2017南京市玄武区初三数学一模(含答案)
2016—2017学年第二学期九年级数学
注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共
12分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前
的字母代号填涂在答题卡相应位置
．．．．．．．上）1．计算1－(－2)2÷4的结果为
A．2B．5
4
C．0D．－
3
4
2．南京规划地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32100米，这个数据用科学计数法表示为
A．321×
102 B．32.1×
103
C．3.21×
104
D．3.21×
105
3．一元二次方程2x2＋3x＋1＝0的根的情况是
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定4．下列运算结果正确的是
A ．a 2＋a 3＝a 5
B ．a 2·a 3＝a 6
C ．a 3÷a 2
＝a
D ．(a 2)3
＝a 5 5．如图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转90°
至矩形AEFG ，点D 的旋转路径为 ⌒DG
，若AB ＝1，BC ＝2，则阴影部分的面积为
A ．π3＋32
B ．1＋32
C ．π2
D ．π3
＋1
6．如图，将正六边形ABCDEF 放入平面直角坐
标系后，若点A 、B 、E 的坐标分别为 （a ，b ）、（3，1）、（－a ，b ），则点D 的坐标
为
A ．（1，3）
B ．（3，－1）
C ．（－1，－3）
D ．（－3，
1）
A B C
D
F （第6题）
D A C F
E （第5题）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，
共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上） 7．分解因式2x 2＋4x ＋2＝ ▲ ．
8．满足不等式组???x ＋2＜1，
2(x －1)＞－8
的整数解为
▲ ．
9．已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据
的中位数是 ▲ ． 10．计算 12－3
3
＝ ▲ ．
11．若关于x 的方程x 2＋mx ＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为 ▲ ． 12．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 直径，若∠ABC ＝50°，
则∠CAD ＝ ▲ °．
13．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、
CD 的中点，EF 与BD 相交于点M ，若△DEM 的面积为1，则□ABCD 的面积为 ▲ ．
14．如图，A （a ，b ）、B （1，4）（a ＞1）是反
比例函数y ＝k
x （x ＞0）图像上两点，过A 、B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AE 、BD 交于点G ．则四边形ACDG
的面积随着
a 的增大而
▲ ．（填“减小”、“不变”或“增大”） 15．二次函数y ＝a (x －b )2＋c （a ＜0）的图像经
过点（1，1）和（3，3），则b 的取值范围是 ▲ ．
O
C
D B A （第12题）
A B C
D
E F
M （第13题）
16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC
＝1，P 为△ABC 内一个动点，∠PAB ＝∠PBC ，则CP 的最小值为 ▲ ．
y x
O B F A C D （第14题）
E G P
C A （第
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在
答题．．卡指定区域．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）解方程组 ???x ＋2y ＝3，
2x －y ＝1；
（2）解方程 1x －1＝2
x ＋3．
18．（6分）计算x x 2－1÷? ?
???1＋1x －1．
19．（7分）一个不透明的袋子中，装有2个红
球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是
红球．
20．（8分）某公司在某市五个区投放共享单车
供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了 ▲
A 区
B 区
C 区
D 区
E 区
各区共享单车投放（第20题）
各区共享单车投放投放使用
0 数量区
A B C D E 0.1 0.8
1 0.9
0.7
0.3
0.8
万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为▲°；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享
单车的使用量并补全条形统计图．
21．（8分）如图，在□ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝
CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）求证：四边形EFGH是菱形．
22．（7分）用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：CD＝1
2AB．
A
B C
D
H
E
G
F
（第21题）
A
C B
D
（第22题）
证法1：如图，在∠ACB 的内部作∠BCE ＝∠B ，
CE 与AB 相交于点E ．
∵∠BCE ＝∠B ，
∴ ①▲ ． ∵∠BCE ＋∠ACE ＝90°， ∴∠B ＋∠ACE ＝90°． 又∵ ②▲ ， ∴∠ACE ＝∠A ． ∴EA ＝EC ． ∴EA ＝EB ＝EC ，
即CE 是斜边AB 上的中线，且CE
＝1
2
AB ． 又∵CD 是斜边AB 上的中线，即
CD 与CE 重合，
∴CD ＝1
2
AB ．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
A
C B
E
23．（9分）同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧
剩下的长度y （cm ）与燃烧时间x （min ）的关系如图所示．
（1）求乙蜡烛剩下的长度y 与燃烧时间x 的函数表达式；
（2）求点P 的坐标，并说明其实际意义； （3）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
甲
乙
48 40
50 20 P x （min ）
y
（cm ）
O （第23题）
24．（8分）定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A
的邻弦，记作thi A，即thi A＝∠A的对边∠C的对边
＝
BC
AB．请解答下列问题：
已知：在△ABC中，∠C＝30°．
（1）若∠A＝45°，求thi A的值；
（2）若thi A＝3，则∠A＝▲°；（3）若∠A是锐角，探究thi A与sin A的数量关系．
25．（8分）A厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为x （0＜x＜1）．B厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为x，经过技术革新，三月份产值增长，增长率为2x．三月份A、B 两厂产值分别为y A、y B（单位：万元）．
（1）分别写出y A、y B与x的函数表达式；
（2）当y A＝y B时，求x的值；
（3）当x为何值时，三月份A、B两厂产值的差距最大？最大值是多少万元？
26．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，
点D 、E 分别在AC 、BC 上，且CD ·BC ＝AC ·CE ，以E 为圆心，DE 长为半径作圆，⊙E 经过点B ，与AB 、BC 分别交于点F 、G ．
（1）求证：AC 是⊙E 的切线；
（2）若AF ＝4，CG ＝5， ①求⊙E 的半径；
②若Rt △ABC 的内切圆圆心为I ，则IE ＝ ▲ ．
A B
E
D （第26题）
F
G
27．（9分）在△ABC 中，D 为BC 边上一点．
（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
将△ABC 沿着AD 折叠，点C 落在AB 边上．请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图②，将△ABC 沿着过点D 的直线
折叠，点C 落在AB 边上的E 处． ①若DE ⊥AB ，垂足为E ，请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；
②若AB ＝42，BC ＝6，∠B ＝45°，则CD 的取值范围是 ▲ ．
A
①
②
（第27题）
A
B
C
① ②
数学试题参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7． 2(x ＋1)2 8．－2 9．4 10．2－ 3 11． 5 12．40 13．16 14．增大 15．b ＞2 16．2－1 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题10分）
（1）解方程组: ???x ＋2y ＝3，2x －y ＝1．
解： 由②得 y ＝2x —1 ③
将③代入①得：x +2(2x －1)＝3
x ＝1 ………2分 将 x ＝1代入②得y ＝1 ………4分
∴该方程组的解为：???x ＝1，
y ＝1． ……5分
（2）方程两边同乘(x －1)(x ＋3)得：x ＋3＝2(x －1) ………2分 解得x ＝5 ………4分
检验：当x ＝5时，(x －1)(x ＋3)≠0
所以x ＝5是原方程的解 ……5分
18．（本题6分） 解：
x
x 2－1÷
???
?1＋1x －1 ＝x (x ＋1)(x －1)÷????x －1x －1＋1x －1
＝x (x ＋1)(x －1)÷x
x －1
＝x
(x ＋1)(x －1)·x －1x
＝1
x ＋1
．……6分 19.（本题7分）
（1）解： 搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所
有的结果中，满足“恰好是红球”(记为事件A )的结果有2种，
所以P(A )＝
2 4 ＝ 1
2
