8谈谈三次曲线的切线问题

谈谈三次曲线的切线问题

1 关于三次曲线切线的四道高考题

题1 (2014年高考北京卷文科第20题)已知函数x x x f 32)(3-=．

(1)求)(x f 在区间]1,2[-上的最大值；

(2)若过点),1(t P 存在3条直线与曲线)(x f y =相切，求t 的取值范围；

(3)问过点)2,0(),10,2(),2,1(C B A -分别存在几条直线与曲线)(x f y =相切？只需写出结论．

解 36)(2-='x x f ．

(1)用导数可求得：当且仅当2

2

-

=x 时，)(x f 在区间]1,2[-上取最大值且最大值是2． (2)当点P 在曲线)(x f y =上即1-=t 时：

又当点)1,1(-P 是切点时，曲线)(x f y =过点P 的切线是1条．

又当点)1,1(-P 不是切点时，可设切点为)1)(32,(3

≠-P P P P x x x x ，得

)1(361

1322

3

≠-=-+-P P P P P x x x x x

2

1-=P x

所以此时过点P 的切线是1条．

得过点P 存在2条直线与曲线)(x f y =相切，不合题意．

所以1-≠t ，即点P 不在曲线)(x f y =上．可设切点为)32,(3

P

P P x x x '-''，得 3613223

-'=-'-'-'P

P P

P x x t x x 03642

3

=++'-'t x x P

P 题意即这个一元三次方程有三个实根．

设364)(2

3++'-'='t x x x g P P P ，得)1(12)(-''=''P

P P x x x g ，所以题意即 ?

?

?<+=='>+=='01g(1))(03g(0))(t x g t x g P P 极小值极大值

13-<<-t

所以所求t 的取值范围是)1,3(--．

(3)①因为点)2,1(-A 不在曲线)(x f y =上，所以可设切点为)32,(3

A A A x x x -，得

361

2322

3

-=+--A A A A x x x x

01642

3=-+A A x x

2

1

-

=A x 或231±-=A x

所以可得过点A 存在3条直线与曲线)(x f y =相切．

②因为点)10,2(B 在曲线)(x f y =上，所以点B 可以是切点也可以不是切点． 当点B 是切点时，曲线)(x f y =过点B 的切线是1条．

当点B 不是切点时，可设切点为)2)(32,(3

≠-B B B B x x x x ，得

)2(362

10322

3

≠-=---B B B B B x x x x x

1-=B x

所以此时过点B 的切线是1条．

得过点B 存在2条直线与曲线)(x f y =相切．

③因为点)2,0(C 不在曲线)(x f y =上，所以可设切点为)32,(3

C C C x x x -，得

362322

3

-=--C C

C C x x x x

3420C x +=

3

2

1-=C x 所以可得过点C 存在1条直线与曲线)(x f y =相切．

题 2 (2010年高考湖北卷文科第21题)设函数c bx x a x x f ++-=

2

32

31)(，其中0>a ，曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线方程为1=y ．

(1)确定c b ,的值；

(2)设曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 及))(,(22x f x 处的切线都过点)2,0(，证明：当

21x x ≠时，)()(21x f x f '≠'．

(3)若过点)2,0(可作曲线)(x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围． 答案 (1)1,0==c b ；(2)略；(3)),32(3+∞?．

题3 (2007年高考全国卷II 理科第22题)已知函数x x x f -=3

)(． (1)求曲线)(x f y =在点))(,(t f t M 处的切线方程；

(2)设0>a ，如果过点),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线，证明：)(a f b a <<-． 答案 (1)3

2

2)13(t x t y --=；(2)略．

题4 (2004年高考重庆卷文科第15题)已知曲线3

4313+=x y ，则过点)4,2(P 的切线

方程为 ．

答案 044=--y x 和02=+-y x ． 2 关于三次曲线切线的结论

定理1 过已知点),(00y x M 可作已知的三次曲线)(x f y =切线的条数即关于t 的一元三次方程

0)()()()(00=-'-+=y t f t x t f t g ① 的相异实数解的个数．

证明 设切点为))(,(t f t ,得切线方程为

))(()(:0t x t f t f y l -'=-

由0l M ∈,得

))(()(00t x t f t f y -'=-

此即方程①，从而可得定理8成立．

引理

2

[1]

