第二次作业
学号：11001020138 姓名;张彦强 第二题：
解：（1）对=1+kt t L ae
y -两边同时取倒数得：11kt t a e y L L --=，再对两边同时取对数得：
ln 1lna t L kt y ??-=- ???
， 令11L y y ??=- ???，ln a b =，k B -=.
即可得到一个线性关系式：
因此Logistic 增长曲线模型是一个可线性化模型。
给定L-3000，Logistic 增长曲线模型是一个可线性化模型。
用MATLABR2012a估计线性模型的的程序为：
x=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560 1824.29 2199 2438.89 2737.71];
L=3000;
z=log(L./y-1);
p=polyfit(t,z,1)
k=-p(1),a=exp(p(2))
Y=polyval(p,t);
X=exp(Y);
得到结果为：
因此a的估计值为44.8463，k的估计值为0.4941
（2）用MATLABR2012a对Logistic增长模型做非线性回归
MATLABR2012a程序如下：
y=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71];
t=0:12;
L=3000;
y1=log(L./y-1);
p=polyfit(t,y1,1);
k=-p(1);
a=exp(p(2));
y1=L./(1+a*exp(-k*t));
plot(t,y,'*',t,y1);
拟合Logistic增长模型，画出的拟合图形如图所示：
因此Logistic 增长模型的非线性方程为
0.49413000144.8463t
t e y -=+ （3）拟合Gompertz 增长模型
Gompertz 增长曲线模型为kt be t y Le --=
两边同时除以 L 得kt
be y e L --=.
两边同时取对数 得ln kt y be L
-=-. 再两边同时取对数得ln ln ln()y b kt L
=--. 令2ln ln y y L
=，aa k =-，ln()bb b =-. 得线性关系式2y aat bb =+.
用MATLAB2012Ra 拟合Gompertz 增长模型，MATLAB2012Ra 程序如下：
x=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71];
t=0:12;
L=3000;
y1=log(log(x/L));
a=polyfit(t,y1,1);
b=-exp(a(2));
k=-a(1);
y2=L*exp(-b*exp(-k*t));
plot(t,x,'*',t,y2);
得到Gompertz 增长模型的拟合曲线如下图所示：
当L=3000，b=30，k=0.4时，拟合的Gompertz 增长曲线方程为
0.4303000t e t e y --=
Gompertz 增长曲线与Logistic 增长曲线相比较，两模型相同之处：
Logistic 增长曲线模型，俗称“S 曲线”，主要目的是模拟人口的增长。其一般形式为
bt t ae K
y -+=1.
Logistic 增长曲线有个重要特征。就是y 随着t 的增加直至+∞而趋向于k ，k 即是y 的饱和值；反过来，当t→-∞时，y→0。在现实经济生活中，许多指标的增长过程具有这个特征。例如，一种新产品、新技术的普及率，一种耐用品的存量，它们的增长过程都遵循Logistic 增长曲线模型。所以，Logistic 增长曲线模型在经济预测中有广泛的应用，是一种重要的预测模型。
Gompertz 曲线用于描述这样一类现象：初期增长缓慢，后期逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最终接近一条水平线。Gompertz 曲线通常用于描述事物的发展由萌芽、成长到饱和的周期过程。在现实生活中有许多现象符合Gompertz 曲线形式，如工业生产的增长、产品的寿命周期和一定时期的人口增长等。
可见Gompertz 增长曲线与Logistic 增长曲线相似。
一、实验名称 种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长 二、实验目的 1、认识到环境资源就是有限的,任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约。 2、了解种群在有限环境中的增长方式,理解环境对种群增长的限制作用,领会逻辑斯蒂模型中生物学特性参数r 与环境因子参数—生态学特性参数K 的重要作用。 3、学会如何通过实验估计出r 、K 两个参数与进行曲线拟合的方法。 4、在实际生态学统计过程中,能够利用r 、K 等参数估计种群的整体情况。 三、实验原理 1、资源有限培养 由于环境就是有限的,种群指数增长只就是暂时的,多发生在种群增长的 早期阶段,密度很低、资源丰富的情况下。随着种群密度增大,资源缺乏,影响到种群的增长率,使其降低。比如酵母的增长曲线: 2、逻辑斯谛方程 与密度有关的连续增长模型两点假设: (1)有一个环境容纳量K,当Nt=K 时,种群停止增长,dN/dT = 0; (2)种群增长率随种群密度升高成比例降低,最简单的情况就是每增加一 个个体,同时产生1/K 的抑制效果。当种群数量为N 时,种群增长率下降为原来的(1-N/K)。 结果:导出逻辑斯谛方程 )1(d d K N rN t N -= 其积分式为:rt a t e K N -+=1
其中00 ln N N K a -= K —理论上的环境容纳量,难以准确测定。 N 为种群大小,t 为时间,r 为种群的瞬时增长率。 K 为环境容纳量,1-N/K 为剩余空间。 逻辑斯谛方程中两个参数r 与K 具有重要的生物学意义: r 表示物种的潜在增殖能力,即种群内禀增长率。 K 就是环境容纳量,即物种在特定环境中的平衡密度。应注意K 就是随环境(资源量)的改变而改变的。 3、种群增长曲线 密度制约导致种群增长率随密度增加而降低,与非密度制约的情况相反,种群增长曲线不就是“J ”型,而就是“S ”型。 “S ”型曲线有两个特点: (1)曲线渐近于K 值,即环境容纳量(或平衡密度)。 (2)曲线上升就是平滑的。 逻辑斯谛曲线常划分为五个时期: 开始期:种群个体数很少,增长缓慢; 加速期:随着种群个体数增加,增长逐渐加快; 转折期:种群个体数达到环境容纳量一半(即K/2)时,增长最快; 减速期:种群个体数超过 K/2以后,增长逐渐放慢; 饱与期:种群个体数达到K 值停止增长。
