13＋14＝7(k +1)＋1112， 当n ＝k ＋1时，2n S ＞T n ．
根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n ，都有2n S ＞T n ．
综上，当n ＝1，2时，2n S =T n ；当n ≥3时，2n S ＞T n ．