设∈≠=+++=d c b a a d cx bx ax x f ,,,0(0)(2

3；R )，方程

023)(2/=++=c bx ax x f 的判别式)3(42ac b -=?，则

(1)方程0)(=x f 有三个不同实根0>??且)(x f 的两个极值异号；

(2)方程0)(=x f 有一个二重根和一个一重根0>??且)(x f 有一个极值为0； (3)方程0)(=x f 有三重实根0=??且d a b 2

3

27=；

(4)方程0)(=x f 有一个实根和两个共轭虚根?除(1),(2),(3)之外的所有情形． 引理

3 设

∈≠=+++=d c b a a d cx bx ax x f ,,,0(0)(23；R )，方程

023)(2/=++=c bx ax x f 的判别式)3(42ac b -=?(当0>?时,设)(/x f =0的两根为

21,x x )，则方程0)(=x f 相异实根个数的情形是：

(1)方程0)(=x f 有三个不同实根0)()(021??x f x f 且；

(2)方程0)(=x f 有且仅有两个相异实根0)()(021=?>??x f x f 且； (3)方程

0)(=x f 有唯一实根?除(1),(2)之外的所有情形

0)0)()(0(21≤?>?>??或且x f x f ．

由引理3及定理1，得 推

论

过

已

知

点

)

,(00y x M 作已知曲线

∈≠=+++==d c b a a d cx bx ax x f y ,,,0(0)(23；R )的切线条数为1,2或3．具体的情

形是(以下??

????--++-

'?-=0000)3()3)(3(])([y a b f a b x a b f y x f G )： (1)所作切线的条数为30

(2)所作切线的条数为2???

??=-≠?0

30G a b x ；

(3)所作切线的条数为1?????

? ??>??????

?-=-=?????? ???????>-≠-=?0)3(30330000G a b f y a

b x G a b x a b x 或或． 证明 此时的方程①，即

02)3(2)()()()(00020300=-+++-+-=-'-+=y cx d t bx t b ax at y t f t x t f t g

)3)((62)3(26)(0002a b

t x t a bx t b ax at t g +

--=+-+-=' 可以验证引理3中的)()(21x f x f ?即这里的)3()(0a

b

g x g -?也即G (用

00)()()()(y t f t x t f t g -'-+=)，由定理1及引理3可证推论成立，再细加说明如下:

(1)所作切线的条数为30030

b

x 且(因为当0

b x 30-

≠)．

(3)第二个“?”是因为可证：当,30a b x -

=)3(0a

b

f y -≠时0>G ． 三次曲线∈≠=+++==d c b a a d cx bx ax x f y ,,,0(0)(2

3

；R )在对称中心(即拐点)处的切线方程为

)3)(3()3(:a

b x a b f a b f y l +-'=-

-

即 0)3()3)(3(:=--++-

'y a

b

f a b x a b f l

文献[2]还得到了以下结论：

定理2 (1)曲线)0()(3

≠==a ax x f y 过点)0,0(A 的切线存在且唯一．

(2)曲线)0()(3

≠==a ax x f y 过该曲线上的点)0))(2(,2(≠--h h f h A 的切线有且仅有两条，一条以A 为切点，另一条以))(,(h f h B 为切点，且前者的斜率是后者的4倍．

定理3 设)0()(2

3

≠+++=a d cx bx ax x f ，则 (1)曲线)(x f y =过点????

?

?

??? ??--

a b f a b A 3,3的切线存在且唯一． (2)曲线)(x f y =过该曲线上的点??

?

??

-

≠a b h h f h A 3))(,(的切线有且仅有两条，一条以A 为切点，另一条以????

?

???? ??+-+-a b ah f a b ah B 2,2为切点，且前者的斜率1k 与后者的斜率2

k 满足关系c a

b k k 342

2

1-+=． 3 关于三次曲线切线的求法

题

5

已

知

曲

线

x

x x f C 3)(:3-=，点

??

?

