第三章环与域
与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。
§1 加群、环的定义
一、加群
在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。
因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。
由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如：
（1）加群G的单位元用0表示，叫做零元。即a G
?∈，有
+=+=。
00
a a a
（2）加群G的元素a的逆元用a-表示，叫做a的负元。即有
-+=+-=。
()0
a a a a
利用负元可定义加群的减法运算：()
a b a b
-+-。（3）()a a
--=。
（4）a c b c b a
+=?=-。
（5）(),()
a b a b a b a b
-+=----=-+
（6）
(
00
()()
a a a n a n
na n
n a n
+++
?
?
==
?
?--
?
个相加）为正整数
为负整数
，且有
(),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+
请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。
加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S
??∈，有,
a b a S
+-∈,a b S
??∈，有a b S
-∈。
加群G的子群H的陪集表示为：a H H a
+=+。
二、环的定义
设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若
1. R对于“+”作成一个加群。
2. R对于“。”是封闭的。
3. ,,
a b c R
?∈，有()()
a bc a
b c
=，即乘法适合结合律。
4. ,,
a b c R
?∈，有(),()
a b c ab ac b c a ba ca
+=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。
则称R关于“+”与“。”作成一个环。
由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。
例1 整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C对于普通数的加法和乘法作成环。分别叫做整数环，有理数环，实数环，复数环。
例2 数域P上所有n阶方阵作成的集合n n
P?关于矩阵的加法和乘法作成环。
例3 2{2|}
=∈关于普通数的加法和乘法作成环，叫做偶数
Z k k Z
环。
问：奇数集合关于普通数的加法和乘法是否作成环？
答：否。因为关于加法不构成加群。
由于一个环也是一个加群，所以上面关于加群的性质与运算规则（1）到（6）在环里也都成立。此外，环还有下列基本性质：（7）(),()
-=--=-
a b c ab ac b c a ba ca
证明：由两个分配律以及负元的定义，有
-+=-+=+-+=+-+=+=
()[()][(()))][((()](0)
a b c ac a b c c a b c c a b c c a b ab
-+=-+=+-+=+-+=+=
b c a ca b c c a b c c a b c c a b a ba
()[()][(()))][((()](0)
再由（4）得，(),()
-=--=-。
a b c ab ac b c a ba ca
（8）000
==
a a
证明：0()0,0()0
=-=-==-=-=
a a a a aa aa a a a a aa aa
（9）()()
-=-=-
a b a b ab
证明：因为
+-=+-==
ab a b a a b b
()(())00
+-=+-==
()(())00
ab a b a b b a
所以()()
-=-=-。
a b a b ab
（10）()()a b ab --=
证明：()()[()]()a b a b ab ab --=--=--=
（11）1212()n n a b b b ab ab ab ++
+=+++ 1212()n n b b b a b a b a b a ++
+=+++ 证明略
（12）11111()()m n n m n a a b b a b a b a b +
+++=++++
即
111()()m n m n i j i j i j i j a b a b =====∑∑∑∑。
证明略
（13）()()()na b a nb n ab ==
证明略
（14）定义：n
n a aa a =（n 是正整数），并称n a 为a 的n 次乘方（简称n 次方或n 次幂）。
对任意正整数,m n 有
,()m n m n m n mn a a a a a +==
证明略
由以上（1）-（14）各条可看出，中学代数的计算法则在一个环里差不多都可适用，但还是有少数几个普通计算法则在一个环里不一定成立，这一点我们将在下一节讨论。
§2 交换律、单位元、零因子、整环
前面说过，普通的运算法则大多数在环里也是成立的，但还是有些法则不一定成立，例如，数域P 上所有n 阶方阵集合n n P ?关于矩阵
的加法和乘法可验证作成一个环，但我们知道矩阵的乘法是不满交换律与消去律的。由于环的定义中对乘法的要求只有适合结合律一条，所以在环中对乘法的运算往往需要附加一定的条件，由此产生各种类型的环。
1、交换律
因为在环的定义里没有要求乘法适合交换律，所以在环R 里对,a b R ?∈，未必有ab ba =。如矩阵环n n P ?就不适合交换律，当然也有适合交换律的环，如整数环。
若环R 的乘法适合交换律（即,a b R ?∈，有ab ba =），则称环R 为交换环。
当环R 是交换环时，,a b R ?∈，,0n Z n ?∈>，有
()n n n ab a b =
例 若环R 的每一个元素a 都适合2a a =，则称R 是布尔环。证明，布尔环是交换环。
证明：,a b R ?∈，有22,(2)()2a a b a b a +=+=，于是有
222,42a a ab ba b a b a +++=+=，即,200a ab ba +==，即
,()a ab ba b a a =-=-=-，所以ab ba =，故布尔环R 是交换环。
2、单位元
在群论里。我们已经看到了单位元的重要性。在环的定义里，没有要求一个环要有一个对于乘法来说的单位元，但一个环如果有这样一个元，我们可以想象这个元也会占有一个很重要的地位。事实上，有些环确实有单位元，如：整数环Z 就有乘法单位元1；数域P 上n 阶
方阵环n n P ?也有乘法单位元，即单位矩阵E 。但并不是所有环都有单位元，如偶数环2Z 就没有乘法单位元。
若环R 存在元素e ，使得a R ?∈，有ea ae a ==，则称e 是R 的单位元。此时环R 也叫做有单位元环。
一般地，一个环未必有单位元。但如果有的话，一定是唯一的。因为，若/,e e 都是环R 的单位元，则/e ee e ==。
例1（85P ）
在一个有单位元的环里，这个唯一的单位元习惯上常用1来表示。注意，这里的1不是普通的整数1.
