基础知识整合
１．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（１）证明当n取错误!第一个值n0时命题成立，这一步是为归纳奠基．
（２）假设n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当错误!n＝k＋１时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对一切n∈N*，n≥n0，命题成立．
２．数学归纳法的框图表示
数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，当n＝k＋１时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．
１．用数学归纳法证明“１＋a＋a２＋…＋an＋１＝错误!（a≠１，n∈N*）”，在验证n＝１时，左端计算所得的结果是（）
Ａ．１Ｂ．１＋a
Ｃ．１＋a＋a２Ｄ．１＋a＋a２＋a３
答案C
解析当n＝１时，左边＝１＋a＋a２．故选Ｃ．
２．已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k（k≥２且为偶数）时命题为真，则还需证明（）
Ａ．n＝k＋１时命题成立
Ｂ．n＝k＋２时命题成立
Ｃ．n＝２k＋２时命题成立
Ｄ．n＝２（k＋２）时命题成立
答案B
解析因n是正偶数，故只需证命题对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k＋２，故选Ｂ．３．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n（n—３）条时，第一步检验n等于（）Ａ．１Ｂ．２C．３Ｄ．0
答案C
解析凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取３．
４．数列{an}中，已知a１＝１，当n≥２时，an—an—１＝２n—１，依次计算a２，a３，a４后，猜想an的表达式是（）
Ａ．３n—２Ｂ．n２C．３n—１Ｄ．４n—３
答案B
解析计算出a１＝１，a２＝４，a３＝9，a４＝１6．可猜想an＝n２．
５．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝２k—１（k∈N*）命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
答案２k＋１
解析n为正奇数，假设n＝２k—１成立后，需证明的应为n＝２k＋１时成立．
6．用数学归纳法证明：（n＋１）＋（n＋２）＋…＋（n＋n）＝错误!（n∈N*）的第二步中，当n＝k＋１时等式左边与n＝k时的等式左边的差等于________．
答案３k＋２
解析n＝k＋１比n＝k时左边变化的项为（２k＋１）＋（２k＋２）—（k＋１）＝３k＋２．
核心考向突破
考向一数学归纳法证明恒等式
例１用数学归纳法证明：
错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!（n∈N*）．
证明（１）当n＝１时，左边＝错误!＝错误!，
右边＝错误!＝错误!，左边＝右边，
所以等式成立．
（２）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即有
错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，
则当n＝k＋１时，
错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!
＝错误!＋错误!＝错误!
＝错误!＝错误!＝错误!，
所以当n＝k＋１时，等式也成立．
由（１）（２）可知，对一切n∈N*等式都成立．
触类旁通
利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题
（１）在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋１时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋１时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋１时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略．
错误!
即时训练１．求证：１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N*）．证明（１）当n＝１时，左边＝１—错误!＝错误!，右边＝错误!＝错误!.左边＝右边．
（２）假设n＝k时等式成立，即１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!，则当n＝k＋１时，
１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＋错误!
＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!
＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!.
即当n＝k＋１时，等式也成立．
综合（１）（２）可知对一切n∈N*，等式成立．
考向二数学归纳法证明不等式
例２求证：错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!（n≥２，n∈N*）．
证明（１）当n＝２时，左边＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!>错误!，不等式成立．
（２）假设n＝k（k≥２，k∈N*）时命题成立，即
错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!.
当n＝k＋１时，
错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!
＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!
>错误!＋错误!
>错误!＋错误!＝错误!.
∴当n＝k＋１时不等式也成立．
∴原不等式对一切n≥２，n∈N*均成立．
触类旁通
用数学归纳法证明不等式的两种形式
用数学归纳法证明与n（n∈N*）有关的不等式，一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，第二种形式往往要先对n取前几个值分别验证比较，然后猜出从某个n值开始都成立的结论．
即时训练２．用数学归纳法证明：
错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!（n∈N*）．
证明（１）当n＝１时，显然不等式成立．
当n＝２时，左边＝错误!＋错误!＝错误!，
右边＝错误!.
由错误!＋１<２错误!，得错误!<错误!，
即n＝２时，不等式也成立．
（２）假设n＝k（k≥２）时，不等式成立，即
错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!.
当n＝k＋１时，两边同加错误!，得
错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!＋错误!，
只需证错误!＋错误!<错误!即可．
而错误!—错误!>错误!
?错误!>错误!
?错误!>错误!＋错误!