??---25,1),3,1(),34,2(),2,1(),2,1(),0,0(T S R Q P O ，求：

(1)曲线C 在点Q 处的切线方程；

圆锥曲线大题十个大招——轨迹问题

招式八：轨迹问题 轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(2 2 2 2 2 =++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222) 1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ， ，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， y x Q M N O

即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 例2、已知动圆过定点,02p ?? ??? ，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程； 【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ?? ??? 为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线， 垂足为N ，由题意知：MF MN = 即动点M 到定点F 与定直线2 p x =- 的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ?? ??? 为焦点， 2 p x =- 为准线，所以轨迹方程为2 2(0)y px P =>； ◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。 【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、 O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为 12516 25)3(2 2=++y x ,02p ?? ??? 2 p x =-

圆锥曲线的切线问题

圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数 y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x 0 , y ) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴 上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式?= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y= x 4 （1）求直线A B的斜率； 上两点，A与B的横坐标之和为 4． （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程． 类型二椭圆的切线问题 2

5 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ， b 2 离心率为 . 3 （1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨 迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ， 且过点 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直 线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3) ∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2 且a 2 = b 2 + c 2 P ( 2，3) . 2 2

苏教版数学高二- 选修2-2试题《瞬时变化率—导数—瞬时速度与瞬时加速度》(二)

1.1.3 瞬时变化率——导数 同步检测 (二) 一、基础过关 1．下列说法正确的是________(填序号)． ①若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处就没有切线； ②若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处有切线，则f′(x 0)必存在； ③若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线斜率不存在； ④若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处没有切线，则f′(x 0)有可能存在． 2．已知y ＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A )与f′(x B )的大小关系是________． 3．已知f(x)＝1x ，则当Δx→0时，f 2＋Δx －f 2Δx 无限趋近于________． 4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则此切线方程为 ____________． 5．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f′(－1)＝3，则a ＝________. 6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s 时速度为v(t)＝8t 2＋1，若在t ＝t 0时的加速度为6 m/s 2，则t 0＝________ s. 二、能力提升 7．已知函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12 x ＋2，则f(1)＋f′(1)＝________. 8．若函数y ＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y ＝f(x)在区间上的图象可能是________．(填序号)

9．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________. 10．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1 x 在x＝1处的导数． 11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y ＝6平行，求a的值． 三、探究与拓展 13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s关于时间t的函数图象的大致形状： (1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速； (3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．

圆锥曲线的双切线问题初探

圆锥曲线的双切线问题初探 蓝 婷 深圳市第二高级中学； 广东深圳 518055 【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。 【关键词】：圆锥曲线 ； 双切线 ； 切点弦方程 一、研究背景 圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题过程的目的。 二、定理证明 为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：220Ax By Cx Dy Exy F +++++=，下面给出定理的证明。 引理：设()00,P x y 是圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上一点，则与该圆锥曲线切于点P 的直线方程为：000000( )()()0222 x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++=。 证明：在圆锥曲线方程2 2 0Ax By Cx Dy Exy F +++++=两边求导，可得： 220Ax Byy C Dy Ey Exy '''+++++=，所以：22Ax Ey C y Ex By D ++'=- ++ 则切线方程为：0000002()2Ax Ey C y y x x Ex By D ++-=- -++ 得：000000()(2)(2)()y y Ex By D Ax Ey C x x -++=-++- 化简：220000000000002222222Ax By Cx Dy Ex y Ax x By y Cx Dy Cx Dy Ex y Exy ++++=+++++++ 因为()00,P x y 在圆锥曲线上，所以：220000002222220Ax By Cx Dy Ex y F +++++=

曲线上一点处的切线教案

曲线上一点处的切线 响水县第二中学 授课人：陈强 时间：2016.11.19 教学目标 1、知识技能目标：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率概念及求法． 2、过程方法目标：掌握“局部以直代曲”和“用割线逼近切线”的思想方法． 3、情感态度价值观目标：培养学生从实际问题中去发现问题、解决问题(数学思想)的能力. 教学重点 理解曲线在一点处的切线的斜率的定义，掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法。 教学难点 对“无限逼近”、“局部以直代曲”的理解以及会求在某点处的切线斜率． 教学过程 一、情境导入 1.函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为2121 ()()f x f x x x --． 即：曲线上两点的连线（割线）的斜率（平均变化率）近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势. 2．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究） 从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法． （1）观察“点P 附近的曲线”你看到了怎样的现象？ （2）“几乎成了一条直线”，有明确位置么？（趋势）又为什么说是“几乎”近） 二、建构数学 1．割线逼近切线 动画演示，观察点Q 的运动，直线PQ 线PQ 斜率的变化，生成概念． Q 为曲线上不同于点P 的一点，这时， 直线PQ 称为曲线的割线； 随着点Q 沿曲线向点P 运动， 割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线， 当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最 终成为点P 处最逼近曲线的直线l ，