在有单位元的环R 里，和群一样，规定01()a a R =?∈。
设R 是有单位元1的环，,a b R ∈，若1ab ba ==，则称()a b 是可逆元，()b a 是()a b 的一个逆元。
在有单位元的环R 里，未必每个元素都有逆元，如整数环Z 是一个有单位元的环，但除了1±外，其它的整数都没有逆元。又如在矩阵环n n P ?中非可逆矩阵就没有逆元。
但是如果a R ∈有逆元，则其逆元是唯一的。因为，若a 有两个逆元b 和/b ，则////1()()1b b b ab ba b b b =====。
当a 是可逆元时，其唯一的逆元记作1a -。并规定
1()n n a a --= （n 是正整数）
这样规定以后，当a 是可逆元时
11
0()n
n n aa a n a n a n --???==????是正整数是负整数
公式
,()m n m n m n mn a a a a a +==
对任何整数,m n 都成立。
3、零因子
前面在讨论环R 的运算性质时，曾有结论000a a ==，即当环R 中的两个元素,a b 中有一个是零元时，0ab =。那么，反过来当0ab =时，是否也有0a =或0b =呢？结论是在一般的环里是不成立的。
例2（86P ） 在模n 剩余类集合{[0],[1],
,[1]}n Z n =-中，我们在第一章定义了加法和乘法：
[][][],[][][]([],[])n a b a b a b ab a b Z +=+=?∈并在第二章证明了n Z 关于加法构成加群。又因为
([][])[][][][()][()][][][]([][])
a b c ab c ab c a bc a bc a b c ===== []([][])[][][()]
[][][][][][][]
a b c a b c a b c ab ac ab ac a b a c +=+=+=+=+=+
([][])[][][][()]
[][][][][][][]
b c a b c a b c a ba ca ba ca b a c a +=+=+=+=+=+
所以n Z 关于剩余类的加法和乘法构成一个环。这个环叫做模n 剩余类
环，它有单位元[1]。
当(1)n >不是素数时，(1,)n ab a b n =<<，则|,|n a n b //，
于是在n Z
第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．
1． 2．
3． 4． 5．
6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??