基于logistic模型的2014年影响中国各省城市化水平的 经济地理因素分析 摘要：本文利用2013年中国31个省份的数据，从经济与地理位置两个因素出发，运用logistic回归的方法在SPSS软件上进行分析。结果显示：中国城市化发展水平不仅与经济密切相关，而且与其地理位置也有很大的关系，地区间城市化发展水平差距较明显，城市化各方面的因素水平发展不平衡。 关键词：logistic模型，城市化水平，SPSS软件
目录 一、引言 (3) 二、Logistic模型 (3) 1. 基本概念 (3) 2. 统计原理 (4) （1）logit变换 (4) （2）Logistic回归模型 (4) （3）统计检验 (4) 三、基于logistic模型的我国各省城市化水平影响因素实证分析 (5) 1．数据来源与说明 (5) 2．模型检验 (5) 3．模型的建立与预测 (7) 四、结论 (7) 参考文献 (8)
一、引言 城市化的定义众多，本文参照《中华人民国国家标准城市规划术语》，认为城市化是“人类生产与生活方式由农村型向城市型转化的历史过程，主要表现为农村人口转化为城市人口及城市不断发展完善的过程。”城市化是一个系统的动态过程，包含了人口、经济、社会、城市建设等各方面变化的影响。它是经济发展和社会进步的必然结果，反过来也推动了经济的发展和社会的进步。 中国大陆的城市化进程在不同的时期具有不同的特点，总的来看城市化水平普遍较低，并已成为制约国家经济、社会和谐发展的主要原因之一。因而，各地区普遍把推进城市化进程作为经济、社会发展战略的一项重要目标选择。当前中国大陆已经进入了城市化水平的持续上升发展时期，此时对这样一个过程实施有效、客观、科学、动态的监测，从而及时发现并解决城市化进程中出现的难题，就必须加强对中国大陆城市化水平质与量等方面的考察和研究。这对于我们这样一个人口众多、区域经济发展不平衡的国家尤为重要。 本文不仅分析影响城市化水平的经济因素，还加入了地理位置对其城市化发展的影响。由于地理因素数据不是数值型变量，因此我们引用logistic回归方法对其进行建模。 二、Logistic模型 1.基本概念 Logistic回归分析就是针对因变量是定型变量的回归分析，这与一般的回归分析不同。在实际生活中，我们会经常遇到因变量是定型
高中生物种群的增长曲线与K值应用 常卿 在高中生物教材中，种群增长曲线是一个重要的知识点，并在近年的生物高考试卷中都有所体现。但笔者在教学中发现，由于受到教材篇幅的限制，这一知识内容一上来起点就很高，学生一下子很难理解。本文从理解的角度出发，对种群增长曲线进行释疑，同时释义其具体应用。 一、种群增长的S型曲线 虽然物种具有巨大的增长潜力，但在自然界中，种群却不能无限制地增长。因为随着种群数量的增长，环境的制约因素的作用也在增大，环境中制约种群增长的因素称为环境阻力。它包括同种个体之间对食物和空间的竞争加剧、疾病蔓延、捕食者因捕食对象的增多而增多等，从而导致残废率增长、出生率降低，最终趋向平衡。因此，在自然环境中，种群的增长曲线是一个“S”型曲线（也称为逻辑斯蒂曲线）。种群达到环境所能负担的最大值，称为环境的满载量或负载能力，用“K”表示（如图1）。那么，种群为什么不能无限增长而保持在相对稳定的水平？根据对很多生物种群在有限食物和有限空间条件下数量动态的研究，种群在开始时增长比较缓慢，以后逐渐加快，当种群数量达到环境所允许的最大数量的一半时，增长速度最快，但是种群所需要的资源（食物、空间等）是有限的，随着资源的枯竭，环境阻力将随着种群的增长而成正比例增加，种群增长速度逐渐缓慢下来，直到停止增长，此外，种群内部的相互关系和其他一些环境因素，如气候、食物、空间、营巢地、天敌、疾病、种间竞争等环境阻力都会抑制种群数量无限增长。当种群增加到“K”值，会因为食物不足、空间有限、天敌增加等因素而使种群数量逐渐降低，降到基准线以下，又会因空间、食物的充裕而数量上升，所以，种群的数量会在一定范围内（基准线上下）波动，保持在一个相对恒定的水平上（如图2）。 二、K值的应用 种数数量在达到K/2时（如图3中的A点），种群数量几乎呈直线上升，这一时期称指数生长期，A点是影响种群数量的关键点。该值可直接用于解释文中有关“种群数量变化的意义”中的几个实例问题。 实例1：研究种群数量变化的规律，有利于对野生生物资源的合理利用和保护。 释义：一般野生动植物种群的数量控制在环境容纳量的一半，即K/2值时，此时种群
种群增长的“J”型曲线 高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆ 图甲为种群增长的“J”型和“S”型曲线，图乙为两种增长方式中增长速率的变化情况。下列相关叙述中，正确的是 A．图甲中b曲线对应的是“J”型增长曲线 B．图乙②中曲线的顶点与图甲b曲线的最大值相对应 C．图甲中的阴影部分可代表环境阻力大小 D．自然情况下种群不可能出现图甲中a曲线所示的增长方式 【参考答案】C 【试题解析】本题考查种群数量增长的知识，意在考查考生的综合应用能力。 图甲中a曲线是“J”型增长曲线，b曲线是“S”型增长曲线，图乙的①中增长速率一直在增加，所以表示的是呈“J”型增长的种群增长速率，②中增长速率先增大后减小，所以表示的是呈“S”型增长的种群增长速率，A错误。图乙②中曲线的顶点种群增长速率最大，所以与图甲b曲线的K/2相对应，B错误。图甲中两条曲线之间的阴影部分可代表环境阻力，C正确。外来物种入侵后的早期，会出现图甲中a曲线所示的增长方式，D错误。 1．下列关于种群“J”型增长曲线的叙述，错误的是 A．曲线图能直观地反映出种群数量的变化
