三维空间中的模型是如何显示到屏幕上的呢？
三维模型的表面一般是由三角形网格表示的，所以我们只需要考虑一个三角形是如何显示到屏幕上的。不妨设三维空间中的三角形的三个点分别为：v0(x0, y0, z0), v1(x1, y1, z1), v2(x2, y2, z2)，而计算机屏幕上的窗口实际上对应三维空间中的一个矩形区域，眼睛通过该区域可以看到三维虚拟空间中的物体。
如图1：
最简单显示三角形的方法如下：
在三角形所在的坐标系中，人眼、计算机屏幕上窗口中的每一个像素都有相应的坐标值，这个坐标系，我们称为模型坐标系。这样，我们可以得到下面的三角形显示算法。
For 窗口中的每一个像素
根据该窗口在模型坐标系的放置情况（如中心点的位置，长度和宽度等）可以计算出每一个像素所对应的坐标值。
从视点出发，连接每一个物理像素，就构成一条光线。
该光线与虚拟空间的物体求交，若有交，则交点出的颜色值就赋到窗口中对应的像素。这就是有名的光线投射方法（Ray Cast），该方法可以进一步发展到光线跟踪，这将在本书后面的章节中详细介绍。
然而，以上逐个像素计算的方法是比较耗时的，能不能用更快的方法来解决呢？通过分析以上的过程，我们会发现空间的三角形绘制到窗口时仍然是一个三角形，关键是要求出屏幕上三个顶点在屏幕窗口上的坐标，当这三个顶点确定以后，其它三角形内部的点可以通过线性插值的方法可以得到。这样我们就可以得到如下的显示过程：
1）计算空间三角形的每个顶点在屏幕窗口坐标系中的坐标值，并可以得到相应的颜色值。2）对屏幕上三角形内部的像素点，可以通过线性插值的方法的相应的颜色值。
这里假定三角形上的颜色亮度属性分布关于顶点是线性分布的。这实际上是对应图形学中的Goraund shading.
从这一个过程，可以看到问题的关键有两个，即空间中的三角形顶点在窗口屏幕坐标系上的坐标值计算和相应点的颜色值计算。这就是OpenGL采用的过程。
这一节主要考虑坐标变换，要解决的问题是如何从模型坐标系中的坐标值获得对应的在窗口屏幕坐标系上的坐标值。这是一个坐标变换的过程，但直接计算非常困难，所幸的是它可以通过模拟照相机模型来进行参数设置和变换。该过程可以分解成以下的阶段：
1）坐标值通过变换从设置时（即调用该函数时）的当前坐标系（或叫模型坐标系）转换到视点坐标系。这里的视点坐标系是指以视点为原点的坐标系，在OpenGL中对应函数gluLookAt( GLdouble ex, GLdouble ey, GLdouble ez, GLdouble cx, GLdouble cy, GLdouble cz, GLdouble upx, GLdoubel upy, GLdouble upz)，其中ex, ey, ez是视点的位置；cx, cy, cz 是参考点的位置，一般设为模型的中心点；upx, upy, upz为向上的方向。
其三个坐标轴由以下方式确定。
a)从参考点指向视点的方向（即视点减去参考点）为新z轴方向。
b)up与新z的叉积为新x方向。
c)新z与新x轴的叉积为新y的方向。
这里的up方向对应照相机的向上方向，若把视点处放一个人的话，up的方向是人头顶的方向，x方向是人右手的方向，人的朝向是-z轴方向。
(ex, ey, ez)
(cx, cy, cz)
设新的x轴方向为e0, 新的y轴方向为e1，新的z轴方向为e2, 设在新的坐标系中一个点的坐标为（x’, y’, z’），而其在原坐标系中的坐标为（x, y, z），则可得到下面的关系。
2122
02||||e e e e up e up e c e c e e ?=??=--=
???
?
?
?---=-=-=-=???
?
? ??=+???
?? ??=+++10)1,,,()1,',','(),,(),,)(,,(),,)](,,(),,[()',','()]
,,(),,[()',','()
,,(),,()',','(),,(),,('''2102
10210210210210210210t
t t t
t t t t t t t t t
t t z y x z y x z y x z y x ee ee ee e e e z y x z y x ee ee ee e e e z y x e e e e e e z y x z y x e e e z y x e e e z y x z y x e e e e e e z y x z y x e e e e z e y e x
这样所得的变换矩阵如下：
???
?
?