这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线． 2．割线斜率逼近切线斜率 切线的概念提供了求切线斜率的方法． 再提中心问题：对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型，在这里平均变化率表示为什么？我又用怎样数学模型来刻画曲线上P 点处的变化趋势呢？ 为了更好地反映点Q 沿曲线向点P 运动，我们选择了一个变量x ?． 不妨设(())P x f x ，，(())Q x x f x x +?+?，，则割线PQ 的斜率为 ()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-==+?-?，当点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，割线PQ 的斜率 就会无限逼近点P 处切线斜率，即当x ?无限趋近于0时，()()f x x f x x +?-?无限趋近点(())P x f x ，处切线斜率． 三、例题展示： 例1：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在2x =处的切线斜率． 变式1：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程 变式2：已知1()f x x -=，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程． 例2：一跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的，假设()t s 后 运动员相对于水面的高度为 2() 4.9 6.510H t t t =-++，试确定2t s =时运动员的速度。 练习：练习：已知f(x)= x ,求曲线y=f(x)在x=0.5处的切线斜率是什么？

导数的概念2—瞬时速度

课 题： 3．1导数的概念（二）—瞬时速度 教学目的： 1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义. 2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 3.理解足够小、足够短的含义 教学重点：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度. 教学难点：理解物体的瞬时速度的意义 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 我们物理中学习直线运动的速度时，已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，现在我们从数学的角度重新来认识一下瞬时速度 教学过程： 一、复习引入： １．曲线的切线 如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线 2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法： 因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即

tan α=0lim →?x =??x y 0lim →?x 0x ? 二、讲解新课： 1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度. 当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了. 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s =s (t )，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是： 位移为Δs =s (t 0+Δt )－s (t 0)(Δt 称时间增量) 平均速度t t s t t s t s v ?-?+=??=)()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度. 现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度t t s t t s v v t t ?-?+==→?→?)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时速度三、讲解范例： 例1物体自由落体的运动方程s =s (t )= 21gt 2，其中位移单位m ，时间单位s ，g =9.8 m/s 2. 求t =3这一时段的速度. 解：取一小段时间［3，3+Δt ］，位置改变量Δs =21g (3+Δt )2－21g ·32=2 g (6+Δt )Δt ，平均速度2 1=??=t s v g (6+Δt )

求曲线在点某处或过某点的切线方程

2求曲线在点某处或过某点的切线方程 1.求曲线在某点处的切线 例1．求曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程 分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数33y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程 解：由'2()33f x x =+，得切线的斜率为'(2)15k f =-=， 所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+ 归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程 练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程 解：由14()2(21)2121 f x x x x ''=??+=++，得 切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为 14(0)y x -=-，即410x y -+= 2.求曲线经过点P 处的切线方程 例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==， 所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线 只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。 正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相 切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-， 得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-，

圆锥曲线综合 切线问题

【例1】 抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ） A ． 35 5 B ． 45 5 C ． 135 20 D ． 95 20 【例2】 若曲线22y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则切线l 的方程为（ ） A ．430x y ++= B ．490x y +-= C ．430x y -+= D ．420x y --= 【例3】 与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程是 ； 【例4】 过点(01)P ， 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程为_______________________． 【例5】 已知过定点A (2,0)的直线和抛物线2 14 y x = 有且只有一个交点，求满足条件的直线方程． 【例6】 已知圆O ：222x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为 2 2 的椭圆，其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂 典例分析 板块三.切线问题

线交直线2x =-于点Q ． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切． ⑶试探究：当点P 在圆O 上运动时（不与,A B 重合），直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由． 【例7】 如图，P 是抛物线C ：2 12 y x = 上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ． ⑴若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； ⑵若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求ST ST SP SQ + 的取值 范围． 【例8】 已知椭圆22 122:1(0)y x C a b a b +=>>的右顶点为(10)A ，，过1C 的焦点且垂直长轴 的弦长为1． ⑴求椭圆1C 的方程； ⑵设点P 在抛物线22:()C y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点M ，N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值． 是双曲线上不同的两个动点． ⑴ 求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程 ⑵ 若过点()0,h 的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥，求h 的值．

