二次函数检测题（
WORD版含答案）
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1
236 25
S
S
=时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α
（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2
3
E'B的最小值．
【答案】（1）抛物线y＝﹣3
4
x2+
9
4
x+3，直线AB解析式为y＝﹣
3
4
x+3；（2）P（2，
3 2）；（3
410
【解析】
【分析】
（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出
6
5
PN
AN
=，以此列出方程求解即可解决问题；
（3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝4
3
，构造相似三角形，可以证明AM′就是
E′A+2
3
E′B的最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），
则有
3
30 n
m m n
?
?
?++
＝
＝
，解得4
3
3
m
n
?
?
?
?
-
?
＝
＝
，
∴抛物线2
39
3
44
y x x
=-++，
令y＝0，得到2
39
3
44
x x
-++＝0，
解得：x＝4或﹣1，
∴A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则
3
40
b
k b
+
?
?
?
＝
＝
，
解得
3
3
4
k
b
?
-
?
?
??
＝
＝
，
∴直线AB解析式为y＝3
4
-x+3．
（2）如图1中，设P（m，2
39
3
44
m m
-++），则E（m，0），
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，
∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，1
2
36
25
S
S
＝，
∴6
5
PN
AN
=，
∵NE∥OB，
∴AN AE
AB OA
=，
∴AN＝5
4
5
4
5
4
5
4
（4﹣m），
∵抛物线解析式为y ＝239
34
4
x x -++， ∴PN ＝239344m m -
++﹣（34-m+3）＝3
4
-m 2+3m ， ∴23
364
55(4)4
m m
m -+=-， 解得m ＝2或4（舍弃）， ∴m ＝2， ∴P （2，
3
2
）． （3）如图2中，在y 轴上 取一点M′使得OM′＝4
3
，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE ．
∵OE′＝2，OM′?OB ＝4
3
×3＝4， ∴OE′2＝OM′?OB ， ∴
OE OB
OM OE '=''
， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB ，
∴
M E OE BE OB '''='＝2
3
， ∴M′E′＝2
3BE′，
∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+2
3BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线
时），
最小值＝AM′2244()3
+410
． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+2
3
BE′的最小值，属于中考压轴题．
2．如图，抛物线()2
50y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点
C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值． （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线
AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求
点N 的横坐标．
【答案】（1）2
65y x x =-+- （2）2t =；2（3541-或4541
+ 【解析】 【分析】
（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d 为
)2
454d BP sin t =??=
-，则12PBE
S
BE d =??)()122244222
t t t =??-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值；
（3
）先求出4542
AM AB sin =??=?
=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ
是平行四边形，得到NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角
形，求得4NH =
==；设()
2
,65N m m m -+-，则(),0G m ，
(),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况
解答即可． 【详解】
解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -
∴抛物线2
5y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，
∴250505a b an bn n +-=??--=??-=?，解得51,6n a b =-??
=-??=?
所以抛物线的解析式为2
65y x x =-+-．
()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -
∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形， ∴45,ABC ∠=
由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE
的距离()4542
d BP sin t =??=- 所以1
2
PBE
S
BE d =??
)()12442t t t =?-=-； ∵二次函数(
)()4f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴04
22
t +=
=时， ∴()(
)(
)2242max f t f ==?-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值
为
()3
由题意得4542
AM AB sin =??=?