?错误!（错误!—１）>错误!，
∴对k≥２成立，即当n＝k＋１时，不等式成立．
由（１）（２）知，不等式对n∈N*都成立．
考向三归纳—猜想—证明
例３（２0１9·杭州模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝２nan＋１—３n２—４n，n∈N*，且S３＝１５．
（１）求a１，a２，a３的值；
（２）求数列{an}的通项公式．
解（１）依题意有错误!
解得a１＝３，a２＝５，a３＝7．
（２）猜测an＝２n＋１．
由Sn＝２nan＋１—３n２—４n，得
Sn—１＝２（n—１）an—３（n—１）２—４（n—１）（n≥２），
两式相减，整理得an＝２nan＋１—２（n—１）an—6n—１，an＋１＝错误!an＋错误!，建立an与an＋１的递推关系（n∈N*）；
因为当n＝１时，a１＝３，假设n＝k时成立，即ak＝２k＋１成立，那么n＝k＋１时，ak＋１＝错误!ak ＋错误!＝错误!·（２k＋１）＋错误!＝２k＋３＝２（k＋１）＋１，
综上对于n∈N*，有an＝２n＋１，
所以数列{an}的通项公式为an＝２n＋１．
触类旁通
“归纳—猜想—证明”的一般步骤
（１）计算（根据条件，计算若干项）．
错误!
３证明用数学归纳法证明.
这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳猜想出结论.
即时训练３．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝错误!＋错误!—１且an>0，n∈N*.
求a１，a２，a３，猜想{an}的通项公式并证明．
解当n＝１时，
由已知得a１＝错误!＋错误!—１，a错误!＋２a１—２＝0．
∴a１＝错误!—１（a１>0）．
当n＝２时，由已知得a１＋a２＝错误!＋错误!—１，
将a１＝错误!—１代入并整理得a错误!＋２错误!a２—２＝0．
∴a２＝错误!—错误!（a２>0）．同理可得a３＝错误!—错误!.
猜想an＝错误!—错误!（n∈N*）．
（１）当n＝１,２,３时，通项公式成立．
（２）假设当n＝k（k≥３，k∈N*）时，通项公式成立，
即ak＝错误!—错误!.
由ak＋１＝Sk＋１—Sk＝错误!＋错误!—错误!—错误!，
将ak＝错误!—错误!代入上式并整理，得
a错误!＋２错误!ak＋１—２＝0．
解得ak＋１＝错误!—错误!（an>0）．
即当n＝k＋１时，通项公式也成立．
由（１）和（２），可知对所有n∈N*，an＝错误!—错误!都成立．
1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明． 定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1． 设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确．
1# 数学归纳法 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在 第二步时，正确的证法是 ( ) A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1
第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2.
∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C
高一数学必修三算法初步知识点 【一】 (1)算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指能够 用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是 明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. (2)算法的特点： ①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后 停止，不能是无限的. ②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得 到确定的结果，而不理应是模棱两可. ③顺序性与准确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只 有执行完前一步才能实行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成 问题. ④不性：求解某一个问题的解法不一定是的，对于一个问题能够 有不同的算法. ⑤普遍性：很多具体的问题，都能够设计合理的算法去解决，如 心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决。 【二】 (1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序实行的，它是由若干个依次执行的处 理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地 连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所
指定的操作。 (2)条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条 件是否成立而选择不同流向的 算法结构。 条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立， 只能执行A框或B框之一，不可能同时执行 A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构能够 有多个判断框。 (3)循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一 定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行 的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结 构又称重复结构，循环结构可细分为两类： ①一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条 件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不 成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。 ②另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循 环结构。 注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构 来判断。所以，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。 2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记 录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同 步执行的，累加一次，计数一次。 【三】