第一章美学基本知识 美学:研究现实的美的规律及其表现和对美的欣赏与创造的科学. 建立:1750年德国★鲍姆嘉通美学之父,理性主义哲学家 《美学》 1.1美是什么 代表人物: 柏拉图“美是理念” 亚里士多德“美是整一” 休谟“美不是事物的本身属性,它只存在于观赏者的心里” 立普斯“移情说” 孔子“尽善尽美” 庄子“道至美至乐” 王阳明“美在吾心中” 一. 客观美:认为美在物体本身,自然和社会本身. 二. 主观美论:美不在物,却在心.在精神. 三. 主客关系美论:认为美即不在物也不在心,而在心与物之间,即主客观的统一. 1.1.1美的特征 (1)美是具体可感的形象 (2)美的感染性,是美本身固有的特点 (3)美的形象要靠不断创新. 1.1.2美的形态 (1)自然美 (2)社会美人的美是社会美的中心内在,外在 (3)艺术美 作用:认识作用教育作用美感作用特点:反映现实,融进艺术家思想 1.2 美的欣赏 1.2.1 美感 美感的产生通过人类特有的审美感觉器官:耳.眼.鼻.舌 高级的特点:心里结构 文明的思维结构 社会的情感等心里活动 1.2.2审美标准 说法不一: (一)认为审美评价存在客观尺度标准是绝对的 (二)认为标准因人而异,审美评价纯属主观精神范畴它是相对的 1.2.3审美差异 概念:人们在审美过程中,对于同一事物和形象往往会产生不同的审美感受. b 存在哪些方面:明显的时代特征；明显的民族差异；经历学识审美修养 第二章中外古建筑美学 建筑美学:研究建筑与现实审美关系的一般规律的美学,是研究建筑领域中美学问题的科学. 建筑艺术的特征:象征性，功能性，地区性，时空交汇性，技术性。 2.1中国古代建筑传统的多层次构成 2.1.1礼制性建筑的类别
第三节建筑构图原理 结合《建筑空间组合论》进行学习,注意把握以下几点。 (一)形式美的规律(构图原理)——多样统一的法则 公共建筑和其他建筑一样,在满足人们使用要求的同时,还必须满足人们的精神要求。应当看到物质与精神上的双重要求,都是创造建筑形式的内容依据,而一般说来,一定的建筑形式取决于一定的建筑内容,同时建筑形式常能反作用于建筑内容,并对建筑内容起着一定的影响和制约的作用。因此在对公共建筑进行艺术处理时,应使两者辩证统一,才能取得良好的效果。 多样统一、也称有机统一，也就是统一中求变化，在变化中求统一。强调有序的变化。 多样统一,是建筑艺术形式的普遍法则,同样也是公共建筑创作中的重要原则。达到多样统一的手段是多方面的,如对比、主从、韵律、重点等形式美的规律,则是经常运用的手段。另外,公共建筑是由各种不同用途的空间组成的,它们的形状、大小、色彩、质感等是各不相同的,这些客观存在着的千差万别的因素,是构成建筑形式美多样变化的物质基础。然而,它们之间又有一定的内在联系,诸如结构、设备的系统性与功能、美观要求的一致性等。这些又是建筑艺术形式能够达到统一的内在依据。所以,公共建筑艺术形式的构图任务,要求在建筑空间组合中,结合一定的创作意境,巧妙地运用这些内在因素的差别性和一致性,加以有规律、有节奏地处理,使建筑的艺术形式达到多样统一的效果。 另外,一般公共建筑和其他建筑一样都具有使用空间,这一点也是建筑艺术区别于其他艺术品所具有的最大特点。 建筑艺术的形式美，系指建筑艺术形式美的创作规律,或称之为建筑构图原理。 通过以上的分析,概括有如下三个主要方面,值得我们在建筑创作中加以深入考虑。 其一:多样统一是所有建筑艺术创作中的重要原则,当然也是公共建筑艺术创作的重要原则。因而在公共建筑艺术处理中,应密切结合"公共性"这一基本特征,善于处理统一中求变化,变化中求统一的辩证关系。 其二:形式与内容的统一,同样也是所有建筑艺术形式的普遍法则。因此在处理公共建筑艺术的形式美时,也应运用内容决定形式,形式又能在一定条件下反作用于内容的辩证观点,正确解决内容与形式的问题,并善于运用熟练的艺术技巧和新的技术成就,更好地为创造新的建筑艺术形式服务。 其三:正确对待传统与革新的辩证关系。善于吸取建筑历史传统的创作经验,取其精华、去其糟粕,做到"古为今用"、"洋为中用",在公共建筑艺术创作中,力求不断地创新。 （二）形式美的若干基本范畴 1.以简单的几何形状求统一 古代一些美学家认为简单、肯定的几何形状可以引起人的美感,他们特别推崇圆、球等几何形状,
第三章 环与域 与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。 §1 加群、环的定义 一、加群 在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。 因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如： （1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。即a G ?∈，有 00a a a +=+=。 （2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。即有()0a a a a -+=+-=。