?---=102102
10t
t t t
t t ee ee ee e e e M ，这就是OpenGL 中由gluLookAt 指定的ModelView 矩阵。 注意这里采用的都是行向量。
通过以上的变换我们可以把坐标系从模型坐标系转换到以视点为原点的坐标系中，从而把问题转换到新的坐标空间考虑。值得一提的是最终的结果和你在中间采用什么样的坐标系是没关系的，我们之所以把问题转换到视点坐标系，是因为在该坐标系中，屏幕窗口对应的平面正好落在z 为常数的平面上，可以较为方便地进行下面的计算。另一方面，视点坐标系的选取非常类似人们常见的照相机模型，所以也比较容易理解和使用。
接下来，我们要在视点坐标系中考虑问题。最终三维模型的顶点要投影到z 为某个常数的平面上，那么这个常数怎么决定呢？而这个数的变化却不能明显地改变所看到的内容。在窗口所看到的内容，主要是由视点处的张角决定的，所以明智的做法是通过对视角的控制来确定要显示的内容，所以在OpenGL中，就有gluPerspective（float fovy, float aspect, float near, float far）来确定这个投影变换，从而确定了要显示的空间范围。如下图：
这样三模型的顶点就可以投影到z= - znear平面，然后就可以对应到屏幕的窗口。在投影屏幕上只需要二维的坐标，所以在投影平面上建立如下二维坐标系，
这样就需要建立空间中的某一个顶点P(x, y, z) 到投影点P’(x’, y’)上的变换矩阵，而P’是由P投影在z= - znear平面上得来，x’与y’是在上图中红色箭头所标的坐标系中的坐标值。从上图很容易直接对应到YZ平面，所以我们首先考虑y’的计算，上图在YZ平面的投影如下：
从而可以得到
y z
znear
y znear z y y -
=-=
''即
同理可以得到：
x z
znear
x -
=' 从图上可以看到在视角范围内的三维顶点对应的y ’（在z=-znear 平面上）有一定的取值范围，为
deg)]2/(deg),2/([fovy tg znear fovy tg znear ??-
同理，x ’在视角范围内的点的取值范围是
deg)]2/(deg),2/([fovy tg aspect znear fovy tg aspect znear ????-
在该范围外的部分需要裁减掉，为了裁减的方便，容易想到的办法是采用归一化处理，即把x ’与y ’在视角范围内的坐标归一化到[-1，1]。从而可以得到如下的变换公式
z fovy tg aspect x
fovy tg aspect znear z x znear x ??-=
????-
=deg)2/(deg)2/(' z
fovy tg y
fovy tg znear z y znear y ?-=
???-
=deg)2/(deg)2/(' 从这可以看到，经过归一化处理后，投影面上显示的内容与投影面选取在什么位置没有关系，主要是由视角的张角和方向比确定的。下面计算在投影面上的坐标变换。 不妨设aspect a fovy tg f ==deg),2/(/1，从而可以得到：
az fx
x -=
' z
fy
y -=' 从而可以确定在齐次坐标中的w 为-z ，并且z 的变换值与x,y 的坐标无关，所以可以得到
()()???
????? ?
?-=00
0100000
00
01''''B A f a f z y
x
w z y x 其中，A 与B 的值为待定系数，但它不能取任意，这是因为在作变换后，要进行消隐，必
须保证z 变换后与视点的远近关系。这样
z B
A z
B Az z --=-+=
'，为了像前面的归一化一样，可以把z= - znear 平面映射到 z ’= -1平面，而z= - zfar 平面映射到 z ’=1平面上。从而可以得到：
1-=---znear B
A
1=--
-zfar
B
A
从而
1-=---znear
B
A
zfar
znear zfar znear B zfar
znear zfar znear A -??=
-+=
2
从而可以看到A 、B 均为负值，所以
z
B A z B A z |
|||'+
=-
-=，从而可以看到当三维顶点离视点越远（即- z 越大），z ’的值越大，离视点越近，z ’的值越小。从而该变换很好地保持了z 值的先后顺序。gluPerspective 对应的
变换矩阵如下：
()()?????????
? ?
?-??--+=020
0100
00
00001''''zfar
znear zfar znear zfar znear zfar znear f a f z y
x
w z y x
最后的变换是把以上归一化的坐标值变换到屏幕上的窗口坐标。
Z=1
Z=-1
屏幕窗口
归一化的坐标系中的视体
在OpenGL 中是使用以下两个函数调用实现的，glViewPort(int x0, int y0, int w, int h) 和glDepthRange(float z0, float z1)，其中z0和z1必然被裁剪到[0，1]区间后再进行映射。
最后在屏幕窗口中的坐标变换
210201'2
1
0'210'z z z z z z y h y y x w x x ++
?-=+?
+=+?
+= 最后在OpenGL 中zbuffer 中的值便是上面z ’对应的结果，最大范围是从0到1。
总结：
以上的变换过程如下：
以上在视点坐标系中的投影变换除了可以采用视角张角的方式进行定义，也可以通过定义在z= - znear 平面上的一个长方形来表示，在OpenGL 中对应的函数为：
glFrustum(float left, float right, float bottom, float top, float near, float far).
从而可以得到znear 平面上的投影坐标：
y z
znear
y -
=' 同理可以得到：
x z
znear
x -
=' 同样为了把它转换到归一化的坐标系，显然z 的变换是由znear 和zfar 确定的，所以它和gluPerspective 一样。而对应x 和y 的变换就差别较大。可把x ’除以 (right-left)/2, 把y ’除以(top-bottom)/2，使得其长度归一化到2，但是值得注意的是：在该函数中，并不要求left = -right 和 top = -bottom ，即没有关于原点的对称性。为了把left 映射到-1，right 映射到1，必然要求对它们作相应的平移。
实际上，这个变换可以分成两步，第一部分是投影变换，另一部分是归一化处理。而在归一化处理中，x ，y, z 的变化互相独立。投影变换为：
()()????????