《数学归纳法》说课稿 各位专家、评委：大家好！ 我是陇西一中的数学教师王耀文，很高兴能有机会参加这次说课活动. 我要讲的课题是《数学归纳法》（第一课时），用的教材是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学第三册（选修Ⅱ），本课是高中数学第三册第二章第一节. 下面我就从教材分析、教学目标的确定、教学方法的选择、学法的指导、教学过程的设计和板书设计六个方面进行说明. 1教材分析 1.1教材的地位和作用 数学中许多与正整数有关的命题，用不完全归纳法证明是不可靠的，用完全归纳法证明又是不可能的，为解决这一“有限”与“无限”的矛盾，数学归纳法应运而生.所以数学归纳法是一种十分严谨而又重要的方法，也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学命题，也可以通过“有限”来解决某些“无限”问题. 1.2重点、难点 重点是如何在较短的时间内，使学生理解“归纳法”和“数学归纳法”的实质，接受数学归纳法的证题思路. 难点有两个，一是学生初步对数学归纳法原理的理解；二是数学归纳法的两个步骤及其作用. 2教材目标的确定
2.1知识目标使学生了解数学归纳法的发现过程，理解数学归纳法原理；理解数学归纳法的操作步骤；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题并能正确书写证明步骤. 2.2能力目标培养学生观察、猜想、归纳、发现问题的能力；培养学生数学思维能力、推理论证能力以及分析问题和解决问题的能力. 2.3情感目标使学生在发现数学归纳法的过程中，体验数学研究的过程和发现的乐趣，激发学生学习数学的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验. 3教学方法的选择 本节课我主要采用“…发现?的过程教学”和“启发探究式”的教学方法，根据教材特点和学生实际在教学中体现两点： ⑴由学生的特点确定启发探究和感性体验的学习方法. 由于本节课安排在高三阶段，且为数学基础较好的理科学生的选修内容，考虑到学生的接受能力比较强这一重要因素，在教学中我通过创设情境，启发引导学生在观察、分析、归纳的基础上，自主探索，发现数学结论和规律，掌握数学方法，突出学生的主体地位. ⑵由教材特点确定以引导发现为教学主线. 根据本节课的特点，教学重点应该是方法的应用．但是我认为虽然数学归纳法的操作步骤简单、明确，教师却不能把教学过程简单的当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必将半信半疑，兴趣不大．为此，我在教学中通过实例给学生创造条件，让学生直观感受到数学归纳法的实质，再在教师的引导下发现理解数学归纳法，揭示数学归纳法的实质. 对于数学归纳法的应用，只要求学生在理解原理的基础上掌握应用原理证题的步骤，学会证明一些简单的问题. 4学法的指导
9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. ●点击双基 1.（2005年春季，3）下列命题中，正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案：C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾. 答案：C 3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b
B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 解析：A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； B 错，若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； D 正确. 答案：D 4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题： .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β，求证：MN ∥平面α. 剖析：因为AB 与CD 是异面直线，故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直
解析数学归纳法思想 嘉兴教育学院吴明华 从数学和思想的含义去理解，所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．数学思想是人们对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识（文①第1页）．数学思想广泛存在于数学的概念、方法和过程之中，具有奠基性、总结性和广泛性的特征．与数学方法相比，数学思想具有更高的概括抽象水平，因而更本质、更深刻．可以这么说，数学思想是数学方法的精神实质与理论基础，而数学方法则是实施有关数学思想的技术与操作程式． 数学归纳法是一种特殊的证明方法，它的基本形式是：对于一个与自然数（此处约定最小的自然数为1，即正整数）有关的命题，如果①当时命题成立；②假设当时命题成立，则当时命题也成立，那么命题对一切自然数n都成立． 在“中学数学核心概念、思想方法体系及其教学设计”课题第8次活动中，围绕两位教师的课堂展示，课题组对数学归纳法及其教学进行了广泛和深入的讨论，涉及到一些本质性的问题但尚未达成统一的认识．本文阐述笔者对数学归纳法所蕴涵的数学思想的一些认识，试图从本质上去理解数学归纳法． 1．数学归纳法中的归纳思想 对于一个与自然数有关的命题，数学归纳法将命题理解为一系列命题： ，，，…，即N}．然后由命题，，，…都成立去下结论“命题成立”，这就是笔者重点所指的数学归纳法中的归纳思想．所谓归纳，是指从特殊到一般，从局部到整体的推理．命题是一般的、整体的，而命题，，，…中的每一个都是特殊的、局部的，即使从所有命题，，
，…都成立去概括得出命题成立，其思想也是归纳的思想（完全归纳）．让我们想想，对于一个与自然数有关的命题，我们是否有过不用归纳法去处理的经历？譬如说，求证，我们曾经这样做过： 设，则， 所以，故． 我们的证明只是“就一般的自然数n而言”，也就是说，我们并没有逐个地去考察 ，，…命题是否成立，而只是把n当作“某个”（当然是任意一个）自然数直接去考察命题是否成立，这在数学上叫做“不失一般性”．其实，这样的例子在数学中比比皆是． 让我们从更一般的情形来阐述归纳思想．对于一个数学对象P，如果P可以分解为若干个种类，，，…，那么从研究，，，…入手，概括得到对象P的属性的思想，就是归纳的思想．这与分类讨论有点相似，但分类讨论常常是获得对象P在各种情况下的不同结果，而归纳则取向于获得，，，…的共性，以及由这些共性所反映的对象P的本质． 有几个问题是必须讲清楚的．首先，数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推” 工作，实际上是两个命题的证明，即证明①命题“”成立，②命题“若，则”成立，而这两个命题自身的证明常常用的是“演绎法”．其次，以“归纳递推”为大前提，以命题成立为小前提，得出命题成立，等等的推理过程也是演绎的．还有，若将自然数公理中的归纳公理（见本文后述）理解为大前提，将数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推”理解为小前提，那么得出命题成立的推理过程也是演绎的（文①第110页）．但这些都不妨碍数学归纳法在处理与自然数有关的命题时所体现出来的归纳思
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、
速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的
1．算法 (1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． (2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． 2．程序框图 程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．3．三种基本逻辑结构