利用负元可定义加群的减法运算：() a b a b -+- 。（3）()a a --=。 （4）a c b c b a +=?=-。 （5）(),() a b a b a b a b -+=----=-+ （6） ( 00 ()() a a a n a n na n n a n +++ ? ? == ? ?-- ? 个相加）为正整数 为负整数 ，且有 (),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+ 请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。 加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S ??∈，有, a b a S +-∈,a b S ??∈，有a b S -∈。 加群G的子群H的陪集表示为：a H H a +=+。 二、环的定义 设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若 1. R对于“+”作成一个加群。 2. R对于“。”是封闭的。 3. ,, a b c R ?∈，有()() a bc a b c =，即乘法适合结合律。 4. ,, a b c R ?∈，有(),() a b c a b a c b c a b a c a +=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。 则称R关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。
智慧树知到《建筑美学》章节测试答案第一章 1、建筑美学研究的逻辑起点是（）。 A.建筑的艺术性 B.建筑美 C.建筑审美活动 D.建筑 答案: 建筑审美活动 2、审美超越的过程是以（）为基础。 A.审美体验 B.审美态度 C.审美理解 D.审美主体 答案: 审美理解 3、建筑造型审美的核心是建筑造型的（）。 A.整体思维与象征思维 B.隐喻与象征 C.实用性 D.自然适应性 答案: 隐喻与象征 4、建筑审美活动的特征有（）。 A.超功利性
B.实用性 C.主体性 D.物质性 答案: 超功利性,主体性 5、审美主体的特点有（）。 A.感性关照 B.超功利性 C.情感活动 D.自由 答案: 感性关照,超功利性,自由 6、审美体验（情感体验）的过程有（）。 A.情感理解 B.情感加工 C.情感建构 D.情感选择 答案: 情感加工,情感建构,情感选择 7、建筑适应性包括建筑的（）。 A.审美适应性 B.自然适应性 C.社会适应性 D.人文适应性 答案: 自然适应性,社会适应性,人文适应性
8、建筑与绘画艺术的审美共通性主要表现在（）。 A.审美理想 B.审美态度 C.创作手法 D.审美规律 答案: 审美理想,创作手法,审美规律 9、建筑美是建筑的审美属性与人的审美需要在审美活动中契合而生的一种价值。 A.对 B.错 答案: 对 10、建筑审美追求的是物质价值，其出发点是人的实用需要，是一种情感价值活动。 A.对 B.错 答案: 错 11、审美价值心理及功能包括审美的感觉、知觉、想象、理解等。 A.对 B.错 答案: 错 12、建筑审美活动包括造型审美、意境审美、环境审美三个基本维度。 A.对 B.错 答案: 对
2020智慧树，知到《建筑美学》章节测试 完整答案 智慧树知到《建筑美学》章节测试答案 第一章 1、建筑美学研究的逻辑起点是()。 答案: 建筑审美活动 2、审美超越的过程是以()为基础。 答案: 审美理解 3、建筑造型审美的核心是建筑造型的()。 答案: 隐喻与象征 4、建筑审美活动的特征有()。 答案: 超功利性,主体性 5、审美主体的特点有()。 答案: 感性关照,超功利性,自由 6、审美体验(情感体验)的过程有()。 A.情感理解 B.情感加工 C.情感建构 D.情感选择 答案: 情感加工,情感建构,情感选择 7、建筑适应性包括建筑的()。 A.审美适应性
B.自然适应性 C.社会适应性 D.人文适应性 答案: 自然适应性,社会适应性,人文适应性 8、建筑与绘画艺术的审美共通性主要表现在()。 A.审美理想 B.审美态度 C.创作手法 D.审美规律 答案: 审美理想,创作手法,审美规律 9、建筑美是建筑的审美属性与人的审美需要在审美活动中契合而生的一种价值。 A.对 B.错 答案: 对 10、建筑审美追求的是物质价值，其出发点是人的实用需要，是一种情感价值活动。 A.对 B.错 答案: 错 11、审美价值心理及功能包括审美的感觉、知觉、想象、理解等。 A.对
B.错 答案: 错 12、建筑审美活动包括造型审美、意境审美、环境审美三个基本维度。 A.对 B.错 答案: 对 13、建筑与音乐共通之“韵”表现在“数理”上。 A.对 B.错 答案: 对 14、用诗词等文学艺术来丰富、点化、拓展建筑之“意”，最常见的表现是以诗词赋文中的字句为建筑空间题名、题对、题联。 A.对 B.错 答案: 对 第二章 1、实现了风水经典《阳宅十书》中提出的五位四灵的风水模式，即“前有污池谓之朱雀，后有丘陵谓之玄武”的建筑是()。 A.山庄旅社 B.番禺余荫山房 C.棣华居
