② 若02<-B AC ，函数没有极值； ③ 若02=-B AC ，不定。
2、 几何应用
1）
曲线的切线与法平面
曲线????
???===Γ)
()()
(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的
切线方程为：
)
()()(00
0000t z z z t y y y t x x x '-='-='-
法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x
2） 曲面的切平面与法线
曲面
0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：
法线方程为：
)
,,(),,(),,(0000
00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-
第十章 重积分
（一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积
1、 定义：
∑??=→?=n
k k k k
D
f y x f 1
),(lim d ),(σηξσλ
2、 计算： 1）
直角坐标
?
??
???≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21??，
21()
()
(,)d d d (,)d b
x a
x D
f x y x y x f x y y φφ=???
?
?
??
???≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ， 21()()(,)d d d (,)d d y c y D f x y x y y f x y x ??=????
2）
极坐标
?
?????≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D ，
21()
(
)
(,)d d (cos ,sin )d D
f x y x y d f β
ρθαρθ
θρθρθρρ=????
（二） 三重积分
1、 定义： ∑???
=→Ω
?=n
k k
k k k
v f v z y x f 1
),,(lim
d ),,(ζηξ
λ
2、 计算：
1）
直角坐标
???
???
=Ω
D
y x z y x z z z y x f y x v z y x f ),()
,(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”
??
????
=Ω
Z
D b
a
y x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一”
2）
柱面坐标
????
???===z
z y x θρθ
ρsin cos ，
(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩ
Ω
=???
???
3）
球面坐标
（三） 应用 曲面
D y x y x f z S ∈=),(,),(:的面积：
第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分
1、 定义：0
1
(,)d lim (,)n
i i i L
i f x y s f s λξη→==??∑?
2、
计算：
设
),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为)(),
(),
(βαψ?≤≤????
?==t t y t x ，其中)(),(t t ψ?在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψ?，则
（二） 对坐标的曲线积分 1、
定义：设 L 为
xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在 L 上有界，定义
∑?
=→?=n
k k
k k L
x P x y x P 1
),(lim d ),(ηξλ，
∑?=→?=n
k k
k k
L
y Q y y x Q 1
),(lim d ),(ηξλ
.
向量形式：??
+=?L
L
y y x Q x y x P F d ),(d ),(d
2、 计算：
设),(,),
(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为
):(),
(),(βαψ?→????
?==t t y t x ，其中)(),(t t ψ?在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(2
2≠'+'t t ψ?，则 3、
两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为
?????==)
()
( t y t x L ψ?：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，
)
()()
(cos 22t t t ψ??α'+''=
，)
()()
(cos 22t t t ψ?ψβ
'+''=
，
则
d d (cos cos )d L
L
P x Q y P Q s αβ+=+?
?.
（三） 格林公式 1、
格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数,
则有
???+=???? ????-??L
D y Q x P y x y P x Q d d d d
2、G 为一个单连通区域，函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数，
则
y P
x Q ??=?? ?曲线积分 d d L
P x Q y +?
在G 内与路径无关
（四） 对面积的曲面积分 1、 定义：
设
∑为光滑曲面，函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数，
定义 i i i i n
i S f S z y x f ?=∑??
=→∑
),,(lim d ),,(1
ζηξλ
2、
计算：———“一单二投三代入”
),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则
（五） 对坐标的曲面积分 1、 定义：
设
∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义
1(,,)d d lim (,,)()n
i i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑
→==?∑??
同理，
1
(,,)d d lim (,,)()n
i i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑
→==?∑??
；0
1
(,,)d d lim (,,)()n
i i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑
→==?∑??
2、 性质：
1）21
∑+∑=∑，则
计算：——“一投二代三定号”
),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续，则
(,,)d d [,,(,)]d d x y
D R x y z x y R x y z x y x y ∑
=±??
??
,∑为上侧取“ + ”， ∑为下侧取“ - ”.
3、 两类曲面积分之间的关系：
其中γβα,,
为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。
（六） 高斯公式 1、
高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数,,
P Q R 在Ω上有连续的一阶偏导
数, 则有 或
()?????∑
Ω++=???? ????+??+??S R Q P z y x z R y Q x P d cos cos cos d d d γβα
2、
通量与散度
通量：向量场),,(R Q P A =
通过曲面∑指定侧的通量为：??∑
++=Φy x R x z Q z y P d d d d d d
散度：z
R y Q x P A div ??+
??+??= （七） 斯托克斯公式 1、
斯托克斯公式：设光滑曲面 ? 的边界 ?是分段光滑曲线, ? 的侧与 ? 的正向符合右手法则,
),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含? 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 2、
环流量与旋度
环流量：向量场),,(R Q P A =
沿着有向闭曲线?的环流量为?Γ
++z R y Q x P d d d
旋度：???
?