突破点一 程序框图的输入、输出问题 例1 1、执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_____5 6 ___．
2、执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( D ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12 3、执行如图所示的程序框图，则输出的S ＝____9 40 ____. 4、执行如图所示的程序框图，如果输出的k 的值为3，则输入的a 的值可以是( A )
A．20 B．21 C．22 D．23 5、我国古代数学著作《骨髀算经》有如下问题：“今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝1.5(单位：升)，则输入k的值为(B) A．4.5 B．6 C．7.5 D．9 突破点二程序框图的补全问题 例2 1、执行如图所示的程序框图，若输出S的值为－20，则条件框内可填写(D)
A ．i ＞3? B ．i ＜4? C ．i ＞4? D ．i ＜5? 解析：选D 初始值：i ＝1，S ＝10； 第一次循环：S ＝10－21＝8，i ＝2； 第二次循环：S ＝8－22＝4，i ＝3； 第三次循环：S ＝4－23＝－4，i ＝4； 第四次循环：S ＝－4－24＝－20，i ＝5. 因为输出S 的值为－20，所以条件框内可填“i ＜5？”． 2、执行如图所示的程序框图，若输出的值为21，则判断框内可填( ) A ．n ≥5? B ．n ＞6? C ．n ＞5? D ．n ＜6? 解析：选B 初始值：n ＝0，S ＝0； 第一次循环：n ＝1，S ＝1； 第二次循环：n ＝2，S ＝1＋2＝3； 第三次循环：n ＝3，S ＝3＋3＝6； 第四次循环：n ＝4，S ＝6＋4＝10； 第五次循环：n ＝5，S ＝10＋5＝15； 第六次循环：n ＝6，S ＝15＋6＝21； 第七次循环：n ＝7. 因为输出的值为21，所以结合选项可知判断框内可填“n ＞6？”，故选B. 3、执行如图所示的程序框图，若输入m ＝1，n ＝3，输出的x ＝1.75，则空白判断框内应填的条件为( B ) A ．|m －n |＜1? B ．|m －n |＜0.5? C ．|m －n |＜0.2? D ．|m －n |＜0.1? 解析：：输入m ＝1，n ＝3. 第一次执行，x ＝2,22－3＞0，n ＝2，返回； 第二次执行，x ＝32，????322－3＜0，m ＝32，返回； 第三次执行，x ＝3＋44＝74，????742－3＞0，n ＝7 4 . 输出x ＝1.75，故第三次执行后应满足判断框，此时m －n ＝32－74＝－1 4 ，故选B. 4、（2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1 100 ，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应 填入( B ) A ．i ＝i ＋1 B ．i ＝i ＋2 C ．i ＝i ＋3 D ．i ＝i ＋4 [解析] (1)由题意可将S 变形为S ＝????1＋13＋…＋199－????12＋14＋…＋1100，则由S ＝N －T ，得N ＝1＋1 3 ＋…＋199，T ＝12＋14＋…＋1100.据此，结合N ＝N ＋1i ，T ＝T ＋1i ＋1 易知在空白框中应填入i ＝i ＋2.故选B. 突破点二 辨析程序框图的功能 例3如图所示的程序框图，该算法的功能是( C )
1.(2010·广东中山模拟)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 [解析]上述证明过程中，在由n＝k变化到n＝k＋1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选D. 3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，则可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得() A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立 C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立 [答案] C [解析]∵“若n＝k(k∈N*)时命题成立，则当n＝k＋1时，该命题也成立”，故若n＝4时命题成立，则n＝5时命题也应成立，现已知n＝5时，命题不成立，故n＝4时，命题也不成立．[点评]可用逆否法判断． 4．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为1 2n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于() A．1B．2C．3D．4 [答案] C [解析]因为凸n边形的边数最少为3，故验证的第一个值n0＝3. 5．已知S k＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k(k＝1,2,3，…)，则S k＋1 等于() A．S k＋ 1 2(k＋1) B．S k＋ 1 2k＋2 － 1 k＋1 C．S k＋ 1 2k＋1 － 1 2k＋2 D．S k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 高中数学公式大全及巧记口诀 离2012年高考只剩63天了，因为高中数学在高考中占有较大的比分，很多同学在数学上失分很多，其主要原因是同学们对数学基础知识记忆和掌握不够到位。因此我们乐恩特教育网整理了高中数学公式大全及巧计口诀，以便同学们轻松掌握数学公式，在高考数学复习上达到事半功倍的效果！以下就是整理的高中数学公式大全及巧记口诀： 一、《集合与函数》 内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。 复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。 指数与对数函数，两者互为反函数。底数非１的正数，１两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数； 正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。 两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴； 求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。 幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数， 奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。 高考数学试题分类汇编算法初步 1.（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 2.（全国新课标理3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040 【答案】B 3.（辽宁理6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P 是 （A）8 （B）5 （C）3 （D）2 【答案】C 4. （北京理4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12 C ．