B．种群在理想条件下的数量可呈“J”型增长 C．外来物种入侵不一定呈“J”型曲线增长 D．若N0表示起始种群数量，λ为种群数量年增长倍数，则第t年种群数量为：N t=N0λt 2．如图表示某种群在理想环境中（图甲）和有环境阻力条件下（图乙）的数量增长曲线，下列相关叙述不正确的是 A．图甲中A点和B点时的增长率相等 B．图乙中D点时的增长速率最快 C．防治蝗灾最好在图乙中E点对应的时刻进行 D．水葫芦入侵云南滇池的开始阶段，种群数量的增长情况可用图甲表示 3．如图为某种群在不同生态环境中的增长曲线，请仔细分析图中曲线后回答下列问题： （1）如果种群处在一个理想的环境中，没有资源和空间的限制，种群内个体的增长曲线是__________，用达尔文进化的观点分析，这是由于生物具有_____特性。 （2）如果将该种群置于有限制的自然环境中，种群内个体数量的增长曲线是__________，用达尔文的进化观点分析图中的阴影部分表示__________。 （3）影响种群密度的主要因素是种群的__________、__________、__________。
必修三第四章种群和群落全章复习 种群的数量变化－－增长曲线 一、教学目标 1．知识目标 （1）掌握建立数学模型来解释种群的数量变动。 （2）区别种群的增长曲线的增长率和增长速率。 2．能力目标 能应用数学模型解释种群数量的变化，分析生产生活中的实际问题。3．情感目标 （1）体验科学研究的方法，养成严谨的科学态度和独立自主的精神。（2）认识研究种群动态的意义，关注人类活动对各种生物种群增长的影响。 二、教学手段 （1）教学多媒体课件。 三、教学重点、难点 比较两种种群增长的数学模型，据此解释种群数量的变化并进行应用。 四、教学步骤 （一）知识回顾 （二）知识应用
1、如图，种群数量的变化的说法中，错误的 是（） A. 曲线X在理想条件下出现 B. 在曲线Y的过程中，在达到K值之前就是“J” 型曲线 C.若自然状态下曲线Y种群数量达到K值时，该种群的增长率为0 D.环境条件变化时，种群的K值也会发生相应变化 总结：考查J型和S型曲线的基本特征。（基础题） 2.假定当年种群数量是一年前种群数量的λ倍，如图表示λ值随时间 的变化曲线示意图，下列相关叙述错误的是（） A、0～a年，种群数量不变，其年龄组成是稳定型 B、a～b年，种群数量下降，其年龄组成是衰退型 C、b～c年，种群数量增加，种群呈“S”型增长 D、c～d年，种群数量增加，其年龄组成是增长型 总结：λ值的考察。 λ>1，种群数量增加； λ=1，种群数量相对稳定； 0<λ<1，种群数量减少； λ=0，该种群在下一年灭绝。 3.如图表示种群增长的曲线，下列相关叙述正确的是（） A. 为保护鱼类资源，捕捞的最佳时机应选择在d 点 B. K值是环境容纳量，一般不随环境的变化而改 变
二分类Logistic 回归模型 在对资料进行统计分析时常遇到反应变量为分类变量的资料，那么，能否用类似于线性回归的模型来对这种资料进行分析呢？答案是肯定的。本章将向大家介绍对二分类因变量进行回归建模的Logistic 回归模型。 第一节 模型简介 一、模型入门 在很多场合下都能碰到反应变量为二分类的资料，如考察公司中总裁级的领导层中是否有女性职员、某一天是否下雨、某病患者结局是否痊愈、调查对象是否为某商品的潜在消费者等。对于分类资料的分析，相信大家并不陌生，当要考察的影响因素较少，且也为分类变量时，分析者常用列联表(contingency Table)的形式对这种资料进行整理，并使用2χ检验来进行分析，汉存在分类的混杂因素时，还可应用Mantel-Haenszel 2χ检验进行统计学检验，这种方法可以很好地控制混杂因素的影响。但是这种经典分析方法也存在局限性，首先，它虽然可以控制若干个因素的作用，但无法描述其作用大小及方向，更不能考察各因素间是否存在交互任用；其次，该方法对样本含量的要求较大，当控制的分层因素较多时，单元格被划分的越来越细，列联表的格子中频数可能很小甚至为0，将导致检验结果的不可靠。最后， 2χ检验无法对连续性自变量的影响进行分析，而这将大大限制其应用范围，无疑是其致使 的缺陷。 那么，能否建立类似于线性回归的模型，对这种数据加以分析？以最简单的二分类因变量为例来加以探讨，为了讨论方便，常定义出现阳性结果时反应变量取值为1，反之则取值为0 。例如当领导层有女性职员、下雨、痊愈时反应变量1y =，而没有女性职员、未下雨、未痊愈时反应变量0y =。记出现阳性结果的频率为反应变量(1)P y =。 首先，回顾一下标准的线性回归模型： 11m m Y x x αββ=+++ 如果对分类变量直接拟合，则实质上拟合的是发生概率，参照前面线性回归方程 ，很自然地会想到是否可以建立下面形式的回归模型： 11m m P x x αββ=+++ 显然，该模型可以描述当各自变量变化时，因变量的发生概率会怎样变化，可以满足分析的基本要求。实际上，统计学家们最早也在朝这一方向努力，并考虑到最小二乘法拟合时遇到的各种问题，对计算方法进行了改进，最终提出了加权最小二乘法来对该模型进行拟合，至今这种分析思路还偶有应用。 既然可以使用加权最小二乘法对模型加以估计，为什么现在又放弃了这种做法呢？原因在于有以下两个问题是这种分析思路所无法解决的： （1）取值区间：上述模型右侧的取值范围，或者说应用上述模型进行预报的范围为整 个实数集(,)-∞+∞，而模型的左边的取值范围为01P ≤≤，二者并不相符。模型本身不能