? ?
?-??--+=020
0100
00
000
01'''
''''
'zfar
znear zfar znear zfar znear zfar znear znear znear z y
x
w z y x
该变换把空间的点投影到了z= - znear 平面上，而z 值的变化范围变到了[-1，1]，值得注意的是透视变化由于w 不为0，这里w= -z ，所以关于z 值的变换肯定是非线性的，因此在透视变换中就把z 值归一化到[-1，1]。在变换后，可见点的取值范围为[left, right]x[bottom,top]x[-1, 1]，若要把它线性映射到[-1，1]x[-1,1]x[-1,1]，则有
()()?
????
???
?
?
?
?
-+--+---=10)()(010
0002
00021'''''
'''''bottom
top top bottom left right right left bottom
top left right z y x w z y x 从而有：
()()
??????????
?
?
?-??--+-+-+--=?
????
???
?
?
??-+--+---?????????
?
?-??--+=020
010*********)()(010
0002
00002
020010
0000
0001''''zfar
znear zfar znear zfar znear zfar znear bottom
top top bottom left right right left bottom top znear left right znear bottom
top top bottom left right right left bottom
top left right zfar znear zfar znear zfar znear zfar znear znear znear
z y
x
w z y x
由此可见当对称时，即left = -right, top = -bottom 时，可以看到gluFrustum 与gluPerspective 的区别，当gluFrustum 中的参数满足：
deg)2/(fovy tg znear left ?-= left right -=
deg)2/(fovy tg znear asepct left aspect bottom ??-=?= bottom top -=
时，两个对应的变换矩阵是一样的。而glFrustum 变换具有更广的意义，它支持非对称的投影变换。它们的共同点是把视点坐标系中的视锥体转换成标准屏幕坐标系中一个正方体[-1,1]x[-1,1]x[-1,1]。
除了透视投影外，也可以采用正交投影，正交投影在OpenGL 中是通过下面的函数来定义的 glOrtho(float left, float right, float bottom, float top, float znear, float zfar)，其变换的结果是把一个长方体归一化成一个正方体[-1,1]x[-1,1]x[-1,1]。
显然其对应的变换为
left
right right
left x left right left right left x left right x left
right left
x x -+-
-=----=--=--2122'2)1('
bottom
top top
bottom y bottom top bottom y bottom top y -+-
-=---=
21)(2' znear
zfar znear
zfar z znear zfar znear z zfar znear znear zfar znear z z -+-
--=-+------=--21)(2)
()
(2)1('
变换矩阵为：
()()??????????
?
??
-+--+--+-----=
1)()()(0200002
000021''''znear
zfar zfar znear bottom
top top bottom left
right right left znear zfar bottom
top left right z y
x
w z y x
在以上的变换中，除了透视投影变换不是线性变换以外，其他都是线性变换。若不采用透视
投影的话，如采用正交投影，那么所有的变换就是线性变换了。
真正的照相机模型
在计算机视觉中，照相机模型分为：线性模型（针孔模型pin-hole model）和非线性模型。非线性模型是通过修正线性模型获得的。所以我们首先讨论线性模型。摄像机拍摄的都是图像，为了由这些图像获取其对应的三维空间的坐标，就需要对摄像机进行定标。定标的过程就是确定空间的一个三维点到拍摄图像上对应点之间的变换过程，即三维物体的成像过程。定标就是获取这个变换过程中的参数的过程。
从前一节的过程可以由参数gluLookAt(ex,ey,ez,cx, cy, cz, upx,upy, upz), gluPerspective(fovy, aspect, znear, zfar) 和glViewport(x,y, w, h). 这里的参数个数有17个参数，而4x4的矩阵一共有16个参数，所以这17个参数必然有冗余的。这些参数都是从为了定义照相机的方便，而实际上在照相机定标的过程并不是采用这些参数，不过最终的目标也是求出4x4的矩阵的每个系数值。
在定标过程中，仍然把这个变换分成两步，第一步照相机摆放，对应gluLookAt, 实际上对应一个坐标系的转换过程，这个变换本质上是一个旋转变换和一个平移变换的合成。这个旋转矩阵和平移量是真正要知道的参数。这些与用什么样的照相机无关，所以称为照相机的外部参数。第二步是投影变换，对应gluPerspective 和glViewPort。这些参数与具体的照相机有关，称为照相机内部参数。但是这些参数是为了方便用户定义照相机，并不是实际上照相机对应的物理参数。对摄像机，投影过程是在聚焦平面上，所以焦距f是一个比较重要的内部参数，另外这个过程不需要归一化过程。光轴与图像的交点一般在图像的中心处，但是由于摄像机制作的原因，有时有一些偏移，偏移的值（在图像坐标系）u0, v0也为摄像机的内部参数。还有的参数就是把焦距处的平面上对应的区域如何放大到图像空间中的过程，把具体的尺寸映射到了像素空间中的尺寸。如在图像空间上相邻的两个像素对应在聚焦平面的距离为dx，dy, 这也是两个重要的参数。综上的5个参数是摄像机的主要内部参数。对照以前的摄像机模型，好像少了aspect 、fovy znear和zfar参数。这些主要是确定摄像机的取景范围，以方便进行zbuffer存贮。而在实际上，变换与它们是没有关系的。上面的5个参数已经确定一个完整的投影变换。
非线性模型摄像机
对广角镜往往需要采用这种非线性模型。
X’=x + &x(x,y)
Y’ = y+ &y(x,y)
矩阵与空间转换的理解：
1、必须明确当前所在的空间。比较明确的空间是：标准屏幕空间。[-1,1]x[-1,1]x[-1,1]。视
点空间（以视点为原点的空间）。模型空间—模型所在的空间。标准的屏幕坐标是固定的。
2、模型空间是经常变化的。
3、把变换分成两个阶段来考虑，分别对应两个矩阵堆栈，projection 堆栈和modelview堆
栈。Projection 堆栈对应一个透视或正交变换。Modelview堆栈对应是把模型变换到视点空间的变换。所以在编程时要分开处理。
4、ModelView 变换是比较复杂的，它是把模型从局部空间变换到视点空间。也就是说当你
发起glVertex命令的时候，必须明白当前在那个空间中。
下面针对一个具体的例子进行说明。
#include
#include
static int shoulder = 0, elbow = 0;
void init(void)
{
glClearColor (0.0, 0.0, 0.0, 0.0);
glShadeModel (GL_FLAT);
}
void display(void)
{
glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT);
glPushMatrix();
glTranslatef (-1.0, 0.0, 0.0);
glRotatef ((GLfloat) shoulder, 0.0, 0.0, 1.0);
glTranslatef (1.0, 0.0, 0.0);
glPushMatrix();
glScalef (2.0, 0.4, 1.0);
glutWireCube (1.0);
glPopMatrix();
glTranslatef (1.0, 0.0, 0.0);
glRotatef ((GLfloat) elbow, 0.0, 0.0, 1.0);
glTranslatef (1.0, 0.0, 0.0);
glPushMatrix();
glScalef (2.0, 0.4, 1.0);
glutWireCube (1.0);
glPopMatrix();
glPopMatrix();
glutSwapBuffers();
}
void reshape (int w, int h)
{
glViewport (0, 0, (GLsizei) w, (GLsizei) h);
glMatrixMode (GL_PROJECTION);
glLoadIdentity ();
gluPerspective(65.0, (GLfloat) w/(GLfloat) h, 1.0, 20.0);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
glTranslatef (0.0, 0.0, -5.0);
}
void keyboard (unsigned char key, int x, int y) {
switch (key) {
case 's':
shoulder = (shoulder + 5) % 360;
glutPostRedisplay();
break;
case 'S':
shoulder = (shoulder - 5) % 360;
glutPostRedisplay();
break;
case 'e':
elbow = (elbow + 5) % 360;
glutPostRedisplay();
break;
case 'E':
elbow = (elbow - 5) % 360;
glutPostRedisplay();
break;
case 27:
exit(0);
break;
default:
break;
}
}
int main(int argc, char** argv)
{
glutInit(&argc, argv);
glutInitDisplayMode (GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB); glutInitWindowSize (500, 500);
glutInitWindowPosition (100, 100);
glutCreateWindow (argv[0]);
init ();
glutDisplayFunc(display);
glutReshapeFunc(reshape);
glutKeyboardFunc(keyboard);
glutMainLoop();
return 0; }
1、确定视点空间到标准设备空间的变换Projection 堆栈 glMatrixMode (GL_PROJECTION); glLoadIdentity ();
gluPerspective(65.0, (GLfloat) w/(GLfloat) h, 1.0, 20.0); 从这可以看出是一个透视变换。
2、 模型空间到视点空间的变换 初始的时候：
glMatrixMode(GL_MODELVIEW); glLoadIdentity();
glTranslatef (0.0, 0.0, -5.0);
以视点空间为标准
X
Y
Z
从图可以看出在当前坐标中的点平移(0, 0, -5) 后就
变换到了视点空间中。这与gluLookAt(0,0,5, 0, 0, 0, 0, 1, 0) 是一样的。为什么？这是因为gluLookAt 是在当前坐标系中，设置了视点的位置和方向，形成的矩阵是把当前坐标系中点转换到新的视点坐标系中，而当前坐标系是没有改变的。
总的理解是：当前坐标上点沿z 轴平移-5，可以变换到视点坐标系。这完全等价与把视点放在当前坐标系的(0, 0, 5)，看向0,0,0, Up 方向为( 0, 1, 0);
可以看到当前的坐标系的变化过程，每次有一个变换出现，我们可以由一个旧的坐标系反推到新的坐标系，当前的模型坐标系就从旧的坐标系变换到新的坐标系。由此可见，当前坐标系是由于在Modelview堆栈中矩阵的变换的改变，而逐渐改变的。
总结以上的过程，我们可以得到。
1）如何由一个旧的坐标系获得新的坐标。新坐标系中点通过乘以压入堆栈的变换矩阵变成旧坐标系中。而我们一般只知道旧坐标系，所以新坐标如何由旧坐标获得呢？一个简单的方法是新坐标系的原点在旧坐标系中作相应的平移，坐标轴在旧坐标系中作相应的旋转，就可以变换到新坐标系。
(x0, y0, z0)
因此，总的来讲，新坐标系只要在旧坐标系中按照给出的变换就可以得出来。
2）沿某个点旋转的问题。
一般的方法是先平移(x0, y0, z0), 再旋转一个角度，然后再平移回来，即平移（-x0, -y0, -z0），整个过程实际上相当于黑色坐标系沿着其中的一个点(x0, y0, z0)进行旋转。 有了以上的结果，我们进一步分析那个例子程序
glPushMatrix();
glTranslatef (-1.0, 0.0, 0.0);
glRotatef ((GLfloat) shoulder, 0.0, 0.0, 1.0); glTranslatef (1.0, 0.0, 0.0); glPushMatrix();
glScalef (2.0, 0.4, 1.0);
glutWireCube (1.0);
以上是渲染第一个立方体。
X
Y
Z
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正. 一、有关定义 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1．性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. 初图1 初图2 2．结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 三、内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. 3．正多面体的内切球和外接球的球心重合. 4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5．基本方法：
立体几何高考真题大题 1．（2016 高考新课标 1 卷）如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 ． D C F （Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2 19 19 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC ．（Ⅱ）建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法 向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角．n m 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC ． 又F平面F,故平面 F 平面FDC ． （Ⅱ）过 D 作DG F ,垂足为 G ,由（Ⅰ）知 DG平面 F ． 以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz ． 由（Ⅰ）知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 ． 由已知 ,// F,所以//平面FDC ． 又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F ． 由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 ．从而可得C2,0,3．