13 D ．2 【答案】D 5.（陕西理8）右图中， 1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。当126,9.x x ==p=8．5时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7 【答案】C 6.（浙江理12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。 【答案】5 Read a，b If a >b Then m←a Else m←b End If 7.（江苏4）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是 【答案】3 8.（福建理11）运行如图所示的程序，输出的结果是_______。 【答案】3 9.（安徽理11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 【答案】15 10.（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入1 1 x= ，23 2,3,2 x x x ==-= , 则输出的数等于。 【答案】 2 3 11.（江西理13）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 【答案】10 12.（山东理13）执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是【答案】68 A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·陕西)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20 解析 T r ＋1＝C r 6(22x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 6· (2x )12－3r ，r ＝4时，12－3r ＝0，故第5项是常数项，T 5＝(－1)4C 46＝15. 答案 C 2．(2012·泰安月考)若二项式? ?? ??x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )． A ．6 B ．10 C ．12 D ．15 解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r ? ?? ??－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 答案 C 3．(2011·天津)在? ????x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )． A ．－154 B.154 C ．－38 D.38 解析 在? ????x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6? ????x 26－r ? ????－2x r ＝C r 6? ????126－r x 3－r (－2)r ，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16? ?? ??125(－2)＝－38. 答案 C 4．(2012·临沂模拟)已知? ?? ??x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )． A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或28 解析 由题意知C 48· (－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和 数学归纳法、同一法、整体代换法 一、函数方程思想 从而解决问题的一种思维方式，函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处置变量或未知数之间的关系。很重要的数学思想。 并研究这些量间的相互制约关系，1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达进去。最后解决问题，这就是函数思想； 确立变量之间的函数关系是一关键步骤，2.应用函数思想解题。大体可分为下面两个步骤：1根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；2根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；3方程思想：如何学好高中数学某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时经常列出这些变量的方程或（方程组）通过解方程（或方程组）求出它这就是方程思想； 之间相互渗透，3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念。很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。 二、数形结合思想 对于所研究的代数问题，数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一。有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）这种解决问题的方法称之为数形结合。 发挥数的思路的规范性与严密性，1.数形结合与数形转化的目的为了发挥形的生动性和直观性。两者相辅相成，扬长避短。 宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，2.恩格斯是这样来定义数学数学研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”这就是说：数形结合是数学实质特征。数学学习中突出数形结合思想正是充分掌握住了数学精髓和灵魂。 数量关系决定了几何图形的性质。 3.数形结合的实质是几何图形的性质反映了数量关系。形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,4.华罗庚先生曾指出：数缺性时少直观。或者借助于形的几何直观性来说明数之间的某种关系. 历年高考解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中。 6.要抓住以下几点数形结合的解题要领： 可直接从几何图形入手进行求解即可； 1对于研究距离、角或面积的问题。 可通过函数的图象求解（函数的零点，2对于研究函数、方程或不等式（最值）问题。顶点是关键点）作好知识的迁移与综合运用； 3对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的 三、分类讨论的数学思想 当问题的对象不能进行统一研究时，分类讨论是一种重要的数学思想方法。就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。 引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决。 1涉及的数学概念是分类讨论的 2运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的 3求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； A级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()． A．