J型曲线和S型曲线增长率和增长速度的辨析 ___________教学疑难问题简析 增长率和增长速率这两个概念在习题中经常把增长率看作增长速率，这种模糊处理没有科学性。包括很多教辅资料都没有很好区分，这对学生甚至教师来说非常困惑。增长率是个百分率，没有“单位”，而增长速率有“单位”，“个（株）/年”。 例如：“一个种群有1000个个体，一年后增加到1100”，则该种群的增长率为[（1100- 1000）/1000]*100%=10%。而增长速率为 （1100-1000）/1年=100个/年。增长率和增长速率没有大小上的相关性。因此，区分增长率和增长速率这两个概念，正确理解概念的内涵，进行有效的教学具有中的意义。 一、概念 增长率：增长率是指单位时间内种群数量变化率，即种群在单位时间内净增加的个体数占个体总数的比率。增长率＝（现有个体数－原有个体数）／原有个体数＝出生率—死亡率＝（出生数－死亡数）/（单位时间×单位数量）。在“J”型曲线增长的种群中，增长率保持不变；而在“S”型增长曲线中增长率越来越小。 增长速率：增长速率是指单位时间种群增长数量。增长速率＝（现有个体数－原有个体数）／增长时间=（出生数－死亡数）/单位时间]。种群增长速率就是曲线上通过每一点的切线斜率，不论是“J”型曲线还是“S”型曲线上的斜率总是变化着的。在“J”型曲线增长的种群中，增长速率是逐渐增大。在“S”型曲线增长的种群中，“增长速率”是该曲线上“某点”的切线的斜率，斜率越大，增长速率就越大，且斜率最大时在“ 1/2K”。之后增长变慢，增长速率是逐渐减小。在“S”曲线到达K值时，增长速率就为0. 二、分析过程 （一）对Ｊ型曲线的分析 １．模型假设的条件 在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年是第一年的λ倍。 其数学模型为：N t=N﹠t ２．对模型假设的分析
基于logistic 模型的企业生态系统演化分析 赵树宽 郝陶群 李金津(吉林大学,长春 130012) 〔摘 要〕 本文引入生态学的理论及方法,定义了企业生态系统,探讨了企业生态系统的基本结 构,概括出企业生态系统的特点,分析了企业生态系统演化的条件和动因,运用生物种群演化的logistic 模型描述了企业生态系统演化过程,并据此提出企业生态系统演化策略。 〔关键词〕 企业生态系统 logistic 增长模型 演化策略〔中图分类号〕F27015 〔文献标识码〕A 收稿日期:2008—07—15 生态系统一词最早由英国生态学家A 1G 1T ansley 于 1935年在他的“植被概念与术语的使用”一文中提出。 他指出“我们不能把生物与其特定的自然环境分开,生物与环境形成了一个自然系统。正是这种系统构成了地球表面上具有大小和类型的基本单位,这就是生态系统。”生态系统是指在一定时间和空间范围内,由生物群落与其环境组成的一个整体,该整体具有一定的大小和结构 ,各成员借助能量流动、物质循环和信息传递而相互联系、相互影响、相互依存,并形成具有自组织和调节功能的复合体。 企业与生物界的生物个体相似,没有一个企业可以脱离其他经济共同体而单独长期生存。企业在其特定的环境中,与外界进行物质、能量、信息和价值的交换,构成一个相互作用共同发展的整体。这个共同体就是企业生态系统。可以说在企业的发展过程中也要遵循“优胜劣汰、适者生存”等生态学的自然规律。因此,运用生态学的理论及思维方法分析和研究企业中的问题,即企业仿生化研究,具有重要的实践意义。 1 企业生态系统的构成 企业生态系统的构成具有层次性,可以分为企业内部生态和企业外部生态。企业内部生态指的是企业作为一个生物个体其有机体内的共生单元和生命系统,主要包括企业家、企业员工、资产状况、企业文化、技术水平、信息系统等。企业外部生态又可以分为生物成分和非生物成分。生物成分是指由不同物种所形成的生物群落, 包括同质企业、消费者、供应商、市场中介、和投资者。非生物成分则又分为自然生态和社会生态:自然生态是指企业所处地域的自然资源和地缘地貌和气候等因素;而社会生态反映的是社会发展水平,即包括有物质形态的因素也包括非物质形态的因素,主要有经济因素、政治因素、法律因素、文化背景因素、人力资源因素、科技水平因素等。如图1所示。图1 企业生态系统构成 企业个体及同质企业所形成的群体(Σa 1)是生物成分的主要物种之一。此外,消费者(Σb 1)、供应商 (Σc 1)、市场中介(Σd 1)和投资者(Σe 1)等也均可视为 企业生态系统的主要物种。企业生态系统的非生物成分有自然因素(ΣA 1)、经济因素(ΣB 1)、政治因素(ΣC 1)、法律因素(ΣD 1)、文化背景因素(ΣE 1)、人力资源因素 (ΣF 1)与科技水平因素(ΣG 1),由此可以抽象出一个企 业生态系统各相关成分间相互依赖关系的函数式: 企业生态系统=F (生物成分,非生物成分)=F (Σa 1、Σb 1、Σc 1、Σd 1、Σe 1…,ΣA 1、ΣB 1、ΣC 1、ΣD 1、ΣE 1、ΣF 1、ΣG 1… )企业生态系统还包括了政府部门和立法者、分别代表消费者和供应商的协会以及制定标准的机构,他们是一些特殊的成分,既可能是消费者、投资者,又对系统非生物环境起决定性作用,他们隐含在上述关系中。 2 企业生态系统的特点 企业生态系统与自然生态系统相比,既具有相似性,又具有其独特性。总的来说,企业生态系统主要有以下几个特点。 211 企业生态系统是一个动态循环的系统 在企业生态系统中,任何一个个体的生存都有赖于 — 07—
第4章第2节“种群增长的“S”型曲线”教学设计 教材：人教版高中生物必修三《稳态与环境》 1.教学目标 （1）知识目标 ①能画出种群增长的“S”型曲线，并解释曲线反映的种群数量变化。 ②举例说明什么是环境容纳量。 （2）能力目标 ①熟悉数学模型建立的过程 ②运用种群数量变化规律解决生产生活中的实际问题。 （3）情感目标 ①关注人类活动对种群数量变化的影响，提高保护环境意识。 2.教学重点和难点 （1）重点：根据“S”型曲线解释种群数量的变化 （2）难点：“S”型曲线与“J”型曲线的区别 3.教学策略 引导式教学、探究式教学 4. 教学用具 PPT、板书 5. 课时安排 10min 6.教学过程
及时间 导入（1）回顾“J”型曲线：通过上一 节课的学习，我们构建了一个种群 增长的数学模型，我们称为“J” 型曲线。 “J”型曲线的形成需要什么条件 （2）提出问题：在自然界中，“J” 型曲线能一直持续下去吗（1）回忆上一节课内 容，熟悉“J”型曲线 的图形。 回答：食物充足，空 间不限，气候适宜， 没有敌害等。 （2）普遍认为“J” 型曲线不能持续下 去 回忆上一节内容， 为制造认知冲突 做好铺垫。 做出合理假设（）（1）请同学分析为何“J”型曲线 不能持续下去，并加以引导：当种 群数量增加，而它们的食物和空间 有限时，它们的种内竞争会怎样另 外，它们的天敌的数量会怎样则这 个时候种群的出生率会怎样死亡 率呢 （2）教师结合ppt总结： （1）学生回答种群会 受到环境限制，但仍不 能从种内竞争及出生 率死亡率等方面分析。 通过教师的引导能够 清楚回答。 （2）学生认同分析。 培养学生的分析 能力，以及逻辑思 维。并且使学生对 “J”型曲线不能 增长的原因有了 初步的理解，为后 面“s”型曲线的 分析打好基础。 实例证明 教师指出理论需要实例来证 明，并展示介绍高斯的实验：高斯 在0．5mL培养液中放入5只草履虫 学生认真观察图片，发 现图片中并没有像“J” 提醒学生实践是 理论的基础，通过 呈现实验结果，引
