数学(理工类)
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|0≤x －1≤1}，B ＝{x|x 1-＞0}，则A∩B ＝ A.? B.(1，2] C.[1，2] D.(0，2)
2.已知复数z ＝1－i ，则|z 2－1|＝ A.5 B.5 C.7 D.7
3.若单位向量a ，b 满足a ⊥b ，向量C 满足(a ＋c)·b ＝1，且向量b ，c 的夹角为60°，则|c|＝ A.
1
2
B.2
C.23
D.3
4.函数f(x)＝2
lg 2x
x x
-
的图象大致为
5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＜0，且S n ≥S 5，则下列结论一定正确的是 A.a 5·a 6≥0 B.a 5·a 6≤0 C.a 4·a 6＞0 D.a 4·a 6＜0
6.平面α的一条斜线AP 交平面α于P 点，过定点A 的直线l 与AP 垂直，且交平面α于M 点，则M 点的轨迹是
A.一条直线
B.一个圆
C.两条平行直线
D.两个同心圆
7.防洪期间，要从6位志愿者中挑选5位去值班，每人值班一天，第一天1个人，第二天1个
人，第三天1个人，第四天2个人，则满足要求的排法种数为
A.90
B.180
C.360
D.720
8.二项式(x＋1)·(2x－
1
x
)5的展开式中常数项为
A.－40
B.40
C.－80
D.80
9.干支是天干(甲、乙、…、癸)和地支(子、丑、…、亥)的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法。如图是查找公历某年所对应干支的程序框图。例如公元2041年，即输入N＝2041，执行该程序框图，运行相应的程序，输出x＝58，从干支表中查出对应的干支为辛酉。我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元1208年，则该年所对应的干支为
A.戊辰
B.辛未
C.已巳
D.庚申
10.设f(x)＝
,01
ln,1
x x
e x x
?<<
?
?
≥
??
，若f(a)＝f(e a)，则f(
1
a
)＝
A.1 2e D.e
11.将函数y＝cos(2x－
6
π
)图象上的点G(
4
π
，n)向右平移m(m＞0)个单位长度得到点G'，若G'位于函数y＝sin2x的图象上，则
A.n＝
3
2
，m的最小值为
3
π
B.n＝
1
2
，m的最小值为
3
π
C.n＝
3
2
，m的最小值为
6
π
D.n＝
1
2
，m的最小值为
6
π
12.已知双曲线C：22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>上存在点M，过点M向圆x2＋y2＝b2做两条切线MA，MB。若MA⊥MB，则双曲线C的离心率最小值为
A.
1
3
B.
1
2
C.
6
3
D.
6
2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若实数x，y满足
x y30
2x y30
y1
-+≥
?
?
+-≤
?
?≥
?
，则z＝x＋2y的最小值为。
14.数列{a n}的前N项和S n＝3n－1，若a k＝9a5，则k＝。
15.已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右焦点为F(1，0)，A，B为椭圆C的左右顶点，且|AF|＝3|FB|，则椭圆C的方程为。
16.如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点，把△AEF，△CBE，△CFD折起构成一个三棱锥P－CEF(A，B，D重合于P点)，则三棱锥P－CEF的外接球与内切球的半径之比是。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。且(b＋a)(sinB－sinA)＝(c－a)sinC。
(1)求B；
(2)若B＝2，△ABC3△ABC的周长。
18.(12分)
中国网络教育快速发展以来，中学生的学习方式发生了巨大转变。近年来，网络在线学习已成为重要的学习方式之一。为了解某学校上个月K，L两种网络学习方式的使用情况，从全校
学生中随机抽取了100人进行调查，发现K ，L 两种学习方式都不使用的有15人，仅使用K 和仅使用L 的学生的学习时间分布情况如下：
(1)用这100人使用K ，L 两种学习方式的频率来代替概率，从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月K ，L 两种学习方式都使用的概率；
(2)以频率代替概率从全校仅使用K 和仅使用L 的学生中各随机抽取2人，以X 表示这4人当中上个月学习时间大于10小时的人数，求X 的分布列和数学期望。 19.(12分)
如图，在棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，∠ABC ＝60°，AD ＝2，AB ＝AA 1＝4，F 是AD 的中点，且C 1在底面上的投影E 恰为CD 的中点。
(1)求证：AD ⊥平面C 1EF ；
(2)若点M 满足111C M C D λ=，试求λ的值，使二面角M －EF －C 为135°。 20.(12分)
已知抛物线C ：y 2＝2Px(P ＞0)，过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，|PQ|＝4。
(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点F 的坐标和准线l 的方程；
(2)过点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，直线OA 与准线l 交于点M 。连接MF ，过点F 作MF 的垂线与准线l 交于点N 。求证：O ，B ，N 三点共线(O 为坐标原点)。 21.(12分)
已知函数f(x)＝x(ax －tanx)，x ∈(,22
ππ
-
)。
(1)当a ＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若x ＝0是函数f(x)的极大值点，求实数a 的取值范围。
(二)选考题(共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号)
22.[选修4－4坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中，已知A(ρ1，5
6
π
)在直线l：ρ·sinθ＝2上，点B(ρ2，
3
π
)在圆C：ρ＝4cosθ上(其
中ρ≥0，θ∈[0，2π))。
(1)求|AB|；
(2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标。
23.[选修4－5不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－a＋1|。
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≥3，求实数a的取值范围。