= 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴NQ AM ==
过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H ∵:5BC l y x =-，
∴NQH 为等腰直角三角形，
∴4,NH =
==
设()
2
,65N m m m -+-， 则(),0G m ，(),5H m m -，
①点N 在x 轴上方时，此时()()2
655,NH m m m =-+---
∴()
()2
6554m m m -+---=，即()()140,m m --=
解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；
②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2
565,NH m m m =---+- ∴()(
)
2
5654m m m ---+-=，即2
540,m m --=
解得5m =
<（舍）或m =
③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2
565,NH m m m =---+-
∴()(
)
2
5654m m m ---+-=，即2
540,m m --=解得52m =
或52
m +=（舍）
综上所述，4,m m ==
，m =符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，
点N 的横坐标为
52-或4或52
+．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键
3．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2
0x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；
（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121
a 是线段AB 的垂
直平分线，求实数b 的取值范围．
【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣
2
4
≤b ＜0． 【解析】 【分析】
（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；
（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；
（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂
直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】
解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，
即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，
∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，
设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0， 故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0， 解得，0＜a ＜2，
即a 的取值范围是0＜a ＜2； （3）由题意可得， 点A 和点B 在直线y ＝x 上， 设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），
∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣
b a
， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122
x x
+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a
-）， ∵直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂直平分线，
∴点（2b a -，2b
a -）在直线y ＝﹣x+2121
a +上， ∴2b
a -
＝21221
b a a ++
∴﹣b ＝
2
2
21
22a a a ≤
+＝
2，（当a ＝22
时取等号） ∴0＜﹣b ≤
2
4
， ∴﹣
2
≤b ＜0， 即b 的取值范围是﹣2
4
≤b ＜0． 【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
(Ⅰ)将矩形纸片沿DF 折叠，使点A 落在CD 边上点E 处，如图②；
(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C 再次折叠，使得点B 落在边CD 上点B′处，如图③，两次折痕交于点O ；
(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB 、OE 、OC 、FD ，如图④． （探究）
（1）证明：OBC ≌OED ；
（2）若AB ＝8，设BC 为x ，OB 2为y ，是否存在x 使得y 有最小值，若存在求出x 的值并求出y 的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）x=4，16 【解析】 【分析】
（1）连接EF ，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS 证明OBC ≌OED 即可；
（2）连接EF 、BE ，再证明△OBE 是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y 与x 的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】
（1）证明：连接EF ． ∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADE ＝∠DAF ＝90° 由折叠得∠DEF ＝∠DAF ，AD ＝DE ∴∠DEF ＝90°
又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，
∴四边形ADEF是矩形
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形
∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°
∵AD＝BC，
∴BC＝DE
由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°
∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．
∴OC＝OD．
在△OBC与△OED中，
BC DE
BCO FDE
OC OD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
，
，
∴△OBC≌△OED（SAS）；
（2）连接EF、BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝8．
由（1）知，BC＝DE
∵BC＝x，
∴DE＝x
∴CE＝8－x
由（1）知△OBC≌△OED
∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．
∵∠OED＋∠OEC＝180°，
∴∠OBC＋∠OEC＝180°．
在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，∴∠BOE＝90°．
在Rt△OBE中，OB2＋OE2＝BE2．
在Rt△BCE中，BC2＋EC2＝BE2．∴OB2＋OE2＝BC2＋CE2．
∵OB2＝y，∴y＋y＝x2＋(8－x)2．
∴y＝x2－8x＋32
∴当x=4时，y 有最小值是16．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
5．二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．
（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63
m m
y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．
【答案】（1）P （2，
1
3
）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4． 【解析】 【分析】
（1）把m =1代入二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；
（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63
m m
y x x m m =
-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；
（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；
②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可． 【详解】
解：（1）当m =1时，二次函数为212
163
y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，
1
3
）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263
m m
b a a m =
-+， 即：2263
m m
b m a a -=
- ∵0b m ->，
∴
2263m m a a -＞0， ∵m ＞0，
∴2263
a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，
∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；
（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，
∵二次函数的解析式为2263
m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，
3
m
）， 当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；
设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A （0，m ），点P （2，
3
m
）代入，得： 23
m b m
k b =??
?=+??， 解得：3m k b m
?
=-?
??=?，
∴直线AP 的解析式为y=3
m
-x+m ， 当y=0时，x=3， ∴点B （3，0）； ∴OB=3；
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ， 在△ADF 和△ABO 中，
DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠??
∠=∠??=?