J型曲线和S型曲线的增长率和增长速率 1.概念 增长速率是指种群在单位时间内净增加的个体数。 增长率是指种群在单位时间内净增加的个体数占个体总数的比率。 2 .定义式 增长速率=（现有个体数-原有个体数）/增长时间 增长率=（现有个体数-原有个体数）/原有个体数。 =出生率-死亡率 一对J型曲线的分析 1.模型假设 在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年是第一年的入倍。 2.对模型假设的分析 从模型假设不难得出入二现有个体数/原有个体数。结合增长率的概念和定义式不难看出，此时增长率等于（入-1 ），入不变，增长率（入-1 ）也就不变。再看增长速率，由于一段时间内种群内个体基数不断增大，故这段时间内净增加的个体数（Nt入一Nt）不断增多，除以时间以后即为增长速率，可以看出增长速率是不断增大的。横轴表示时间，纵轴表示种群数量，在坐标系中画 出曲线，那么曲线的斜率就应该是种群增长速率而不是增长率 3 .结论 J型曲线增长率保持不变（如图A）;增 长速率一直增大。曲线的斜率表示增长速率
（如图B）。 二对S型曲线的分析 1.模型假设 自然界的资源和空间总是有限的，当种群密度增大时，种内斗争就会加剧，以该种群为食的动物的数量也会增加，这就会使种群的出生率降低，死亡率增高。当死亡率增加到与出生率相等时，种群的增长就会停止，有时会稳定在一定的水平。 2.对模型假设的分析 在有限的资源和空间中，随着种群数量的增加，种群增长的阻力也会随之增大，由此导致种群的出生率降低、死亡率增加，二者之间的差值即增长率是不断减小；当种群的出生率和死亡率相等时，增长率为零，此时种群数量达到最大值停止增加。 在S型曲线的前半部分，由于增长率下降的幅度小于死亡率增加的幅度，所以种群的增长速率不断增大；在种群数量为K/2时，增长率的下降幅度等于死亡率的增加幅度，增长速率达到最大值；而到了后半部分，增长率的下降幅度超过了死亡率的增加幅度，所以种群的增长速率下降；至种群数量为K时，增长率等于死亡率，增长速率和增长率均为零，种群数量达到最大，停止增长。 从另一个角度来看，坐标系中横轴仍表示时间，纵轴仍表示种群数量，那么曲线的斜率的含义就应该是不变的，即为种群增长速率。 3.结论 S型曲线的增长率与种群数量成反比，不断减小（如图C）;增长速率先增大后减小（如图D）。
种群数量增长的两种曲线模型总结 ——J型增长曲线模型和S型增长曲线模型1．两种曲线模型比较 2.K值与K2在实践中的应用 例1：右图中种群在理想环境中呈“J”型曲线增长(如图中甲)；在有环境阻力的条件下呈“S”型曲线增长(如图中乙)。下列有关种群增长曲线的叙述，正确的是
() A、环境阻力对种群增长的影响出现在d点之后 B、若此图表示蝗虫种群增长曲线，防治害虫应从c点开始 C、一个物种引入新的地区后，开始一定呈“J”型增长 D、若此图表示草履虫增长曲线，当种群数量达到e点后，增长率为0 解析：环境阻力出现在“J”型曲线与“S”型曲线的分叉点（c点）。c点种群的增长速度最快，所以不能在该点对害虫进行防治；b点蝗虫的数量开始增加，但增长速率还很低，应该从该点开始对害虫进行防治。一个物种引入新的地区后，有可能不适应当地的环境，所以不一定呈“J”型增长。 【答案】D 例2：某研究所调查发现：某种鱼迁入一生态系统后，其种群数量增长率随时间变化的曲线如图所示，请分析回答： t o t1t2 时间 （1）在t0-t2时间内，种群数量增长曲线呈；若在t 2时种群的数量为N，则t1在时种群的数量为，t1时该种群年龄组成可能是。（2）捕获该鱼的最佳时期为时，原因是。（3）该鱼在t2时期后，种群数量，主要原因是 答案（1）S型曲线N／2 增长型（2）T1 在T1时种群增长率最大，捕获该鱼获得的量最大且不影响该鱼类资源的再生（3）不增加种内斗争加剧捕食者数量增加 解析:分析图中曲线可知：T0～T2时间内种群数量增长率由小变大，达到最大值后又逐渐变小，因而该种群数量增长呈S型曲线。在T2时种群数量增长率为0，此时，种群的数量为N，即为最大值，而在T1.时种群数量增长率最大，则这时种群的数量为N／2，种群年龄组成为增长型。当种群数量增长率最大时捕获该鱼获得的量最大且不影响该鱼类资源的再生，因而此时（T1）为捕获的最佳时期。
种群增长的S型曲线 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第4章第2节 “种群增长的“S”型曲线”教学设计 教材：人教版高中生物必修三《稳态与环境》 1.教学目标 （1）知识目标 ①能画出种群增长的“S”型曲线，并解释曲线反映的种群数量变化。 ②举例说明什么是环境容纳量。 （2）能力目标 ①熟悉数学模型建立的过程 ②运用种群数量变化规律解决生产生活中的实际问题。 （3）情感目标 ①关注人类活动对种群数量变化的影响，提高保护环境意识。 2.教学重点和难点 （1）重点：根据“S”型曲线解释种群数量的变化 （2）难点：“S”型曲线与“J”型曲线的区别 3.教学策略 引导式教学、探究式教学 4. 教学用具 PPT、板书 5. 课时安排 10min 6.教学过程