第三章环与域 与群一样,环与域也就是两个重要得代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了,在哪里,我们有数环与数域得概念,它们实际上就就是特殊得环与域。在本章里,我们只就是介绍环与域得最基本得性质及几类最重要得环与域,通过本章得学习,将使得我们一方面对数环与数域有更清楚得了解,另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备得基础。 §1 加群、环得定义 一、加群 在环得概念里要用到加群得概念,因此要先介绍一下什么就是加群,实际上加群也不就是什么新得群,在习惯上,抽象群得代数运算,都就是用乘法得符号来表示得,但我们知道,一个代数运算用什么符号表示就是没有什么关系得,对于一个交换群来说,它得代数运算在某种场合下,用加法得符号来表示更加方便。 因此,我们通常所说得加群,就是指用加法符号表示代数运算得交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同,所以加群得许多运算规则与表示形式就要与乘法表示得群有所不同。如: (1)加群得单位元用0表示,叫做零元。即,有。 (2)加群得元素得逆元用表示,叫做得负元。即有。 利用负元可定义加群得减法运算:。 (3)。
(4)。 (5) (6),且有 请同学们在乘法群中写出以上各结论得相应结论。 加群得一个非空子集作成一个子群,有,有。 加群得子群得陪集表示为:。 二、环得定义 设就是一个非空集合,“+”与“。”就是两个代数运算,分别叫做加法与乘法,若 1、对于“+”作成一个加群。 2、对于“。”就是封闭得。 3、 ,有,即乘法适合结合律。 4、 ,有,即乘法对加法适合左(右)分配律。 则称关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知,环就是一个具有两个代数运算得代数系统,两个代数运算通过分配律联系起来。 例1 整数集合,有理数集合,实数集合,复数集合对于普通数得加法与乘法作成环。分别叫做整数环,有理数环,实数环,复数环。 例2 数域上所有阶方阵作成得集合关于矩阵得加法与乘法作成环。 例3 关于普通数得加法与乘法作成环,叫做偶数环。
一、 环的定义与基本性质 （一） 环的定义: 1、 定义1:交换群称为加群(Aβελ群),其运算叫 做加法,记为“+”。 2、 定义2:代数系统),;A (?+称为环,若 1)(A,+)就是加群; 2)代数系统);A (?适合结合律; 3)乘法);A (?对加法+的分配律成立。 3、 例子 (1)),;Z (?+、),;Q (?+、),;R (?+、),;C (?+都就是环,均称为数环。 (2)Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z,ι2=－1 },则),];i [Z (?+也就是数环,称之为高斯整环。 (3)设Φ就是任一数环,则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。 (4)Z ν={所有模ν剩余类},则),;Z (n ?+就是模ν剩余类环,这里[α]＋[β] = [α+β],]b []a [? = [αβ]. (5)设(A,＋)就是加群,规定乘法如下:,A b ,a ∈?αβ=0,则),;A (?+作成一个环,称之为零环。 (二)环的基本性质:
(1)0x a a x =?=+。 (2)a x x a -=?=+0。 (3)c b c a b a =?+=+。 (4)nb na )b a (n +=+。(ν为整数) (5)na ma a )n m (+=+。(μ、ν为整数) (6))na (m a )mn (=。(μ、ν为整数) (7),A a ∈? 000=?=?a a 。 (8)ab )b (a b )a (-=-=-。 (9)ab )b )(a (=--。 (10)ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。 (11)j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====???? ?????? ??11 11 。 (12))ab (n )nb (a b )na (==。 (ν为整数)。 (13)若环中元a 、b 满足ba ab =,则 ()k n k n k k n n b a C b a -=∑=+0 (14)mn n m n m n m a )a (,a a a ==?+。(μ、ν为整数) (三)交换律与单位元: 1、定义3:环R 叫做交换环,若,R b ,a ∈?有 ba ab = 定义4:环R 的元e 称为单位元,若,R a ∈?有
生命表构成 1、l x ：生存数，有l x 人活到x 年龄； （l x 是个时点的生存人数；l x 是个递减函数） 2、 d x ：死亡人数，x 岁的人在一年内死亡的人数； （d x 是个时间段，期间的概念） d x = l x - l 1+x = l x * q x 3、q x ：死亡率，x 岁的人在一年内死亡的概率； q x =x x l d =x x x l l l 1+- 、p x ：生存率，x 岁的人在一年后生存的概率； p x = x x l l 1+=1- q x 、t q x ：x 岁的人在t 年内死亡的概率; t q x = x t x x l l l +- 、t P x ：x 岁的人在t 年末仍生存（活过t 年）的概率； t P x = x t x l l += p x * P 1+x ·····P 1-+t x
