西华师范大学物理与电子信息学院- 1 - -
《物体的平衡性》教案
【课题】对物体平衡性的探究
【教学时间】40分钟
【教学对象】高一(上)
【教材】教育科学出版社第四章第3节
【主讲人】
【教学内容分析】
1.教材的地位和作用：课程地位及目标
本节内容是新教材第四章第三节的内容，应其在课程要求中为选学内容，对学生的要求相对较低，教材地位一般，只是教师对学生实际情况进行相应补充，和对教学方法的适当尝试；学生通过自我探究就简单规则几何体的平衡有一定定性了解。
。
2.课程标准对本节的要求：通过实验探究，让学生知道什物体平衡的分类，物体达到平衡的条件及稳定的概念，培养其的物理思维。
3.教材内容安排：通过实验得出自由落体是初速度为零的匀加速运动，并分析自由落体运动及其加速度。
4.对教材的处理：培养学生观察能力和分析,使之会验证匀变速直线运动；通过分析、归纳出自由落体运动的速度、位移公式，培养分析、推理、综合的能力。
【学生情况分析】
1.学生的兴趣：具有强烈的好奇心。
2.学生的知识基础：学生已经学过共点力平衡等有关知识。
3.学生的认识特点：本节知识的内容，接触多但并未进行总结和相关学习，在探究时，对实验结果的外推的有一定难度。
【教学目标】
1.知识与技能
通过实验观察、定义并理解简单几何体的平衡态的分类和做自由落体运动的条件
2.过程与方法
通过引导学生对实验进行控制变量的设计，是学生掌握实验设计原理，及对于探究的结果合理外推，大胆假设，科学求证的能力
3.情感态度与价值观
通过教学，使学生明白生活中简单几何体的平衡原理，激发起对物理学科的学习热情，使他们从生活走向物理，从物理走向科学。
【教学重点】物体平衡状态的分类，影响物体稳定性的因素及稳度的理解
【教学难点】
学生对于生活中的稳定事例关注不多，对于实验的设计和结果的外推，有较大影响，探究质量把握难度大。
【教学策略设计】
1.教学组织形式
新课程提倡以自主、合作、探究的教学组织形式来进行课堂教学，本节采用教师引导，学生探究的教学组织形式，让学生在体验科学探究的过程中，获取物理知识。
2.教学方法
（1）实验探究法
物理是一门以实验为基础的科学。本节教学设计注重以问题为先导，把主要内容的教学过程变成一种解决问题和科学探究的过程。
在教师的启发、引导下，学生自己探究，动手做一些有趣的小实验，尝试自己观察并描述实验现象，分析现象产生的原因，从而获取知识。整个过程渗透物理学研究方法、科学思维方法和协作精神、探索精神等情感态度价值观教育。
（2）讲授法
通过教师的讲解，辅以演示实验、各种直观教具和现代教学技术，启发学生思维，把学生的感性认识上升到理性认识。在讲授知识的同时渗透探究的思想，在探究的过程中讲授必要的物理知识。在稳度的探究上，让学生具体问题具体分析，随时发现学生的错误，并引导分析错误原因，把教师的主导作用与学生的主体作用结合起来，巩固强化有关知识。
3.学法指导
“新课程模式下，应重视教学过程中对学生的学法指导。在本节的教学法中，要注意引导学生通过观察、分析、综合，自己得出结论，在其中渗透物理学的分析问题和解决问题的方法，使学生受到学习方法的训练。
4.教学媒体设计
充分利用实物、视频、图片等材料，为学生学习物理规律提供必需的感性材料。【教学用具】
米花糖若干，小刀，平面
【教学流程图】
开始——创设情景（7）——提出问题——分组探究（5）——总结点评（5）——引导学习（15）——总结——布置
【教学过程设计】
【板书设计】
?平衡的稳定性的探究
一.物体平衡的分类
?二.物体倾覆的原因
关于浮体的平衡与稳定性)1 谢建华 (西南交通大学牵引动力国家重点实验室) 摘要：本文讨论了浮体的平衡与稳定问题，介绍了定倾中心的定义，并结合一个具体的例子，给出了定倾高度的三种不同的计算方法，最后，根据能量方法说明了用定倾高度判定浮体稳定性的理论依据。 关键词：浮体；平衡；稳定性 浮体的平衡与稳定问题研究是一个非常有实际意义的课题，是船舶与海洋平台设计的理论基础，在其它工程中也有广泛的应用。在浮体稳定性研究中，定倾中心是一个重要的概念，但是，笔者认为有一些教科书或文献对此概念的定义是不够明确的，例如，有的认为，当船 体发生微小摇晃时浮力的作用线交对称轴线（浮轴）于一定点，此点即为定倾中心]2[],1[，也有的认为实验表明前述两直线交于一点]3[。另外，在用力系简化方法推导定倾高度的过程中也有含糊不清之处]1[，或在稳定性判定上发生错误]4[。笔者带着这些疑问查阅了若干 参考书，特别是[5]、[6]和[7]。根据这些材料，本文介绍了定倾中心的明确定义，并结合一个具体的例子，给出了定倾高度三种不同的计算方法，最后，根据能量方法说明了用定倾高度判定浮体稳定性的理论依据。 如果物体的比重比水小，物体在水中漂浮平衡时，有一部分将露出水面，这样的物体称为浮体。浮体要满足以下两个条件才能平衡：(i) 受水的浮力等于浮体的重量；(ii)浮心(浮力的作用点)与浮体重心的连线和水平面垂直，如图1(a)所示。