及时间 导入（1）回顾“J”型曲线：通过上一节 课的学习，我们构建了一个种群 增长的数学模型，我们称为“J”型 曲线。 “J”型曲线的形成需要什么条件 （2）提出问题：在自然界中，“J” 型曲线能一直持续下去吗（1）回忆上一节课内 容，熟悉“J”型曲线的 图形。 回答：食物充足，空 间不限，气候适 宜，没有敌害等。 （2）普遍认为“J”型 曲线不能持续下去 回忆上一节内 容，为制造认知 冲突做好铺垫。 做出合理假设（）（1）请同学分析为何“J”型曲线不 能持续下去，并加以引导：当种 群数量增加，而它们的食物和空 间有限时，它们的种内竞争会怎 样另外，它们的天敌的数量会怎 样则这个时候种群的出生率会怎 样死亡率呢 （2）教师结合ppt总结： （1）学生回答种群会 受到环境限制，但仍 不能从种内竞争及出 生率死亡率等方面分 析。通过教师的引导 能够清楚回答。 （2）学生认同分析。 培养学生的分析 能力，以及逻辑 思维。并且使学 生对“J”型曲线不 能增长的原因有 了初步的理解， 为后面“s”型曲线 的分析打好基 础。 实例证明（1min） 教师指出理论需要实例来证 明，并展示介绍高斯的实验：高 斯在0．5mL培养液中放入5只草 履虫开始进行培养、计数，经过 反复实验，最终得到这样一幅图 像。 学生认真观察图片， 发现图片中并没有像 “J”型曲线那样增长。 提醒学生实践是 理论的基础，通 过呈现实验结 果，引导学生观 察分析。 “S”型曲 线（1）提出问题：你从这幅图中得 到了什么信息并请学生回答。 （2）进一步提问：你认为问什么 会出现这样的结果呢并且引导学 （1）学生分析，2、3 天长得比较快，第5 天后基本不长。 培养学生的分析 能力以及观察能 力。通过分析， 构建“S”型曲线的
第4章第2节 “种群增长的“S”型曲线”教学设计 教材：人教版高中生物必修三《稳态与环境》 1.教学目标 （1）知识目标 ①能画出种群增长的“S”型曲线，并解释曲线反映的种群数量变化。 ②举例说明什么是环境容纳量。 （2）能力目标 ①熟悉数学模型建立的过程 ②运用种群数量变化规律解决生产生活中的实际问题。 （3）情感目标 ①关注人类活动对种群数量变化的影响，提高保护环境意识。 2.教学重点和难点 （1）重点：根据“S”型曲线解释种群数量的变化 （2）难点：“S”型曲线与“J”型曲线的区别 3.教学策略 引导式教学、探究式教学 4. 教学用具 PPT、板书 5. 课时安排 10min 6.教学过程 教学内容教师行为学生活动教学意图
及时间 导入(0.5min)（1）回顾“J”型曲线：通过上一 节课的学习，我们构建了一个种群 增长的数学模型，我们称为“J” 型曲线。 “J”型曲线的形成需要什么条 件？ （2）提出问题：在自然界中，“J” 型曲线能一直持续下去吗？ （1）回忆上一节课内 容，熟悉“J”型曲线 的图形。 回答：食物充足，空间 不限，气候适宜，没有 敌害等。 （2）普遍认为“J”型 曲线不能持续下去 回忆上一节内容， 为制造认知冲突 做好铺垫。 做出合理 假设（1.5min）（1）请同学分析为何“J”型曲线 不能持续下去，并加以引导：当种 群数量增加，而它们的食物和空间 有限时，它们的种内竞争会怎样？ 另外，它们的天敌的数量会怎样？ 则这个时候种群的出生率会怎 样？死亡率呢？ （2）教师结合ppt总结： （1）学生回答种群会 受到环境限制，但仍不 能从种内竞争及出生 率死亡率等方面分析。 通过教师的引导能够 清楚回答。 （2）学生认同分析。 培养学生的分析 能力，以及逻辑思 维。并且使学生对 “J”型曲线不能 增长的原因有了 初步的理解，为后 面“s”型曲线的 分析打好基础。 实例证明（1min） 教师指出理论需要实例来证 明，并展示介绍高斯的实验：高斯 在0．5mL培养液中放入5只草履虫 开始进行培养、计数，经过反复实 验，最终得到这样一幅图像。 学生认真观察图片，发 现图片中并没有像“J” 型曲线那样增长。 提醒学生实践是 理论的基础，通过 呈现实验结果，引 导学生观察分析。
基于SPSS logistic回归分析探究不同月均收入的男女比例 一一一 华北科技学院基础部北京东燕郊 065201 摘要：在计划经济时代,由于中国政府推行男女性别平等的就业制度和工资分配制度,因而城市劳动力性别工资差异并不明显。经济改革以来,伴随着由计划经济向市场经济的转型,工资分配机制发生了根本改变,性别工资差异越来越明显。性别分割是我国劳动力市场上一直存在的一种现象,性别收入差距总体趋势在扩大;个体特征差异能够在一定程度上解释性别收入差异,现阶段性别收入差异在很大程度上是由于劳动者本身的人力资本水平引起的,是正常合理的范围;歧视仍然是造成性别收入差距的一个原因,女性在获得教育的机会上还是比男性要低,而且女性很难进入到高收入行业和职业,使得在教育方面女性仍然处于不利地位。本文将运用SPSS二元回归分析探究不同月均收入对应的男女比例并得出结论，旨在对分析结果提出一些有建设性的建议。 关键词：logistic回归分析；SPSS软件；人均收入；性别比例 Based on SPSS logistic regression analysis to explore the sex ratio of different monthly income NIU Xiaoyu （North China institute of science and technology，Beijing，065201，China） Abstract: In the era of planned economy, as a result of the Chinese government to implement gender equality employment system and salary distribution system, and urban labor gender wage gap is not obvious. Since the economic reform, with the transition from planned economy to market economy, fundamental changes have taken place in wage distribution mechanism, the gender wage gap is more and more obvious. Gender segmentation is China's labor market has been a phenomenon of gender overall trend in the expanding income gap; Individual characteristics can partly explain the gender income differences, gender differences at present stage is largely caused by the human capital level of laborer itself, is a normal reasonable range; Discrimination is still a cause of the gender pay gap, women in the opportunity to gain education or lower than men,