设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 ． 设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 ．则 cos n, m n m 2 19． n m19 故二面角C 219的余弦值为． 19 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关 系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不 大 , 以中档题为主．第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决． 2 ．（ 2016 高考新课标 2 理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O ， AB 5,AC 6，点 E, F 分别在 AD,CD 上， AE CF 5 ，EF交BD于点H．将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置，OD10． （Ⅰ）证明： D H平面 ABCD ； （Ⅱ）求二面角 B D A C 的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）295 ．25
立体几何知识点汇总（全） 1．平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 （2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。 （3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a、b异面，a平行于平面α，b与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一．点．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a,是夹在两平行平面间的线段，若 a,的位置关系为相交或平行或异面. a=，则b b ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平 面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是
异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） （2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 （直线与直线所成角]90,0[??∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能 叫1L 与2L 平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. （1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. （2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） [注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑥直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交） （3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线
三维几何模型在计算机内的表示 CAD/CAM的核心技术就是几何造型技术一项研究在计算机中如何表示物体模型形状的技术。 在CAD/CAM技术四十多年的发展历程中,经历了四次重大的变革。 60年代初期的CAD系统只能处理简单的线框模型,提供二维的绘图环境,用途比较单一。 进入70年代,根据汽车造型中的设计需求,法国人提出了贝塞尔算法,随之产生了三维曲面造型系统CATIA。它的出现,标志着CAD技术从单纯模仿工程图纸的三视图模式中解放出来,首次实现以计算机完整描述产品零件的主要信息。这就是CAD发展历史中的第一次重大飞跃。 1979年,SDRC公司发布了世界上第一个完全基于实体造型技术的大型CAD/CAE软件──IDEAS。由于实体造型技术能够精确表达零件的全部属性,在理论上有助于统一CAD、CAE、CAM的模型表达,给设计带来了惊人的方便性。可以说,实体造型技术的普及应用标志着CAD发展史上的第二次技术革命。但就是,在当时的硬件条件下,实体造型的计算及显示速度太慢,限制了它在整个行业的推广。 90年代初期,参数化技术逐渐成熟,标志着CAD技术的第三次革命。参数化技术的成功应用,使得它在1990年前后几乎成为CAD业界的标准。 随后,SDRC攻克了欠约束情况下全参数的方程组求解问题,形成了一套独特的变量化造型理论。SDRC将变量化技术成功的应用到CAD系统中,标志着CAD技术的第四次革命。 随着CAD技术与几何造型技术的发展, 近年来, 市场上出现了一大批优秀的几何造型软件及工具。例如,PTC公司的产品Pro/E、SDRC的产品I-DEAS Master Series、UGS公司的产品Unigraphics、IBM公司的产品CATIA/CADAM、Autodesk公司的产品MDT、Spatial Tech公司的ACIS、EDS公司的Parasolid等。在国内,清华大学、北京航空航天大学、华中理工大学、浙江大学、上海交通大学、西北工业大学,以及其她一些单位也发表了一些关于特征造型技术研究的论著,并开发了一些特征造型系统,例如:清华大学开发的TiGems造型系统,北京航空航天大学研制出的微机版“金银花(LONICERA)”系统,武汉开目信息技术有限责任公司开发的开目三维CAD软件等等。 造型系统简介 Parasolid与ACIS就是两个最有代表性的几何造型系统的开发平台。在早期开发的实体造型系统中,英国的剑桥大学研制出了BUILD-1与BUILD-2系统,但都没有公开使用。80年代初期,研究小组的一部分人组建了Shape Data公司,并开发了实体造型系统Romulus。1986年,Shape Data并入EDS Unigraphics之后,推出了功能强大的几何造型核心
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
高中数学《立体几何》重要公式、定理 1．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 3．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 4．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 8.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1 k ≠
三维几何模型在计算机内的表示