浮体平衡位置还要满足稳定性条件才能具体实现。图1(b)表示一个长方形物块平躺和竖立平衡位置发生了微小的扰动，其中，左边的物块上作用的重力和浮力阻碍了物块进一步偏离其平衡位置，因此平衡是稳定，而右边的物块则相反，其上作用的重力和浮力加剧了偏离其平衡位置，平衡是不稳定。以下来分析浮体平衡和稳定的条件。 图1 浮体的平衡 假设浮体有一个对称面，平衡位置发生扰动时，浮体上各点的位移均平行于对称面，浮体作平面运动。容易说明浮体对铅直和水平扰动是稳定的，仅需考虑浮体对转动方向扰动的稳定性问题。平衡时，浮体与水平面的交面称浮面，记为S。先建立一个与浮体固连的坐标 )1国家自然科学基金资助项目(10772151)
物体的平衡条件 课时训练 9 1．如图所示，一物体静止在斜面上，关于它所受各力的相互关系，下列说法正确的是 A.它受到的重力与弹力大小相等 B.它受到的静摩擦力的大小等于重力沿斜面向下的分力 C.它受到的弹力与摩擦力的合力，大于物体受到的重力 D.它受到的斜面作用力的合力方向垂直于斜面向上 2．如图所示，质量为m 的木块A 放在斜面体B 上，若A 和B 沿水 平地面以相同的速度v 0一起向左作匀速直线运动，则A 和B 之间的 相互作用力大小为 A ． mg/co sθ B ．mgcosθ C ．mgsinθ D ．mg 3．如图所示，质量为m 的物体沿质量为M 的斜面匀速下滑，M 不动，则 （ ） A ．M 对地面的压力大小为（M+m ）g B ．m 对M 的作用力的合力为零 C ．地面对M 的静摩擦力不为零，方向水平向左 D ．m 和M 之间的动摩擦因数μ=tanθ 4．如图所示，两个质量都是m 的小球A 、B 用轻杆连接后斜放在墙上 处于平衡状态。已知墙面光滑，水平地面粗糙，现将A 球向上移动一小 段距离，两球再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状 态比较，地面对B 球的支持力N 和轻杆上的压力F 的变化情况是 A. N 不变，F 变大 B. N 不变，F 变小 C. N 变大，F 变大 D. N 变大，F 变小 5．如图所示，质量均为m 的物体a 和b ，置于水平支承面上，它们与 支承面间的滑动摩擦系数均为μ，a 、b 间为光滑接触，在水平力F 作用下，它们一起沿水平面匀速运动时，若a 、b 间的作用力为N ，则N 的大小 A ． N=F B ．2F N F >> C ． 2F N < D ． 2F N = 6．两个同学提一桶水做匀速运动,两个同学的提力相等,下列说法中正确的是 A.他们提桶的两个力的夹角为120°时,每个同学提水的力都与桶和水的总重力的大小相等 B.当他们提桶的两个力的夹角为90°时,每个同学提水的力都大于桶和水的总重力 C.当他们提桶的两个力的夹角为150°时,每个同学提水的力都大于桶和水的总重力 D.无论他们提桶的两个力的夹角为多大,每个同学提水的力都大于桶和水的总重力 7.如图跳伞运动员打开伞后经过一段时间，将在空中保持匀速降落.已知运动员和他身上装备的总重力为G 1，圆顶形降落伞伞面的重力为G 2，有8条相同的拉线，一端与飞行员相连(拉线重力不计)，另一端均匀分布在伞面边缘上(图中没有把拉线都画出来)，每根拉线和竖 直方向都成300角.那么每根拉线上的张力大小为 A 、 1231G B 、12 )(321G G + C 、8)(21G G + D 、41G v
《二力平衡》 教学目标： 1．知识目标：让学生知道力的平衡的概念，理解二力平衡的条件，使学生会应用二力平衡条件。 2．能力目标：培养学生的观察能力、实验探索能力、分析概括能力和应用物理知识解决简单问题的能力。 3．情感目标：在二力平衡条件的探索实验中，渗透物理研究问题的科学方法和物理思想的教育，提高学生的科学素质，培养学生的非智力因素。 重点、难点分析： 重点：二力平衡条件 难点：1．二力平衡中的“二力同线”问题 2．匀速直线运动时二力平衡的条件 教具： 教师用：演示用弹簧秤，铁架台，滑轮组； 学生用：每组（四人）2把弹簧秤，一块轻质 塑料片（片上有几个洞，如图1所示），一把剪 刀。 教学过程： 一．引入新课 提问：惯性定律的内容是什么能不能反过来说，凡是保持静止状态或匀速直线运动状态的物体都没有受到外力呢 [电脑演示]：在平直公路上匀速行驶的汽车、静止在路边的人、在空中匀速下降的跳伞运动员。 提问：他们是否受到力的作用 图1