、t |u q x ：x 岁的人在生存t 年后u 年内死亡的概率； t |u q x = x u t x t x l l l +++- 、 t |q x ：x 岁的人在生存t 年后，在那一年中死亡的概率； U=1 t |q x = t P x - t+1P x = t+1q x - t q x = t P x * q x+t （x 岁的人先活到x+t 岁，然后在x+t 的那一年中死亡的概率） 5q 40= 4045 40l l l - 5|q 40= 4046 45l l l - 5|10q 40= 40 55 45l l l -
9、e x ：平均余命，x 岁的人今后还能生存的平均年数； （假设死亡率发生在每一年的年中） 1 2 3 · · · l x e x =（总人数）生存总年数x l =x 1x 2x x 1x l d 21l *1d 21l *1??????+++++++ = ()x 1x x 3x 2x 1x l d d 21l l l ??????++? ????+++++++ = ()x 1x x x 3x 2x 1x l d d 21l l l l ????+++????+++++++ =21l l l l x 3x 2x 1x +????++++++ x x+1
3.1试以表1为基础构造生命表。 表1 3.2在表2中填空 表2 3.3 已知1000(1) 120 x x l =- ，计算下面各值： (1)0l ，120l ，33d ，2030p ,3020q (2)25岁的人至少活20年，最多活25年的概率。 (3)三个25岁的人均存活到80岁的概率。 3.4若,100000() x c x l c x -=+，44000x l =，求： (1)c 的值。 (2)生命表最大年龄。，“ (3)从出生存活到50岁的概率。 (4)15岁的人在40—50岁之间死亡的概率。 3.5 证明并作直观解释：
(1) |n m x n x n m x q p p += - (2) |n x n x x n q p q +=? (3) . n m x n x m x n p p p ++= ? 3.6 假设有下面三个生命表，表A 是选择和终极表，表B 是由表A 终极栏组成的终极表，表C 是由构造表A 的资料编制的综合表。试找出在三个表下，下列函数的关系： (1)表A 中的[]n x p 与表B 中的n x p (2)表A 中的[]x q 与表B 、表C 中的x q (3)三个表中的x μ 3.7 证明： (1) 0 x x t x t l dt lx ?μ-++=? (2) 0 1x t x x t p dt ?μ-+=? (3) ()t x t x x x t p p x μμ+?= -? (4) t x t x x t p p x μ+?=-? 3.8 分别在死亡均匀分布、死亡力恒定和鲍德希假设下，用附表1给出的生命表计算： (1) 1 4 25q ；(2) 12 405q ；(3) 13 50μ 3.9 若40l =7746，41l =7681，在下面假设下计算14 40μ。 (1)死亡均匀分布假设。 (2)鲍德希假设。 (3)x l = 3.10 证明在德莫弗规律下，x n p ↓与n 无关。 3.11 假设x x A H x BC μ=++，求x l 。
保险与精算第二章作业 应数131韩炯 13453119 一、给出生存函数2500 2)(x e x s -=，求： 1) 人在50~60岁之间死亡的概率。 2) 50岁的人在60岁以前死亡的概率。 3) 人能活到70岁的概率。 4) 50岁的人能活到70岁的概率。 解： ) 50() 70() 70()70() 50()60()50() 60()50()6050(p 502050 10s s P s X p s s s q s s X = =>-=-=<< 二、已知60q ,92094.0]6)60([p ,1895.0]6)60(5[p 求=>=≤ 1 §3.7 整环和域 3.7.1 定义 零因子 R 是环，a , b ∈R 。 (1) 如果a ≠0, b ≠0且ab = 0，则称a 是b 的左零因子，b 是a 的右零因子。 (2) 如果a 是某个元素的左零因子，即a ≠0且存在b ≠0，使得ab = 0，则称a 是一个左零因子。 (3) 如果b 是某个元素的右零因子，即b ≠0且存在a ≠0，使得ab = 0，则称b 是一个右零因子。 如果a 不是左零因子，则任给b ∈R ，都能从ab = 0得到b = 0。同样，如果a 不是右零因子，则任给b ∈R ，都能从ba = 0得到 b = 0。 左零因子和右零因子都称为零因子。由定义3.7.1可知，如果R 有左零因子，则R 一定有右零因子，同样，如果R 有右零因子，则R 一定有左零因子。所以只说R 有没有零因子就行了。 