三维几何模型在计算机内的表示 CAD/CAM的核心技术是几何造型技术一项研究在计算机中如何表示物体模型形状的技术。 在CAD/CAM技术四十多年的发展历程中，经历了四次重大的变革。 60年代初期的CAD系统只能处理简单的线框模型，提供二维的绘图环境，用途比较单一。 进入70年代，根据汽车造型中的设计需求，法国人提出了贝塞尔算法，随之产生了三维曲面造型系统CATIA。它的出现，标志着CAD技术从单纯模仿工程图纸的三视图模式中解放出来，首次实现以计算机完整描述产品零件的主要信息。这是CAD发展历史中的第一次重大飞跃。1979年，SDRC公司发布了世界上第一个完全基于实体造型技术的大型CAD/CAE软件 ──IDEAS。由于实体造型技术能够精确表达零件的全部属性，在理论上有助于统一CAD、CAE、CAM的模型表达，给设计带来了惊人的方便性。可以说，实体造型技术的普及应用标志着CAD发展史上的第二次技术革命。但是，在当时的硬件条件下，实体造型的计算及显示速度太慢，限制了它在整个行业的推广。
90年代初期，参数化技术逐渐成熟，标志着CAD技术的第三次革命。参数化技术的成功应用，使得它在1990年前后几乎成为CAD业界的标准。 随后，SDRC攻克了欠约束情况下全参数的方程组求解问题，形成了一套独特的变量化造型理论。SDRC将变量化技术成功的应用到CAD系统中，标志着CAD技术的第四次革命。 随着CAD技术和几何造型技术的发展，近年来，市场上出现了一大批优秀的几何造型软件及工具。例如，PTC公司的产品Pro/E、SDRC 的产品I-DEAS Master Series、UGS公司的产品Unigraphics、IBM公司的产品 CATIA/CADAM、Autodesk公司的产品MDT、Spatial Tech公司的ACIS、EDS公司的Parasolid等。在国内，清华大学、北京航空航天大学、华中理工大学、浙江大学、上海交通大学、西北工业大学，以及其他一些单位也发表了一些关于特征造型技术研究的论著，并开发了一些特征造型系统，例如：清华大学开发的TiGems造型系统，北京航空航天大学研制出的微机版“金银花(LONICERA)”系统，武汉开目信
关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索 ──从2011年高考数学谈起 贵州省遵义市习水县第一中学袁嗣林 摘要:纵观近年高考数学试题，可以看出，立体几何解答题是历年高考的必考题型。分值一般12分，难度属容易或中档题。学生得分率较高，但失分率也高。本文就2011年高考数学真题为例，对立体几何解答题作一些归类。关于立体几何解答题可以归类为一题多解与多题一解，即一类题有多种解法，多种题型可以用一种解法完成。 关键词：一题多解；多题一解；立体几何 一、一题多解 例1 （安徽理17）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。 （Ⅰ）证明直线∥； （II）求棱锥F—OBED的体积。 分析：本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.通常解法是传统法和向量法。 （I）解法一（传统法）：证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以
∥，OG=OD=2， 同理，设是线段DA与线段FC延长线的交点，有 又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合. 在△GED和△GFD中，由∥和OC∥，可知B和C分别是GE和GF 的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF. 解法二（向量法）：过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平 面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系. 由条件知 则有 所以即得BC∥EF. （II）略 评注：向量法和传统法有时可以转换着使用，主要工具是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两辆相互垂直的三条直线，进而建立直角坐标系。 例2 （湖北理18）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．
立体几何公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
立体几何公式 一、平面图形 名称符号周长C和面积S 1、正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 2、长方形 a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 3、三角形 a,b,c－三边长； h－a边上的高；s－周长的一半； A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 4、四边形 d,D－对角线长；α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 5、平行四边形 a,b－边长； h－a边的高；α－两边夹角 S＝ah ＝absinα 6、菱形 a－边长；α－夹角； D－长对角线长； d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 7、梯形 a和b－上、下底长； h－高； m－中位线长 S＝(a+b)h/2 ＝mh 8、圆 r－半径； d－直径； C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 9、扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 10、弓形 l－弧长； b－弦长； h－矢高； r－半径；α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 11、圆环 R－外圆半径；r－内圆半径；D－外圆直径；d－内圆直径 S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 12、椭圆 D－长轴；d－短轴；S＝πDd/4 二、立方图形 名称符号面积S和体积V 1、正方体 a－边长S＝6a2 ； V＝a3 2、长方体 a－长；b－宽；c－高；S＝2(ab+ac+bc) ； V＝abc 3、棱柱 S－底面积； h－高； V＝Sh 4、棱锥S－底面积 h－高；V＝Sh/3 5、棱台 S1和S2－上、下底面积 h－高；V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 6、拟柱体 S1－上底面积；S2－下底面积；S0－中截面积；h－高 V＝h(S1+S2+4S0)/6
立体几何解答题题库 1. 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，P A =AB =AC =3，平面//α平面P AB ，且α与棱PC ，AC ，BC 分别交于P 1，A 1，B 1三点． （1）过A 作直线l ，使得l BC ⊥，11l P A ⊥，请写出作法并加以证明； （2）若α将三棱锥P -ABC 分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体P 1A 1B 1C 的体积更小），D 为线段B 1C 的中点，求四棱锥A 1-PP 1DB 1的体积． 2. 如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)． (1)求四棱锥P -ABCD 的体积； (2)证明：BD ∥平面PEC ； (3)线段BC 上是否存在点M ，使得AE ⊥PM ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 3.如图1所示，平面多边形CDEF 中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，AB =2EF =2,沿着AB 将图形折成图2，其中AED ∠90,,AE ED H =?=为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EH ⊥BD ；