二．新课教学 1．力的平衡 小组讨论（四人一组）：让同学充分发表自己平时生活中观察到的物理现象，举出身边一两个受力物体的实例，分析它们的受力情况及运动状态，并在投影片上画出物体所受力的示意图。 在同学们讨论的基础上，展示同学所举的实例，利用这些例子使学生认识到：当一个物体受几个力作用时，也能保持静止或匀速直线运动状态，得出“力的平衡”的概念，指出这时作用在物体上的各个力改变物体的运动状态的效果互相平衡，或者说几个力互相平衡。 [板书1]：“一、力的平衡 物体在受到几个力的作用时，如果保持静止状态或匀速直线运动状态，我们就说这几个力平衡” 在几个力平衡中，二力平衡是最简单的，我们来研究二力平衡的情况。 2．二力平衡的条件 物体受到两个力的作用时，如果保持静止状态或匀速直线运动状态，我们就说这两个力平衡。 仍从同学所举的例子中找出实例，使学生认识到物体在两个力的作用下，并不一定就能保持静止或匀速直线运动状态。那么，物体受到两个力的作用，要使物体保持静止状态或匀速直线运动状态，这两个力要满足什么条件 请同学们大胆猜测二力平衡的条件，并建议同学们用实验去检验自己的猜想是否正确。（对于提供的实验器材感到不能满足的，还可提出实验设计方案。） ［学生实验]：用两把弹簧秤拉扯桌上的塑料片，想一想怎样拉才能使塑料片保持静止不动 学生进行分组实验，教师巡视、指导。 请学生利用实物投影演示实验过程，并归纳小结塑料片静止必须满足的条件。 [电脑演示]：在学生实验的基础上，用电脑显示这两个力可能出现的几种情形（二力大小不相等、二力方向不相反、二力不在一条直线上）并动态显示最终的结果（均不能保持静止状态）：
摘要 本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型 ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- 的平衡点1 x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性
Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1 x=of the following delay single population model ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity
重心位置与物体平衡的关系 一个物体受到重力的作用，从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫物体的重心。重心相当于是物体各个部分所受重力的等效作用点。重心的位置一方面取决于物体的几何形状，另一方面取决于物体的质量分布情况。 物体的平衡问题是物理学中一大类问题，物体在重力和支持力下的平衡又可分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三个类型。物体稍微偏离平衡位置，如果重心升高，就是稳定平衡；如果重心降低，就是不稳定平衡；如果重心的位置不变，就是随遇平衡。 从物理学的角度来看，重心的位置和物体的平衡之间有着密切联系，主要体现在两个方面： （1）物体的重心在竖直方向的投影只有落在物体的支撑面内或支撑点上，物体才可能保持平衡。 （2）物体的重心位置越低，物体的稳定程度越高。 对于重心位置和平衡的关系我们可以举出如下熟知的例子： 类型1：不倒瓮为什么不倒?如图1，有趣的不倒翁，不论你怎么使劲推，它都不会翻倒。甚至你把它横过来放，一松手，不倒翁又会站在你面前。这是怎么回事呢？一方面因为它上轻下重，底部有一个较重的铁块，所以重心很低；另一方面，不倒翁的底面大而圆滑，当它向一边倾斜时，它的重心和桌面的接触点不在同一条铅垂线上，重力作用会使它向另外一边摆动。比如，当不倒翁向左倒时，重心和重力作用线在接触点的右边，在重力作用下，不倒翁就又向右倒。当倒向右边时，重心和重力作用线又跑到接触点左边，迫使不倒翁再向左倒。不倒翁就是这样摆过来，又摆过去，直到因为摩擦和空气阻力，能量逐渐损失，减少到零。重力作用线此时恰好通过接触点，它才不会继续摆动。 类型2：来看一个不可思议的平衡表演. 将一把小折刀打开一半，把刀尖插进一支铅笔的一侧，距笔尖约2厘米。将笔尖放在手指头上，铅笔会稳稳地站立着。稍稍调整一下小刀的开合度，把笔尖放在任何物体上，你会发现，铅笔都不会倾倒。这是因为铅笔和小刀组成的系统，其总重心在笔尖支撑点以下的缘故，其道理和不倒翁有些相似. 类型3：一块水平放置的砖头，不论雨打风吹，总是稳稳地呆在原地。如果把它竖起来，一有风吹草动它就可能翻倒。这是因为砖头平放时，重心很低，接触地面的面积又很大，因此导致它的重心较低，不容易翻倒。其他物体也是这样，如果你到过工厂，会发现许多机器设备的机座都比较大，也很沉，目的就是防止机器翻倒，增加机器的稳定性。往车或船上装货物时，要先把重的东西放在底部。因为这样一来，整个车或船的重心较低，可以保证行驶