种群数量增长的几种数学曲线模型例析 种群生态学研究的核心是种群的动态问题。种群增长是种群动态的主要表现形式之一，它是在不同环境条件下，种群数量随着时间的变化而增长的 状态。数学曲线模型能直观反映种群数量增长的规律，它能达到直接观察和实验所得不到的效果。为了更好理解种群数量增长规律，下面结合实例介绍种群数量增长的几种数学曲线模型。 1．种群数量增长曲线模型 种群在“无限”的环境中，即环境中空间、食物等资源是无限的，且气候适宜、没有天敌等理想条件下，种群的增长率不随种群本身的密 度而变化，种群数量增长通常呈指数增长。也就是说，种群数量每年以 一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍，t年后种群数量为N t ＝N0λt，如果绘成坐标图指数式增长很像英文字母“J”，称之为“J” 型增长曲线。然而自然种群不可能长期地呈指数增长。当种群在一个有 限的环境中，随着密度的上升，个体间对有限的空间、食物和其他生活 条件的种内斗争也将加剧，加之天敌的捕食，疾病和不良气候条件等因 素必然要影响到种群的出生率和死亡率，从而降低了种群的实际增长率，一直到停止增长。种群在有限环境条件下连续增长称之为逻辑斯谛增长，这种增长曲线很像英文字母“S”，称之为“S”型增长曲线。两种类型种群增长模型如右图所示。 例1．右图为某种群在不同环境的增长曲线，据图判断下列说法不正确的是 ( D ) A．A曲线呈“J”型，B曲线呈“S”型 B．改善空间和资源有望使K值提高 C．阴影部分表示有环境阻力存在 D．种群数量达到K值时，种群增长最快 解析：由图可知，A曲线呈“J”型增长，B曲线呈“S”型增长。在种群生态学中，环境容纳量（K值）是指在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量。环境容纳量是一个动态的变量，只要生物或环境因素发生变化，环境容纳量也就会发生相应的变化。因此，改善空间和资源有望使K值提高。图像中阴影部分表示环境阻力所减少的生物个体数，代表环境阻力的大小。种群数量在k/2时增长速率最大。 2．种群λ值变化曲线模型 在种群指数式增长过程中，λ值表示相邻两年（生物的两代）种群数量的倍数。从理论上讲，λ有以下四种情况：λ＞1 种群上升；λ=1 种群稳定；0＜λ＜1 种群下降；λ=0 种群无繁殖现象，且在一代中灭亡。
种群数量增长的几种数学曲线模型例析 吉林省梨树县第一高级中学姜万录 种群生态学 研究的核心是种 群的动态问题。种 群增长是种群动 态的主要表现形 式之一，它是在不 同环境条件下，种 群数量随着时间 的变化而增长的 状态。数学曲线模型能直观反映种群数量增长的规律，它能达到直接观察和实验所得不到的效果。为了更好理解种群数量增长规律，下面结合实例介绍种群数量增长的几种数学曲线模型。 1．种群数量增长曲线模型 种群在“无限”的环境中，即环境中空间、食物等资源是无限的，且气候适宜、没有天敌等理想条件下，种群的增长率不随种群本身的密度而变化，种群数量增长通常呈指数增长。也就是说，种群数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍，t年后种群数量为N t＝N0λt，如果绘成坐标图指数式增长很像英文字母“J”，称之为“J”型增长曲线。然而自然种群不可能长期地呈指数增长。当种群在一个有限的环境中，随着密度的上升，个体间对有限的空间、食物和其他生活条件的种内斗争也将加剧，加之天敌的捕食，疾病和不良气候条件等因素必然要影响到种群的出生率和死亡率，从而降低了种群的实际增长率，一直到停止增长。种群在有限环境条件下连续增长称之为逻辑斯谛增长，这种增长曲线很像英文字母“S”，称之为“S”型增长曲线。两种类型种群增长模型如右图所示。 例1．右图为某种群在不同环境的增长曲线，据图判断下列说法不正确的是 ( D ) A．A曲线呈“J”型，B曲线呈“S”型 B．改善空间和资源有望使K值提高 C．阴影部分表示有环境阻力存在
D．种群数量达到K值时，种群增长最快 解析：由图可知，A曲线呈“J”型增长，B曲 线呈“S”型增长。在种群生态学中，环境容纳 量（K值）是指在环境条件不受破坏的情况下， 一定空间中所能维持的种群最大数量。环境容 纳量是一个动态的变量，只要生物或环境因素 发生变化，环境容纳量也就会发生相应的变化。 因此，改善空间和资源有望使K值提高。图像中阴 影部分表示环境阻力所减少的生物个体数，代表环境阻力的大小。种群数量在k/2时增长速率最大。 2．种群λ值变化曲线模型 在种群指数式增长过程中，λ值表示相邻两年（生物的两代）种群数量的倍数。从理论上讲，λ有以下四种情况：λ＞1 种群上升；λ=1 种群稳定；0＜λ＜1 种群下降；λ=0 种群无繁殖现象，且在一代中灭亡。 例2．某岛屿引入外来物种野兔，研究人员调查了30年间野兔种群数量的变化，并据此绘制了值变化曲线（右图）。以下叙述正确的是（D） A．第1年至第5年间野兔种群数量保持相对稳定 B．第5年起野兔种群数量开始下降 C．第15年至第20年间野兔种群数量呈“J”型增长 D．第20年至第30年间野兔种群数量增长率为0 解析：由图示可知，λ值为当年种群数量与上一年种群数量的比值，种群增长率=λ—1，第1年至第5年间，λ大于1野兔种群数量逐年递增，从第5年起，λ值减少但大于0，增长率下降，野兔种群数量增加幅度减少，但不会下降。第15年至第20年间野兔种群数量随种群增长率先增加后减小，呈现“S”型增长。第20年至第30年间，λ值为1野兔种群数量增长率为0。 3．种群增长率和增长速率变化模型 种群增长率是指单位时间种群增长数量，种群增长率＝出生率—死亡率＝（出生数－死亡数）/（单位时间×单位数量）。种群在“J”型曲线中，增长率保持不变（如图A）；而种群在“S”型曲线中，每年的增长率由最初的最大值，在环境阻力（空间压力、食物不足等）的作用下，导致出生率下降、死亡率上升，增长率越来越小，种群数量到达最大值（K值）时，其增长率为0（如图C）；