正方体的棱长与体积 B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量 C．日照时间与水稻的亩产量 D．电压一定时，电流与电阻 解析A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C. 答案 C 2．(2012·石家庄调研)下列结论正确的是()． ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系； ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④ 解析由回归分析的方法及概念判断． 答案 C 3．(2011·莱芜二模)在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是()． A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发 生． 答案 D 4．(2011·陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()． A．直线l过点(x，y) B．x和y的相关系数为直线l的斜率 C．x和y的相关系数在0到1之间 D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 解析由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错． 答案 A 5．(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()． A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 解析x＝4＋2＋3＋5 4＝3.5(万元)， y＝49＋26＋39＋54 4＝42(万元)， ∴a^＝y－b^x＝42－9.4×3.5＝9.1， 数学归纳法 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． （1）第一数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ① 0n n =（N n ∈01．数学归纳法的基本形式）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． （2）第二数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 ①当l n ,,3,2,1Λ=时，)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立， ②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． （2）反向数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ① )(n P 对无限多个正整数n 成立； ②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． 例如，用数学归纳法证明： 为非负实数，有 在证明中，由 真，不易证出 真；然而却很容易证出 真，又容易证明不等式对无穷多个 （只要 型的自然数）为真；从而证明 ，不等式成立． （3）螺旋式归纳法 P （n ），Q （n ）为两个与自然数 有关的命题，假如 ①P(n0)成立； ②假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2）,对于一切自然数n （>n0），P(n),Q(n)都成立； 题目归纳法在数学中的应用与地位学生 学号 指导老师 年级 学院 系别 xx年xx月 目录 目录 (2) 摘要 (3) 引言 (4) 一、数学归纳法的历史由来 (4) 二、归纳法的特点 (4) 二基本步骤 (5) 三数学归纳法的常用方法举例 (6) 3.1求同法 (6) 3.2求异法 (6) 3.3求同求异并用法 (7) 3.4共变法 (7) 3.5剩余法 (7) 四、在高等数学中的归纳法运用举例 (8) 五、数学归纳法解决应用问题 (9) 5.1代数恒等式方面的问题 (9) 5.2几何方面的应用 (9) 5.3排列和组合上的应用 (10) 5.4对于不等式的证明上的应用 (11) 六、总结 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13) 摘要 数学归纳法是中学数学中一种常用的证题方法，是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式. 它的应用极其广泛．本文讨论了数学归纳法的步骤，它集归纳，猜想，证明于一体，体现了数学归纳法的证题思路．本文归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式，几何，排列组合等方面的一些应用问题的方法，并对应用中常见的误区加以剖析，以及一些证法技巧介绍，有利于提高对数学归纳法的应用能力． 数学归纳法的具体应用时,有许多更为灵活的形式,这一点是宜于注意的. 不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论,只是停留在对事物的表面现象的观察上,没有深入地分析产生现象的原因,只有对现象产生的原因有了了解,才会提高结论的可信程度. 人们在长期的科学实践过程中,总结出了确定因果关系的几种逻辑方法:求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法. 归纳法在数学中运用十分广泛. 关键词：数学归纳法数学归纳法的特点步骤应用. Abstract Mathematical induction is a common evidence method in secondary school mathematics, it is have very broad application. In this paper, author reaserch into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ,evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz themethod of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application．So-called mathematics inductive method is from the special concrete understanding propulsion to general of abstract of a kind of mode of thinking of[with] understanding, it is science discovers of a kind of long use of valid mode of thinking. The inductive method is in mathematics make use of very extensively. Key words：Mathematical induction; steps；Application.数学归纳法巧记高中数学公式大全
高考数学试题分类汇编 算法初步
2013届高考理科数学第一轮复习测试题08
数学归纳法、同一法、整体代换法
2013届高考理科数学第一轮复习测试题05
数学归纳法知识点大全
数学中的归纳法及应用
相关主题
文本预览