怎样分析物体的平衡问题 物体的平衡问题是力的基本概念及平行四边形定则的直接应用，也是进一步学习力和运动关系的基础．怎样学好这部分知识呢？ 一、明确分析思路和解题步骤 解决物理问题必须有明确的分析思路．而分析思路应从物理问题所遵循的物理规律本身去探求．物体的平衡遵循的物理规律是共点力作用下物体的平衡条件：F合=0，要用该规律去分析平衡问题，首先应明确物体所受该力在何处“共点”，即明确研究对象．在分析出各个力的大小和方向后，还要正确选定研究方法，即合成法或分解法，利用平行四边形定则建立各力之间的联系，借助平衡条件和数学方法，确定结果．由上述分析思路知，解决平衡问题的基本解题步骤为： 1．明确研究对象． 在平衡问题中，研究对象常有三种情况： ①单个物体，若物体能看成质点，则物体受到的各个力的作用点全都画到物体的几何中心上；若物体不能看成质点，则各个力的作用点不能随便移动，应画在实际作用位置上． ②物体的组合，遇到这种问题时，应采用隔离法，将物体逐个隔离出去单独分析，其关键是找物体之间的联系，相互作用力是它们相互联系的纽带． ③几个物体的的结点，几根绳、绳和棒之间的结点常常是平衡问题的研究对象． 2．分析研究对象的受力情况 分析研究对象的受力情况需要做好两件事： ①确定物体受到哪些力的作用，不能添力，也不能漏力．常用的办法是首先确定重力，其次找接触面，一个接触面通常对应一对弹力和摩擦力，找到接触面后，判定这两个力是否在；第三是加上其它作用力，如拉力、推力等； ②准确画出受力示意图．力的示意图关键是力的方向的确定，要培养养成准确画图的习惯．在分析平衡问题时，很多同学常出错误，
练习1 物体的平衡问题 一、知识点击 物体相对于地面处于静止、匀速直线运动或匀速转动的状态，称为物体的平衡状态，简称物体的平衡．物体的平衡包括共点力作用下物体的平衡、具有固定转动轴的物体的平衡和一般物体的平衡． 当物体受到的力或力的作用线交于同一点时，称这几个力为共点力．物体在共点力作用下，相对于地面处于静止或做匀速直线运动时，称为共点力作用下物体的平衡．当物体在外力的作用下相对于地面处于静止或可绕某一固定转动轴匀速转动时，称具有固定转动轴物体的平衡．当物体在非共点力的作用下处于平衡状态时，称一般物体的平衡． 解决共点力作用下物体的平衡问题，或具有固定转动轴物体的平衡问题，或一般物体的平衡问题，首先把平衡物体隔离出来，进行受力分析，然后根据共点力作用下物体的平衡条件：物体所受的合外力为零，即∑F＝0（如果将力正交分解，平衡的条件为：∑Fx =0、∑Fy=0）；或具有固定转动轴的物体的平衡条件：物体所受的合力矩为零，即∑M＝0；或一般物体的平衡条件：∑F＝0；∑M＝0列方程，再结合具体问题，利用数学工具和处理有关问题的方法进行求解． 物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种． 一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡．如图1—1（a）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的． 二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大，这样的平衡叫做不稳定平衡，如图1—1(b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡． 三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图1-1（c）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的．
运用平衡判据探讨系统的平衡稳定性条件 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
本科毕业论文（设计）题目：运用平衡判据探讨系统的平衡稳定性条件 系（部） 学科门类 专业 学号 姓名 指导教师 职称 年月日
运用平衡判据探讨系统的平衡稳定性条件 摘要 熵判据是讨论热力学系统是否处于平衡态的最基本判据，但在实际热力学过程中可 以引入其它判据进行讨论。本文探讨了系统在熵和体积不变时，由内能判据出发，再结 合雅克比行列式，详细推证了平衡稳定性条件。该方法条理清楚，步骤简明，便于理解。 关键词：熵判据内能判据雅克比行列式平衡稳定性条件 ABSTRACT Entropy criterion is the most basic criterion in discussing the equilibrium state of thermodynamic system, but we can introduce other criterion for discussion in the actual thermodynamic process. This essay discusses the requirement for a system to reach a equilibrium stability in detail. The discussion is in condition of constant entropy and volume, and on the basis of the internal energy criterion and the Jacobian. This method is clear, concise, and easy to master. Key words: entropy criterion internal energy criterion Jacobian the equilibrium stability condition