曲线上一点处的切线、瞬时速度与加速度

1.1.2 曲线上一点处切线、瞬时速度、瞬时加速度 （总第48导学案） 一、学习目标 1、了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想求曲线上一点处的切线的方法； 2、了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时加速度；了解求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。 二、重点与难点 重点：求曲线上一点处的切线的方法，求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。 难点: 了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想. 三、教学过程 （一）曲线上一点处的切线： 1、割线与切线的概念： 如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。 随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。 当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为经过点P 处最逼近曲线的 直线l ，这时直线l 就称为曲线在点P 处的切线。 2、切线的斜率： 如图，设曲线C 上一点P (x,f(x))，过点P 的一条割线交曲 线C 于另一点))(, (x x f x x Q ?+?+，则割线PQ 的斜率 x x x x f x x f x y k PQ -?+-?+=??= )()()(x x f x x f ?-?+=) ()(, 当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近 点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率。即当0→?x 时， x x f x x f ?-?+) ()(→点 P(x ，f(x))处的切线的斜率。这里x ?可正也可负，当x ?取负值时，点Q 位于点P 的左侧。 3、如何求曲线C: )(x f y =在P(x ，f(x))点处切线的斜率呢？（基本思想：割线逼近切线） 第一步：求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(； 第二步：求0→?x 时，x y ??所趋近的值A 。所以在点P 处的切线的斜率k=A 。 例1：已知2 )(x x f =，求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率及切线方程。 变1：运用割线逼近切线的方法，分别求曲线3 x y =在x=0，x =－2，x=3处的切线的斜率。 变2：已知22)(2+=x x f ，求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率及切线方程。 （二）瞬时速度与瞬时加速度： 1、平均速度： 在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度。平均速度反映了物体在某一时间段内．．．．．．运动的快慢程度。具体求法：一般地，物体在做直线运动时，它的运动规律可以用函数s=s(t)描述，这个式子叫做物体的运动方程（也叫做位移公式）。如果一个运动物体在时刻0t 时位于）0(t s ，在时刻t t t ??+(0称为时间增量）时位于)(0t t s ?+，相应地，从0t 到t t ?+0这段时间内， 物体的位移（即位移增量）是)()(00t s t t s s -?+=?，那么位移增量s ?与时间增量t ?的比，就是这段时间内物体的平均速度 v ，即t t s t t s t s v ?-?+=??= ) ()(00。如何精确刻画物体在某一时刻．．．． 的快慢程度？ 2、瞬时速度： 一般地，我们计算运动物体位移s(t)的平均变化率（即平均速度） t t s t t s t s v ?-?+=??= ) ()(00，如果当 0→?t ， t t s t t s ?-?+) ()(00→A （常数），那么这个常数A 称为物体在0t t =时的瞬时速度。或叫0t 时刻的速度。要特别记住：．．．．．．瞬时速度．．．． 是位移对于时间的瞬时变化率．．．．．．．．．．．．． 。 3、如何求物体的瞬时速度？ 第一步：求平均变化率 t t s t t s t s ?-?+=??) ()(00； 第二步：求0→?t 时， t s ??所趋近的值，即为物体在0t t =时的瞬时速度。 例2、如果一个物体的位移S(m)是时间t(s)的函数659.42 ++-=t t S ，求该物体在t 时刻的速度v 和加速度a 。 4、瞬时加速度： 一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率t t v t t v ?-?+)()(00，如果当0→?t ，t t v t t v ?-?+) ()(00→A （常数），那么这 个常数A 称为物体在0t t =时的瞬时加速度。要特别记住：．．．．．．瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。 5、如何求物体的瞬时加速度？ 第一步：求平均变化率 t t v t t v t v ?-?+=??) ()(00； 第二步：求0→?t 时， t v ??所趋近的值，即为物体在0t t =时的瞬时加速度。 例3、已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设ts 时的速度为υ(t)=t 2 +3， 求t=t 0s 时轿车的瞬时加速度a.

高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题

高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题 【题型综述】 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=?，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 【典例指引】 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017课表1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =2 4 x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4． （1）求直线AB 的斜率； （2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 类型二 椭圆的切线问题 例2（2014广东20）（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为4，且过点P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A ,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点P ∴ 22 231a b += 且222 a b c =+ ∴ 2 8a = 2 4b = 2 4c = 椭圆C 的方程是22 184 x y + = （2）

苏教版数学高二- 选修2-2学案《瞬时变化率—导数—瞬时速度与瞬时加速度》(二)

1.1.3 瞬时变化率导数瞬时速度与瞬时加速度学案（二） 一、学习目标 （1）理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x无限趋近于0的含义； （2）运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度. 二、学习重点、难点 重点：瞬时速度和瞬时加速的定义 难点：求瞬时速度和瞬时加速的的方法. 三、学习过程 【复习回顾】 1. 曲线上一点处的切线斜率：设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点P(x,y) k= 及邻近的一点Q(x +?x, f(x+ ?x))，过P、Q两点作割线，,则割线PQ的斜率为 PQ . 当?x→0时，动点Q将沿曲线趋向于定点P，从而割线PQ也将随之变动而趋向于切线PT的斜率，当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即K为.在△x→0时的极限值. 练习：曲线的方程为y=x2+1，求曲线在点P(1,2)处的切线方程.