如图为两种生物种群的生长曲线，以下说法错误的是（） A、按甲曲线增长的种群无K值，无种内斗争，增长率始终不变 B、按乙曲线增长的种群，到a点后种内斗争最为激烈，且增长率为零 C、按乙曲线类型增长的不同种群，在同一环境下，b点时的增长速率不同，但均为最大值 D、甲曲线的数学模型为N t=N0λt，其中λ代表增长率 考点：种群数量的变化曲线 专题： 分析：分析曲线图：甲曲线呈J型增长，按甲曲线增长的种群处于理想环境中，无种内斗争，增长率保持不变；乙曲线呈S型增长，按乙曲线增长的种群生存的环境存在环境阻力，b点时，种群数量增长速率最快，a点时种群数量增长停止，种群数量达到最大值，即K值． 解答：解：A、甲曲线呈J型增长，无K值，按该曲线增长的种群处于理想环境中，无种内斗争，增长率保持不变，A正确； B、乙曲线呈S型增长，按乙曲线增长的种群，到a点后种群数量增长率为0，种群数量达到最大值，此时种内斗争最为激烈，B正确； C、b点时种群数量增长率最大，在同一环境中，不同种群的生存能力不同，因此在b点时的增长速率也不同，C正确； D、甲曲线呈J型增长，其数学模型为N t=N0λt，其中λ代表该种群数量是一年前种群数量的倍数，D错误． 故选：D． 点评：本题结合曲线图，考查种群数量的变化曲线，要求考生掌握种群增长的“J”型曲线和“S”型曲线，识记这两种曲线形成的条件，理解J型增长的数学模型中的各字母的含义；掌握S型增长曲线的增长率变化情况，准确判断图中a、b两点的含义，能运用所学的知识准确判断各选项，属于考纲识记和理解层次的考查增长率与增长速率的区别 增长率：单位数量的个体在单位时间内新增加的个体数，也就是单位时间内新增加的个体数量与原来的个体数量的比值。其计算公式为：这一次总数-上一次总数/上一次总数×100%＝增长率。例若某种群现种群数量为a，一年后种群数量为b，则这一年该种群的增长率为(b－a)／a。 而增长速率则是单位时间内增加的个体数量。计算公式为这一次总数－上一次总数/单位时间。如上例中的增长速率为(b－a)／1年。
J 型曲线和S 型曲线特点比较 1 。1 “J ”型曲线的特点 “J ”型曲线( 如图1 ) 是指在食物( 养料) 和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等理想条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的入倍。它反映了种群增长的潜力。 1 。 2 “S ”型曲线的特点 “s ”型曲线( 如图2 ) 是指种群在一个有限的环境中增长，由于资源和空间等的限制，当种群密度增大时，种内斗争加剧，以该种群为食的动物的数量也会增加，这就会使种群的出生率降低，死亡率增高。当死亡率增加到与出生率相等时，种群的增长就会停止，种群数量达到环境条件所允许的最大值( K值) ，有时会在最大容纳量上下保持相对稳定。 2 “J ”型曲线和“S ”型曲线疑析 2 ．1、增长率与增长速率=现有个体数／原有个体数。增长率是指单位时间种群增长数量，增长率= 出生率一死亡率=( 出生数一死亡数)／( 单位时间x 单位数量) 。因此，不能将入等同于增长率。增长速率则是指单位时间内种群数量变化率。增长速率=( 出生数一死亡数) ／单位时间。种群增长速率就是曲线上通过每一点的切线斜率，不论是“J ”型曲线还是“S ”型曲线上的斜率总是变化着的。在“J ”型曲线增长的种群( 如图3中的a 种群) 中，增长率等于(入一1 ) ，不变，增长率(入一1 ) 也就不变( 如图4 ) 。再看增长速率，由于一段时间内种群内个体基数不断增大，故这段时间内净增加的个体数不断增多，除以时间以后即为增长速率，可以看出增长速率是不断增大的( 如图 5 ) 。
在“S ”型曲线增长的种群( 如图3中的b种群)中，在环境阻力( 空间压力、食物不足等) 的作用下，导致出生率下降、死亡率上升，两者之间的差值不断减小,即增长率也是不断减小；当种群的出生率和死亡率相等时，增长率为零( 如图 6 ) ，此时种群数量到达K值。而增长速率会有先升后降的变化过程，呈现钟罩形变化曲线( 如图7 )。在“s ”型曲线的前半部分，由于增长率下降的幅度小于死亡率增加的幅度，所以种群的增长速率不断增大；在种群数量为1／2 K，( 即图3中P点) 时，增长率的下降幅度等于死亡率的增加幅度，增长速率达到最大值( 此时的种群大小能够提供最大持续产量，可用于指导生产实践) ；而到了后半部分，增长率的下降幅度超过了死亡率的增加幅度，所以种群的增长速率下降；至种群数量为K时，增长率等于死亡率，增长速率和增长率均为零。 2 ．2 “J ”型曲线和“S ”型曲线间阴影区域的含义 J 型曲线是在环境中空间、食物等资源是无限的理想状态下的种群增长曲线；而“S ”型曲线是环境中空间、食物等资源是有限的状态下的种群实际增长曲线。因此图3阴影部分就表示了环境中影响种群增长的环境阻力,其数量表示通过生存斗争被淘汰的个体数。 2 ． 3 “J ”型曲线和“S ”型曲线数学模型与自然种群数量变化的差异“J ”型增长的数学模型建立在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害的理想状态下，实际是环境条件对种群增长无阻滞作用，种群增长率不变。而“S ”型增长的数学模型建立在有限条件下，假设有一个环境容纳量K值，假设环境条件对种群增长有阻滞作用，随着种群密度的增加而按比例增加。种群中每增加一个个体，就对增长率降低产生1／K的作用。或者说，每个个体利用了1／K的空间，若种群中有N个个体，就利用了N／K的空间，而可供种群继续增长的空间就只有( 1一N／K)，种群增长率从一开始就越来越小。所以，从数学模型建立的条件看，“s ”型曲线的初始阶段不能视为“J ”型增长。但自