3.7.2 例 Z 没有零因子，但M 2(Z )有零因子，取A =1000↘→ ← ，B =0001↘→ ← ，则A ≠0, B ≠0且AB = 0。一般的，如果R 不是零环，则R 的n(n ≥2)阶矩阵环M n (R )有零因子。 3.7.3 例 在环 【优化方案】2017高考地理一轮复习第12章地理环境与区域发展 第25讲模拟精选演练提升 [学生用书P188] (2016·安阳段考)2014年11月26日上午，中国3艘海警船进入钓鱼岛12海里巡航。读钓 鱼岛三维效果图和航空遥感影像图，回答1～2题。 1．钓鱼岛三维效果图的获得和制作主要利用的地理信息技术是( ) B．GIS和GPS A．RS和GIS D．数字地球 C．GPS和GIS 2．如果利用航空遥感技术对不同时期的钓鱼岛进行监测，通过分析多幅钓鱼岛图片，可以获 得( ) ①钓鱼岛面积的变化 ②钓鱼岛上植被的变化 ③钓鱼岛的地理坐标 ④钓鱼岛地形的变化 B．②③④ A．①②③ D．①②④ C．①③④ 解析：第1题，钓鱼岛三维效果图的获得和制作主要是利用了RS和GIS技术。第2题，钓鱼 岛地理坐标的获得应用GPS技术，排除③。 答案：1.A 2.D 下图为卫星拍摄的冰山照片。图片中显示R冰山(69°24′S,100°12′E)已经从南极大陆边缘厚冰层中解体出来。目前，R冰山正在向该地区的东部海域缓缓移动。据此并读图完成3～ 4 题。 3．监测R冰山移动方向和速度最好采用( ) B．地理信息系统 A．飞机跟踪 D．全球定位系统 C．遥感技术4．对冰山产生的原因进行分析、对移动的方向进行预测主要是应用( ) A．GIS B．GPS D．电子地图 C．RS 解析：第3题，冰山与周围海水相比，温度和性质差异大，利用遥感技术所获得的影像可以迅速获知冰山的移动方向和速度，所以适合采用遥感技术进行跟踪研究。第4题，对地理信 息进行分析、评估和预测主要应用的是地理信息系统(GIS)。 答案：3.C 4.A (2016·江苏盐城调研)下图为某区域的地理信息空间数据图，每个小方格表示实际长宽各100米，图中r表示河流，t表示林地，h表示住宅，f表示水田。方格中数字2表示相同的 海拔。读图，完成5～6题。 代数,环及其表示 A．法齐尼，K．富勒等编 Alberto Facchini,Universita di padova,Italy Kent Fuller,University of Iowa,USA Claus M Ringel,Universit?t Bielefeld,Germany Catarina Santa?Clara,Universidade de Lisboa,Portugal(Eds.) Algebras, Rings and Their Representations Proceedings of The International Conference on Algebras,Modules and Rings 2006,371pp. Hardback USD:98.00 ISBN 9789812565983 本书是为纪念葡萄牙著名数学家A.A.Costa(1903~1978)诞辰100周年而举办的国际会议论文集。本次会议于2003年7月14~18日在葡萄牙里斯本举行。主题关于代数、模及环。与会者共151人，来自33个国家和地区(多数来自欧洲 及北美)。会议期间有9个邀请报告，9个大会报告及85个一般性报告，它们涉及环论、模论、代数表示论及其它有关论题，特别是非交换代数几何。 本书卷首是一篇关于A.A.Costa教授生平和成就的专文。正文共收由大会报告中选取的22篇论文，其中一些出自当代权威学者之手。部分论文作者和题目如下：①https://www.doczj.com/doc/9518129563.html,m:隅角环论：Peirer分解的一般化(I)；②B.L.Osofsky:拟行列式及可除环上多项式的右根；③L.S.Levy等：交换Noether环的表示型；④A.Facchini等：无穷投射生成元和；⑤P.F.Smith:与挠率理论有关的内射维数；⑥Alina Alb:拓扑模的余反射范畴；⑦I.Mori:非交换射影概型及点概型；⑧A.Rotakh:共形代数的结构和表示；⑨M.Ursul:可数紧环上的结构定理。 本书中一些论文较全面综述了有关研究的最新进展，包括若干新的研究问题，对于有关专业科研人员、研究生是一本有价值的参考文献。 朱尧辰，研究员 (中国科学院应用数学研究所) Zhu Yaochen, Professor (Institute of Applied Mathematics,the Chinese Academy of Sciences) 第三章环与域 与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。 §1 加群、环的定义 一、加群 在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。 因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如： （1）加群G的单位元用0表示，叫做零元。即a G ?∈，有 +=+=。 