人教版物理高二选修2-2 1.6物体平衡的条件同步练习A卷（考试） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共15题；共30分) 1. （2分） (2016高一上·东莞期中) 如图所示，一个重为5N的砝码，用细线悬挂在O点，现在用力F拉砝码，使悬线偏离竖直方向30°时处于静止状态，此时所用拉力F的最小值为（） A . 3.75N B . 2.5N C . 5N D . 4N 【考点】 2. （2分） (2017高一上·武汉期中) 如图所示，两轻弹簧a、b悬挂一小球处于平衡状态，a弹簧与竖直方向成30°角，b弹簧水平，a、b的劲度系数分别为k1、k2 ，则a、b的伸长量之比为（） A . B . C .
D . 【考点】 3. （2分） (2016高一上·射洪期中) 如图所示，质量为m的正方体和质量为M的正方体放在两竖直墙和水平面间，处于静止状态．M与m的接触面与竖直方向的夹角为α，若不计一切摩擦，下列说法正确的是（） A . 水平面对正方体M的弹力大小大于（M+m）g B . 水平面对正方体M的弹力大小为（M+m）g?cos α C . 墙面对正方体M的弹力大小为mgcot α D . 正方体M对正方体m的弹力大小为mgtan α 【考点】 4. （2分）在上海世博会最佳实践区，江苏城市案例馆中穹形门窗充满了浓郁的地域风情和人文特色。如图所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过光滑的轻质滑轮悬挂一重物G。现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近（C点与A点等高）。则绳中拉力大小变化的情况是（） A . 先变小后变大
物体平衡的稳定性 【教学课题】 物体平衡的稳定性 【教学目标】 1.知识与能力 ?掌握物体的受力分析、平衡条件及物体平衡的种类 2.过程与方法 ?能用刚体的平衡条件分析物体的平衡 3.情感态度与价值观 ?培养耐心细致的工作作风和严肃认真的科学态度 【教学安排】 2课时 【教学重难点】 重点： 掌握物体平衡的种类,稳定性的概念 难点： 能正确运用平衡条件求解静力学问题 【教学方法】 讲练结合、总结归纳 【教学用具】 投影仪、投影片 【主要内容】 一、平衡的种类 钢丝上的杂技演员、儿童玩的不倒翁都是在重力和支持力的作用下处于平衡状态，但是钢丝上的演员稍有不慎就会摔下来，不倒翁扳倒后却会自动立起来。可见，平衡也是有区别的。那么平衡有哪些种类呢？
如果照图1.6-3(a）那样，把木条一端的小孔套在水平轴O上，把木条从平衡位置稍微移开一些，重心C的位置升高，重力对轴O的力矩就会使它回到原来的平衡位置，这种平衡叫做稳定平衡（stable equilibrium）。 图1.6-3（a）图1.6-3(b) 如果照图1.6-3(b)那样，使木条的重心恰好在水平轴的正上方，木条处于平衡状态。把木条从平衡位置稍微移开一点，重心C的位置降低，重力对轴O的力矩就会使它继续远离平衡位置，这种平衡叫做不稳定平衡（unstable equilibrium）。 如果照图1.6-3(b)那样，把木条重心C处的小孔套在轴O上，这时无论你把木条放在什么位置，它都能保持平衡。这是因为无论木条处在什么位置，重心C的位置都没有改变，重力对轴O的力矩始终为零的缘故。这种平衡叫做随遇平衡（indifferent equilibrium）。
科目：物理 年级：高三 高三总复习 第一章 力 第四章 物体的平衡 策划：沈宇喆 [本章知识结构] 1．力的概念： 重力、重心 弹力、弹力方向 摩擦力、静摩擦力和滑动摩擦力 2．力的合成与分解： （1）共点力的合成 平行四边形法则 合力的大小 （2）力的分解： 力分解的依据和唯一解的条件 正交分解法 3．物体的受力分析 隔离法与整体法在受力分析中的应用 4．共点力作用下物体的平衡 平衡条件：0=∑F ρ 平衡条件的分量表达式 ? ??=∑=∑00y x F F 5．有转动轴物体的平衡 平衡条件：0=∑M 一般物体的平衡条件： 须同时满足：?????=∑=∑→0 0M F [重点与难点分析] 一．力的基本概念： 1．力的意义： ①力是物体对物体的作用：找不到施力物体或受力物体的力不存在. ②力是改变物体运动状态的原因，即力是产生加速度的原因. ③力是物体的动量变化率：t P F ??=∑→ →