【问题情境1】 平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度.平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？ 【问题情境2】 跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t 秒后运动员相对于水面的高度为()24.9 6.510H t t t =-++，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况. 问题：1.你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？ 关于这些数据，下面的判断对吗？ 2．当t ?趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /. 3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ?+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ?+2,2上的平均速度；

齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题

“齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 例题、（07山东） 已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若与x 轴不垂直的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解法一（常规法）：m kx y l +=:设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， （*） 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，（**） 整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +--+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦 对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值或=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 方法评估：此方法求解过程中（*）（**）化简整理计算非常繁琐。下面介绍齐次式法。（上述方法改进还有“点乘双根法”） 解法二（齐次式法） 由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点P ，知PB PA ⊥，即1-=?PB PA k k 。（??????PB PA k k ?为定值）

最新圆锥曲线轨迹问题

圆锥曲线轨迹问题

建设现代化(检验) ——有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。

【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 22ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线 PM PN ，（M N ， 分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

求曲线在点处的切线方程

一、求曲线3231y x x x =-+-在点(2,3)P -处的切线方程. 二、已知成本C 与产量q 的函数关系式为C=2q 2+5,求产量q=80时的边际成本. 三、确定抛物线方程2y x bx c =++中的常数b c 、,使其与直线2y x =在2x =处相切. 四、求下列函数的单调区间: 1. 42()23f x x x =-- 2. 32()23f x x x =- 3. 42()23617f x x x =-+ 五、求下列函数的极值: 1. 32()23121f x x x x =+-+ 2. 32()(10)f x x x =- 3. 2()(2)f x x x =- 4. 32()32412f x x x x =+-+ 六、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值: 1. 32()23121f x x x x =+-+,[3,3]x ∈- 2. 32()2153624,[1,4]f x x x x x =-+-∈ 3. 543 ()551,[1,2]f x x x x x =-++∈- 七、设函数3232y x ax bx c x x =+++=-=在处有极大值,在处有极小值-10,求常数 a b c 、、, 八、函数32 26[2,2]y x x m =-+-在区间上有最大值3,求它的最小值 九、三次函数()f x 当3x =时有极小值0,又:曲线()y f x =上点(1,8)处的切线过(3,0)点. 求()f x 的表达式 十、要靠墙建造6间猪圈(如图),若新砌墙的总长度 为36米,求每间猪圈的最大面积 【导数的应用练习题(文科)答案】 一、2|1,50.x k y x y ='==--=方程为 二、8080|4|320q q C q =='==.

高中数学专题---切线问题

高中数学专题--- 切线问题 基本方法： 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路： 思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点00(,)x y 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线； 思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=?，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件. 圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 一、典型例题 1．已知椭圆C ：221(0)42x y a b +=>>上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线l DF ， 且与y 轴交于点()0,P t ，又在直线y t =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OQ OE ⊥（O 为坐标原点），连接EQ . （1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222x y +=相切； （2）判断直线EQ 与圆222x y +=是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由. x

2． 已知椭圆221:143 x y C +=，在椭圆1C 上是否存在这样的点P ，过点P 引抛物线22:4C x y =的两条切线12,l l ，切点分别为,B C ，且直线BC 过点()1,1A ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由. 二、课堂练习 1．已知椭圆22:194 x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ， 点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切. 2．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与抛物线22(0)y px p =>共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于21MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足252QF =． （1）求抛物线的方程和椭圆的方程； （2）过抛物线上的点P 作抛物线的切线y kx m =+交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围． 三、课后作业 1．已知椭圆22:162 x y C +=，点()3,0A ，P 是椭圆C 上的动点. 若直线AP 与椭圆C 相切，求点P 的坐标. 2．对任意的椭圆()222210x y a b a b +=>>，有如下性质：若点()00,x y 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b +=．利用此结论解答下列问题．已知椭圆22143x y +=，若动点P 在直线3x y +=上，经过点P 的直线m ，n 与椭圆C 相切，切点分别为M ，N ． 求证：直线MN 必经过一定点．

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

2017届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节） 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）