00 a a a （2）加群G的元素a的逆元用a-表示，叫做a的负元。即有 ()0 a a a a -+=+-=。 利用负元可定义加群的减法运算：() a b a b -+- @。 （3）()a a --=。 （4）a c b c b a +=?=-。 （5）(),() a b a b a b a b -+=----=-+ （6） ( 00 ()() a a a n a n na n n a n +++ ? ? == ? ?-- ? L个相加）为正整数 为负整数 ，且有 (),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+ 请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。 加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S ??∈，有, a b a S +-∈,a b S ??∈，有a b S -∈。 加群G的子群H的陪集表示为：a H H a +=+。 二、环的定义 设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若 1. R对于“+”作成一个加群。 2. R对于“。”是封闭的。 3. ,, a b c R ?∈，有()() a bc a b c =，即乘法适合结合律。 4. ,, a b c R ?∈，有(),() a b c ab ac b c a ba ca +=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。 则称R关于“+”与“。”作成一个环。 第十二章环与域 主要内容 1．代数系统 为了今后叙述上的方便,将环中加法的单位元记作0,乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作-x.若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x-1.类似地,针对环中的加法,用 x-y表示x+(-y),nx表示,即x的n次加法幂,并且用-xy表示xy的负 元。 定理12.1设 第三章环与域 本章主要讨论两种代数系统，在高代中看到了，全体整数作一个环，全体有理数，全体实数或全体复数都作一个域，由此可见，环与域这两个概念的重要性。 §3.1 加群、环的意义 ●课时安排约1课时 ●教学内容本书P80-84 定义：一个交换群叫做一个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且用符号+来表示。 在群中有零元、负元 定义：一个集R叫做一个环，假如： 1、R是一个加群；‘ 2、R对乘法运算封闭 3、适合结合律 4、两个分配律成立 ●教学重点加群和环的定义 ●教学难点环的运算性质的证明 ●教学要求了解加群和环的关系 ●布置作业P84 2 ●精选习题P84 1 §3.2 交换律、单位元、零因子、整环 ●课时安排约1课时 ●教学内容本书P84-P89 定义：一个环R叫做一个交环环，假如ab=ba 不管a1b是R的哪两个元 定义：一个环R的一个元e叫做一个单位元。假如对R的任意元a来说，都有：ea = ae = a 例1：书上P85 定义：一个有单位元环的一个元b叫做a的一个逆元。假如： ba=ab=1 例2：P86 定义：若是在一个环里a≠0，b≠0，但ab=0 则a是环的一个左零因子，b是一个右零因子。 例3：P88 定理：在一个没有零因子的环里两个消去律都成立。 a≠0,ab=ac=>b=c a≠0,ba=ca=>b=c 反之也成立 推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。 定义：一个环R叫做一个整环，假如： 1、乘法适合交换律：ab=ba； 2、R有单位元1：|a=a|=a 3、R没有零因子：ab=0=>a=0或b=0 ●教学重点交换环、整环、单位元、零因子 ●教学难点剩余类环和定理的证明 ●教学要求掌握以上内容 ●布置作业P89 1，2，5 ●精选习题P89 3，4 §3.3 除环、域 ●课时安排约1课时 ●教学内容P89-93 例1：P90 例2：P90 定义：一个环R叫做一个除环，假如： 1、R至少包含一个不等于零的元； 2、R有一个单位元； 3、R的每一个不等于零的元有一个逆元。 定义：一个交换除环叫做一个域。 例3：P92 为了上述内容的关系看得更清楚，注意如下列表 环 交换环有单位元环无零因子环 整环除环 域 ●教学重点除环和域 ●教学难点它们之间的关系 ●教学要求正确理解上述表 ●布置作业P93 1，2，4 ●精选习题P93 3，5 §3.4 无零因子环的特征 ●课时安排约1课时 ●教学内容P93-97 例1：P94整环和域
高考地理一轮复习第12章地理环境与区域发展第25讲模拟精选演练提升新人教版
代数,环及其表示
第三章 环与域(仅供借鉴)
离散数学结构 第12章 环与域
近世代数基础 第三章 环与域
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