（Ⅱ）求四棱锥D -ABFE 的体积. 4. 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形，且平面⊥PAD 底面ABCD ，12 1 == =AD BC AB ，090=∠=∠ABC BAD . （1）证明：：AB PD ⊥； （2）点M 在棱PC 上，且CP CM λ=，若三棱锥ACM D -的体积为3 1 ，求实数λ的值. 5. 已知ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD =DC =a ，AD =，M 、N 分别是AD 、PB 的中点。 （Ⅰ）求证：平面MNC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求点A 到平面MNC 的距离。 6. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC ，E 是BC 的中点. （1）求证：平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：A 1C ∥平面AB 1E ．
F E C A D B A 1 C 1B 1 B C A D F E A B C M N A 1 B 1 C 1 B C B A 1 C 1 A D C 1 D 1 B 1 A C D A B E 《立体几何》解答题 1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； （Ⅱ）平面EFC ⊥平面BCD. 2.（2009年江苏卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C 求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C. （第1题） （第2题） （第3题） （第4题） 3. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点. （Ⅰ）求证：BC ∥平面MNB 1； （Ⅱ）求证：平面A 1CB ⊥平面ACC 1A 1． 4. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC, 点D 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面CDB 1； （Ⅲ）线段AB 上是否存在点M ，使得A 1M ⊥平面CDB 1 5. 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点，Ｅ为BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AB 1E ； （Ⅱ）求直线AB 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值； （Ⅲ）求三棱锥C －ABD 的体积. 6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 为AA 1的中点. 求证：（Ⅰ）A 1C ∥平面FBD ； （Ⅱ）平面FBD ⊥平面DC 1B. （第5题） （第6题） （第7题） C 1 D 1 B 1 C D A 1
高中数学必修二复习 基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系： 空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面：平行、相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 图1 图2 图3 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162 ==h a V ，2=a ，24164442 222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2 ）933342 =++=R ，ππ942 ==R S （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥， BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //， ∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥， 故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直， ∴36)32()32()3 2()2(2222=++=R ，即3642=R ， (3)题-1 A A
必修2空间几何部分公式定理总结 棱柱、棱锥、棱台的表面积 设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即 . 设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即 . 设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即 . 柱、锥、台的体积公式 柱体体积公式为：，（为底面积，为高） 锥体体积公式为：，（为底面积，为高） 台体体积公式为： （，分别为上、下底面面积，为高） 球的体积和表面积 球的体积公式 球的表面积公式
其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径有关. 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交的直线有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 空间两条直线的位置关系有且只有三种： 共面直线：相交直线（在同一平面内，有且只有一个公共点）；平行直线（在同一平面内，没有公共点）；异面直线：不同在任何一个平面内且没有公共点. 空间中直线与平面位置关系有且只有三种： 直线在平面内——有无数个公共点 直线与平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面平行——没有公共点 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 两个平面的位置关系只有两种： 两个平面平行——没有公共点 两个平面相交——有一条公共直线 异面直线所成的角 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线∥，∥，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线 是异面直线.
⑵ A 2013 l ∥α l l ∥β α, β α∥β B l ⊥α l ⊥β α∥β C l ⊥α l ∥β α∥β D α⊥β l ∥α l ⊥β 第 6 讲立体几何中的常用模型 §6.1 平行与垂直的直观感受 【例1】⑴ A B 2013 m ∥α m ∥α m，n n∥α m∥β αβ m∥n α∥β C m∥n m ⊥α n ⊥α D m ∥α α⊥β m⊥β A α⊥β α β B α β α β C α⊥γ β⊥γα∩ β= l l ⊥γ D α⊥β α β
§6.2 借助正（长）方体模型研究问题 【例2】 A B C D .