．……3分 （2）解：搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：(红1，红2)、(红1，黄)、(红2，黄)、
(红1，白)、(红2，白)、(白，黄)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”(记为事件B )的结果只有1种，所以P(B )＝
1
6
． ……7分 20．（本题8分） （1） 4 ……2分 （2） 36 ……4分
（3）图略 4×85%－0.8－0.3－0.9－0.7＝0.7（万辆）
题号 1 2 3 4 5 6 答案
C
C
B
C
A
D
答： C 区共享单车的使用量为0.7万辆． ……8分 21．（本题8分）
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A ＝∠C ．
又∵AE ＝CG ，AH ＝CF ，
∴△AEH ≌△CGF ． ……3分
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D ． ∵AE ＝CG ，AH ＝CF ， ∴EB ＝DG ，HD ＝BF ． ∴△BEF ≌△DGH ． ∴EF ＝HG ．
又∵△AEH ≌△CGF ， ∴EH ＝GF ．
∴四边形HEFG 为平行四边形． ……5分 ∴EH ∥FG ， ∴∠HEG ＝∠FGE ． ∵EG 平分∠HEF ， ∴∠HEG ＝∠FEG ， ∴∠FGE ＝∠FEG ， ∴EF ＝GF ，
∴EFGH 是菱形． ……8分
22．（本题7分） ①EC ＝EB ； ②∠A ＋∠B ＝90° ……2分 证法2：延长CD 至点E ，使得DE ＝CD ，连接AE 、BE ．
∵AD ＝DB ，DE ＝CD ． ∴四边形ACBE 是平行四边形． 又∵∠ACB ＝90°， ∴□ACBE 是矩形． ∴AB ＝CE ， 又∵CD ＝1
2
CE
∴CD ＝1
2
AB ……7分
23．（本题9分）
解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ．
根据题意，当x ＝0时，y ＝40；当x ＝50时，y ＝0． 所以???40＝b 0＝50k ＋b ，解得???k ＝－0.8b ＝40
．
所以，y 与x 之间的函数表达式为y ＝－0.8x ＋40． ……3分
（2） P （20，24） 点燃20分钟，甲乙两根蜡烛剩下的长度都是24 cm ．……5分 （3）设甲蜡烛剩下的长度y 甲与x 之间的函数表达式为y 甲＝mx ＋n ． 根据题意，当x ＝0时，y 甲＝48；当x ＝20时，y 甲＝24．
所以???48＝n 24＝20m ＋n ，解得???m ＝－1.2
n ＝48．所以，y 甲与x 之间的函数表达式为y 甲＝－1.2x ＋48．
因为甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍，
所以 －1.2x ＋48＝1.1(－0.8x ＋40) 解得 x ＝12.5
答：点燃12.5分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍． ……9分
24．（本题8分）
A
C B
D
（第22题）
E
解：（1）如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ．
在Rt △BHC 中，sin C ＝BH BC ＝1
2
，即BC ＝2BH ． 在Rt △BHA 中，sin A ＝BH AB ＝2
2
，即AB ＝2BH ． ∴thi A ＝
BC
AB ＝2． ……3分 （2）60或120． ……5分 （3）在Rt △ABC 中，thi A ＝
BC AB
． 在Rt △BHA 中，sin A ＝BH AB
． 在Rt △BHC 中，sin C ＝
BH BC ＝1
2
，即BC ＝2BH ． ∴thi A ＝2sin A ． ……8分
25．（本题8分）
（1）y A ＝16(1－x )2， y B ＝12(1－x ) (1＋2x )． ……2分 （2）由题意得 16(1－x )2＝12(1－x ) (1＋2x )
解得：x 1＝
1
10
， x 2＝1． ∵0＜x ＜1，∴x ＝
1
10
． ……4分 （3）当0＜x ＜
1
10
时，y A ＞y B ，且0＜y A －y B ＜4． 当
1
10
＜x ＜1时，y B ＞y A ， y B －y A ＝12(1－x ) (1＋2x )－16(1－x )2＝4(1－x )(10x －1)＝－40(
)
x －1120
2
＋
8110
． ∵－40＜0，1
10
＜x ＜1 ， ∴当x ＝
11
20
时， y B －y A 取最大值，最大值为8.1． ……6分 ∵8.1＞4 ∴当x ＝
11
20
时，三月份A 、B 两厂产值的差距最大，最大值是8.1万元． ……8分 26．（本题8分） （1）证明：
∵ CD ·BC ＝AC ·CE ∴ CD CA ＝CE
CB
∵∠DCE ＝∠ACB ． ∴△CDE ∽△CAB ∴∠EDC ＝∠A ＝90° ∴ED ⊥AC
又∵点D 在⊙O 上，
∴AC 与⊙E 相切于点D ．……………… 3分 （2）过点E 作EH ⊥AB ，垂足为H ，
∴BH ＝FH ．
在四边形AHED 中，∠AHE ＝∠A ＝∠ADE ＝90°， ∴四边形AHED 为矩形， ∴ED ＝HA ，ED ∥AB ， ∴∠B ＝∠DEC ．
B
A C
B
C
E
D
（第26题）
F
G H