2．力的性质： ①矢量性：力有大小，有方向，合成分解遵守平行四边形法则.力是滑移矢量，在物体上沿力的作用线改变力的作用点，作用效果不变.当物体可以被视作质点时，或当力对物体没有转动效果时，力还可以在物体上平移.反之则不可. ②物质性：力不能脱离物体而存在. ③相互性：力总是成对出现的.有相互作用的两个物体互为施、受力物体，两个力互为作用力与反作用力，它们的关系满足牛顿第三定律.注意作用力，反作用力与一对平衡力的区别. 3．力的作用效果： ①静效果：使物体发生形变. ②动效果：改变物体运动状态. 4．力的三要素：大小、方向、作用点.力可以由一条有向线段来表示.在做力的图示时，只能选取一个标度. 二．几种常见力： 1．重力：由于地球吸引而使物体受到的力. ①产生条件：物体处在地球附近的重力场中.重力是场力，这点类似于电场力和磁场力. ②大小：G=mg(g 为物体所在位置的重力加速度)重力大小随物体在地面上的纬度位置和距离地面的高度而变化.重力大小不等于地球对物体的吸引力，重力是地球对地球表面上物体的万有引力的分力，如图1-1所示A 点物体所受重力的大小和方向. 物体静止时，对竖直悬绳的拉力和对水平支持面的压力的大小等于物体的重量.当物体处于超重或失重状态时，其本身重量不变. ③方向：总是竖直向下，而不是指向地心.注意竖直向下不等于垂直接触面向下. ④作用点：重心.确定薄板状物体重心位置的方法：二次悬挂法.所依据的原理：物体静止时，绳拉力与重力大小相等、方向相反，作用在一条直线上，即满足二力平衡条件. 2．弹力：发生形变的物体由于要恢复形变而对使之产生形变的物体的力的作用. ①产生条件：互相接触、挤压发生弹性形变.判断弹力产生的方法：可以假设撤掉接触物，看研究对象的运动状态是否与给定的状态矛盾.也可以假设弹力存在，看研究对象的运动状态是否与给定状态矛盾. ②大小：弹簧产生弹力大小由胡克定律F=kx 决定，其中x 为弹簧形变量.一般物体所受弹力大小及方向由该物体的受力状态ma F =∑确定，要具体的问题具体分析. ③方向：弹力方向与物体要恢复形变的方向一致.规律为：面面接触，弹力垂直于两接触面的公切面.点面接触，弹力垂直于面的切面方向.点线接触，弹力垂直于线.轻绳的拉力方向沿绳的走向，且绳上张力处处相等.杆可提供拉力或支持力，但弹力方向不一定沿杆. ω
郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义 第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心 【知识要点】 （一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。 3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系， 其重心C 位置由如下公式求得： i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。 【典型例题】 【例题1】如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。 y y y 12C α β A B O
第四章物体的平衡 §4.2 平衡的稳定性 【学习目标】 1．知道稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡； 2．了解三类平衡从动力学角度来看有什么区别； 3．知道稳度，体会增加稳度在实际生活中的重要意义。 4．通过让学生举例，培养信息收集和处理能力，分析、解决问题能力和交流、 合作能力。 【问题导学】 在前面的学习中，我们学习了有关共点力的平衡问题，我们知道了共点力平衡的 条件是共点力的合力为零。那么是不是自然界中的所有的平衡现象都如共点力作 用一样呢？为什么比萨斜塔每年都在倾斜却总也不倒呢？为什么双层公交车比 正常的公交车车底看起来要低呢？通过这节课的学习，希望同学们能给我以合理 的解释，好，我们进入这节课的学习研究，平衡的稳定性。 【合作探究】 一、平衡的分类 1、平衡的定义 [讨论交流] 准备一段视频录像（走钢丝杂技表演），让学生结合录像和书上的讨论交流，观 察这几个平衡与以前有什么不同，这三个平衡之间有什么不同？（把问题写在黑 板） 问题1：这三种平衡状态下，物体所受的力是共点力吗？（不是，向下的重力与 向上的绳的作用力不相交，重力作用于重心，绳对人的作用力不止一个点，如人 的两只脚、车的两个轮） 问题2：他们是否可以看做质点？（不可以，人体的姿势、形态对人体受力的有 影响，也使重心位置变化） 学生总结：此时物体不能看做质点又处于平衡状态，与我们以前学过的平衡发生 了变化，概念要发生变化，平衡条件也要发生变化，所以我们要考虑它们的另一 特性：平衡的稳定性。 问题3：我们换一种研究问题的方法，先观察这三个平衡的特点：第一个人受到 微小扰动而偏离平衡位置时，不能回到原先的状态，我们称之为不稳定平衡；第