????-????-????-??=y P x Q x R z P z Q y R A rot , ,
第十二章 无穷级数 （一） 常数项级数 1、
定义：
1）无穷级数：
+++++=∑∞
=n n n
u u u u u
3211
部分和：n n
k k n
u u u u u S ++++==∑= 3211
，
正项级数：
∑∞
=1
n n
u
，0≥n
u
交错级数：
∑∞
=-1
)
1(n n n
u ，0≥n u
2）级数收敛：若S
S n
n =∞
→lim 存在，则称级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，否则称级数
∑∞
=1
n n
u
发散
3）条件收敛：
∑∞
=1n n
u
收敛，而
∑∞
=1
n n
u
发散；
绝对收敛：
∑∞
=1
n n
u
收敛。
2、 性质：
1）
改变有限项不影响级数的收敛性；
2） 级数
∑∞=1
n n a ，∑∞
=1
n n
b
收敛，则
∑∞
=±1
)(n n n
b a
收敛；
3） 级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，则任意加括号后仍然收敛；
4） 必要条件：级数∑∞
=1
n n
u
收敛
?0lim =∞
→n n u .（注意：不是充分条件！） 3、
审敛法
正项级数：∑∞
=1
n n
u
，0≥n
u
1）
定义：S
S n
n =∞
→lim 存在；
2）
∑∞
=1
n n
u
收敛
?{}n
S 有界；
3） 比较审敛法：
∑∞
=1
n n
u
，
∑∞
=1
n n
v
为正项级数，且),3,2,1( =≤n v u n n
若
∑∞
=1
n n
v
收敛，则
∑∞
=1n n
u
收敛；若
∑∞
=1
n n
u
发散，则
∑∞
=1
n n
v
发散.
4） 比较法的推论：
∑∞
=1
n n
u
，
∑∞
=1
n n
v
为正项级数，若存在正整数
m ，当m n >时，n n kv u ≤，而∑∞=1
n n
v
收敛，则
∑∞
=1
n n
u
收敛；若存在正整数
m ，当m n >时，n n kv u ≥，而∑∞=1
n n v 发散，则∑∞
=1
n n u 发散.
5）
比较法的极限形式：∑∞=1n n u ，∑∞
=1n n v 为正项级数，若)0( lim +∞<≤=∞→l l v u n
n
n ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→n
n
n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞=1n n v 发散，则
∑∞
=1
n n
u
发散.
6）
比值法：∑∞
=1
n n u 为正项级数，设l u u n
n n =+∞→1
lim
，则当1l 时，级数∑∞
=1
n n u 发散；
当1=l 时，级数∑∞
=1
n n u 可能收敛也可能发散.
7） 根值法：
∑∞
=1
n n
u
为正项级数，设l u n
n n =∞
→lim
，则当1n n u 收敛；则当1>l 时，级数∑∞
=1
n n u 发散；当
1=l 时，级数∑∞
=1
n n u 可能收敛也可能发散.
8） 极限审敛法：
∑∞
=1
n n
u
为正项级数，若
0lim >?∞
→n n u n 或+∞=?∞
→n n u n lim ，则级数∑∞
=1
n n u 发散；若存在1>p ，使
得)0( lim +∞<≤=?∞
→l l u n
n p
n ，则级数∑∞
=1
n n u 收敛.
交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：∑∞
=-1
)1(n n n
u ，0≥n
u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞
→n n u ，则级数∑∞
=-1
)1(n n n u 收
敛。
任意项级数：
∑∞
=1
n n
u
绝对收敛，则
∑∞
=1
n n
u
收敛。
常见典型级数：几何级数：?????≥<∑∞
=1 1 0q q aq n n
发散，
收敛， ； p -级数：?????≤>∑
∞=1p 1 11发散，收敛，p n n p （二） 函数项级数 1、
定义：函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
，收敛域，收敛半径，和函数；
2、 幂级数：
∑∞
=0
n n
n x
a
3、
收敛半径的求法：ρ=+∞→n
n n a a 1
lim
，则收敛半径 ???
?
?????=∞++∞=+∞<<=0 , ,00 ,1
ρρρρR 4、 泰勒级数
展开步骤：（直接展开法）
1） 求出 ,3,2,1 ),()(=n x f n ；
2）
求出
,2,1,0 ),(0)(=n x f n ；
3） 写出
n n n x x n x f )(!
)
(00
0)(-∑
∞
=； 4）
验证0)(!
)1()(lim )(lim 10)1(=-+=++∞→∞→n n n n n x x n f x R ξ是否成立。
间接展开法：（利用已知函数的展开式） 1）),( ,!1
+∞-∞∈=
∑∞
=x x
n e n n
x
；
2）),( ,!
)12(1
)1(sin 0
121
+∞-∞∈+-=∑∞
=++x x n x
n n n ；
3）),( ,)!
2(1)1(cos 0
21
+∞-∞∈-=∑∞
=+x x n x
n n
n ； 4）)1 ,1( ,110
-∈=-∑∞
=x x x n n ；
5）
)1 ,1( ,)1(11
-∈-=+∑∞
=x x x n n n 6）]1 ,1( ,1
)1()1ln(01
-∈+-=+∑∞
=+x x n x n n n
7）)1 ,1( ,)1(110
22-∈-=+∑∞
=x x x n n n 8）)1 ,1( ,!)1()1(1)1(1
-∈+--+=+∑
∞
=x x n n m m m x n n
m
5、 傅里叶级数 1）
定义：
正交系： nx nx x x x x cos ,sin ,,2cos ,2sin ,cos ,sin ,1函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间] ,[ππ-上积分为零。 傅里叶级数：
)sin cos (2)(1
0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞
=
系数：???
???
?====??--),3,2,1(d sin )(1)
,2,1,0(d cos )(1 n x nx x f b n x nx x f a n n ππππππ
2）
收敛定理：(展开定理)
设 f (x ) 是周期为2?的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x ) 的傅里叶级数收敛 , 且有 3）
傅里叶展开：
①求出系数：???
???
?====??--),3,2,1(d sin )(1)
,2,1,0(d cos )(1 n x nx x f b n x nx x f a n n ππππππ；
②写出傅里叶级数
)sin cos (2)(1
0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞
=；
③根据收敛定理判定收敛性。