【例3】 ABCD - A 1B 1C 1D 1 P . BD 1 【例4】 ABCD . AB = C D = 2 AC = BD = 3 AD = BC = §6.3 外接球问题 【例5】 3 【例6】 2019 A - BCD AB ⊥ BCD AB = BD = CB = CD = 1 A - BCD P 5 1 2 2
1 E F §6.4 等体积法 【例7】 ABCD - A 1B 1C 1D 1 D 1 - EDF A 1 D 1 C 1 B 1 E F D C A B 【例8】 EF = 1 2 ABCD - A 1B 1C 1D 1 △AEF C 1 E D 1 1 B 1D 1 A - CEF . B 1 F A 1 C B D A AA 1 B 1 C E F
. . β 32π 3 B 4π C 2π b ?β? b ∥γ ? α? β?α? 【习题1】 2012 A . B C D . 【习题2】 2011 A α ⊥ β α β B α β α C α ⊥ γ β ⊥ γ α β = l l ⊥ γ D α ⊥ β α β 【习题3】 a 、b 、c a ∥c ? ? a ∥b ? α ∥γ ? ? α ∥ β ? α、β、γ a ∥γ ? ? a ∥b ? a ∥ c ? ? a ∥α ? α ∥ c ? ? α ∥ β ? a ∥γ ? ? a ∥α ? A B C D 【习题4】 S - ABC SA ⊥ ABC AB ⊥ BC S SA = AB = BC = 1 A C B 【习题5】 2014 A D 1 2 4π 3
2015年高考立体几何大题试卷 1. 【2015高考新课标2，理19】 如图，长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=16, BC=10, AA = 8，点E , F 分别在AB , C1D1上，A1E =4 .过点E , F的平面:-与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （1题图） （I ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （n ）求直线AF与平面〉所成角的正弦值. 2. 【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱ABC—中，已知AC丄BC ,
BC =CC 1，设 AB 1 的中点为 D , BQ BC^ E .求证：（1） DE // 平面 AA 1C 1C ; (2) BC 1 _ AB 1 . （2题图） （3题图） C C 第的题图
3. 【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体 AEDQCBA ，四边形AABB , ADD 1A 1 ,ABCD 均为正方形，E 为Bp 的中点，过 A,D,E 的平面交CD ,于F. (I)证明：EF //BQ ； (□)求二面角E - A ,D - B i 余弦值. 4. 【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知PA _平面ABCD ，且 四边形 ABCD 为直角梯 形，.ABC =/BAD = —,PA 二 AD =2,AB 二 BC =1 2 (1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值； (2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线 CQ 与DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 (4题图) 5 .【2015高考福建，理17】如图，在几何体 ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB A 平面BEC , BE A EC , AB=BE=EC=2 , G , F 分别是线段 BE , DC 的中点. (I 求证：GF //平面ADE ; (^)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值. 6. 【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱 AB^A 1B 1C 1-中，.BAC =90；, AB = AC=2 , AA = 4 , A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点. (5题图) D
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3 、 台体 ① 棱台：h c c S )(2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2 、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥
3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球： r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 4 23 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得： PF PE AB CD =
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 图1图2图3 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 ) 2(c b a R+ + =，即2 2 2 2c b a R+ + =，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）A．π 16B．π 20C．π 24D．π 32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是π9 解：（1）16 2= =h a V，2 = a，24 16 4 4 42 2 2 2= + + = + + =h a a R，π 24 = S，选C； （2）9 3 3 3 42= + + = R，π π9 42= =R S （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM⊥,若侧棱SA=则正三棱锥ABC S-外接球的表面积是。π 36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图（3）-1，取BC AB,的中点E D,，连接CD AE,，CD AE,交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，∴⊥ SH平面ABC，∴AB SH⊥， BC AC=，BD AD=，∴AB CD⊥，∴⊥ AB平面SCD， ∴SC AB⊥，同理：SA BC⊥，SB AC⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MN AM⊥，MN SB//， ∴SB AM⊥， SB AC⊥，∴⊥ SB平面SAC， ∴SA SB⊥，SC SB⊥， SA SB⊥，SA BC⊥， ∴⊥ SA平面SBC，∴SC SA⊥， 故三棱锥ABC S-的三棱条侧棱两两互相垂直， ∴36 )3 2( )3 2( )3 2( ) 2(2 2 2 2= + + = R，即36 42= R， (3)题-1 A A
(2012省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体CDEFG 的体积。 2012，(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 201220．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面 的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 （2010）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
2010文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。 2012（18）(本小题满分12分) 如图，直三棱柱/ / / ABC A B C -，90BAC ∠=， 2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的 中点。 (Ⅰ)证明：MN ∥平面/ / A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/ A MNC -的体积。 （椎体体积公式V= 1 3 Sh,其中S 为地面面积，h 为高） 2012，（16）（本小题共14分） 如图1，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，D ，E 分别为 AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ? 沿DE 折起到1A DE ?的位置，使1A F CD ⊥，如图2． D F D E B C A 1 F E C B A