物体的平衡问题 物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种． 一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡．如图1—1（a）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的． 二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大，这样的平衡叫做不稳定平衡，如图1—1(b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡． 三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图1—1（c）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的． 从能量方面来分析，物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡； 减少者为不稳定平衡；不变者，为随遇平衡． 如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有最低的位置．不稳定平衡状态对应重力势能的极大值，亦即物体的重心有最高的位置．随遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变． 二、方法演练 类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从
物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。 例1．有一玩具跷板，如图1—2所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量）． 分析和解：假定物体偏离平衡位置少许，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一，本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个θ角，则： 在平衡位置，系统的重力势能为 (0) 2(c o s )E L l m g α=- 当系统偏离平衡位置θ角时，如图1一3所示，此时系统的重力势能为 ()[c o s c o s ()][c o s c o s E m g L l m g L l θθαθθαθ=-++-- 2c o s (c o s m g L l θ θ=- ()(0) 2(c o s 1)(c P E E E m g L l θθ?=-=-- 故只有当cos L l θ<时，才是稳定平衡． 例2．如图1—4所示，均匀杆长为a ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy 平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程． 分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的
微分方程平衡点及其稳定性理论 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 微分方程组的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212()(,)()(,)dx t f x x dt dx t g x x dt ?=????=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0(,)0f x x g x x =??=? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞= 202lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 1111222122()()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+????=+?? （9） 系数矩阵记作 1122a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=?=-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则