，
∴△ADF ≌△ABO （AAS ），
∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），
∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，
∴当x =m 时，3y m ≤+，可得3
2
2363
m m
m m -+≤+，化简得：32418m m -≤．
∵0m >，∴2
184m m m -≤
，∴2
18(2)4m m
--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，
当5m ≥时，2
(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m
-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；
当x = m +3时，y ≥3，可得2
(3)2(3)
363
m m m m m ++-+≥，
∵0m >，∴2
1823m m m ++≥
，即2
18(1)2m m
++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，
当2m ≥时，2
(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m
++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；
综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4． 【点睛】
本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．
6．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数
()0k
y x x
=
>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”
（1）当1n =时．
①求线段AB 所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围． 【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当9
2
x =时，k 有最大值
8116
；当1x =时，k 有最小值2；（2）10
9n ≥；
【解析】 【分析】
（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则219
44
k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；
（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k
x
），则得到2210
44
n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b
a -
≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】
解：（1）当1n =时，点B 为（5，1）， ①设直线AB 为y ax b =+，则
251a b a b +=??
+=?，解得：14
94a b ?=-????=??
， ∴19
44
y x =-
+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得19
44
y x =-
+， 设点P 为（x ，
k
x
），由点P 在线段AB 上则 1944
k x x =-+，
∴22191981()444216
k x x x =-+=--+； ∵1
04
-
<， ∴当9
2x =
时，k 有最大值8116
； 当1x =时，k 有最小值2；
∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在9
2
x =
的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ， 设直线AB 为y ax b =+，则
25a b a b n +=??
+=?，解得：24
104n a n b -?=???-?=??
， ∴21044
n n
y x --=
+， 设点P 为（x ，
k
x
），由点P 在线段AB 上则 2210
44
n n k x x --=
-， 当
2
04
n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：10
10
42242
n n x n n --==--；
∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．
即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大； 当
2
04
n ->时，有 ∴2
04
10124
n n n -?>???-?≤?-?，解得：26n n >??≥-?，
∴不等式组的解集为：2n >；
当
2
04
n -<时，有 ∴2
0410524
n n n -?
10
29n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：10
9
n ≥． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．
7．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合)，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． (1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；
(3)在题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) y=x 2﹣4x +3；(2) P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；(3) F 1（22，1），F 2（22，1）． 【解析】 【分析】
（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C 点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD ∥y 轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP 是直角三角形，可考虑两种情况： ①以点P 为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P 点位于x 轴上（即与B 点重合），由此可求出P 点的坐标；
②以点A 为直角顶点，易知OA=OC ，则∠OAC=45°，所以OA 平分∠CAP，那么此时D 、P 关
于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；
（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；
∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；
（2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P1（1，0）；
②当点A为△AP2D2的直角顶点时；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD2=45°；
当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，
∴AO平分∠D2AP2；
又∵P2D2∥y轴，
∴P2D2⊥AO，
∴P2、D2关于x轴对称；
设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．
将A（3，0），C（0，3）代入上式得：
30
3k b b +=??
=?
， 解得13k b =-??=?
；
∴y=﹣x+3；
设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0， 即x 2﹣5x+6=0；
解得x 1=2，x 2=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；
（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形； 当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时， 平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ； ∵P （2，﹣1）， ∴可设F （x ，1）； ∴x 2﹣4x+3=1，
解得x 1=2﹣2，x 2=2+2； ∴符合条件的F 点有两个，
即F 1（2﹣2，1），F 2（2+2，1）．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.
8．如图1，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2
y ax bx c =++经过、、A B C 三点，且其对称轴为1,x =其中点(3C ，点()3,0B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图（1），点D 是直线CB 上方抛物线上的动点，当四边形DCAB 的面积取最大值时，求点D 的坐标；
②如图（2），连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足1
2
MCB ACO ∠=
∠，请直接写出点M 的横坐标．
【答案】（1）23233
=y x ；（2）①D 3532，，②233+2 【解析】 【分析】
（1）根据点(3C ，点()3,0B ，利用待定系数法，可得函数解析式；
（2）①先求出直线BC 的解析式，当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值，求出b 的值代入原式即可得到答案； ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足1
2
MCB ACO ∠=∠，通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式，可得答案． 【详解】
解：（1）由题意得：