本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型 ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- 的平衡点1 x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。 关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性 Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1 x=of the following delay single population model ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity
第五节刚体平衡的条件 沈阳市私立科汇高级中学于欣禾 教材：人教版物理选修2-2 第一章：物体的平衡 教学目标： 一、知识技能 1、知道刚体的概念。 2、理解刚体平衡的条件。 3、结合生活实例，掌握解决刚体平衡问题的步骤。 二、过程与方法 同时受到几个非共点力作用的刚体平衡条件的探究过程，培养学生的动手操作能力，概括能力和分析推理能力。 三、情感态度与价值观 通过探究刚体平衡条件的实验过程，培养学生实事求是的科学态度，团队合作精神和创新意识。通过刚体平衡条件的应用培养学生理论联系实际的能力。 教学重点： 1、什么是刚体 2、掌握刚体平衡的条件 3、学会解决刚体平衡条件问题的步骤 教学难点： 1、探究刚体平衡条件的设计实验 2、解决刚体平衡问题的条件的步骤与实际应用 教学方法： 实验法、转换法、讲练法、归纳法 教学用具： 刻度尺、弹簧测力计、钩码、铁架台、细线、多媒体 教学过程： 一、复习 通过前几节课的学习，我们已经知道力可以改变物体的运动状态，还可以改变物体的转动状态，为了描述力对物体的转动作用效果，我们引入了力矩这个概念。 1、什么叫做力矩？ 学生：力和力臂的乘积叫做力对转动轴的力矩。 2、力矩的定义式？ 学生：M=F L 3、力矩的方向？ 顺时针力矩：使物体顺时针转动的力矩（M顺） 逆时针力矩：使物体逆时针转动的力矩（M逆） 一般规定逆时针力矩为正，顺时针力矩为负。 4、什么是力偶？ 学生：大小相等，方向相反，不共线的两个平行力组成的系统，叫做力偶。 5、对于一个有固定转动轴的物体，力矩的平衡条件是什么？
学生：有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零。 M1+M2+M3=0 或M合=0。 二、导入新课 1、概念导入 （1）我们来思考一下，物体受共点力的平衡条件什么？学生答：F合=0 （2）当物体受共点力作用时，我们可以把物体看成什么？学生答：质点。 当物体受非共点力作用时，我们就不能把物体看成质点。所以在力的作用下，我们就要考虑形变，但在正常情况下，很多物体的形变都非常微小，可忽略不计。（引出刚体的概念）所以我们定义：在任何外力作用下，大小和形状不变的物体，我们称为刚体。与质点一样，刚体也是一种理想化模型。 （3）如果刚体F合=0，一定处于平衡状态吗？ （引导学生回答：当刚体受到力偶的作用时，就会加速转动，并不平衡。例如生活中的汽车方向盘。） 那么怎样才能使刚体处于平衡状态呢？这就是我们本节课要探究学习的内容。 2、新课引入：本节课我们来探究第一章第五节刚体平衡的条件。 三、新课教学 1、引入： 图片上所显示的是生活中常见的刚体模型，我们以扁担挑水为例，用实验模拟扁担挑水，探究扁担同时受到几个非共点力的作用，而处于平衡状态，需要满足什么条件呢？ 2、实验探究 （1）构建刚体模型 首先我们要构造一个刚体模型，选用一个不容易变形的刻度尺，两个弹簧测力计模拟人对扁担的作用力，钩码模拟水桶对扁担的作用力。 （2）实验设计分析 我们都知道最简单的平衡状态是静止，要保证刻度尺处于静止状态（如图1），需要测量哪些物理量呢？ 学生：力和力臂。 测量力时，就要对物体进行受力分析，分析刻度尺自身的重力，找到重心位置，为了实验方便，老师选取了质量分布均匀，形状规则的刻度尺，那它的重心在哪里?C点。（如图2）为什么要保持刻度尺水平呢？ 学生：为了方便测量力臂。 根据桌子上有的实验器材，设计实验，设计表格，探究刚体平衡的条件。 （3）实验器材 刻度尺，弹簧测力计，钩码，铁架台，细线 （4）实验步骤及注意事项 a、先用弹簧测力计测出刻度尺自身重量G, b、细线拴住刻度尺A、B两点，把它挂在两个弹簧测力计下面，用铁架台固定弹簧测力计的上端。 c、在D处挂几个钩码（测出不同的总重量用G1表示） d、调节测力计的高低，使刻度尺在水平方向上平衡。 （注意：为了最终使刻度尺保持水平，可再用两个竖直的刻度尺分别测量水平刻度尺左右两端所处高度是否一致。减小实验误差）